專題09幾何綜合題-2019-2020學(xué)年北京各區(qū)及京城名校初二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷分類(lèi)匯編

專題幾何綜合題（道）學(xué)年北京各區(qū)及京城名校初二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷分類(lèi)匯編（年西城初二下期末·第題）在平行四邊形中，是對(duì)角線的中點(diǎn)．點(diǎn)在平行四邊形外，且過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為.連接，.（1）如圖，當(dāng)平行四邊形為矩形，且時(shí)，畫(huà)出線段與，并直接寫(xiě)出這兩條線段的數(shù)量關(guān)系；（2）在圖中，根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，寫(xiě)出線段與的數(shù)量關(guān)系并加以證明；（3）如圖，當(dāng)平行四邊形為正方形時(shí)，若直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）；【分析】（1）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出則可得出結(jié)論連接，延長(zhǎng)，，兩條延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，證明，得出,有直角三角形的性質(zhì)得出結(jié)論；（3）證明，得出，求出，證明，得出，，證明為等腰直角三角形，則可求出答案．【詳解】（1）如圖，，連接，，，，矩形中，，垂直平分，，同理，；（2）如圖，，連接，延長(zhǎng)，，兩條延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，平行四邊形，是對(duì)角線的中點(diǎn)，∴∵，，，，，，在和中，，，，在中，，為斜邊的中線，，．（3）．解：四邊形為正方形，，，，，，，，又，，，為對(duì)角線的中點(diǎn)，，，，又，，，，，，為等腰直角三角形，，，，，．（年朝陽(yáng)初二下期末·第題）已知菱形，，直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，交直線于點(diǎn)，連接．（1）如圖，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)恰好在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)與點(diǎn)重合，則________，線段與之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_______，；（2）當(dāng)直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且在菱形外部，時(shí)，如圖，①依題意補(bǔ)全圖；②（1）中的結(jié)論是否發(fā)生改變？若不改變，請(qǐng)證明；若改變，說(shuō)明理由．【答案】（1），；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）證明是等邊三角形即可解決問(wèn)題．（2）①根據(jù)要求畫(huà)出圖形即可．②結(jié)論不變．證明是等邊三角形即可．【詳解】（1）如圖中，四邊形是菱形，垂直平分線段，，，關(guān)于對(duì)稱，垂直平分線段，，，是等邊三角形，，故答案為：，．（2）①圖形如圖所示：②不改變．理由：連接延長(zhǎng)交于點(diǎn)．四邊形是菱形，，，，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，，，，，，，，，，，是等邊三角形，．（年通州初二下期末·第題）把一個(gè)含角的直角三角板和一個(gè)正方形擺放在一起，使三角板的直角頂點(diǎn)和正方形的頂點(diǎn)重合，聯(lián)結(jié)，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，．（1）如圖，點(diǎn)，分別在正方形的邊，上，請(qǐng)判斷，的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，直接寫(xiě)出結(jié)論；（2）如圖，點(diǎn)，分別在正方形的邊，的延長(zhǎng)線上，其他條件不變，那么你在（1）中得到的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)加以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1），；（2）成立，理由詳見(jiàn)解析【詳解】（1）解：連接，四邊形是正方形，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，．是等腰直角三角形，，在與中，，，．點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，是的中位線，，；是的中位線，，．，，是的外角，．，，，．，．（2）成立．理由：連接．四邊形是正方形，，．在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，．點(diǎn)是的中點(diǎn)，是的中位線，，．是等腰直角三角形，，．點(diǎn)、分別在正方形、的延長(zhǎng)線上，，即．在與中，，，，，．，，，，，．（年豐臺(tái)初二下期末·第題）數(shù)學(xué)課上，李老師提出問(wèn)題：如圖，在正方形中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，且交正方形外角的平分線于點(diǎn)．求證：．經(jīng)過(guò)思考，小聰展示了一種正確的解題思路．取的中點(diǎn)，連接，則為等腰直角三角形，這時(shí)只需證與全等即可．在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們進(jìn)行了進(jìn)一步的探究：（1）小穎提出：如圖，如果把“點(diǎn)是邊的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)是邊上（不含點(diǎn)，）的任意一點(diǎn)”，其他條件不變，那么結(jié)論“”仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫(xiě)出證明過(guò)程，如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）小華提出：如圖，如果點(diǎn)是邊延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)，其他條件不變，那么結(jié)論“”是否成立？（填“是”或“否”）；（3）小麗提出：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與點(diǎn)重合，正方形的邊長(zhǎng)為，當(dāng)為邊上（不含點(diǎn)，）的某一點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)恰好落在直線上，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）小穎的觀點(diǎn)正確，證明見(jiàn)解析；（2）是；（3）【分析】（1）在上截取，連接，由“”可證，可得；

