2025屆天津市七校數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2025屆天津市七校數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若球的半徑為，一個(gè)截面圓的面積是，則球心到截面圓心的距離是（）A. B.C. D.2．已知橢圓C的焦點(diǎn)為，過(guò)F2的直線(xiàn)與C交于A，B兩點(diǎn).若，，則C的方程為A. B.C. D.3．某中學(xué)為了解高三男生的體能情況，通過(guò)隨機(jī)抽樣，獲得了200名男生的100米體能測(cè)試成績(jī)（單位：秒），將數(shù)據(jù)按照，，…，分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.規(guī)定成績(jī)低于13秒為優(yōu)，成績(jī)高于14.8秒為不達(dá)標(biāo).由直方圖推斷，下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）A.直方圖中a的值為0.40B.由直方圖估計(jì)本校高三男生100米體能測(cè)試成績(jī)的眾數(shù)為13.75秒C.由直方圖估計(jì)本校高三男生100米體能測(cè)試成績(jī)?yōu)閮?yōu)的人數(shù)為54D.由直方圖估計(jì)本校高三男生100米體能測(cè)試成績(jī)?yōu)椴贿_(dá)標(biāo)的人數(shù)為184．甲烷是一種有機(jī)化合物，分子式為，其在自然界中分布很廣，是天然氣、沼氣的主要成分．如圖所示的為甲烷的分子結(jié)構(gòu)模型，已知任意兩個(gè)氫原子之間的距離（H-H鍵長(zhǎng)）相等，碳原子到四個(gè)氫原子的距離（C-H鍵長(zhǎng)）均相等，任意兩個(gè)H-C-H鍵之間的夾角為（鍵角）均相等，且它的余弦值為，即，若，則以這四個(gè)氫原子為頂點(diǎn)的四面體的體積為（）A. B.C. D.5．如圖是拋物線(xiàn)拱形橋，當(dāng)水面在時(shí)，拱頂離水面，水面寬，若水面上升，則水面寬是（）（結(jié)果精確到）（參考數(shù)值：）A B.C. D.6．已知雙曲線(xiàn)，點(diǎn)F為其左焦點(diǎn)，點(diǎn)B，若BF所在直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的其中一條漸近線(xiàn)垂直，則該雙曲線(xiàn)的離心率為（）A. B.C. D.7．命題“，”的否定形式是（）A.， B.，C.， D.，8．已知集合A=（）A. B.C.或 D.9．已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.10．已知雙曲線(xiàn)，其漸近線(xiàn)方程為，則a的值為（）A. B.C. D.211．若雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)為，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，且，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)與軸的夾角的取值范圍是（）A. B.C. D.12．已知雙曲線(xiàn)：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)在第二象限的交點(diǎn)為，若，則雙曲線(xiàn)的離心率是（）A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________.14．4與16的等比中項(xiàng)是________.15．已知圓的圓心與點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)與圓相交于、兩點(diǎn)，且，則圓的方程為_(kāi)________16．過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)作互相垂直的兩條直線(xiàn)，分別交拋物線(xiàn)與A，C，B，D四點(diǎn)，則四邊形ABCD面積的最小值為_(kāi)__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，滿(mǎn)足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和18．（12分）在①，；②，；③，.這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中.問(wèn)題：已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，___________.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）已知，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.19．（12分）如圖，在三棱柱中，平面ABC，，，，點(diǎn)D，E分別在棱和棱上，且，，M為棱的中點(diǎn)（1）求證：；（2）求直線(xiàn)AB與平面所成角的正弦值20．（12分）如圖，菱形的邊長(zhǎng)為4，，矩形的面積為8，且平面平面（1）證明：；（2）求C到平面的距離.21．（12分）已知在長(zhǎng)方形ABCD中，AD=2AB=2，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，沿BE折起平面ABE，使平面ABE⊥平面BCDE.（1）求證：在四棱錐A-BCDE中，AB⊥AC.（2）在線(xiàn)段AC上是否存在點(diǎn)F，使二面角A-BE-F的余弦值為？若存在，找出點(diǎn)F的位置；若不存在，說(shuō)明理由.22．（10分）如圖，已知橢圓的焦點(diǎn)是圓與x軸的交點(diǎn)，橢圓C的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)等于圓O的直徑（1）求橢圓C的方程；（2）F為橢圓C的右焦點(diǎn)，A為橢圓C的右頂點(diǎn)，點(diǎn)B在線(xiàn)段FA上，直線(xiàn)BD，BE與橢圓C的一個(gè)交點(diǎn)分別是D，E，直線(xiàn)BD與直線(xiàn)BE的傾斜角互補(bǔ)，直線(xiàn)BD與圓O相切，設(shè)直線(xiàn)BD的斜率為．當(dāng)時(shí)，求k

