2023-2024學(xué)年安徽省淮南市重點(diǎn)中學(xué)高三下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題理試題（普通班）

2022-2023學(xué)年安徽省淮南市重點(diǎn)中學(xué)高三下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題理試題（普通班）注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若x，y滿足約束條件則z=的取值范圍為（）A．[] B．[，3] C．[，2] D．[，2]2．已知集合，，則的真子集個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．空間點(diǎn)到平面的距離定義如下：過(guò)空間一點(diǎn)作平面的垂線，這個(gè)點(diǎn)和垂足之間的距離叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離．已知平面，，兩兩互相垂直，點(diǎn)，點(diǎn)到，的距離都是3，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，滿足到的距離與到點(diǎn)的距離相等，則點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到的距離的最小值是（）A． B．3 C． D．4．如圖所示，三國(guó)時(shí)代數(shù)學(xué)家在《周脾算經(jīng)》中利用弦圖，給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個(gè)全等的直角三角形及一個(gè)小正方形（陰影），設(shè)直角三角形有一個(gè)內(nèi)角為，若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲200顆米粒（大小忽略不計(jì)，?。瑒t落在小正方形（陰影）內(nèi)的米粒數(shù)大約為（）A．20 B．27 C．54 D．645．為計(jì)算，設(shè)計(jì)了如圖所示的程序框圖，則空白框中應(yīng)填入（）A． B． C． D．6．如圖，正四面體的體積為，底面積為，是高的中點(diǎn)，過(guò)的平面與棱、、分別交于、、，設(shè)三棱錐的體積為，截面三角形的面積為，則（）A．， B．，C．， D．，7．學(xué)業(yè)水平測(cè)試成績(jī)按照考生原始成績(jī)從高到低分為、、、、五個(gè)等級(jí)．某班共有名學(xué)生且全部選考物理、化學(xué)兩科，這兩科的學(xué)業(yè)水平測(cè)試成績(jī)?nèi)鐖D所示．該班學(xué)生中，這兩科等級(jí)均為的學(xué)生有人，這兩科中僅有一科等級(jí)為的學(xué)生，其另外一科等級(jí)為，則該班（）A．物理化學(xué)等級(jí)都是的學(xué)生至多有人B．物理化學(xué)等級(jí)都是的學(xué)生至少有人C．這兩科只有一科等級(jí)為且最高等級(jí)為的學(xué)生至多有人D．這兩科只有一科等級(jí)為且最高等級(jí)為的學(xué)生至少有人8．下圖是民航部門統(tǒng)計(jì)的某年春運(yùn)期間，六個(gè)城市售出的往返機(jī)票的平均價(jià)格（單位元），以及相比于上一年同期價(jià)格變化幅度的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，以下敘述不正確的是（）A．深圳的變化幅度最小，北京的平均價(jià)格最高B．天津的往返機(jī)票平均價(jià)格變化最大C．上海和廣州的往返機(jī)票平均價(jià)格基本相當(dāng)D．相比于上一年同期，其中四個(gè)城市的往返機(jī)票平均價(jià)格在增加9．的展開(kāi)式中的系數(shù)為()A．－30 B．－40 C．40 D．5010．已知向量，，且，則（）A． B． C．1 D．211．設(shè)a,b∈(0,1)∪(1,+∞)，則"a=b"是"logA．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件12．根據(jù)如圖所示的程序框圖，當(dāng)輸入的值為3時(shí)，輸出的值等于（）A．1 B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積是_____；最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度是_____．14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A，B為x軸正半軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P（異于原點(diǎn)O）為y軸上的一個(gè)定點(diǎn)．若以AB為直徑的圓與圓x2＋(y－2)2＝1相外切，且∠APB的大小恒為定值，則線段OP的長(zhǎng)為_(kāi)____．15．如圖，橢圓：的離心率為，F(xiàn)是的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是上第一角限內(nèi)任意一點(diǎn)，，，若，則的取值范圍是_______．16．若函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）在和兩處取得極值，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，湖中有一個(gè)半徑為千米的圓形小島，岸邊點(diǎn)與小島圓心相距千米，為方便游人到小島觀光，從點(diǎn)向小島建三段棧道，，，湖面上的點(diǎn)在線段上，且，均與圓相切，切點(diǎn)分別為，，其中棧道，，和小島在同一個(gè)平面上.沿圓的優(yōu)?。▓A上實(shí)線部分）上再修建棧道.記為.用表示棧道的總長(zhǎng)度，并確定的取值范圍；求當(dāng)為何值時(shí)，棧道總長(zhǎng)度最短.18．（12分）已知在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，，且.（1）求的值；（2）求的面積.19．（12分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù).（1）設(shè)，求不等式的解集；（2）已知，且的最小值等于，求實(shí)數(shù)的值.20．（12分）設(shè)函數(shù)，（1）當(dāng)，，求不等式的解集；（2）已知，，的最小值為1，求證：.21．（12分）在四邊形中，，；如圖，將沿邊折起，連結(jié)，使，求證：（1）平面平面；（2）若為棱上一點(diǎn)，且與平面所成角的正弦值為，求二面角的大小.22．（10分）分別為的內(nèi)角的對(duì)邊.已知.（1）若，求；（2）已知，當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，求的周長(zhǎng).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．D【解析】

