2025屆湖南省名校聯(lián)考聯(lián)合體高三上學(xué)期入學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省名校聯(lián)考聯(lián)合體2025屆高三上學(xué)期入學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，1.已知向量，若，則等于（）A9 B.3 C.-1 D.-3〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所以，?故選：C.2.已知集合，若中有且僅有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，要使得中有且僅有一個(gè)元素，則或，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B.3.已知復(fù)數(shù)，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C.-2 D.2〖答案〗A〖解析〗由已知，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以得.故選：A.4.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，又，則可得.所以，故選：A.5.已知雙曲線，若雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意可知雙曲線的漸近線為，從而，即，所以，所以的離心率.故選:B.6.在中，角所對(duì)的邊分別為，若，則的大小為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，由正弦定理得，得，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，或，所以，或（舍），所以，所?故選：D.7.已知定義在上的函數(shù)滿足，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)椋?，?lián)立可解得，所以，所以.所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，故所求的切線方程為.故選：C.8.如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為，圓錐在正方體內(nèi)，且垂直圓錐的底面，當(dāng)該圓錐底面積最大時(shí)，圓錐體積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖所示，取的中點(diǎn)，記為，，根據(jù)正方體的性質(zhì)易知六邊形為正六邊形，此時(shí)的中點(diǎn)在正六邊形的中心，且平面，當(dāng)圓錐底面內(nèi)切于正六邊形時(shí)該圓錐的底面積最大，設(shè)此時(shí)圓錐底面圓半徑為，因?yàn)?，所以，所以，圓錐底面積為，圓錐頂點(diǎn)為處，圓錐體積.故選：C.二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知數(shù)據(jù)，滿足：，若去掉，后組成一組新數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)相比，下列說法正確的是（）A.中位數(shù)不變B.若，則數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為13C.平均數(shù)不變D.方差變小〖答案〗ACD〖解析〗原來的中位數(shù)與現(xiàn)在的中位數(shù)均為，故中位數(shù)不變，故A正確；當(dāng)時(shí)，數(shù)據(jù)按從小到大順序排列：.因?yàn)?，所以該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是第8個(gè)數(shù)15，故B錯(cuò)誤；由于，故，原來的平均數(shù)為，去掉后平均數(shù)為，平均數(shù)不變，故C正確；原來的方差為，去掉后的方差為，方差變小，故D正確.故選：ACD.10.已知定義在區(qū)間上的函數(shù)，其中，若函數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，設(shè)其極大值?極小值分別記為.則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B.實(shí)數(shù)的取值范圍為C.D.〖答案〗ABC〖解析〗因?yàn)?，其中，則，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以選項(xiàng)A正確；因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)樵谏嫌袃蓚€(gè)極值點(diǎn)，且，所以，解得，所以選項(xiàng)B正確；因?yàn)榇嬖?，使得，?dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以函數(shù)的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為，又因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則，所以.所以選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，若的面積等于4.則下列結(jié)論正確的是（）A.若點(diǎn)是橢圓的短軸頂點(diǎn)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為B.若是動(dòng)點(diǎn)，則的值恒為2C.若是動(dòng)點(diǎn)，則橢圓的離心率的取值范圍是D.若是動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，若點(diǎn)是橢圓的短軸頂點(diǎn)，則，又，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，設(shè)，由題意可知①，因?yàn)?，所以，即②，又③，由②③及得，又由①知，所?故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，由②③得，所以，從而，故.