考點學練測：4.2 力的分解（解析版）

學而優(yōu)教有方.2力的分解考點精講考點1：分力力的分解1.力的分解原則（1）一個力分解為兩個力，從理論上講有無數組解．因為同一條對角線可以構成的平行四邊形有無窮多個(如圖所示)．（2）把一個力分解成兩個分力，僅是一種等效替代關系，不能認為在這兩個分力方向有兩個施力物體(或受力物體)．（3）也不能錯誤地認為F2就是物體對斜面的壓力，因為F2不是斜面受到的力，且性質與壓力不同，僅在數值上等于物體對斜面的壓力．（4）實際分解時，按力的作用效果可分解為兩個確定的分力．2．按實際效果分解的幾個實例實例分析（1）拉力F的效果：①使物體具有沿水平地面前進(或有前進的趨勢)的分力F1②豎直向上提物體的分力F2（2）分力大?。篎1＝Fcosα，F2＝Fsinα（1）重力的兩個效果：①使物體具有沿斜面下滑(或有下滑的趨勢)的分力F1②使物體壓緊斜面的分力F2（2）2分力大?。篎1＝mgsinα，F2＝mgcosα（1）重力的兩個效果：①使球壓緊板的分力F1②使球壓緊斜面的分力F2（2）分力大?。篎1＝mgtanα，F2＝eq\f(mg,cosα)（1）重力的兩個效果：①使球壓緊豎直墻壁的分力F1②使球拉緊懸線的分力F2（2）分力大?。篎1＝mgtanα，F2＝eq\f(mg,cosα)（1）重力的兩個效果：①對OA的拉力F1②對OB的拉力F2（2）分力大?。篎1＝mgtanα，F2＝eq\f(mg,cosα)（1）重力的兩個效果：①拉伸AB的分力F1②壓縮BC的分力F2（2）分力大?。篎1＝mgtanα，F2＝eq\f(mg,cosα)【例1】將一個有確定方向的力F＝10N分解成兩個分力，已知一個分力F1有確定的方向，與F成30°夾角，另一個分力F2的大小為6N，則在分解時()A．有無數組解 B．有兩組解C．有唯一解 D．無解【解析】B由已知條件可得Fsin30°＝5N，又5N＜F2＜10N，即Fsin30°＜F2＜F，所以F1、F2和F可構成如圖所示的兩個三角形，故此時有兩組解，選項B正確．【例2】如圖所示，光滑斜面的傾角為θ，有兩個相同的小球分別用光滑擋板A、B擋住，擋板A沿豎直方向，擋板B垂直于斜面，則兩擋板受到小球的壓力大小之比為多大？斜面受到兩小球的壓力大小之比為多大？【解析】對小球1所受的重力來說，其效果有二：第一，使小球沿水平方向擠壓擋板；第二，使小球垂直壓緊斜面．因此，力的分解如圖甲所示，由此可得兩個分力的大小分別為F1＝Gtanθ，F2＝eq\f(G,cosθ).對小球2所受的重力G來說，其效果有二：第一，使小球垂直擠壓擋板；第二，使小球垂直壓緊斜面．因此，力的分解如圖乙所示，由此可得兩個分力的大小分別為F3＝Gsinθ，F4＝Gcosθ.由力的相互性可知，擋板A、B受到小球的壓力之比為F1∶F3＝1∶cosθ，斜面受到兩小球的壓力之比為F2∶F4＝1∶cos2θ.甲乙【技巧與方法】力的分解的原理與步驟原理：若兩個力共同作用的效果與某一個力作用時的效果完全相同，則可用這兩個力“替代”這一個力．步驟①根據已知力的實際效果確定兩個分力的方向．②根據兩個分力的方向作出力的平行四邊形，確定表示分力的有向線段．③利用數學知識解平行四邊形或三角形，計算分力的大小和方向．【針對訓練】1.(多選)一根長為L的易斷的均勻細繩，兩端固定在天花板上的A、B兩點．若在細繩的C處懸掛一重物，已知AC＞CB，如圖所示，則下列說法中正確的是()A．增加重物的重力，BC段先斷B．增加重物的重力，AC段先斷C．將A端往左移比往右移時繩子容易斷D．