數(shù)學(xué)同步測控：圓中比例線段

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精同步測控我夯基我達(dá)標(biāo)圖1。2—801。如圖1.2—80,水平放置的一個油管的截面半徑為13cm，其中有油部分油面寬AB為24cm，則截面上有油部分油面高CD(單位:cm）為（)A。6B。7C.8解析:延長DO交圓于E點，設(shè)CD=x，則CE=26—x,又AC=BC=12cm，由相交弦定理得：AC·BC=CD·CE即12×12=x(26-x)，解得x=8（cm）或18（cm)，由圖應(yīng)舍去x=18cm，故x=8cm.答案:C圖1。2—812.如圖1。2-81，AB是⊙O的弦，⊙O的半徑為5，OD⊥AB于C,交⊙O于點D，且CD=2,那么AB的長為（)A.4B.6C.8解析：延長DO交圓于E點，設(shè)AB=2x，則AC=BC=x，已知CD=2，∴CE=8,由相交弦定理：AC·BC=CD·CE，即x2=2×8,∴x=4,AB=8。答案:C3.如圖1。2—82，AB是△ABC中，∠A=90°,AB=AC=2cm,⊙A與BC相切于點D，則⊙A的半徑為（）圖1.282A.1cmB。cmC。cmD。2cm解析:連結(jié)AD，則AD⊥BC,因為AB=AC，∴D為BC的中點，AD為△ABC的中線，故AD=BC=×2=（cm）。答案：B4。如圖1。2—83，已知PA是⊙O的切線，A為切點，PC與⊙O相交于B、C兩點，PB=2cm,BC=8cm,則PA的長等于…()圖1.2—83A.4cmB.16cmC。20cmD。2cm解析：PC=2+8=10(cm),由切割線定理:PA2=PB·PC=2×10，∴PA=2(cm).答案：D5.如圖1。2-84,PT切⊙O于T,PB為過圓心的割線，如果PA=3,PT=5，那么⊙O的直徑等于(）圖1。2—84A.B.C.D.解析:由切割線定理，PT2=PA·PB，∴PB=，⊙O的直徑AB=PB-PA=.答案：A6.如圖1.2-85，PAB和PCD都是⊙O的割線，且圓心在AB上，已知PA=4cm,PC=5cm，CD=3cm,那么，⊙O的直徑是（）圖1。2-85A。6cmB。cmC。cmD。10cm解析：由割線定理：PA·PB=PC·PD,得：4×PB=5×8PB=10（cm），直徑AB=PB—PA=10-4=6（cm).答案:A7。如圖1。2-86，PT是⊙O的切線，T為切點，PA是割線，它與⊙O的交點是A、B，與直徑CT的交點是D，已知CD=2，AD=3,BD=4，那么PB等于…（）圖1.2—86A.20B.10C.5解析:由相交弦定理：AD·BD=CD·DT，即3×4=2·DT，∴DT=6,由切割線定理：PT2=PB·（PB+7)①在Rt△PTD中，PT2=(PB+4)2—62②②-①化簡可得PB=20.答案:A8。如圖1.2-87,若直線PAB、PCD分別與⊙O交于A、B、C、D，則下列各式中，相等關(guān)系成立的是（）圖1.2—87A.PA：PC=PB：PDB。PA：PB=AC:BDC。PA：PC=PD:PBD。PB:PD=AD:BC解析：由相交弦定理PA·PB=PC·PD，即有PA:PC=PD：PB。答案：C9。如圖1.2—88，點A是半圓上一個三等分點,點B是弧AN的中點，點P是直徑MN上一動點，⊙O的半徑為1,則AP+BP的最小值為（）圖1.2-88A.1B。C。-1D.解析:過點B作BB′⊥MN.交O于點B′，連結(jié)AB′交MN于點P,此時點P使AP+BP取得最小值.易知B與B′點關(guān)于MN對稱，依題意∠AON=60°，則∠B′ON=∠BON=30°，所以∠AOB′=90°，AB′=。故PA+PB的最小值為。答案：D我綜合我發(fā)展10.過⊙O內(nèi)一點M的最長弦為10cm，最短弦長為8cm，則OM的長為(）A。3cmB。6cmC。cmD.9cm解析：過圓內(nèi)一點最長的弦是該圓的直徑，最短的弦是過這點垂直于直徑的弦，則OM==3（cm）.答案:A11.