拔高點(diǎn)突破01 新情景、新定義下的數(shù)列問(wèn)題（七大題型）

拔高點(diǎn)突破01新情景、新定義下的數(shù)列問(wèn)題目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧與總結(jié) 202題型歸納與總結(jié) 3題型一：牛頓數(shù)列問(wèn)題 3題型二：高考真題下的數(shù)列新定義 4題型三：數(shù)列定義新概念 6題型四：數(shù)列定義新運(yùn)算 7題型五：數(shù)列定義新情景 9題型六：差分?jǐn)?shù)列、對(duì)稱數(shù)列 10題型七：非典型新定義數(shù)列 1103過(guò)關(guān)測(cè)試 131、“新定義型”數(shù)列題考查了學(xué)生閱讀和理解能力，同時(shí)考查了學(xué)生對(duì)新知識(shí)、新事物接受能力和加以簡(jiǎn)單運(yùn)用的能力，考查了學(xué)生探究精神．要求解題者通過(guò)觀察、閱讀、歸納、探索進(jìn)行遷移，即讀懂和理解新定義，獲取有用的新信息，然后運(yùn)用這些有效的信息進(jìn)一步推理，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力和探索能力（多想少算甚至不算）．因此，“新定義型”數(shù)列在高考中常有體現(xiàn)，是一種用知識(shí)歸類、套路總結(jié)、強(qiáng)化訓(xùn)練等傳統(tǒng)教學(xué)方法卻難以解決高考中不斷出現(xiàn)的新穎試題．2、解答與數(shù)列有關(guān)的新定義問(wèn)題的策略：（1）通過(guò)給定的與數(shù)列有關(guān)的新定義，或約定的一種新運(yùn)算，或給出的由幾個(gè)新模型來(lái)創(chuàng)設(shè)的新問(wèn)題的情景，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題設(shè)所提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的.（2）遇到新定義問(wèn)題，需耐心研究題中信息，分析新定義的特點(diǎn)，搞清新定義的本質(zhì)，按新定義的要求“照章辦事”，逐條分析、運(yùn)算、驗(yàn)證，使問(wèn)題得以順利解決．（3）類比“熟悉數(shù)列”的研究方式，用特殊化的方法研究新數(shù)列，向“熟悉數(shù)列”的性質(zhì)靠攏．題型一：牛頓數(shù)列問(wèn)題【典例1-1】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）牛頓選代法又稱牛頓——拉夫遜方法，它是牛頓在17世紀(jì)提出的一種在實(shí)數(shù)集上近似求解方程根的一種方法.具體步驟如下圖示：設(shè)r是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，任意選取作為r的初始近似值，在點(diǎn)作曲線的切線，設(shè)與軸x交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，并稱為r的1次近似值；在點(diǎn)作曲線的切線，設(shè)與軸x交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，稱為r的2次近似值.一般地，在點(diǎn)作曲線的切線，記與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，并稱為r的次近似值.設(shè)的零點(diǎn)為r，取，則r的1次近似值為；若為r的n次近似值，設(shè)，，數(shù)列的前n項(xiàng)積為.若任意，恒成立，則整數(shù)的最大值為.【典例1-2】記上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足的數(shù)列稱為函數(shù)的“牛頓數(shù)列”.已知數(shù)列為函數(shù)的牛頓數(shù)列，且數(shù)列滿足.(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列并求；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若不等式對(duì)任意的恒成立，求t的取值范圍.【變式1-1】英國(guó)物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，給出的“牛頓數(shù)列”在航空航天中應(yīng)用廣泛，若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為牛頓數(shù)列，如果，數(shù)列為牛頓數(shù)列，設(shè)且，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A． B． C． D．【變式1-2】科學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，給出了“牛頓數(shù)列”，其定義是：對(duì)于函數(shù)，若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為牛頓數(shù)列，若函數(shù)，數(shù)列為牛頓數(shù)列且，則的值是（

