全國統(tǒng)考版2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題五數(shù)列梳理糾錯預(yù)測學(xué)案理含解析

2024年高考“2024年高考“最終三十天”專題透析好教化云平臺--教化因你我而變好教化云平臺--教化因你我而變數(shù)列專題專題5××數(shù)列命題趨勢命題趨勢數(shù)列的考查主要為等差等比數(shù)列通項、性質(zhì)、前n項和的考查以及數(shù)列綜合運用的考查．等差數(shù)列、等比數(shù)列對通項的考查除了基本運算、基本概念，還注意對函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化、分類探討思想的考查；數(shù)列性質(zhì)的考查主要為等差中項、等比中項、通項公式及前n項和的最大、最小值的問題，難度中等偏易；數(shù)列綜合運用的考查常以解答題的形式出現(xiàn)，結(jié)合數(shù)列的遞推關(guān)系式，等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義綻開，求解數(shù)列的前n項和或數(shù)列不等式的證明，難度中等．考點清單考點清單等差數(shù)列的通項公式：a等差中項：2an=a等差數(shù)列的求和公式：，等比數(shù)列的通項公式：a等比中項：an2=a等比數(shù)列的求和公式：前n項和Sn與第n項an的關(guān)系關(guān)于非零等差數(shù)列奇數(shù)項與偶數(shù)項的性質(zhì)：（1）若項數(shù)為2n，則，；（2）若項數(shù)為2n-1，則，，，；（3）兩個等差數(shù)列an、bn的前n項和Sn、T

精題集訓(xùn)精題集訓(xùn)（70分鐘）經(jīng)典訓(xùn)練題經(jīng)典訓(xùn)練題一、選擇題．1．已知Sn是等差數(shù)列an的前n項和，且a2A．1 B．2 C．6 D．18【答案】B【解析】依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得a2，則，故選B．【點評】本題主要考了等差中項，屬于基礎(chǔ)題．2．“垛積術(shù)”是我國古代數(shù)學(xué)的重要成就之一，宋元時期數(shù)學(xué)家朱世杰在《四元玉鑒》中記載了“三角形垛”，其中的“落一形”堆垛就是每層為“三角形數(shù)”的三角錐的堆垛（俯視如圖所示，頂上一層1個球，下一層3個球，再下一層6個球，…）．若一“落一形”三角錐垛有6層，則該堆垛第6層的小球個數(shù)為（）A．45 B．36 C．28 D．21【答案】D【解析】由題意分析可得a1則“三角形數(shù)”的通項公式，，故選D．【點評】本題以數(shù)學(xué)文化為背景，考查數(shù)列學(xué)問及運算實力，難度中等偏易．3．已知等差數(shù)列an前10項的和是310，前20項的和是1220，則數(shù)列aA．a(chǎn)n=6n+2 B．a(chǎn)n=6n-2 C．【答案】B【解析】設(shè)公差為d，依題意得，解得a1=4所以an=a1【點評】本題考了等差數(shù)列通項公式的求法，屬于基礎(chǔ)題．4．?dāng)?shù)列an是等差數(shù)列，Sn為其前n項和，且a1<0，a2020+aA．2020 B．2021 C．4040 D．4041【答案】C【解析】設(shè)數(shù)列an的公差為d，由a1<0，a可知a2020<0，a2021>0，所以，S4040=2020a1+a4040=2020【點評】本題求滿意Sn<0的最大正整數(shù)n的值，關(guān)鍵就是求出Sn<0，5．設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項和，若，，則S2021A． B． C． D．【答案】B【解析】在數(shù)列an中，，，則，，，以此類推可知，對隨意的n∈N*，an+3=a∵2021=3×673+2，因此，，故選B．【點評】依據(jù)遞推公式證明數(shù)列an（1）先依據(jù)已知條件寫出數(shù)列an的前幾項，直至出現(xiàn)數(shù)列中的循環(huán)項，推斷循環(huán)的項包含的項數(shù)k（2）證明an+k=ank∈6．若等差數(shù)列an滿意a1+a3A．2 B．1 C．0 D．【答案】D【解析】a5+a【點評】等差（比）數(shù)列問題解決的基本方法：基本量代換．7．2015年07月31日17時57分，國際奧委會第128次全會在吉隆坡實行，投票選出2022年冬奧會舉辦城市為北京．某人為了觀看2022年北京冬季奧運會，從2016年起，每年的1月1日到銀行存入a元的定期儲蓄，若年利率為且保持不變，并約定每年到期，存款的本息均自動轉(zhuǎn)為新的一年的定期，到2022年的1月1日將全部存款及利息全部取出，則可取出錢(元)的總數(shù)為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意，2024年1月1日，存入的a元，一年后存款及利息為，二年后存款及利息為a(1+p)2，由此可得，從2024年1月1日到2024年1月1日全部的存款及利息為：，故選D．【點評】本題考了數(shù)列的實際運用，屬于基礎(chǔ)題．8．等比數(shù)列an中，a1+a2=6，A．90 B．302+1 C．452【答案】A【解析】∵an是等比數(shù)列，a1+a2=6，∴前8項和為a1+a2【點評】本題考了等比數(shù)列通項公式的運用，以及前n項和的求法．