將A端往右移比往左移時繩子容易斷【解析】AC研究C點，C點受重物的拉力，其大小等于重物的重力，即T＝G.將重物對C點的拉力分解為對AC和BC兩段繩的拉力，其力的平行四邊形如圖所示．因為AC＞CB，得FBC＞FAC.當增加重物的重力G時，按比例FBC增大得較多，所以BC段繩先斷，因此A項正確，B項錯誤．將A端往左移時，FBC與FAC兩力夾角變大，合力T一定，則兩分力FBC與FAC都增大．將A端向右移時兩分力夾角變小，兩分力也變小，由此可知C項正確，D項錯誤．故選A、C.2．甲、乙兩人用繩子拉船，使船沿OO′方向航行，甲用1000N的力拉繩子，方向如圖所示，要使船沿OO′方向航行，乙的拉力最小值為()A．500eq\r(3)N B．500NC．1000N D．400N【解析】B要使船沿OO′方向航行，甲和乙的拉力的合力方向必須沿OO′方向．如圖所示，作平行四邊形可知，當乙拉船的力的方向垂直于OO′時，乙的拉力F乙最小，其最小值為F乙min＝F甲sin30°＝1000×eq\f(1,2)N＝500N，故B正確．考點2：力的正交分解1．正交分解的適用情況：適用于計算三個或三個以上共點力的合成．2．正交分解的目的：將力的合成化簡為同向、反向或垂直方向的分力，便于運用普通代數運算公式解決矢量的運算，“分”的目的是為了更好地“合”．3．力的正交分解的依據：分力與合力的等效性．4．正交分解的基本步驟（1）建立坐標系：以共點力的作用點為坐標原點，直角坐標系x軸和y軸的選擇應使盡量多的力落在坐標軸上．（2）正交分解各力：將每一個不在坐標軸上的力分解到x軸和y軸上，并求出各分力的大小，如圖所示．（3）分別求出x軸、y軸上各分力的合力，即：Fx＝F1x＋F2x＋…Fy＝F1y＋F2y＋…（4）求共點力的合力：合力大小F＝eq\r(F\o\al(2,x)＋F\o\al(2,y))，合力的方向與x軸的夾角為α，則tanα＝eq\f(Fy,Fx)，即α＝arctaneq\f(Fy,Fx).【例3】在同一平面內共點的四個力F1、F2、F3、F4的大小依次為19N、40N、30N和15N，方向如圖所示，求它們的合力．(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)【例3】在同一平面內共點的四個力F1、F2、F3、F4的大小依次為19N、40N、30N和15N，方向如圖所示，求它們的合力．(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)【分析】當物體受多個力作用時，一般采用正交分解法求解，可按以下思路：eq\x(建立坐標系)→eq\x(分解各力)→eq\x(求Fx、Fy)→eq\x(求F合)【解析】如圖甲，建立直角坐標系，把各個力分解到這兩個坐標軸上，并求出x軸和y軸上的合力Fx和Fy，有甲Fx＝F1＋F2cos37°－F3cos37°＝27N，Fy＝F2sin37°＋F3sin37°－F4＝27N.因此，如圖乙所示，合力：乙F＝eq\r(F\o\al(2,x)＋F\o\al(2,y))≈38.2N，tanφ＝eq\f(Fy,Fx)＝1.即合力的大小約為38.2N，方向與F1夾角為45°斜向右上．【答案】38.2N，方向與F1夾角為45°斜向右上【技巧與方法】正交分解時坐標系的選取原則與方法（1）原則：用正交分解法建立坐標系時，通常以共點力作用線的交點為原點，并盡量使較多的力落在坐標軸上，以少分解力為原則．（2）方法：應用正交分解法時，常按以下方法建立坐標軸．①研究水平面上的物體時，通常沿水平方向和豎直方向建立坐標軸．