由題意作出可行域，轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)為連接點(diǎn)和可行域內(nèi)的點(diǎn)的直線斜率的倒數(shù)，數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】由題意作出可行域，如圖，目標(biāo)函數(shù)可表示連接點(diǎn)和可行域內(nèi)的點(diǎn)的直線斜率的倒數(shù)，由圖可知，直線的斜率最小，直線的斜率最大，由可得，由可得，所以，，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了非線性規(guī)劃的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.2．C【解析】

求出的元素，再確定其真子集個(gè)數(shù)．【詳解】由，解得或，∴中有兩個(gè)元素，因此它的真子集有3個(gè)．故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查集合的子集個(gè)數(shù)問(wèn)題，解題時(shí)可先確定交集中集合的元素個(gè)數(shù)，解題關(guān)鍵是對(duì)集合元素的認(rèn)識(shí)，本題中集合都是曲線上的點(diǎn)集．3．D【解析】

建立平面直角坐標(biāo)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到軸的距離的最小值，利用到軸的距離等于到點(diǎn)的距離得到點(diǎn)軌跡方程，得到，進(jìn)而得到所求最小值.【詳解】如圖，原題等價(jià)于在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，是第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足到軸的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，求點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到軸的距離的最小值．設(shè)，則，化簡(jiǎn)得：，則，解得：，即點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到的距離的最小值是.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中點(diǎn)面距離最值的求解，關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確求得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，進(jìn)而根據(jù)軌跡方程構(gòu)造不等關(guān)系求得最值.4．B【解析】

設(shè)大正方體的邊長(zhǎng)為，從而求得小正方體的邊長(zhǎng)為，設(shè)落在小正方形內(nèi)的米粒數(shù)大約為，利用概率模擬列方程即可求解?！驹斀狻吭O(shè)大正方體的邊長(zhǎng)為，則小正方體的邊長(zhǎng)為，設(shè)落在小正方形內(nèi)的米粒數(shù)大約為，則，解得：故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了概率模擬的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。5．A【解析】

根據(jù)程序框圖輸出的S的值即可得到空白框中應(yīng)填入的內(nèi)容．【詳解】由程序框圖的運(yùn)行，可得：S＝0，i＝0滿足判斷框內(nèi)的條件，執(zhí)行循環(huán)體，a＝1，S＝1，i＝1滿足判斷框內(nèi)的條件，執(zhí)行循環(huán)體，a＝2×（﹣2），S＝1+2×（﹣2），i＝2滿足判斷框內(nèi)的條件，執(zhí)行循環(huán)體，a＝3×（﹣2）2，S＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2，i＝3…觀察規(guī)律可知：滿足判斷框內(nèi)的條件，執(zhí)行循環(huán)體，a＝99×（﹣2）99，S＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2+…+1×（﹣2）99，i＝1，此時(shí)，應(yīng)該不滿足判斷框內(nèi)的條件，退出循環(huán)，輸出S的值，所以判斷框中的條件應(yīng)是i＜1．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，當(dāng)型循環(huán)是先判斷后執(zhí)行，滿足條件執(zhí)行循環(huán)，不滿足條件時(shí)算法結(jié)束，屬于基礎(chǔ)題．6．A【解析】