9．設(shè)等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】an是等比數(shù)列，∴S，設(shè)S5=2k則S10-S5=-k，故選D．【點評】本題考了等比數(shù)列前n項和的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．10．已知等比數(shù)列an的公比為q，首項為a，前n項和為SA．若a>0，則anSn>0 BC．若a<0，則anSn<0 D【答案】B【解析】因為an為等比數(shù)列，故a≠0若q=1，則an=a，Sn=na，故anS若q≠1，則，，故，若q>1，則qn-1>0，若，則qn-1>0，1-若q<0，則，其中q1-q<0取，則當(dāng)n為偶數(shù)，則a2qn當(dāng)n為奇數(shù)，則a2qn1-故A、D錯誤，故選B．【點評】本題主要考了等比數(shù)列前n項和公式以及通項公式，屬于中檔題．11．（多選）已知數(shù)列an的前n項和是SA．若，則an是等差數(shù)列B．若Sn=2aC．若an是等差數(shù)列，則Sn，D．若an是等比數(shù)列，則Sn，【答案】ABC【解析】若，當(dāng)n=1時，a1=n≥2時，anan=2n(n∈)，∴an若Sn=2an-1，當(dāng)n=1時，n≥2時，an=Sn-Sn-1=設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，首項是，，S2n同理，S3n因此2S2n-Sn=S若等比數(shù)列an的公比，，則，，不行能成等比數(shù)列，D錯誤，故選ABC．【點評】本題考了等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)，以及前n項和與通項的關(guān)系．12．（多選）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，其前q項和為Sn，前n項積為Tn，且滿意，a2020A． B．C．T2020是數(shù)列Tn中的最大項 D【答案】ACD【解析】由a2020-1?a2021-1或，又，且a2020?a2021>1，可得a2020且一個大于1，一個小于1，若q>1，則an若，則，an=a滿意0<a2021<1<對于B選項，由于，數(shù)列an為正項遞減數(shù)列，0<a2021<1<a2020對于C選項，由上可知，正項數(shù)列an前2020項都大于1而從第2021項起都小于1，所以，T2020是數(shù)列Tn中的最大值，故對于D選項，T2021D選項正確，故選ACD．【點評】在等比數(shù)列an的公比q的取值不確定時，首先分析q的符號，進一步確定q的取值范圍，解本題的關(guān)鍵就是結(jié)合已知條件分析出，并結(jié)合等比數(shù)列an二、填空題．13．?dāng)?shù)列an滿意a1=1，an+1【答案】93【解析】∵an+1+，，，把這些相加的：把這些相減的：2a1+①+②，所以Sn+1=3n+3，所以S故答案為93．【點評】數(shù)列求和的常用：公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法．三、解答題．14．設(shè)數(shù)列an是等差數(shù)列，已知a（1）求數(shù)列an（2）設(shè)，求b1+【答案】（1）an=3n；（2）【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d則由題意有a3=a∴a（2），．【點評】本題考查了等差數(shù)列的通項公式的求法，以及裂項相消求前n項和的方法．15．已知數(shù)列an的首項，若向量a=an+1，2，b（1）求數(shù)列an的通項公式a（2）已知數(shù)列bn，若，求數(shù)列的前n項和Sn．【答案】（1）an=2n，【解析】（1）由a⊥b，則a?所以an+1=2a數(shù)列an是以2為首項，2則an=2×2（2）由，則anbn=n×由Sn由①×2，可得2S由①－②，可得-，則Sn=n-1所以數(shù)列的前n項和Sn=【點評】數(shù)列求和的方法：（1）倒序相加法：假如一個數(shù)列{an}的前n（2）錯位相減法：假如一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前n項和即可以用錯位相減法來求；（3）裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時，中間的一些項可相互抵消，從而求得其和；（4）分組轉(zhuǎn)化法：一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組轉(zhuǎn)換法分別求和再相加減；（5）并項求和法：一個數(shù)列的前n項和可以兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和，形如an=-116．已知數(shù)列an滿意：，．（1）求a2n（2）若，求數(shù)列an的最小項．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）設(shè)數(shù)列的前n項和為Sn，即，∴．則，故，當(dāng)n=1，a2=1∴．（2）．