）A．8 B．2 C． D．題型二：高考真題下的數(shù)列新定義【典例2-1】（2024·北京·高考真題）已知集合．給定數(shù)列，和序列，其中，對(duì)數(shù)列進(jìn)行如下變換：將的第項(xiàng)均加1，其余項(xiàng)不變，得到的數(shù)列記作；將的第項(xiàng)均加1，其余項(xiàng)不變，得到數(shù)列記作；……；以此類推，得到，簡(jiǎn)記為．(1)給定數(shù)列和序列，寫出；(2)是否存在序列，使得為，若存在，寫出一個(gè)符合條件的；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且為偶數(shù)，求證：“存在序列，使得的各項(xiàng)都相等”的充要條件為“”．【典例2-2】（2024·全國(guó)·高考真題）設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)和后剩余的項(xiàng)可被平均分為組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列．(1)寫出所有的，，使數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(2)當(dāng)時(shí)，證明：數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(3)從中一次任取兩個(gè)數(shù)和，記數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的概率為，證明：．【變式2-1】（2023·北京·高考真題）已知數(shù)列的項(xiàng)數(shù)均為m，且的前n項(xiàng)和分別為，并規(guī)定．對(duì)于，定義，其中，表示數(shù)集M中最大的數(shù).(1)若，求的值；(2)若，且，求；(3)證明：存在，滿足使得．【變式2-2】（2022·北京·高考真題）已知為有窮整數(shù)數(shù)列．給定正整數(shù)m，若對(duì)任意的，在Q中存在，使得，則稱Q為連續(xù)可表數(shù)列．(1)判斷是否為連續(xù)可表數(shù)列？是否為連續(xù)可表數(shù)列？說(shuō)明理由；(2)若為連續(xù)可表數(shù)列，求證：k的最小值為4；(3)若為連續(xù)可表數(shù)列，且，求證：．【變式2-3】（2021·北京·高考真題）設(shè)p為實(shí)數(shù).若無(wú)窮數(shù)列滿足如下三個(gè)性質(zhì)，則稱為數(shù)列：①，且；②；③，．（1）如果數(shù)列的前4項(xiàng)為2，-2，-2，-1，那么是否可能為數(shù)列？說(shuō)明理由；（2）若數(shù)列是數(shù)列，求；（3）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.是否存在數(shù)列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，說(shuō)明理由．題型三：數(shù)列定義新概念【典例3-1】（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）定義：任取數(shù)列中相鄰的兩項(xiàng)，若這兩項(xiàng)之差的絕對(duì)值為1，則稱數(shù)列具有“性質(zhì)1”.已知項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列的所有項(xiàng)的和為，且數(shù)列具有“性質(zhì)1”.(1)若，且，寫出所有可能的的值；(2)若，證明：“”是“”的充要條件；(3)若，證明：或.【典例3-2】對(duì)任意正整數(shù)，定義的豐度指數(shù)，其中為的所有正因數(shù)的和．(1)求的值：(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和(3)對(duì)互不相等的質(zhì)數(shù)，證明：，并求的值．【變式3-1】（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于數(shù)列，定義，滿足，記，稱為由數(shù)列生成的“函數(shù)”．(1)試寫出“函數(shù)”，并求的值；(2)若“函數(shù)”，求n的最大值；(3)記函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，證明：“函數(shù)”．【變式3-2】（2024·甘肅張掖·模擬預(yù)測(cè)）定義：在一個(gè)有窮數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入這兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，我們把這樣的操作稱為該數(shù)列的一次“和擴(kuò)充”，例如：數(shù)列經(jīng)過(guò)第一次“和擴(kuò)充”后得到數(shù)列；第二次“和擴(kuò)充”后得到數(shù)列．設(shè)數(shù)列經(jīng)過(guò)次“和擴(kuò)充”后得到的數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為，所有項(xiàng)的和為．(1)若，求；(2)求不等式的解集；(3)是否存在數(shù)列，使得數(shù)列為等比數(shù)列？請(qǐng)說(shuō)明理由．題型四：數(shù)列定義新運(yùn)算【典例4-1】（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）記集合無(wú)窮數(shù)列中存在有限項(xiàng)不為零，，對(duì)任意，設(shè)．定義運(yùn)算若，則，且．(1)設(shè)，用表示；(2)若，證明：：(3)若數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，設(shè)，證明：．【典例4-2】（2024·浙江杭州·三模）卷積運(yùn)算在圖象處理、人工智能、通信系統(tǒng)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用．一般地，對(duì)無(wú)窮數(shù)列，，定義無(wú)窮數(shù)列，記作，稱為與的卷積．卷積運(yùn)算有如圖所示的直觀含義，即中的項(xiàng)依次為所列數(shù)陣從左上角開(kāi)始各條對(duì)角線上元素的和，易知有交換律．(1)若，，，求，，，；(2)對(duì)，定義如下：①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，為滿足通項(xiàng)的數(shù)列，即將的每一項(xiàng)向后平移項(xiàng)，前項(xiàng)都取為0．試找到數(shù)列，使得；(3)若，，證明：當(dāng)時(shí)，．【變式4-1】（2024·山東青島·一模）記集合無(wú)窮數(shù)列中存在有限項(xiàng)不為零，，對(duì)任意，設(shè)變換，．定義運(yùn)算：若，則，．(1)若，用表示；(2)證明：；(3)若，，，證明：．【變式4-2】任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過(guò)有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈.這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”）.如取正整數(shù)，根據(jù)上述運(yùn)算法則得出，共需經(jīng)過(guò)8個(gè)步驟變成1（簡(jiǎn)稱為8步“雹程”）.現(xiàn)給出冰雹猜想的遞推關(guān)系如下：已知數(shù)列滿足：（為正整數(shù)），當(dāng)時(shí)，（