所以橢圓的離心率，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由橢圓定義可得，即的取值范圍為，即選項(xiàng)D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，則的值為__________.〖答案〗1〖解析〗由已知得，所以.13.已知奇函數(shù)在其定義域上是減函數(shù)，且，則的取值范圍為__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以等價(jià)于，又函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，需滿足，解得，即的取值范圍為.14.某超市為了保證顧客能購(gòu)買到新鮮的牛奶又不用過多存貨，統(tǒng)計(jì)了30天銷售水牛奶的情況，獲得如下數(shù)據(jù)：日銷售量/件10203040天數(shù)36156該超市存貨管理水平高低會(huì)直接影響超市的經(jīng)營(yíng)情況.該超市對(duì)鮮牛奶實(shí)行如下存貨管理制度：當(dāng)天營(yíng)業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若存貨少于30件，則通知配送中心立即補(bǔ)貨至40件，否則不補(bǔ)貨.假設(shè)某天開始營(yíng)業(yè)時(shí)貨架上有40件水牛奶，則第二天營(yíng)業(yè)結(jié)束后貨架上有20件存貨的概率為__________.（以樣本估計(jì)總體，將頻率視為概率）〖答案〗〖解析〗由題設(shè)第一天營(yíng)業(yè)結(jié)束后不補(bǔ)貨的情況為事件銷售10件}，補(bǔ)貨的情況為事件銷售20件，30件，40件，所以，令事件第二天營(yíng)業(yè)結(jié)束后貨架上有20件存貨，則，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.近年來，我國(guó)新能源汽車進(jìn)入快車道，自2015年以來，產(chǎn)銷量已經(jīng)連續(xù)八年增長(zhǎng)，位居全球前列.近期國(guó)院出臺(tái)了新能源汽車系列政策，促進(jìn)了新能源汽車產(chǎn)業(yè)的發(fā)展.某市一家知名品牌的新能源汽車企業(yè)近5個(gè)月的產(chǎn)值數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表：月份6月7月8月9月10月月份代12345產(chǎn)值（百億元）1620273037（1）求出關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測(cè)明年3月份該企業(yè)的產(chǎn)值；（2）該企業(yè)依據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，為滿足消費(fèi)者的購(gòu)買需求，設(shè)計(jì)并生產(chǎn)了三種類型新能源汽車，這三種類型的銷量比依次為，銷售價(jià)格依次為15萬，25萬，40萬.若該新能源汽車的某4S店每天銷售2臺(tái)，設(shè)銷售額為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式：；參考數(shù)據(jù)：.解：（1）所以，所以關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，當(dāng)時(shí)，，故明年3月份該企業(yè)的產(chǎn)值約為62.4百億元.（2）由題設(shè)隨機(jī)變量的可能取值為，，，.隨機(jī)變量的分布列如下表：3040505565800.090.300.250.120.200.04（萬元）.16.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，過的直線交拋物線于兩點(diǎn)，且，點(diǎn)為線段的垂直平分線與軸的交點(diǎn)，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍.解：（1）因?yàn)樵趻佄锞€上，所以，得；因?yàn)?，所以，即，解得，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）易知拋物線的準(zhǔn)線為，則可得；設(shè)，由可得，如下圖所示：設(shè)直線，代入到中得，所以，即可得，聯(lián)立兩式并整理可得，又由可得遞增，即有，即，又中點(diǎn)坐標(biāo)為，可得直線的垂直平分線的方程為，令，可得，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為.17.如圖，在直三棱柱中，是側(cè)棱的中點(diǎn)，.（1）證明：平面平面；（2）求銳二面角的余弦值.（1）證明：設(shè)，因?yàn)?，由余弦定理可得，即；可得四邊形為正方形，所以，且，又是?cè)棱的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，又，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，由平面，且，可得平面，又因?yàn)槠矫?，可得平面平?（2）解：由直棱柱的性質(zhì)與已知，得，以為原點(diǎn)，以垂直于平面的直線，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，可得，且是中點(diǎn)，則.可得，設(shè)平面的法向量為，則令，則，可得，由（1）可知平面的一個(gè)法向量為，可得，所以銳二面角的余弦值為.18.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù).證明：（i）函數(shù)有唯一極值點(diǎn)；（ii）若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則.（1）解：由函數(shù)可得：，且，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)減區(qū)間是，增區(qū)間是.