設(shè)，取與重合時(shí)的情況，計(jì)算出以及的值，利用排除法可得出正確選項(xiàng).【詳解】如圖所示，利用排除法，取與重合時(shí)的情況.不妨設(shè)，延長(zhǎng)到，使得．，，，，則，由余弦定理得，，，又，，當(dāng)平面平面時(shí)，，，排除B、D選項(xiàng)；因?yàn)?，，此時(shí)，，當(dāng)平面平面時(shí)，，，排除C選項(xiàng).故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理、余弦定理、勾股定理、三棱錐的體積計(jì)算公式、排除法，考查了空間想象能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．7．D【解析】

根據(jù)題意分別計(jì)算出物理等級(jí)為，化學(xué)等級(jí)為的學(xué)生人數(shù)以及物理等級(jí)為，化學(xué)等級(jí)為的學(xué)生人數(shù)，結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】根據(jù)題意可知，名學(xué)生減去名全和一科為另一科為的學(xué)生人（其中物理化學(xué)的有人，物理化學(xué)的有人），表格變?yōu)椋何锢砘瘜W(xué)對(duì)于A選項(xiàng)，物理化學(xué)等級(jí)都是的學(xué)生至多有人，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)物理和，化學(xué)都是時(shí)，或化學(xué)和，物理都是時(shí)，物理、化學(xué)都是的人數(shù)最少，至少為（人），B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，在表格中，除去物理化學(xué)都是的學(xué)生，剩下的都是一科為且最高等級(jí)為的學(xué)生，因?yàn)槎际堑膶W(xué)生最少人，所以一科為且最高等級(jí)為的學(xué)生最多為（人），C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，物理化學(xué)都是的最多人，所以兩科只有一科等級(jí)為且最高等級(jí)為的學(xué)生最少（人），D選項(xiàng)正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查合情推理，考查推理能力，屬于中等題.8．D【解析】

根據(jù)條形圖可折線圖所包含的數(shù)據(jù)對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此得出敘述不正確的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，根據(jù)折線圖可知深圳的變化幅度最小，根據(jù)條形圖可知北京的平均價(jià)格最高，所以A選項(xiàng)敘述正確.對(duì)于B選項(xiàng)，根據(jù)折線圖可知天津的往返機(jī)票平均價(jià)格變化最大，所以B選項(xiàng)敘述正確.對(duì)于C選項(xiàng)，根據(jù)條形圖可知上海和廣州的往返機(jī)票平均價(jià)格基本相當(dāng)，所以C選項(xiàng)敘述正確.對(duì)于D選項(xiàng)，根據(jù)折線圖可知相比于上一年同期，除了深圳外，另外五個(gè)城市的往返機(jī)票平均價(jià)格在增加，故D選項(xiàng)敘述錯(cuò)誤.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)條形圖和折線圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，屬于基礎(chǔ)題.9．C【解析】

先寫出的通項(xiàng)公式，再根據(jù)的產(chǎn)生過(guò)程，即可求得.【詳解】對(duì)二項(xiàng)式，其通項(xiàng)公式為的展開(kāi)式中的系數(shù)是展開(kāi)式中的系數(shù)與的系數(shù)之和.令，可得的系數(shù)為；令，可得的系數(shù)為；故的展開(kāi)式中的系數(shù)為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式中某一項(xiàng)系數(shù)的求解，關(guān)鍵是對(duì)通項(xiàng)公式的熟練使用，屬基礎(chǔ)題.10．A【解析】

根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示列方程，解方程求得的值.【詳解】由于向量，，且，所以解得.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.11．A【解析】

根據(jù)題意得到充分性，驗(yàn)證a=2,b=1【詳解】a,b∈0,1∪1,+∞，當(dāng)"a=b當(dāng)logab=log故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了充分不必要條件，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和推斷能力.12．C【解析】

根據(jù)程序圖，當(dāng)x<0時(shí)結(jié)束對(duì)x的計(jì)算，可得y值．【詳解】由題x=3，x=x-2=3-1，此時(shí)x>0繼續(xù)運(yùn)行，x=1-2=-1<0，程序運(yùn)行結(jié)束，得，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖，是基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

由三視圖還原原幾何體，該幾何體為四棱錐，底面為直角梯形，，，側(cè)棱底面，由棱錐體積公式求棱錐體積，由勾股定理求最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度．【詳解】由三視圖還原原幾何體如下圖所示：該幾何體為四棱錐，底面為直角梯形，，，側(cè)棱底面，則該幾何體的體積為，，，因此，該棱錐的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查由三視圖求體積、棱長(zhǎng)，關(guān)鍵是由三視圖還原原幾何體，是中檔題．14．【解析】分析：設(shè)O2（a，0），圓O2的半徑為r（變量），OP=t（常數(shù)），利用差角的正切公式，結(jié)合以AB為直徑的圓與圓x2+（y-2）2=1相外切．且∠APB的大小恒為定值，即可求出線段OP的長(zhǎng)．詳解：設(shè)O2（a，0），圓O2的半徑為r（變量），OP=t（常數(shù)），則∵∠APB的大小恒為定值，

