數(shù)學(xué)同步測控：曲線的極坐標(biāo)方程的意義

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精同步測控我夯基,我達(dá)標(biāo)1。下列各點(diǎn)在方程ρ=8sinθ表示的曲線上的是（）A。（8,）B。（，)C。(4，）D.（8，）解析：代入驗(yàn)證，A、B、D都不對(duì)，C對(duì).答案：C2.直線l1:ρsin(θ+α)=a和l2：θ=-α的位置關(guān)系是（其中θ為極角，α為常量）（)A。l1∥l2B.l1⊥l2C.l1和l2重合D.l1和l2解析:可以先化為直角坐標(biāo)方程然后判斷位置關(guān)系。答案:B3.如果直線ρ＝與直線l關(guān)于極軸對(duì)稱，則直線l的極坐標(biāo)方程是()A.ρ=B.ρ=C。ρ=D.ρ=解析：由ρ=,知ρcosθ-2ρsinθ=1，即x—2y=1。故直線l的直角坐標(biāo)方程為x+2y—1=0?；癁闃O坐標(biāo)方程為ρcosθ+2ρsinθ-1=0,化簡即為ρ=。答案:A4.極坐標(biāo)方程ρ=所對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)方程為.解析:本題考查直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間的互化公式:將ρ、θ消去,換成字母x、y即可.因?yàn)棣?可化為ρ=，即ρ=,去分母,得ρ=2+ρcosθ，即x2+y2=（2+x）2，整理可得.答案：y2=4(x+1)5.判斷點(diǎn)O（0,)是否在曲線ρ=sin2θ上。解：由于O為極點(diǎn)，只需判斷曲線是否過極點(diǎn)就行了，而sin2θ=0顯然有解,故O(0，）在曲線ρ=sin2θ上。6。若以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作極點(diǎn)，x軸正半軸作極軸，化下列方程為極坐標(biāo)方程。(1);(2）;(3）y2=2px。思路分析：本題考查直角坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程，可用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入直接得到。解：（1)將x=ρcosθ，y=ρsinθ代入方程，得b2ρ2cos2θ+a2ρ2sin2θ=a2b2,即即以橢圓中心為極點(diǎn)的極坐標(biāo)方程為ρ2=。（2)將x=ρcosθ，y=ρsinθ代入方程，得即以雙曲線中心為極點(diǎn)的極坐標(biāo)方程為ρ2=。(3）將x=ρcosθ，y=ρsinθ代入方程，得ρ=,即以拋物線的頂點(diǎn)為極點(diǎn)，對(duì)稱軸為極軸時(shí)，拋物線的極坐標(biāo)方程為ρ=.我綜合，我發(fā)展7。曲線的極坐標(biāo)方程ρ=4sinθ化成直角坐標(biāo)方程為（)A。x2+（y+2）2=4B.x2+（y-2)2=4C。（x—2)2+y2=4D.（x+2）2+y2=4解析:ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，所以x2+y2=4y,即x2+（y-2)2=4.答案：B8。極坐標(biāo)方程ρ2cos2θ—2ρcosθ=1表示的曲線是（）A。圓B。橢圓C。拋物線D.雙曲線解析：∵ρ2cos2θ—2ρcosθ=1,∴ρ2·（cos2θ—sin2θ）-2ρcosθ=1,ρ2cos2θ—2ρcosθ+1—ρ2sin2θ=2,(ρcosθ-1)2-ρ2sin2θ=2。令ρcosθ=x,ρsinθ=y,則（x-1）2—y2=2?！嗲€表示雙曲線.答案：D9。極坐標(biāo)方程ρ=cos（-θ)表示的曲線是（）A.雙曲線B。橢圓C.拋物線D。圓解析：∵ρ=(cosθ+sinθ)，∴ρ2=ρcosθ+ρsinθ?！嘀苯亲鴺?biāo)方程為（x2+y2)=x+y，表示圓.答案:D10。圓ρ=10cos（-θ)的圓心坐標(biāo)是（)A.（5，0）B.（5，—)C。（5,)D.(5,2）解析：可以先化為直角坐標(biāo)方程x2+y2—5x—5y=0，得圓心坐標(biāo)為（，）,化為極坐標(biāo)為（5，）.答案:C11。已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，π)，那么過點(diǎn)P且垂直于極軸的直線的極坐標(biāo)方程為（)A。ρ=1B。ρ=cosθC.ρ=D。ρ=解析：數(shù)形結(jié)合求直線的方程，關(guān)鍵是找出等量關(guān)系.答案：C12.從原點(diǎn)O引直線交直線2x+4y-1=0于點(diǎn)M，P為OM上一點(diǎn),已知｜OP｜·|OM|=1，求P點(diǎn)的極坐標(biāo)方程。思路分析：先把直線化為極坐標(biāo)方程，由于P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與M點(diǎn)有關(guān)，可以利用轉(zhuǎn)移法來解決問題.我們可以根據(jù)長度之間的關(guān)系式找到點(diǎn)P與點(diǎn)M坐標(biāo)之間的關(guān)系.解：如圖，以O(shè)為極點(diǎn),x軸正方向?yàn)闃O軸建立極坐標(biāo)系,直線的方程化為2ρcosθ+4ρsinθ-1=0。設(shè)M(ρ0,θ0），P（ρ，θ)，則2ρ0cosθ0+4ρ0sinθ0-1=0.由知代入有cosθ+sinθ-1=0，∴ρ=2cosθ+4sinθ,表示一個(gè)圓(ρ≠0).我創(chuàng)新,我超越13。設(shè)圓C：ρ=10cosθ與極軸交于點(diǎn)A，由極點(diǎn)O引圓C的弦OQ，延長OQ至P，使|QP|=｜AQ|，如圖，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡.思路分析:因?yàn)樗簏c(diǎn)P的軌跡形成與點(diǎn)Q有直接關(guān)系，而點(diǎn)Q在已知的圓C上，所以常用代入法求軌跡方程.解：設(shè)P（ρ，θ),∵A(10，0),∴｜AQ|=10sinθ。∴Q(ρ-10sinθ，θ)。∵Q在圓C上，∴ρ-10sinθ=10cosθ,即點(diǎn)P的軌跡方程為ρ=10(sinθ+cosθ）.其軌跡是以（5,5)為圓心，5為半徑的圓。14.已知銳角∠AOB=2α，角內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P,PM⊥OA,PN⊥OB，且四邊形PMON的面積等于常數(shù)C2，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的極坐標(biāo)方程,并說明它表示什么曲線。思路分析：建立適當(dāng)坐標(biāo)系，表示出各點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出各邊長,由面積公式直接代入得方程.解：以O(shè)為極點(diǎn)，∠AOB的平分線Ox為極軸建立極坐標(biāo)系，如圖。設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(ρ,θ），∵∠POM=α—θ,∠NOP=α+θ，∴｜OM｜=ρcos（α—θ），｜PM|=ρsin(α-θ），｜ON|=ρcos(α+θ），|PN|=ρsin(α+θ）.又四邊形PMON面積S=·|OM｜·｜PM｜+·｜ON|·|PN｜，把｜OM｜，|ON|，｜PM|，|PN|及S=C2代入,得ρ2cos（α-θ）sin（α-θ）+ρ2cos（α+θ）sin（α+θ)=C2?；喌忙?sin2α·cos2θ