（2）在的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，使，連接，由“”可證，可得；

（3）在上截取，連接，過(guò)點(diǎn)作軸于，設(shè)點(diǎn)，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得根據(jù)全等三角形的性質(zhì)等腰直角三角形的性質(zhì)可求點(diǎn)坐標(biāo)，代入解析式可求的值，即可求解【詳解】（1）小穎的觀點(diǎn)正確

如圖，在上截取，連接，

四邊形是正方形，

，，

平分，

，

，

，，

，，

，

，

，

，

，

，

；

（2）如圖，在的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，使，連接．

，，

，

，

四邊形是正方形，

，

，

，

在和中，，，故答案是：是；（3）如圖，在上截取，連接，過(guò)點(diǎn)作軸于，設(shè)點(diǎn)，，，由（1）可得，，平分，，，，，，點(diǎn)，點(diǎn)恰好落在直線上，，，．（年門(mén)頭溝初二下期末·第題）如圖，在正方形中，是邊上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．（1）按已知補(bǔ)全圖形；（2）用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系并證明．（提示：可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)的特征構(gòu)造全等三角形，從而可以得到線段間的數(shù)量關(guān)系，再去發(fā)現(xiàn)生成的特殊的三角形，問(wèn)題得以解決）【答案】（1）見(jiàn)解析；（2），理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)要求畫(huà)出圖形即可．

（2）結(jié)論：．過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于．證明，推出，，，推出，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．【詳解】解：（1）圖形如圖所示．（2）結(jié)論：．理由：過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于．四邊形是正方形，，，，，，，，，，，，，，．（年密云初二下期末·第題）正方形中，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(其中)，得到線段，連接．過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，．（1）在圖中補(bǔ)全圖形；（2）求的度數(shù)；（3）用等式表示線段，，的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）補(bǔ)圖見(jiàn)詳解；（2）；（3），證明見(jiàn)詳解．【分析】（1）將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度，在任意轉(zhuǎn)動(dòng)即可，連接并延長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，即可補(bǔ)全圖形．（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)，可得和都為等腰三角形，，則，分別用表示和，相加即可得到答案．（3）在上取，然后證明，可以得到，證明，所以為等腰直角三角形，，根據(jù)圖可得．【詳解】解：（1）根據(jù)題意，可以畫(huà)出圖形，如圖所示：（2）旋轉(zhuǎn)到和都為等腰三角形，，（3）在上取，在和中,為等腰直角三角形（年延慶初二下期末·第題）如圖，四邊形是正方形，點(diǎn)是邊的任意一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)做，垂足為，交于點(diǎn)，將線段繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．（1）補(bǔ)全圖形；（2）寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2），理由詳見(jiàn)解析【分析】（1）利用幾何語(yǔ)言畫(huà)出對(duì)應(yīng)的幾何圖形；（2）先證明得到，，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，接著判斷四邊形是平行四邊形，所以，從而得到．【詳解】解：（1）如圖；（2）．理由如下：四邊形為正方形，，，，，，，在和中，，，P繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，,，，四邊形是平行四邊形，．（年中學(xué)初二下期末·第題）如圖，在正方形中，，是邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于所在的直線對(duì)稱，連接，，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，．（1）當(dāng)時(shí)，依題意補(bǔ)全圖；（2）在（1）的條件下，求線段的長(zhǎng)；（3）當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能使為等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)與的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）；(3)或．【分析】（1）根據(jù)題意作出圖形便可，（2）連接，先證明，再證明，求得，便可得；（3）設(shè)，求出、、，當(dāng)為等腰三角形，分兩種情況：或，列出方程求出的值，進(jìn)而求得最后結(jié)果．【詳解】（1）根據(jù)題意作圖如下：（2）連接，如圖，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于所在直線對(duì)稱，，，四邊形是正方形，，，在和中，，，，，，在和中，，四邊形是正方形，，，，在中，，；（3）設(shè)，則，在中，，在中，，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，只能有兩種情況：，或，①當(dāng)時(shí)，有，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的解，，；②當(dāng)時(shí)，，解得，，經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的解，，，，綜上，與的數(shù)量關(guān)系為或．故答案為：或．（年北大附中初二下期末·第題）在菱形中，,點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)，以為邊向右側(cè)作等邊，點(diǎn)的位置隨點(diǎn)的位置變化而變化.（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)在菱形內(nèi)部或邊上時(shí)，連接，與的數(shù)量關(guān)系是，與的位置關(guān)系是；（2）當(dāng)點(diǎn)在菱形外部時(shí)，(1)中的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)予以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由(選擇圖，圖中的一種情況予以證明或說(shuō)理).(3)如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接，若,,求四邊形的面積.【答案】（1）；；（2）成立，理由見(jiàn)解析；（3）.【分析】（1）①連接，證明，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可證得；②根據(jù)菱形對(duì)角線平分對(duì)角可得，再根據(jù)，可得，繼而可推導(dǎo)得出，即可證得；（2）(1)中的結(jié)論：，仍然成立，利用（1）的方法進(jìn)行證明即可；（3）連接交于點(diǎn)，，作于，由已知先求得，再利用勾股定理求出的長(zhǎng)，長(zhǎng)，由是等邊三角形，求得，的長(zhǎng)，再根據(jù)，進(jìn)行計(jì)算即可得.【詳解】（1）①，理由如下：連接，菱形，，是等邊三角形，，，是等邊三角形，，，，，；②，菱形對(duì)角線平分對(duì)角，，，，，，，，，即；（2）(1)中的結(jié)論：，仍然成立，理由如下：連接，菱形，，和都是等邊三角形，，，，是等邊三角形，，，，，，，，，，，，，(1)中的結(jié)論：，仍然成立；(3)連接交于點(diǎn)，，作于，四邊形是菱形，，平分，，，，，，，由(2)知，，，，，，由(2)知，，，，是等邊三角形，，，，，，四邊形的面積是.（年北京二中初二下期末·第題）在正方形中，是邊上一點(diǎn)，點(diǎn)在射線上，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，．（1）①依題意補(bǔ)全圖；②猜想線段與的關(guān)系是：；（2）連接，若點(diǎn)，，恰好在同一條直線上，求證：．【答案】（1）①補(bǔ)全圖形如圖，見(jiàn)解析；②，；（2）見(jiàn)解析．【分析】（1）①根據(jù)要求畫(huà)出圖形即可；②證，可得；