考慮奇數(shù)項，∵，∴，又，∵，得，而2q-2>0，∴當(dāng)n≤2時，a2n+1<a2n-1；當(dāng)n≥3時，a而，所以數(shù)列an的最小項為．【點評】數(shù)列的最大項最小項，一般依據(jù)數(shù)列的單調(diào)性來處理，假如數(shù)列是分段數(shù)列，則可以分別探討各段上的最大項最小項，比較后可得原數(shù)列的最大項最小項．17．在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，a2=4，a4=16；數(shù)列b（1）求數(shù)列an的首項a1和公比（2）寫出數(shù)列an的通項公式，并求數(shù)列b（3）求數(shù)列an+bn的前【答案】（1）；（2）an=2n，bn=2n-1【解析】（1）因為an是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，則，解得．（2）由（1）知，an在數(shù)列bn中，S當(dāng)n=1時，b1當(dāng)n≥2時，bn=S綜上所述：bn（3）．【點評】本題考查了等比數(shù)列，等差數(shù)列的通項公式，以及數(shù)列前n項和與通項的關(guān)系．高頻易錯題高頻易錯題一、解答題．1．已知數(shù)列an滿意：．（1）求數(shù)列an（2）設(shè)，數(shù)列bn的前n項和為Sn，試比較Sn與【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因為數(shù)列an滿意：，所以，當(dāng)n=1時，，當(dāng)n≥2時，，相減可得，所以，綜上可得，．（2）因為，所以，n≥2時，．所以，綜上，對n∈N*都有，【點評】本題其次問解題的關(guān)鍵在于當(dāng)n≥2時，，進而依據(jù)列項求和法求解即可，考查運算求解實力，是中檔題．精準精準預(yù)料題1．已知Sn是等差數(shù)列an的前n項和，若a2=7，，則A．24 B．26 C．28 D．30【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由a2=7，S解得，所以，故選B．【點評】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式以及前n項和公式的應(yīng)用，屬于簡單題．2．已知數(shù)列an的前n項和為Sn，前n項積為Tn，若，，則（）A．2100 B．682 C．782 D．1024【答案】C【解析】因為Sn+1=4a又Sn+1-S因為，所以數(shù)列an是以2為首項，4為公比的等比數(shù)列，所以an所以，，所以，所以，故選C．【點評】等差（比）數(shù)列問題解決的基本方法：基本量代換和敏捷運用性質(zhì)．3．已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且an>0，n∈NA．a(chǎn)n+Sn是等差數(shù)列C．a(chǎn)n2是等比數(shù)列 D．【答案】D【解析】因為數(shù)列an和Sn都是等差數(shù)列，，所以可推斷a所以數(shù)列an是公差為0的等差數(shù)列，即a對A，an+Sn-an-1+對B，an?Sn-an-1?對C，，所以數(shù)列an2是等比數(shù)列，故C對對D，設(shè)an=a，則Sn=na，S故選D．【點評】解答本題的關(guān)鍵在于推斷出數(shù)列an是公差為0的等差數(shù)列，然后結(jié)合等差數(shù)列的定義，等比數(shù)列的定義列式推斷4．設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項和，若，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】若數(shù)列an為等差數(shù)列，則S因為，所以，則數(shù)列S4，S8-則，，，所以，，所以，故選A．【點評】本題考了等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)．二、填空題．5．若等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)且a4【答案】10【解析】∵等比數(shù)列{an}∴，故答案為10．【點評】本題主要考了等比數(shù)列的性質(zhì)，以及對數(shù)的運算法則，考查運算求解實力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題．6．?dāng)?shù)列an的前n項之和為Sn，a1=1，an+1（1）當(dāng)p=1時，求數(shù)列的前n項之和；（2）當(dāng)p=2時，求證：數(shù)列an+1是等比數(shù)列，并求【答案】（1）；（2）證明見解析，Sn=【解析】（1）當(dāng)p=1，an+1∴數(shù)列an為等差數(shù)列，公差d=1又a1=1，an，，∴數(shù)列的前n項之和．（2）當(dāng)p=2時，an+1=2a又a1=1，a1∴數(shù)列an+1是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，an+1=2∴．【點評】本題考查等差數(shù)列的判定與求和，等比數(shù)列的判定與求和，裂項求和法和分組求和法，難度不大．關(guān)鍵是駕馭裂項相消求和方法和利用定義證明等比數(shù)列．7．已知正項等