2023-2024學年冀教版九年級數(shù)學上冊24.3 一元二次方程根與系數(shù)的關系 教案

2023--2024學年冀教版九年級數(shù)學上冊24.3一元二次方程根與系數(shù)的關系教案學校授課教師課時授課班級授課地點教具設計思路本節(jié)課以“一元二次方程根與系數(shù)的關系”為核心，基于冀教版九年級數(shù)學上冊24.3的內容，引導學生通過實際例子觀察、探討一元二次方程的根與系數(shù)之間的關系。首先，復習一元二次方程的基本概念和解法，進而引入根與系數(shù)的關系，以數(shù)學符號表達根與系數(shù)之間的內在聯(lián)系。通過小組合作、討論交流，讓學生經(jīng)歷“觀察—猜想—驗證—總結”的過程，發(fā)現(xiàn)并掌握一元二次方程的根與系數(shù)之間的規(guī)律，并能夠運用這一規(guī)律解決相關問題，強化學生的實際應用能力。核心素養(yǎng)目標學習者分析1.學生已掌握一元二次方程的求解方法，包括直接開平方法、配方法、公式法等，并理解了判別式的概念及其與方程根的關系。

2.學生對數(shù)學問題具有一定的探究興趣，具備一定的邏輯思維能力和合作學習能力。他們對數(shù)學問題解決有一定的耐心，喜歡通過實際例子來理解和掌握抽象概念。

3.學生可能在理解根與系數(shù)關系的推導過程中遇到困難，尤其是在符號理解和代數(shù)變形方面。此外，將理論知識應用到具體問題解決時，可能會出現(xiàn)不知如何下手的情況，對一元二次方程根的分布問題可能感到挑戰(zhàn)。教學資源1.硬件資源：多媒體教學設備、黑板、粉筆、學生練習本。

2.軟件資源：PPT課件、一元二次方程根與系數(shù)關系的教學動畫。

3.課程平臺：學校教學管理系統(tǒng)、教室互動平臺。

4.信息化資源：電子課本、在線數(shù)學工具、數(shù)學教育軟件。

5.教學手段：小組合作、課堂討論、問題驅動教學、案例教學。教學實施過程1.課前自主探索

-教師活動：

發(fā)布預習任務：通過學校教學管理系統(tǒng)，發(fā)布關于一元二次方程根與系數(shù)關系的預習資料，明確預習目標和要求。

設計預習問題：圍繞“一元二次方程的根與系數(shù)關系”，設計問題，如“一元二次方程的根與判別式有何關系？”

監(jiān)控預習進度：通過平臺跟蹤學生的預習情況，確保學生理解預習內容。

-學生活動：

自主閱讀預習資料：學生按照要求閱讀資料，初步理解一元二次方程根與系數(shù)的關系。

思考預習問題：學生嘗試回答預習問題，記錄疑問。

提交預習成果：學生將筆記、疑問等提交至教學管理系統(tǒng)。

-教學方法/手段/資源：

自主學習法：培養(yǎng)學生獨立思考能力。

信息技術手段：利用教學管理系統(tǒng)，實現(xiàn)資源共享和進度監(jiān)控。

-作用與目的：

讓學生提前接觸課程難點，為課堂學習打下基礎。

培養(yǎng)學生自主學習習慣。

2.課中強化技能

-教師活動：

導入新課：通過實際案例引入一元二次方程根與系數(shù)的關系，激發(fā)興趣。

講解知識點：詳細講解一元二次方程根與系數(shù)的數(shù)學表達和推導過程。

組織課堂活動：設計小組討論，探討如何利用根與系數(shù)關系解決實際問題。

解答疑問：針對學生疑問，進行個別或集體解答。

-學生活動：

聽講并思考：學生專心聽講，對講解內容進行思考。

參與課堂活動：學生積極參與小組討論，實際操作根與系數(shù)關系的應用。

提問與討論：學生提出疑問，參與課堂討論。

-教學方法/手段/資源：

講授法：確保學生理解一元二次方程根與系數(shù)關系的理論。

實踐活動法：通過小組討論，加強學生對知識點的應用。

合作學習法：培養(yǎng)學生團隊合作和溝通能力。

-作用與目的：

加深學生對一元二次方程根與系數(shù)關系的理解，突破重難點。

通過實踐活動，提升學生解決問題的能力。

3.課后拓展應用

-教師活動：

布置作業(yè)：根據(jù)課堂內容，布置相關作業(yè)，鞏固根與系數(shù)關系。

提供拓展資源：推薦相關數(shù)學書籍和在線資源，供學生深入研究。

反饋作業(yè)情況：及時批改作業(yè)，給予個性化反饋。

-學生活動：

完成作業(yè)：學生認真完成作業(yè)，鞏固課堂所學。

拓展學習：利用拓展資源，加深對一元二次方程根與系數(shù)關系的理解。

反思總結：學生自我反思，總結學習過程中的不足和收獲。

-教學方法/手段/資源：

自主學習法：鼓勵學生自主完成作業(yè)和拓展學習。

反思總結法：引導學生進行自我評價和改進。

-作用與目的：

鞏固學生對一元二次方程根與系數(shù)關系的掌握。

培養(yǎng)學生的自我反思和自我管理能力。知識點梳理1.一元二次方程的概念與標準形式

-一元二次方程的定義：含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程。

-一元二次方程的標準形式：ax^2+bx+c=0（a≠0）。

2.一元二次方程的求解方法

-直接開平方法：適用于形如x^2=p(p≥0)的一元二次方程。

-配方法：通過添加和減去同一個數(shù)，使方程轉化為完全平方形式，進而求解。

-公式法：利用一元二次方程的求根公式，即x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)，求解方程。