（2）連接，如圖，只要證明，，在中，運(yùn)用勾股定理即可解決問(wèn)題；【詳解】（1）①補(bǔ)全圖形如圖：②如圖，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，四邊形是正方形，，，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，，，，，，，，，，，，（2）證明：連接，如圖，線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，，，四邊形是正方形，，，．，∴DQ＝BP，∠Q＝∠3，在中，，，在中，，又，，．（年北師大附中初二下期末·第題）如圖，正方形中，點(diǎn)在邊上，在正方形外部做一個(gè)等腰直角三角形，且滿足．連接，，取的中點(diǎn)，連接，，交于點(diǎn)．（1）①依題意補(bǔ)全圖形；②求證：是中點(diǎn)．（2）請(qǐng)?zhí)骄烤€段，，所滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（3）設(shè)，若點(diǎn)沿著線段從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，則在該運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段所掃過(guò)的面積為（直接寫(xiě)出答案）．【答案】（1）①補(bǔ)全圖形見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析；證明見(jiàn)解析；（2）；（3）【分析】（1）①依照題意補(bǔ)全圖形即可；②連接，證得，推出點(diǎn)、在的垂直平分線上，從而證得結(jié)論；

（2）證得是的中位線，推出，即可得到；

（3）找出所掃過(guò)的圖形為四邊形．根據(jù)正方形以及等腰直角三角形的性質(zhì)可得出，由此得出四邊形DFCN為梯形，再由，可算出線段、、的長(zhǎng)度，利用梯形的面積公式即可得出結(jié)論．【詳解】（1）①依題意補(bǔ)全圖形，如圖所示．

②證明：連接，如圖所示．

四邊形是正方形，，，

，

，，

，

，

在中，點(diǎn)是中點(diǎn)，

．

，，點(diǎn)、在的垂直平分線上，

是中點(diǎn)；（2）由②得是線段的垂直平分線，，，是中點(diǎn)，，，且是中點(diǎn)，是的中位線，，，，即；（3）在點(diǎn)沿著線段從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的過(guò)程中，線段所掃過(guò)的圖形為四邊形．