∴t＝，∴|OP|=．故答案為點(diǎn)睛：本題考查圓與圓的位置關(guān)系，考查差角的正切公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．15．【解析】

由于點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與軸的正方向的夾角在變，所以先設(shè)，又由，可知，從而可得，而點(diǎn)在橢圓上，所以將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程中化簡(jiǎn)可得結(jié)果．【詳解】設(shè)，，，則，由，得，代入橢圓方程，得，化簡(jiǎn)得恒成立，由此得，即，故．故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查的是利用橢圓中相關(guān)兩個(gè)點(diǎn)的關(guān)系求離心率，綜合性強(qiáng)，屬于難題．16．【解析】

先將函數(shù)在和兩處取得極值，轉(zhuǎn)化為方程有兩不等實(shí)根，且，再令，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與曲線有兩交點(diǎn)，且橫坐標(biāo)滿足，用導(dǎo)數(shù)方法研究單調(diào)性，作出簡(jiǎn)圖，求出時(shí)，的值，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，又函?shù)在和兩處取得極值，所以是方程的兩不等實(shí)根，且，即有兩不等實(shí)根，且，令，則直線與曲線有兩交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)滿足，又，由得，所以，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)，時(shí)，，即函數(shù)在和上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，由得，此時(shí)，因此，由得.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，已知函數(shù)極值點(diǎn)間的關(guān)系求參數(shù)的問(wèn)題，通常需要將函數(shù)極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)方程的根，再轉(zhuǎn)化為直線與曲線交點(diǎn)的問(wèn)題來(lái)處理，屬于?？碱}型.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．，；當(dāng)時(shí)，棧道總長(zhǎng)度最短.【解析】

連，，由切線長(zhǎng)定理知：，，，，即，，則，，進(jìn)而確定的取值范圍；根據(jù)求導(dǎo)得，利用增減性算出，進(jìn)而求得取值.【詳解】解：連，，由切線長(zhǎng)定理知：，，，又，，故，則劣弧的長(zhǎng)為，因此，優(yōu)弧的長(zhǎng)為，又，故，，即，，所以，，，則；，，其中，，-0+單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增故時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，棧道總長(zhǎng)度最短.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)當(dāng)中的應(yīng)用，屬于中檔題.18．（1）；（2）【解析】

（1）將代入等式，結(jié)合正弦定理將邊化為角，再將及代入，即可求得的值；（2）根據(jù)（1）中的值可求得和，進(jìn)而可得，由三角形面積公式即可求解.【詳解】（1）由，得，由正弦定理將邊化為角可得，∵，∴，∴，化簡(jiǎn)可得，∴解得.（2）∵在中，，∴，∴，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理在邊角轉(zhuǎn)化中的應(yīng)用，正弦差角公式的應(yīng)用，三角形面積公式求法，屬于基礎(chǔ)題.19．(1)(2)【解析】

（1）把f（x）去絕對(duì)值寫成分段函數(shù)的形式，分類討論，分別求得解集，綜合可得結(jié)論．（2）把f（x）去絕對(duì)值寫成分段函數(shù)，畫出f（x）的圖像，找出利用條件求得a的值．【詳解】（1）時(shí)，.當(dāng)時(shí)，即為，解得.當(dāng)時(shí)，，解得.當(dāng)時(shí)，，解得.綜上，的解集為.（2）.，由的圖象知，，.【點(diǎn)睛】本題主要考查含絕對(duì)值不等式的解法及含絕對(duì)值的函數(shù)的最值問(wèn)題，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題20．（1）或；（2）證明見(jiàn)解析【解析】

（1）將化簡(jiǎn)，分類討論即可；（2）由（1）得，，展開(kāi)后再利用基本不等式即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以或或解得或，因此不等式的解集的或（2）根據(jù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等式成立.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式的解法、利用基本不等式證明不等式問(wèn)題，考查學(xué)生基本的計(jì)算能力，