（2）證明：（i）因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減，所以，所以，即，所以，又，所以存在唯一，使得，即，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以函數(shù)有唯一極值點(diǎn).（ii）由（i）得，因?yàn)楹瘮?shù)有唯一零點(diǎn)，所以，所以，即，所以，設(shè)，所以，所以在單調(diào)遞減，因?yàn)椋?19.給定整數(shù)，數(shù)列，且，為整數(shù).在中去掉一項(xiàng)，并將剩下的數(shù)分成項(xiàng)數(shù)相同的兩組，其中一組數(shù)的和與另外一組數(shù)的和之差的最大值記為.將中的最小值稱為數(shù)列的特征值.（1）已知數(shù)列，寫出的值及的特征值；（2）若，當(dāng)，其中，且時(shí)，證明：；（3）已知數(shù)列的特征值為，求的最小值.（1）解：由題知：，的特征值為1.（2）證明：由于，①當(dāng)時(shí)，根據(jù)定義可知，同理可得：.所以，所以；②當(dāng)時(shí)，同理可得：，，所以，所以.綜上有：.（3）解：不妨設(shè)，顯然，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；由（2）可知的較小值為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)數(shù)列為常數(shù)列，其特征值為0，不符合題意，則必有.當(dāng)時(shí)，因?yàn)?所以.因此.當(dāng)時(shí)，可取到最小值，符合題意.所以.最小值為.湖南省名校聯(lián)考聯(lián)合體2025屆高三上學(xué)期入學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，1.已知向量，若，則等于（）A9 B.3 C.-1 D.-3〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所以，?故選：C.2.已知集合，若中有且僅有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，要使得中有且僅有一個(gè)元素，則或，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B.3.已知復(fù)數(shù)，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C.-2 D.2〖答案〗A〖解析〗由已知，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以得.故選：A.4.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，又，則可得.所以，故選：A.5.已知雙曲線，若雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意可知雙曲線的漸近線為，從而，即，所以，所以的離心率.故選:B.6.在中，角所對(duì)的邊分別為，若，則的大小為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，由正弦定理得，得，所以，即，因?yàn)椋?，所以，或，所以，或（舍），所以，所?故選：D.7.已知定義在上的函數(shù)滿足，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所以，?lián)立可解得，所以，所以.所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，故所求的切線方程為.故選：C.8.如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為，圓錐在正方體內(nèi)，且垂直圓錐的底面，當(dāng)該圓錐底面積最大時(shí)，圓錐體積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖所示，取的中點(diǎn)，記為，，根據(jù)正方體的性質(zhì)易知六邊形為正六邊形，此時(shí)的中點(diǎn)在正六邊形的中心，且平面，當(dāng)圓錐底面內(nèi)切于正六邊形時(shí)該圓錐的底面積最大，設(shè)此時(shí)圓錐底面圓半徑為，因?yàn)?，所以，所以，圓錐底面積為，圓錐頂點(diǎn)為處，圓錐體積.故選：C.二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知數(shù)據(jù)，滿足：，若去掉，后組成一組新數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)相比，下列說法正確的是（）A.中位數(shù)不變B.若，則數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為13C.平均數(shù)不變D.方差變小〖答案〗ACD〖解析〗原來的中位數(shù)與現(xiàn)在的中位數(shù)均為，故中位數(shù)不變，故A正確；當(dāng)時(shí)，數(shù)據(jù)按從小到大順序排列：.因?yàn)?，所以該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是第8個(gè)數(shù)15，故B錯(cuò)誤；由于，故，原來的平均數(shù)為，去掉后平均數(shù)為，平均數(shù)不變，故C正確；原來的方差為，去掉后的方差為，方差變小，故D正確.故選：ACD.10.已知定義在區(qū)間上的函數(shù)，其中，若函數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，設(shè)其極大值?極小值分別記為.則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B.實(shí)數(shù)的取值范圍為C.D.〖答案〗ABC〖解析〗因?yàn)?，其中，則，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以選項(xiàng)A正確；因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)樵谏嫌袃蓚€(gè)極值點(diǎn)，且，所以，解得，所以選項(xiàng)B正確；因?yàn)榇嬖?