，，

，

四邊形為梯形．

，

，，．（年交大附中初二下期末·第題），點(diǎn)在射線上，點(diǎn)A，B在射線上（點(diǎn)與點(diǎn)在點(diǎn)的兩側(cè)），且，以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，將線段逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段（點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)，點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)）．（1）如圖，若，，依題意補(bǔ)全圖形（2），當(dāng)線段在射線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段與射線有公共點(diǎn)，求的取值范圍．（要寫(xiě)過(guò)程）【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）由已知可得，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，即可根據(jù)旋轉(zhuǎn)畫(huà)出圖形．（2）作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，當(dāng)線段在射線上從左向右平移時(shí)，線段在射線上從下向上平移，且，即可求出的取值范圍．【詳解】解：（1）∵OA＝1，，，，，．由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，，正好落在上．補(bǔ)全圖形，如圖所示．（2）如圖，作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)．，，．由題意可知，當(dāng)線段在射線上從左向右平移時(shí)，線段在射線上從下向上平移，且．如圖，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最小值為．如圖，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最大值為．綜上所述，的取值范圍是．（年北京市海淀區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校初二下期末·第題）已知，點(diǎn)在正方形的邊上（不與點(diǎn)，重合），是對(duì)角線，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，連接，．（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，并證明；（2）①用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明；②用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系（直接寫(xiě)出即可）【答案】（1）見(jiàn)解析；（2），【分析】（1）證是等腰直角三角形即可得；（2）①先證得，由知，證得，，由知是等腰直角三角形，從而得；②連接，證四邊形是平行四邊形得，由，知，結(jié)合BM＝EM，°得，從而得出答案．【解答】解：（1）如圖所示，四邊形是正方形，是對(duì)角線，，，是等腰直角三角形，；（2）①如圖所示，連接、，是等腰直角三角形，，，，又，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，即；②，如圖，連接，，，又且，，，四邊形是平行四邊形，，，，，又，，，則．（年北京市海淀外國(guó)語(yǔ)實(shí)驗(yàn)學(xué)校初二下期末·第題）如圖，在中，，將沿翻折，使點(diǎn)翻折到點(diǎn)．是上一點(diǎn)，且，連結(jié)并延長(zhǎng)交于，連結(jié)．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）判斷與的大小關(guān)系并加以證明；（3）若，，取的中點(diǎn)，連結(jié)，求的最小值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）;（3）【分析】（1）將沿翻折，使點(diǎn)翻折到點(diǎn)．是上一點(diǎn)，且，連結(jié)并延長(zhǎng)交于，連結(jié)，據(jù)此畫(huà)圖即可；（2）根據(jù)，可得．再根據(jù)，可得，進(jìn)而得出；（3）連接，，根據(jù)可知，長(zhǎng)就是的最小值，根據(jù)為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，為AD的中點(diǎn)，運(yùn)用勾股定理即可得出，進(jìn)而得到的最小值．【解答】解：（1）如圖所示：（2）判斷：．證明：將沿翻折，使點(diǎn)翻折到點(diǎn)．．四邊形為菱形．，．又，．．，．．（3）如圖，連接，．由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，，，根據(jù)可知，長(zhǎng)就是的最小值．，四邊形為菱形，．為邊長(zhǎng)為的等邊三角形．又為的中點(diǎn)，，中，由勾股定理可得，的最小值為．（年清華附中初二下期末·第題）四邊形是正方形，是對(duì)角線，點(diǎn)是上一點(diǎn)（不與中點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)作的垂線，在垂線上取一點(diǎn)，使，并且點(diǎn)和點(diǎn)在直線的同側(cè)，連結(jié)并延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連結(jié)．（1）如圖所示①根據(jù)題意，補(bǔ)全圖形：②求的度數(shù)，判斷線段和的數(shù)量關(guān)系并給出證明．若點(diǎn)是正方形內(nèi)任意一點(diǎn)，如圖所示，判斷（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，給出證明；如果不成立，說(shuō)明理由． 【答案】（1）①見(jiàn)解析；②，;（2）見(jiàn)解析【分析】（1）①根據(jù)要求畫(huà)出圖形即可．②想辦法證明是等腰直角三角形即可．（2）如圖中，結(jié)論成立．連接，．證明，推出，，推出，推出是等腰直角三角形，可得結(jié)論．【解答】解：（1）①圖象如圖所示：②結(jié)論：，連接，，．四邊形是正方形，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，∴垂直平分線段，，，，．（2）如圖2，結(jié)論成立．理由：連接，．，，，，，，∠FDA＝∠ABE，，，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，．（年北京市第五十七中初二下期末·第題）如圖①，已知正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)，連接、、、，設(shè)．（1）的最小值是_______，此時(shí)的值是_______；（2）如圖②，若的延長(zhǎng)線交邊于點(diǎn)，并且．①求證：點(diǎn)是的中點(diǎn)；②求的值．（3）若點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)為等腰三角形時(shí)的值．【答案】（1）；；（2）①見(jiàn)詳解；②；（3）為等腰三角形時(shí)的值為：或或．【分析】（1）為點(diǎn)到兩段折線的和．由兩點(diǎn)間線段最短可知，連接，若點(diǎn)落在上，此時(shí)和最短，且為．考慮動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，這種情形是存在的，由，則，．又，所以，即．求解可得答案；（2）由已知條件對(duì)稱分析，，則，由,可得．那么若有，則結(jié)論可證．再分析新條件，易得①結(jié)論．②求的值，通常都是考慮勾股定理，選擇直角三角形，發(fā)現(xiàn)，，都可用來(lái)表示，進(jìn)而易得方程，求解即可．（3）若為等腰三角形，則邊比為改等腰三角形的一腰或者底邊．又點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則，以點(diǎn)為圓心，以的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，則點(diǎn)只能在弧上．若為腰，以點(diǎn)為圓心，以的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交點(diǎn)即為使得為等腰三角形（為腰）的點(diǎn)．若為底邊，則作的垂直平分線，其與弧的交點(diǎn)即為使得為等腰三角形（為底）的點(diǎn)．則如圖所示共有三個(gè)點(diǎn)，那么也共有個(gè)點(diǎn)．作輔助線，利用直角三角形性質(zhì)求之即可．【詳解】解：（1）連接，若點(diǎn)落在上，此時(shí)最短，如圖：由題意，正方形的邊長(zhǎng)為，，的最小值是；由折疊的性質(zhì)，，則，，，是等腰直角三角形，，，解得：；故答案為：；；（2）如圖2所示：①證明：在正方形中，有