②研究斜面上的物體時，通常沿斜面方向和垂直斜面方向建立坐標軸．③研究物體在桿或繩的作用下轉動時，通常沿桿(或繩)方向和垂直桿(或繩)的方向建立坐標軸．【針對訓練】3．如圖所示，一物塊置于水平地面上，當用與水平方向成60°角的力F1拉物塊時，物塊做勻速直線運動；當改用與水平方向成30°角的力F2推物塊時，物塊仍做勻速直線運動．若F1和F2的大小相等，則物塊與地面之間的動摩擦因數為()A.eq\r(3)－1 B．2－eq\r(3)C.eq\f(\r(3),2)－eq\f(1,2) D．1－eq\f(\r(3),2)【解析】B將兩種情況下的力沿水平方向和豎直方向正交分解，因為兩種情況下物塊均做勻速直線運動，故有F1cos60°＝μ(mg－F1sin60°)，F2cos30°＝μ(mg＋F2sin30°)，再由F1＝F2，解得μ＝2－eq\r(3)，故B正確．4．大小均為F的三個力共同作用在O點，如圖所示，F1、F3與F2之間的夾角均為60°，求它們的合力．【解析】以O點為原點、F1的方向為x軸正方向建立直角坐標系．分別把各個力分解到兩個坐標軸上，如圖所示．F1x＝F1，F1y＝0，F2x＝F2cos60°，F2y＝F2sin60°，F3x＝－F3cos60°，F3y＝F3sin60°，x軸和y軸上的合力分別為Fx＝F1x＋F2x＋F3x＝F1＋F2cos60°－F3cos60°＝F，Fy＝F1y＋F2y＋F3y＝0＋F2sin60°＋F3sin60°＝eq\r(3)F，求出Fx和Fy的合力即是所求的三個力的合力，如圖所示．F合＝eq\r(F\o\al(2,x)＋F\o\al(2,y))，代入數據得F合＝2F，tanθ＝eq\f(Fy,Fx)＝eq\r(3)，所以θ＝60°，即合力F合與F2的方向相同．【答案】2F，與F2的方向相同考點達標一、選擇題1．關于共點力，下列說法中不正確的是()A．作用在一個物體上的兩個力，如果大小相等，方向相反，這兩個力是共點力B．作用在一個物體上的兩個力，如果是一對平衡力，則這兩個力是共點力C．作用在一個物體上的幾個力，如果它們的作用點在同一點上，則這幾個力是共點力D．作用在一個物體上的幾個力，如果它們的作用線交于同一點，則這幾個力是共點力【解析】A共點力是幾個力作用于同一點或力的作用線相交于同一點的力．若受兩個力平衡的物體，則物體所受的必定是共點力，所以A錯，B、C、D對．2．如圖所示，F1、F2為兩個相互垂直的共點力，F是它們的合力，已知F1的大小為6N，F的大小等于10N，若改變F1、F2的夾角，則它們的合力大小還可能是()A．0 B．8NC．16N D．18N【解析】BF1、F2為兩個相互垂直的共點力，合力F的大小等于10N，所以根據勾股定理可得，F2＝eq\r(F2－F\o\al(2,1))＝eq\r(102－62)N＝8N，兩力合成時，合力范圍為：|F1－F2|≤F≤F1＋F2，故2N≤F≤14N，所以還可能是B選項．3．下列圖中，F1、F2、F3恰好構成封閉的直角三角形，這三個力的合力最大的是()ABCD【解析】C由矢量合成法則可知A圖的合力為2F3，B圖的合力為0，C圖的合力為2F2，D圖的合力為2F3，因F2為直角三角形的斜邊，故這三個力的合力最大的為C圖．4．有三個力，大小分別為13N、3N、29N．那么這三個力的合力最大值和最小值應該是()A．29N,3N B．45N,0NC．45N,13N D．