如圖1.2—89，AB是⊙O的直徑，C為半圓上一點，CD⊥AB于D，若BC=3，AC=4,則AD：CD:BD等于…（）圖1。2-89A.4：6：3B。6：4：3C。4：4：3解析：由AB是△ABC的直徑，可得△ABC是直角三角形，由勾股定理知AB=5，又CD⊥AB，根據(jù)射影定理就有AC2=AD·AB，于是AD=.同理,BD=，CD=,據(jù)此即得三條線段的比值.答案:D12。如圖1。2—90，在半圓O中，AB為直徑，CD⊥AB，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，則圖中相似三角形一共有（）圖1。2-90A.3對B.4對C.5對D。6對解析:由題設(shè)，△ABC是直角三角形,CD⊥AB,可知△ACD∽△ABC∽△CBD,這就是3對。又AF平分∠CAB,所以有△CAF∽△DAE,△CAE∽△BAF，這樣一共有5對三角形相似。答案:C13。如圖1。2-91,在⊙O中,AB為直徑，AD為弦，過B點的切線與AD的延長線交于C，且AD=DC，則sin∠ACO等于（）圖1.2-91A.B.C.D.解析:連結(jié)BD、DO,過O作OE⊥AC于E，由AB為直徑，有BD⊥AC，由△ABC是直角三角形，AD=CD，得△ABC是等腰直角三角形,然后設(shè)AE=x，用x表示出CE,進(jìn)一步表示出OC，利用三角函數(shù)定義即可得到所求的值.答案：A14。如圖1。2—92，P是直徑AB上一點，且PA=2cm，PB=6cm，CD為過P點的弦,那么下列PC與PD的長度中,符合題意的是（）圖1。2—92A.1cm,12cmB。3cm，5cmC。7cm,cmD。3cm,4cm解析:由PA=2cm,PB=6cm,知PA·PB=12，因PA·PB=PC·PD，PD·PC=12,單從這點看A、C、D都符合這一要求，又AB=PA+PB=8是圓內(nèi)最長的弦,所以只有D符合題意。答案:D15如圖1。2—93,⊙O1與⊙O2相交于A、B兩點,連結(jié)AB，并在其延長線上取點P，過P作⊙O1，⊙O2的切線PC，PD，切點分別為C、D，若PC=6,則PD=__________。解析:=6。答案:6圖1。2—93圖1.2—9416。如圖1.2-94,已知AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB,E為垂足，EF⊥BD，F(xiàn)為垂足，若BF=9，DF=3，則AE=____________.解析:∵CD⊥AB于E，EF⊥BD于F，BD=BF+DF=12，EF是Rt△BED斜邊上的高,由射影定理，可求得∴ED=6，BE=63。∴在⊙O中，由相交弦定理推論,有DE2=AE·EB，∴AE=.答案：217。如圖1.2—95，⊙O的兩條弦AB、CD,延長后相交于點P。已知AB=5,BP=3,CD=2，則DP=____________.解析:由已知,AB=5，BP=3,又CD=2，設(shè)PD=x，則有x·(x+2）=3×8，解之,得x=4，即PD=4.答案：4圖1.2-95圖1.29-618.如圖1。2—96,AB是⊙O的切線，B為切點，割線AC交⊙O于E、C兩點，與直徑BD交于F點.已知DF=2，CF=3，EF=4，那么AE=_______________。解析：∵EF·FC=DF·FB，可求得FB=6,設(shè)AE=x.∵AB是⊙O的切線，BD為直徑，∴BD⊥AB.由切割線定理,AB2=AE·AC,AB2=AF2-FB2.故有x(x+7)=（x+4）2—62,∴x=20,即AE=20.答案:20我創(chuàng)新我超越圖1。2—9719。如圖1.2—97,以⊙O上的一點A為圓心作⊙A,分別交⊙O于B、C，過A作弦AF交公共弦于E，交⊙A于D.求證:AD2=AE·AF。解析：由于本題要證的成比例的四條線段在同一條直線上,因此不存在相似三角形,所以必須轉(zhuǎn)移其中一條或兩條，以構(gòu)成兩個能夠相似的三角形，注意到同圓半徑相等的性質(zhì)，所以將AD換成AB，通過等線段代換,可以達(dá)到目的.