）A．170 B．168 C．130 D．172題型五：數(shù)列定義新情景【典例5-1】（多選題）（2024·山東青島·三模）若有窮整數(shù)數(shù)列滿足：，且，則稱具有性質(zhì).則（

）A．存在具有性質(zhì)的B．存在具有性質(zhì)的C．若具有性質(zhì)，則中至少有兩項(xiàng)相同D．存在正整數(shù)，使得對(duì)任意具有性質(zhì)的，有中任意兩項(xiàng)均不相同【典例5-2】（2024·河南·二模）已知無(wú)窮數(shù)列是首項(xiàng)為1，各項(xiàng)均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，集合，若對(duì)于集合中的元素，數(shù)列中存在不相同的項(xiàng)，使得，則稱數(shù)列具有性質(zhì)，記集合數(shù)列具有性質(zhì).(1)若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，判斷數(shù)列是否具有性質(zhì)，若具有，寫出集合與集合；(2)已知數(shù)列具有性質(zhì)且集合中的最小元素為.集合中的最小元素為，當(dāng)時(shí)，證明：.【變式5-1】（2024·北京東城·二模）已知為有窮整數(shù)數(shù)列，若滿足：，其中，是兩個(gè)給定的不同非零整數(shù)，且，則稱具有性質(zhì).(1)若，，那么是否存在具有性質(zhì)的？若存在，寫出一個(gè)這樣的；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)若，，且具有性質(zhì)，求證：中必有兩項(xiàng)相同；(3)若，求證：存在正整數(shù)，使得對(duì)任意具有性質(zhì)的，都有中任意兩項(xiàng)均不相同.【變式5-2】（2024·北京朝陽(yáng)·一模）若有窮自然數(shù)數(shù)列：滿足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱為數(shù)列：①，其中，表示，這個(gè)數(shù)中最大的數(shù)；②，其中，表示，這個(gè)數(shù)中最小的數(shù).(1)判斷：2，4，6，7，10是否為數(shù)列，說(shuō)明理由；(2)若：是數(shù)列，且，，成等比數(shù)列，求；(3)證明：對(duì)任意數(shù)列：，存在實(shí)數(shù)，使得.（表示不超過(guò)的最大整數(shù)）題型六：差分?jǐn)?shù)列、對(duì)稱數(shù)列【典例6-1】（多選題）如果項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列滿足，則稱其為“對(duì)稱數(shù)列”，設(shè)是項(xiàng)數(shù)為的“對(duì)稱數(shù)列”，其中，，，是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，則（

）A．若，則 B．若，則所有項(xiàng)的和為C．當(dāng)時(shí)，所有項(xiàng)的和最大 D．所有項(xiàng)的和不可能為【典例6-2】若項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列滿足：我們稱其為項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”．例如：數(shù)列為項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”；數(shù)列為項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”．設(shè)數(shù)列為項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”，其中是公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的最大項(xiàng)等于，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則．【變式6-1】（2024·四川南充·三模）對(duì)于數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分，其中，規(guī)定為數(shù)列的k階差分，其中．若，則（

）A．7 B．9 C．11 D．13【變式6-2】（2024·四川南充·三模）對(duì)于數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分，其中，規(guī)定為數(shù)列的階差分，其中.若，則（