29N,13N【解析】C當三個力同方向時，合力最大，為45N；任取其中兩個力，如取13N、3N兩個力，其合力范圍為10N≤F≤16N，29N不在該范圍之內，故合力不能為零，當13N、3N的兩個力同向，與29N的力反向時，合力最小，最小值為13N，則C正確，A、B、D錯誤．5.如圖所示的水平面上，橡皮繩一端固定，另一端連接兩根彈簧，F1、F2和F3三個力的合力為零．下列判斷正確的是()A．F1>F2>F3B．F3>F1>F2C．F2>F3>F1D．F3>F2>F1【解析】B三個力的合力為零，即F1、F2的合力F3′與F3等大反向，三力構成的平行四邊形如圖所示，由數學知識可知F3>F1>F2，B正確．6．如圖所示為兩個共點力的合力F的大小隨兩分力的夾角θ變化的圖像，則這兩個分力的大小分別為()A．1N和4N B．2N和3NC．1N和5N D．2N和4N【解析】B由題圖知，兩力方向相同時，合力為5N．即F1＋F2＝5N；方向相反時，合力為1N，即|F1－F2|＝1N．故F1＝3N，F2＝2N，或F1＝2N，F2＝3N，B正確．二、非選擇題7.如圖所示，有五個力作用于同一點O，表示這五個力的有向線段恰分別構成一個正六邊形的兩鄰邊和三條對角線．已知F1＝10N，則這五個力的合力大小為多少？【解析】方法一：巧用對角線特性．如圖甲所示，根據正六邊形的特點及平行四邊形定則知：F2與F5的合力恰好與F1重合；F3與F4的合力也恰好與F1重合；故五個力的合力大小為3F1＝30N.甲乙方法二：利用對稱法．如圖乙所示，由于對稱性，F2和F3的夾角為120°，它們的大小相等，合力在其夾角的平分線上，故力F2和F3的合力F23＝2F2cos60°＝2(F1cos60°)cos60°＝eq\f(F1,2)＝5N．同理，F4和F5的合力也在其角平分線上，由圖中幾何關系可知：F45＝2F4cos30°＝2(F1cos30°)cos30°＝eq\f(3,2)F1＝15N．故這五個力的合力F＝F1＋F23＋F45＝30N.鞏固提升一、選擇題1．某物體所受n個共點力的合力為零，若把其中一個力F1的方向沿順時針方向轉過90°，并保持其大小不變，其余力保持不變，則此時物體所受的合力大小為()A．F1 B.eq\r(2)F1C．2F1 D．0【解析】B物體所受n個力的合力為零，則其中n－1個力的合力一定與剩下來的那個力等大反向，故除F1以外的其他各力的合力的大小也為F1，且與F1反向，故當F1轉過90°時，合力應為eq\r(2)F1，B正確．2．一根細繩能承受的最大拉力是G，現把一重為G的物體系在繩的中點，分別握住繩的兩端，先并攏，然后緩慢地左右對稱地分開，若要求繩不斷，則兩繩間的夾角不能超過()A．45° B．60°C．120° D．135°【解析】C由于細繩是對稱分開的，因而兩繩的拉力相等，為保證繩不斷，兩繩拉力的合力大小等于G，隨著兩繩夾角的增大，兩繩中的拉力增大，當兩繩的夾角為120°時，繩中拉力剛好等于G.故C正確，A、B、D錯誤．3．如圖所示，物體M在斜向右下方的推力F作用下，在水平地面上恰好做勻速運動，則推力F和物體M受到的摩擦力的合力方向()A．豎直向下 B．豎直向上C．斜向下偏左 D．斜向下偏右【解析】A物體M受四個力作用(如圖所示)，支持力FN和重力G的合力一定在豎直方向上，由平衡條件知，摩擦力Ff和推力F的合力與支持力FN和重力G的合力必定等大反向，故Ff與F的合力方向豎直向下．4．手握輕桿，桿的另一端安裝有一個輕質小滑輪C，支撐著懸掛重物的繩子，如圖所示，現保持滑輪C的位置不變，使桿向下轉動一個角度，則桿對滑輪C的作用力將()A．變大 B．不變C．變小 D．無法確定【解析】B物體的重力不