3.判別式的定義與性質

-判別式的定義：Δ=b^2-4ac。

-判別式的性質：決定了一元二次方程的根的性質。

-Δ>0：方程有兩個不相等的實數(shù)根。

-Δ=0：方程有兩個相等的實數(shù)根。

-Δ<0：方程沒有實數(shù)根。

4.一元二次方程根與系數(shù)的關系

-根與系數(shù)的關系表達式：

-x1+x2=-b/a

-x1*x2=c/a

-這兩個關系式是由一元二次方程的求根公式推導而來，反映了方程根與系數(shù)之間的內在聯(lián)系。

5.一元二次方程根的分布問題

-根的分布與判別式的值密切相關，根據(jù)判別式的性質，可以判斷方程根的個數(shù)和性質。

-在實際應用中，通過根的分布可以解決一些實際問題，如物體的運動軌跡、利潤最大化等。

6.一元二次方程的應用

-在物理、幾何、經(jīng)濟等領域中，許多問題可以通過建立一元二次方程模型來解決。

-通過分析一元二次方程的根，可以得出問題的解答，如物體的最大高度、最小距離等。

本節(jié)課的知識點梳理涵蓋了從一元二次方程的基礎概念到根與系數(shù)關系的理解，再到實際應用，旨在幫助學生建立起完整的知識體系，并能夠將這些知識點靈活運用到實際問題中。通過這些知識點的學習和掌握，學生將能夠更好地理解數(shù)學在現(xiàn)實世界中的應用，培養(yǎng)數(shù)學思維和解決問題的能力。板書設計①一元二次方程根與系數(shù)的關系

-關系式：

x1+x2=-b/a

x1*x2=c/a

-重要性：反映方程根與系數(shù)之間的內在聯(lián)系

②判別式的性質

-定義：Δ=b^2-4ac

-性質：

Δ>0：兩個不相等的實數(shù)根

Δ=0：兩個相等的實數(shù)根

Δ<0：沒有實數(shù)根

③一元二次方程的應用

-實際問題：物體運動、經(jīng)濟模型等

-解決方法：建立一元二次方程模型，分析根的性質

-意義：將數(shù)學知識應用于解決實際問題，培養(yǎng)數(shù)學思維和解決問題的能力課后作業(yè)1.計算題：

求解方程：2x^2-5x+3=0，并計算其判別式的值。

答案：

x1=3/2,x2=1

Δ=(-5)^2-4*2*3=25-24=1

2.應用題：

一物體從高處自由落下，其高度h（米）與時間t（秒）之間的關系為h=4.9t^2+10t+20。求物體落地時的速度。

答案：

速度v=dh/dt=9.8t+10

當h=0時，解方程4.9t^2+10t+20=0，得到t≈-2.04（舍去負數(shù)解），t≈-0.84

將t≈-0.84代入速度公式，得到v≈9.8*(-0.84)+10≈8.31m/s（方向向上，因為是落地前的瞬間速度）

3.分析題：

給定一元二次方程x^2-(2a+1)x+a^2=0，證明它的兩個根之和等于2a+1，兩個根之積等于a^2。

答案：

根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系，有：

x1+x2=-(-2a-1)/1=2a+1

x1*x2=a^2/1=a^2

4.綜合題：

某企業(yè)的成本函數(shù)為C(x)=3x^2+5x+10，其中x為生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量。求：

a)當企業(yè)生產(chǎn)10個產(chǎn)品時的總成本。

b)生產(chǎn)多少產(chǎn)品時，平均成本最??？

答案：

a)C(10)=3*10^2+5*10+10=300+50+10=360

b)平均成本AC=C(x)/x=(3x^2+5x+10)/x=3x+5+10/x

為求平均成本最小，對AC求導得AC'=3-10/x^2，令AC'=0，得x=√(10/3)≈2.88

當生產(chǎn)約3個產(chǎn)品時，平均成本最小。

5.探究題：

探究一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)之間的關系，當a<0時，根的情況如何？

答案：

當a<0時，方程的開口向下，且：

-若Δ>0，方程有兩個實數(shù)根，一個正一個負。

-若Δ=0，方程有一個重根，為負數(shù)。

-若Δ<0，方程沒有實數(shù)根。課堂1.課堂評價

-在課堂教學中，通過以下方式進行評價：

-提問：針對一元二次方程根與系數(shù)關系的概念、求解方法和應用等方面，對學生進行隨機提問，了解學生對知識點的掌握情況。

-觀察：在小組討論、課堂練習等環(huán)節(jié)，觀察學生的參與程度、合作意識和解決問題的能力。

-測試：進行課堂小測驗，檢驗學生對一元二次方程根與系數(shù)關系的理解和應用能力。

-根據(jù)評價結果，及時發(fā)現(xiàn)問題，采取以下措施進行解決：

-針對共性問題，進行集體講解和輔導。

-針對個性問題，進行個別指導，幫助學生克服困難。

-調整教學進度和策略，確保學生充分理解知識點。

2.作業(yè)評價

-對學生的課后作業(yè)進行認真批改和點評，主要包括以下幾個方面：

-知識點的掌握：檢查學生在作業(yè)中是否能夠