）A．7 B．9 C．11 D．13題型七：非典型新定義數(shù)列【典例7-1】（2024·黑龍江·模擬預(yù)測(cè)）已知n行n列的數(shù)表中，滿足：，.若數(shù)表滿足當(dāng)時(shí)，總有，則稱此數(shù)表為典型數(shù)表，此時(shí)記.(1)若數(shù)表，，請(qǐng)直接寫出M，N是否是典型數(shù)表；(2)當(dāng)時(shí)，是否存在典型數(shù)表A使得，若存在，請(qǐng)寫出一個(gè)數(shù)表A；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若數(shù)表A為典型數(shù)表，求的最小值（直接寫出結(jié)果，不需要證明）.【典例7-2】（2024·遼寧葫蘆島·二模）設(shè)數(shù)陣，其中.設(shè)，其中，且.定義變換為“對(duì)于數(shù)陣的每一列，若其中有t或，則將這一列中所有數(shù)均保持不變；若其中沒(méi)有t且沒(méi)有，則這一列中每個(gè)數(shù)都乘以”（），表示“將經(jīng)過(guò)變換得到，再將經(jīng)過(guò)變換得到，…，以此類推，最后將經(jīng)過(guò)變換得到.記數(shù)陣中四個(gè)數(shù)的和為.(1)若，，寫出經(jīng)過(guò)變換后得到的數(shù)陣，并求的值；(2)若，，求的所有可能取值的和；(3)對(duì)任意確定的一個(gè)數(shù)陣，證明：的所有可能取值的和不大于.【變式7-1】已知無(wú)窮數(shù)列，給出以下定義：對(duì)于任意的，都有，則稱數(shù)列為“數(shù)列”；特別地，對(duì)于任意的，都有，則稱數(shù)列為“嚴(yán)格數(shù)列”.(1)已知數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，且，，試判斷數(shù)列，數(shù)列是否為“數(shù)列”，并說(shuō)明理由；(2)證明：數(shù)列為“數(shù)列”的充要條件是“對(duì)于任意的，，，當(dāng)時(shí)，有”；(3)已知數(shù)列為“嚴(yán)格數(shù)列”，且對(duì)任意的，，，.求數(shù)列的最小項(xiàng)的最大值.【變式7-2】（2024·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列是斐波那契數(shù)列，其數(shù)值為：.這一數(shù)列以如下遞推的方法定義：.數(shù)列對(duì)于確定的正整數(shù)，若存在正整數(shù)使得成立，則稱數(shù)列為“階可分拆數(shù)列”.(1)已知數(shù)列滿足.判斷是否對(duì)，總存在確定的正整數(shù)，使得數(shù)列為“階可分拆數(shù)列”，并說(shuō)明理由.(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，（i）若數(shù)列為“階可分拆數(shù)列”，求出符合條件的實(shí)數(shù)的值；（ii）在（i）問(wèn)的前提下，若數(shù)列滿足，，其前項(xiàng)和為.證明：當(dāng)且時(shí)，成立.1．（2024·浙江紹興·三模）設(shè)，已知，若恒成立，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．2．（2024·上?！つM預(yù)測(cè)）已知數(shù)列不是常數(shù)列，前項(xiàng)和為，且．若對(duì)任意正整數(shù)，存在正整數(shù)，使得，則稱是“可控?cái)?shù)列”．現(xiàn)給出兩個(gè)命題：①存在等差數(shù)列是“可控?cái)?shù)列”；②存在等比數(shù)列是“可控?cái)?shù)列”．則下列判斷正確的是（

）A．①與②均為真命題 B．①與②均為假命題C．①為真命題，②為假命題 D．①為假命題，②為真命題3．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為，若數(shù)列與函數(shù)滿足：①的定義域?yàn)?；②?shù)列與函數(shù)均單調(diào)增；③存在正整數(shù)，使成立，則稱數(shù)列與函數(shù)具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”.給出下列兩個(gè)命題：（

）①與數(shù)列具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”的函數(shù)有有限個(gè)；②與數(shù)列具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”的函數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè).A．①②都是真命題 B．①是真命題，②是假命題C．①是假命題，②是真命題 D．①②都是假命題4．（多選題）（2024·湖南衡陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）在股票市場(chǎng)中，股票的價(jià)格是有界的，投資者通常會(huì)通過(guò)價(jià)格的變化來(lái)確保自己的風(fēng)險(xiǎn)，這種變化的價(jià)格類似于我們數(shù)學(xué)中的數(shù)列，定義如果存在正數(shù)，使得對(duì)一切正整數(shù)，都有，則稱為有界數(shù)列，數(shù)列收斂指數(shù)列有極限，我們把極限存在（不含無(wú)窮大）的數(shù)列稱為收斂數(shù)列，如數(shù)列，顯然對(duì)一切正整數(shù)都有，而的極限為，即數(shù)列既有界也收斂.如數(shù)列，顯然對(duì)一切正整數(shù)都有，但不存在極限，即數(shù)列有界但不收斂.下列數(shù)列是有界數(shù)列但不收斂的數(shù)列有（