證明:分別連結(jié)AB、AC、BF?！逜B=AC，∴.∴∠ABC=∠F.又∠BAF公共，∴△ABE∽△BFA.∴AB2=AE·AF?！逜B=AD，∴AD2=AE·AF.圖1.2-9820.如圖1.2-98，PA切⊙O于A，割線PBC交⊙O于B、C，D為PC的中點，連結(jié)AD并延長交⊙O于E，已知BE2=DE·EA.求證：（1）PA=PD；（2）BP2=AD·DE。解析:(1)中因為PA與PD在同一個三角形中，所以可以通過說明兩角相等解決問題；(2）中則運用切割線定理轉(zhuǎn)換線段。證明：（1）連結(jié)AB，證明△BED∽△AEB得∠DBE=∠DAB。又可證∠PAD=∠ADP，∴PA=PD。（2）PA2=PB·PC且PD=CD=PC，PA=PD,∴PD=2PB=PB+BD。∴PB=BD=PD.又BD·CD=AD·DE，∴可證得結(jié)論，BP2=AD·DE。21.如圖1。2-99，P為圓O外一點，PA、PB是圓O的兩條切線,A、B為切點，OP與AB相交于點M，且點C是AB上一點。求證：∠OPC=∠OCM.圖1.2-99解析:圖形中有兩條切線，故運用切割線定理得線段和角的關(guān)系,在Rt△OPB中運用射影定理，有OB2=OP·OM，代換其中的OB為OC,可得三角形相似，即得角的相等關(guān)系。證明:連結(jié)OB，由切線長定理，得PA=PB，PM⊥AB，PO平分∠APB.又PB⊥OB，在Rt△OPB中，OB2=OP·OM，∵OB=OC,∴OC2=OP·OM，即?！唷鱋CP∽△OMC?！唷螼PC=∠OCM.22.如圖1.2—100,PA切⊙O于A，PCB、PDE為⊙O的割線，并且PDE過圓心O,已知∠BPA=30°,PA=2,PC=1，求PD的長。圖1。2-100解析：求PD，可使用割線定理PC·PB=PD·PE，∵PA與⊙O相切，∴PA2=PC·PB。可求得PB，因PE=PD+DE，DE為⊙O直徑，所以求⊙O的直徑成為解題的關(guān)鍵.解:∵PA與⊙O相切,∴PA2=PC·PB。又PB=PC+BC，∴BC=11。連結(jié)AO，并延長與⊙O交于K,與CB交于G，則GA=PAtan∠GPA=PAtan30°=2.又Rt△GPA中，∠GPA=30°，∴PG=2GA=4。∴CG=3，GB=8。由相交弦定理GC·GB=AG·GK，可得GK=12，∴直徑為14.∴由割線定理有PC·PB=PD·PE，得PD=-7。23。如圖1。2-101,PA為⊙O的切線,A為切點，PBC為⊙O的割線，若PA=10,PB=5，∠BAC的平分線與BC和⊙O分別交于D、E.求AD·AE的值.圖1.2—101解析：由切割線定理PA2=PB·PC，由已知條件可得BC長,又通過△ACE∽△ADB,得AD·AE=CA·BA，從而求AD·AE的值。解:連結(jié)CE,∵PA2=PB·PC，PA=10，PB=5，∴PC=20?！郆C=15。又PA切⊙O，∴∠PAB=∠ACP,∠P公共.∴△PAB∽△PCA?！?。∵BC為⊙O直徑，∴∠CAB=90°.∴AC2+AB2=BC2=225.∴可解得AC=6，AB=3.但AE平分∠BAC，∴∠CAE=∠EAB，∠ABC=∠E.∴△ACE∽△ADB.∴.∴AD·AE=AB·AC=3×6=90。24.如圖1。2—102,已知AB是⊙O的直徑,⊙C切⊙O于F,切AB于D，DC的延長線交⊙O于E點。求證：ED2=AB·CD。圖1。2—102分析：要證明ED2=AB·CD，觀察圖形發(fā)現(xiàn)，AB·CD等于小圓半徑與大圓直徑的乘積，而ED與AB垂直，AB是大圓的直徑，可以考慮相交弦定理.解決問題的關(guān)鍵是溝通兩圓的半徑關(guān)系,因為兩圓相內(nèi)切，而連心線或圓心距往往可以起到溝通的作用。證法一:連結(jié)OF，∵⊙C與⊙O相切，∴O、C、F在一條直線上，∵ED⊥AB，∴ED2=AD·BD，∵AD=AO—OD，BD=BO+OD.∴AD·BD=（AO—OD）·（BO+OD）,∵AO=BO=OF，∴AD·BD=AO2—OD2,在R