，使得，?dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以函數(shù)的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為，又因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則，所以.所以選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，若的面積等于4.則下列結(jié)論正確的是（）A.若點(diǎn)是橢圓的短軸頂點(diǎn)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為B.若是動(dòng)點(diǎn)，則的值恒為2C.若是動(dòng)點(diǎn)，則橢圓的離心率的取值范圍是D.若是動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，若點(diǎn)是橢圓的短軸頂點(diǎn)，則，又，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，設(shè)，由題意可知①，因?yàn)?，所以，即②，又③，由②③及得，又由①知，所?故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，由②③得，所以，從而，故.所以橢圓的離心率，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由橢圓定義可得，即的取值范圍為，即選項(xiàng)D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，則的值為__________.〖答案〗1〖解析〗由已知得，所以.13.已知奇函數(shù)在其定義域上是減函數(shù)，且，則的取值范圍為__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以等價(jià)于，又函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，需滿足，解得，即的取值范圍為.14.某超市為了保證顧客能購(gòu)買到新鮮的牛奶又不用過多存貨，統(tǒng)計(jì)了30天銷售水牛奶的情況，獲得如下數(shù)據(jù)：日銷售量/件10203040天數(shù)36156該超市存貨管理水平高低會(huì)直接影響超市的經(jīng)營(yíng)情況.該超市對(duì)鮮牛奶實(shí)行如下存貨管理制度：當(dāng)天營(yíng)業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若存貨少于30件，則通知配送中心立即補(bǔ)貨至40件，否則不補(bǔ)貨.假設(shè)某天開始營(yíng)業(yè)時(shí)貨架上有40件水牛奶，則第二天營(yíng)業(yè)結(jié)束后貨架上有20件存貨的概率為__________.（以樣本估計(jì)總體，將頻率視為概率）〖答案〗〖解析〗由題設(shè)第一天營(yíng)業(yè)結(jié)束后不補(bǔ)貨的情況為事件銷售10件}，補(bǔ)貨的情況為事件銷售20件，30件，40件，所以，令事件第二天營(yíng)業(yè)結(jié)束后貨架上有20件存貨，則，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.近年來，我國(guó)新能源汽車進(jìn)入快車道，自2015年以來，產(chǎn)銷量已經(jīng)連續(xù)八年增長(zhǎng)，位居全球前列.近期國(guó)院出臺(tái)了新能源汽車系列政策，促進(jìn)了新能源汽車產(chǎn)業(yè)的發(fā)展.某市一家知名品牌的新能源汽車企業(yè)近5個(gè)月的產(chǎn)值數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表：月份6月7月8月9月10月月份代12345產(chǎn)值（百億元）1620273037（1）求出關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測(cè)明年3月份該企業(yè)的產(chǎn)值；（2）該企業(yè)依據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，為滿足消費(fèi)者的購(gòu)買需求，設(shè)計(jì)并生產(chǎn)了三種類型新能源汽車，這三種類型的銷量比依次為，銷售價(jià)格依次為15萬，25萬，40萬.若該新能源汽車的某4S店每天銷售2臺(tái)，設(shè)銷售額為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式：；參考數(shù)據(jù)：.解：（1）所以，所以關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，當(dāng)時(shí)，，故明年3月份該企業(yè)的產(chǎn)值約為62.4百億元.（2）由題設(shè)隨機(jī)變量的可能取值為，，，.隨機(jī)變量的分布列如下表：3040505565800.090.300.250.120.200.04（萬元）.16.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，過的直線交拋物線于兩點(diǎn)，且，點(diǎn)為線段的垂直平分線與軸的交點(diǎn)，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍.解：（1）因?yàn)樵趻佄锞€上，所以，得；因?yàn)椋?，即，解得，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）易知拋物線的準(zhǔn)線為，則可得；設(shè)，由可得，如下圖所示：設(shè)直線，代入到中得，所以，即可得，聯(lián)立兩式并整理可得，又由可得遞增，即有，即，又中點(diǎn)坐標(biāo)為，可得直線的垂直平分線的方程為，令，可得，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為.17.如圖，在直三棱柱中，是側(cè)棱的中點(diǎn)，.（1）證明：平面平面；（2）求銳二面角的余弦值.（1）證明：設(shè)，因?yàn)椋捎嘞叶ɡ砜傻?，即；可得四邊形為?/p>