，．

點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，

，，

，，，．

在中，

，

，

，

，

，即為的中點(diǎn)．

②解：，，

，，．

在中，

為的中點(diǎn)，

，

，

，

解得：．（3）如圖，以點(diǎn)為圓心，以的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，以點(diǎn)為圓心，以的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧分別交于，．此時(shí)，都為以為腰的等腰三角形．作的垂直平分線交弧于點(diǎn)，此時(shí)以為底的等腰三角形．；①討論，如圖作輔助線，連接、，作交于，過(guò)點(diǎn)，作于，交于．為等邊三角形，正方形邊長(zhǎng)為，

，．

在四邊形中，

，

，

為含的直角三角形，

．

，

．②討論，如圖作輔助線，連接，，過(guò)點(diǎn)作，交于，連接，過(guò)點(diǎn)P2作于，交于．垂直平分，

垂直平分，

．

，

為等邊三角形．

在四邊形中，

∵，，

，

，

，

，

，

．③對(duì)，如圖作輔助線，連接，，，，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于，連接，過(guò)點(diǎn)，作于，此時(shí)在上，不妨記與重合．為等邊三角形，為等邊三角形，，

，，

．

在四邊形中

，

，

．

，

．綜合上述，為等腰三角形時(shí)的值為：或或．（年理工附中初二下期末·第題）正方形中，點(diǎn)為對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，且．（1）如圖，為正方形外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，探究與之間的數(shù)量關(guān)系：，并說(shuō)明理由．（2）直接寫(xiě)出圖中、、三者之間的關(guān)系：；（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)在正方形內(nèi)部時(shí)，其他條件不變，問(wèn)、、三者之間又存在怎樣的關(guān)系？并說(shuō)明理由．【答案】（1），理由見(jiàn)解析；（2）；（3），理由見(jiàn)解析．【分析】（1）先根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、垂直的定義可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)即可得證；（2）先根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可