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】由題意可解出截面圓的半徑，然后利用勾股定理求解球心與截面圓圓心的距離【詳解】由截面圓的面積為可知，截面圓的半徑為，則球心到截面圓心的距離為故選：C【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于，球心與截面圓圓心的連線(xiàn)垂直于截面2、B【解析】由已知可設(shè)，則，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，從而可求解.【詳解】法一：如圖，由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在中，由余弦定理推論得．在中，由余弦定理得，解得所求橢圓方程為，故選B法二：由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在和中，由余弦定理得，又互補(bǔ)，，兩式消去，得，解得．所求橢圓方程為，故選B【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，很好的落實(shí)了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)3、D【解析】根據(jù)頻率之和為求得，結(jié)合眾數(shù)、頻率等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】，解得，A選項(xiàng)正確.眾數(shù)為，B選項(xiàng)正確.成績(jī)低于秒的頻率為，人數(shù)為，所以C選項(xiàng)正確.成績(jī)高于的頻率為，人數(shù)為人，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D4、A【解析】利用余弦定理求得，計(jì)算出正四面體的高，從而計(jì)算出正四面體的體積.【詳解】設(shè)，則由余弦定理知：，解得，故該正四面體的棱長(zhǎng)均為由正弦定理可知：該正四面體底面外接圓的半徑，高故該正四面體的體積為故選：A5、C【解析】先建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線(xiàn)方程為x2＝my，將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)方程求出m，從而可得拋物線(xiàn)方程，再令y＝代入拋物線(xiàn)方程求出x，即可得到答案【詳解】解：如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線(xiàn)方程為x2＝my，由題意，將代入x2＝my，得m＝，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為x2＝，令y＝，解得，所以水面寬度為2.24×817.9m故選：C6、C【解析】設(shè)出雙曲線(xiàn)半焦距c，利用斜率坐標(biāo)公式結(jié)合垂直關(guān)系列式計(jì)算作答.【詳解】設(shè)雙曲線(xiàn)半焦距為c，則，直線(xiàn)BF的斜率為，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為：，因直線(xiàn)BF與雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)垂直，則有，即，于是得，而，解得，所以雙曲線(xiàn)的離心率為.故選：C7、A【解析】特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題【詳解】的否定形式是故選：A8、A【解析】先求出集合，再根據(jù)集合的交集運(yùn)算，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榧?，所?故選：A.9、A【解析】由題意可知，對(duì)任意的恒成立，可得出對(duì)任意的恒成立，利用基本不等式可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，則，由題意可知，對(duì)任意的恒成立，所以，對(duì)任意的恒成立，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，.故選：A.10、A【解析】由雙曲線(xiàn)方程，根據(jù)其漸近線(xiàn)方程有，求參數(shù)值即可.【詳解】由漸近線(xiàn)，結(jié)合雙曲線(xiàn)方程，∴，可得.故選：A.11、B【解析】由條件結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義可得，然后可得，然后可求出的范圍即可.【詳解】由雙曲線(xiàn)的定義可得，結(jié)合可得當(dāng)點(diǎn)不為雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)時(shí)，可得，即當(dāng)點(diǎn)為雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)時(shí)，可得，即所以，所以，所以所以雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)與軸的夾角的取值范圍是故選：B12、B【解析】根據(jù)得到三角形為等腰三角形，然后結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義得到，設(shè)，進(jìn)而作，得出，由此求出結(jié)果【詳解】因?yàn)?，所以，即所以，由雙曲線(xiàn)的定義，知，設(shè)，則，易得，如圖，作，為垂足，則，所以，即，即雙曲線(xiàn)的離心率為.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】首先利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)存在最大值，可判斷極大值點(diǎn)就是最大值點(diǎn)，列式求解.【詳解】由題可知：所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故函數(shù)的極大值為.所以在開(kāi)區(qū)間內(nèi)的最大值一定是又，所以得實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)若存在最大值，即極大值點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，同時(shí)還得滿(mǎn)足極大值點(diǎn)是最大值，還需列不等式，不要忽略這個(gè)不等式.14、±8【解析】解析由G2＝4×16＝64得G＝±8.答案±815、【解析】利用對(duì)稱(chēng)條件求出圓心C的坐標(biāo)，借助直線(xiàn)被圓所截弦長(zhǎng)求出圓半徑即可寫(xiě)出圓的方程.【詳解】設(shè)圓的圓心，依題意，，解得，即圓心，點(diǎn)C到直線(xiàn)的距離，因圓截直線(xiàn)所得弦AB長(zhǎng)為6，于是得圓C的半徑所以圓的方程為：.