數(shù)學同步測控：平面直角坐標系中的伸縮變換

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精同步測控我夯基,我達標1.已知同一直線上三點A、B、C，其中B是AC中點，若向著x軸按照伸縮系數(shù)k＝2進行伸縮變換后，對于它們的對應(yīng)點A′、B′、C′有以下說法:①仍在同一直線上;②不在同一直線上；③B′是A′C′的中點；④B′是A′C′的三等分點；⑤A′、B′、C′有可能重合．其中正確的說法是（）A．②B．①③C．①④D．⑤解析:由于在伸縮變換作用下，點的共線性質(zhì)保持不變,所以②不在同一直線上不正確;根據(jù)教材中的例2可知B′仍是A′C′的中點．故選B．答案：B2.在同一平面坐標系中，經(jīng)過伸縮變換后，曲線C變?yōu)榍€2x′2+8y′2=0，則曲線C的方程為()A.25x2+36y2=0B.9x2+100y2=0C。10x+24y=0解析：將坐標直接代入新方程，即可得原來的曲線方程．將直接代入2x′2+8y′2＝０，得2×（5x)2+8×（3y)2＝０,即25x2+36y2＝０為所求曲線C的方程.答案:Ａ3.直線y=x按伸縮系數(shù)k＝2向著y軸進行伸縮變換后的方程為_______________解析:設(shè)P(x,y）是變換前直線上的點，P′（x′，y′)是變換后曲線上的點，由題意,知即代入y=x中，得。所以直線y=x經(jīng)過伸縮變換后的方程為y=x．答案：y=x4.直線y=x按照伸縮系數(shù)k＝2向著x軸進行伸縮變換后的方程為___________解析：設(shè)P（x，y）是變換前直線上的點，P′（x′,y′)是變換后曲線上的點,由題意,知即代入y=x中，得，即y′=x′．所以直線y=x經(jīng)過伸縮變換后的方程為y=x．答案:y=x5.下圖是風箏的圖案．（1）寫出圖中所標各個頂點的坐標.(2）縱坐標保持不變，橫坐標分別乘2，所得各點的坐標分別是什么？所得圖案與原來圖案相比有什么變化？(3）橫坐標保持不變，縱坐標分別乘－2，所得各點的坐標分別是什么?所得圖案與原來圖案相比有什么變化？思路分析：在坐標紙內(nèi)，每格表示1個單位長度．解：（1）A（0,4)、B（－3,1）、C（-3，—1）、D(0，-2)、E（3，-1)、F（3,1）.(2)A（0,4）、B（—6,1）、C（—6，-1）、D（0，-2）、E(6,—1）、F（6，1）；所得圖案在x軸方向上擴大到原來的2倍，y軸方向不變。(3）A(0，-8）、B（—3，-2）、C（-3,2)、D（0，4）、E（3，2)、F（3，—2）;所得圖案在y軸方向上擴大到原來的—2倍,x軸方向不變．6。在平面直角坐標中,求下列方程所對應(yīng)的圖形經(jīng)過伸縮變換后的圖形．(1）5x+2y＝０；（2）x2+y2=１.思路分析:根據(jù)伸縮變換公式，分清新舊坐標代入即可．解：由得到（1)將代入5x+2y＝０中，得到5x′+3y′＝０，即經(jīng)過伸縮變換后，直線仍然是直線．（2)將代入x2+y2＝１，得到=1，即經(jīng)過伸縮變換后，圓變成了橢圓．我綜合，我發(fā)展7.已知f1(x)=cosx，f2(x)=cosωx(ω＞０)，f2(x）的圖象可以看作是把f1(x)的圖象在其所在的坐標系中的橫坐標壓縮到原來的倍（縱坐標不變）而得到的,則ω為(）A.B．2C.3D.解析：本題直接考查伸縮變換規(guī)律:函數(shù)y=cosωx，x∈R（其中ω＞０，ω≠１）的圖象，可以看作把余弦曲線上所有點的橫坐標縮短（當ω＞１時）或伸長（當０＜ω＜１時）到原來的倍（縱坐標不變）而得到的．答案：Ｃ8。為了得到函數(shù)y=2sin（）,x∈R的圖象，只需把函數(shù)y=2sinx,x∈R的圖象上所有的點(）A。向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變）B．向右平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變)C.向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的3倍（縱坐標不變）D。向右移個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的3倍（縱坐標不變)解析：將y=2sinx向左平移個單位得到y(tǒng)=2sin（x+)的圖象，將y=2sin（x+)圖象上各點橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變）,則得到y(tǒng)=2sin(x+）的圖象，故選Ｃ．答案:Ｃ9。圓x2+(y—1)2＝１經(jīng)過變換后變?yōu)?x′2+y′2＝１，這種變換為()A。B。C。D.解析：4x′2+y′2＝１,即(2x′)2+y′2＝１,令2x′=x，y′=y-1，代入方程4x′2+y′2＝１中，可得x2+（y—1）2＝１．故所求的變換為答案:Ｃ10.在同一平面直角坐標系中，將曲線x2—36y2-8x＋12＝0變成曲線x′2-y′2-4x′+3=0，求滿足圖象變換的伸縮變換．解:x2-36y2—8x＋12＝0可化為(）2—9y2=1.①x′2—y′2-4x′+3=0可化為（x′-2）2-y′2=1。②比較①②可得x′—2=,y′=3y．故所求的伸縮變換為我創(chuàng)新，我超越11.如果不改變坐標軸的方向和長度單位，只改變原點的位置，這種坐標系的變換叫做坐標軸的平移，簡稱移軸．設(shè)原坐標系xOy,平移后新坐標系x′Oy′，新坐標系的坐標原點在原坐標中的坐標是O′(h,k），在坐標平面內(nèi)的任意一點，都有兩個坐標,它們有如下平移公式:在新舊坐標變換、方程變換時，可選擇使用．試用上述移軸思想做下面的題目：平移坐標軸