）A． B．C． D．5．（多選題）（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，若對(duì)，都有（為常數(shù)），則稱數(shù)列為“等差比數(shù)列”，為公差比，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和是，則下列說(shuō)法一定正確的是（

）A．等差數(shù)列是等差比數(shù)列B．若等比數(shù)列是等差比數(shù)列，則該數(shù)列的公比與公差比相同C．若數(shù)列是等差比數(shù)列，則數(shù)列是等比數(shù)列D．若數(shù)列是等比數(shù)列，則數(shù)列等差比數(shù)列6．（多選題）（2024·山東煙臺(tái)·一模）給定數(shù)列，定義差分運(yùn)算：.若數(shù)列滿足，數(shù)列的首項(xiàng)為1，且，則（

）A．存在，使得恒成立B．存在，使得恒成立C．對(duì)任意，總存在，使得D．對(duì)任意，總存在，使得7．（多選題）（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）“角谷猜想”是指一個(gè)正整數(shù)，如果是奇數(shù)就乘以3再加1，如果是偶數(shù)就除以2，這樣經(jīng)過(guò)若干次這兩種運(yùn)算，最終必進(jìn)入循環(huán)圖.對(duì)任意正整數(shù)，按照上述規(guī)則實(shí)施第次運(yùn)算的結(jié)果為，（

）A．當(dāng)時(shí)，則B．當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減C．若，且均不為1，則D．當(dāng)時(shí)，從中任取兩個(gè)數(shù)至少一個(gè)為奇數(shù)的概率為8．（2024·高三·河北保定·期中）英國(guó)著名物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點(diǎn)時(shí)，給出的“牛頓數(shù)列”在航空航天中應(yīng)用廣泛，若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為牛頓數(shù)列如果函數(shù)，數(shù)列為牛頓數(shù)列，設(shè)，且，則9．（2024·江西九江·模擬預(yù)測(cè)）著名科學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，給出了“牛頓數(shù)列”，它在航空航天中應(yīng)用廣泛.其定義是：對(duì)于函數(shù)，若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為牛頓數(shù)列，若函數(shù)，，且，則.10．給定函數(shù)，若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為函數(shù)的牛頓數(shù)列.已知為的牛頓數(shù)列，且，數(shù)列的前項(xiàng)和為.則.11．將正整數(shù)分解為兩個(gè)正整數(shù)、的積，即，當(dāng)、兩數(shù)差的絕對(duì)值最小時(shí)，我們稱其為最優(yōu)分解.如，其中即為20的最優(yōu)分解，當(dāng)、是的最優(yōu)分解時(shí)，定義，則數(shù)列的前2024項(xiàng)的和為.12．（2024·高三·甘肅蘭州·開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)表，，，其中分別表示，，中第行第列的數(shù)．若，則稱是，的生成數(shù)表．若數(shù)表，，且是的生成數(shù)表，則．13．，，…是一個(gè)1，2，3，…，10的排列，要求和一定有一個(gè)大于（），則滿足的排列的總數(shù)為．14．（2024·北京通州·三模）若數(shù)列、均為嚴(yán)格增數(shù)列，且對(duì)任意正整數(shù)n，都存在正整數(shù)m，使得，則稱數(shù)列為數(shù)列的“M數(shù)列”．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則下列結(jié)論中正確的是．①存在等差數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”②存在等比數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”③存在等差數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”④存在等比數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”15．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于有窮數(shù)列，從數(shù)列中選取第項(xiàng)?第項(xiàng)??第項(xiàng)，順次排列構(gòu)成數(shù)列，其中，則稱新數(shù)列為的一個(gè)子列，稱各項(xiàng)之和為的一個(gè)子列和．規(guī)定：數(shù)列的任意一項(xiàng)都是的子列．則數(shù)列的所有子列和的和為．16．（2024·高三·山東日照·期中）任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過(guò)有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈1→4→2→1，這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”）.如取正整數(shù)6，根據(jù)上述運(yùn)算法則得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需要8個(gè)步驟變成1（簡(jiǎn)稱為8步“雹程”）.“冰雹猜想”可表示為數(shù)列滿足：（m為正整數(shù)），.問(wèn)：當(dāng)時(shí)，試確定使得需要步“雹程”；若，則所有可能的取值所構(gòu)成的集合為.17．（2024·高三·北京朝陽(yáng)·期末）中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中開(kāi)方運(yùn)算暗含著迭代法，清代數(shù)學(xué)家夏鸞翔在其著作《少?gòu)V縋鑿》中用迭代法