故答案為：16、512【解析】設(shè)出直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，結(jié)合拋物線(xiàn)的定義、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意可知：直線(xiàn)存在斜率且不為零，所以設(shè)直線(xiàn)的斜率為，所以直線(xiàn)的方程為，與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立得：，設(shè)，所以，由拋物線(xiàn)的定義可知：，因?yàn)橹本€(xiàn)互相垂直，所以直線(xiàn)的斜率為，同理可得：，所以四邊形ABCD面積為：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故答案為：512三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)已知條件求得數(shù)列的公比，由此求得.（2）利用錯(cuò)位相減求和法求得.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，可得.故數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以【小問(wèn)2詳解】由（1）得，，①，②①②，得所以18、（1）（2）【解析】（1）選①，利用化已知等式為，得是等差數(shù)列，公差，求出其通項(xiàng)公式后，再由求得通項(xiàng)公式，注意；選②，由可變形已知條件得是等差數(shù)列，從而求得通項(xiàng)公式；選③，已知式兩邊同除以，得出，以下同選①；（2）由錯(cuò)位相減法求和【小問(wèn)1詳解】選①，由得，，所以，即，所以是等差數(shù)列，公差，又，，，所以，，時(shí)，也適合所以；選②，由得，所以等差數(shù)列，公差為，又，所以；選③，由得，以下同選①，【小問(wèn)2詳解】由（1），，，兩式相減得，所以19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）由線(xiàn)面垂直、等腰三角形的性質(zhì)易得、，再根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定及性質(zhì)證明結(jié)論；（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，確定相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求的方向向量、面的法向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.【小問(wèn)1詳解】在三棱柱中，平面，則平面，由平面，則，，則，又為的中點(diǎn)，則，又，則平面，由平面，因此，.【小問(wèn)2詳解】以為原點(diǎn)，以，，為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得：，，，，，，.∴，，，，設(shè)為面的法向量，則，令得，設(shè)與平面所成角為，則，∴直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.20、（1）證明見(jiàn)解析.（2）【解析】（1）利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)證明出；（2）利用等體積轉(zhuǎn)換法，先求出O到平面AEF的距離，再求C到平面的距離.【小問(wèn)1詳解】在矩形中，.因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?所以平面，所以.【小問(wèn)2詳解】設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O,則C到平面AEF的距離為O到平面AEF的距離的2倍.因?yàn)榱庑蜛BCD的邊長(zhǎng)為4且，所以.因?yàn)榫匦蜝DFE的面積為8，所以BE=2.,,則三棱錐的體積.在△AEF中,,所以.記O到平面AEF的距離為d.由得：,解得：，所以C到平面AEF的距離為.21、（1）證明見(jiàn)解析（2）點(diǎn)F為線(xiàn)段AC的中點(diǎn)【解析】（1）由平面幾何知識(shí)證得CE⊥BE，再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，線(xiàn)面垂直的判定和性質(zhì)可得證；（2）取BE的中點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)在線(xiàn)段AC上存在點(diǎn)F，設(shè)=λ，運(yùn)用二面角的向量求解方法可求得，可得點(diǎn)F的位置.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)樵陂L(zhǎng)方形ABCD中，AD=2AB=2，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，所以BE=CE=2，又BC=2，所以，所以CE⊥BE，又平面ABE⊥平面BCDE，面面，所以CE⊥平面ABE，所以AB⊥CE.又AB⊥AE，，所以AB⊥平面AEC，即得AB⊥AC.【小問(wèn)2詳解】解：存在點(diǎn)F，F(xiàn)為線(xiàn)段AC的中點(diǎn).由（1）得△ABE和△BEC均為等腰直角三角形，取BE的中點(diǎn)O，則，又平面ABE⊥平面BCDE，面面，所以面，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，取平面ABE的一個(gè)法向量為.假設(shè)在線(xiàn)段AC上存在點(diǎn)F，使二面角A-BE-F的余弦值為.則A（0，0，1），B（1，0，0），C（-1，2，0），E（-1，0，0），=（1，0，1），=（-1，2，-1），設(shè)=λ，則+λ=（1-λ，2λ，1-λ），又=（2，0，0），設(shè)平面BEF的法向量為，可得，即得，可取y=1，得，所以，解得λ=，即當(dāng)點(diǎn)F為線(xiàn)段AC的中點(diǎn)時(shí)，二面角A-BE-F的余弦值為.22、（1）；（2）-1【解析】（1）由題設(shè)可得，求出參數(shù)b，即可寫(xiě)出橢圓C的方程；（2）延長(zhǎng)線(xiàn)段DB交橢圓C于點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性設(shè)B，為，，聯(lián)立橢圓方程，應(yīng)用韋達(dá)定理并結(jié)合已知條件可得，