數學學案：6棱柱、棱錐、棱臺和球的表面積

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精數學人教B必修2第一章1.1.6棱柱、棱錐、棱臺和球的表面積1．了解棱柱、棱錐、棱臺和球的表面積計算公式（不要求記憶公式)．2．理解直棱柱、正棱錐、正棱臺的側面積公式的推導過程．1．棱柱、棱錐、棱臺的側面積公式S直棱柱側＝______，其中c為直棱柱的底面周長,h為直棱柱的高．S正棱錐側＝________，其中c為正棱錐的底面周長，h′為斜高．S正棱臺側＝__________，其中c′，c分別為正棱臺的上、下底面的周長，h′為斜高．斜棱柱的側面積需先計算出各個側面的面積之后再求和，也可以先作出斜棱柱的直截面（與棱柱的側棱垂直的截面）,設其周長為c′，側棱長為l,則S斜棱柱側＝c′l?！咀鲆蛔?－1】長方體的對角線長為2eq\r（14），長、寬、高的比為3∶2∶1，那么它的表面積為(）．A．44B．88C．64D．48【做一做1－2】已知棱長為1，各面都是正三角形的四面體,則它的表面積是__________．【做一做1－3】一個正三棱臺的上、下底面邊長為3cm和6cm，高是eq\f（3，2）cm，則三棱臺的側面積是__________．2．圓柱、圓錐、圓臺的面積（1)圓柱、圓錐、圓臺的側面積公式S圓柱側＝______＝______，其中l(wèi)為圓柱的母線長，c為底面圓的周長，r為底面圓的半徑．S圓錐側＝______＝______，其中c，r分別為圓錐底面圓的周長與半徑,l為母線長．S圓臺側＝eq\f（1,2)（c＋c′）l＝π（r＋r′）l，其中c,r，c′，r′分別為圓臺上、下底面圓的周長與半徑，l為圓臺的母線長．(2)圓柱、圓錐、圓臺的表面積公式圓柱表面積：S圓柱＝2πr2＋2πrl＝2πr(r＋l)．圓錐表面積：S圓錐＝____________.圓臺表面積:S圓臺＝____________。表面積是幾何體表面的面積，它表示幾何體表面的大小,有時表面積又稱為全面積．通常把幾何體的側面展成平面圖形，利用平面圖形來求幾何體的表面積．側面積是指側面的面積，與表面積不同．一般地，表面積＝側面積＋底面積．利用側面展開圖或截面把空間圖形問題轉化為平面圖形問題，是解決立體幾何問題的常用手段．【做一做2－1】如圖所示,圓錐的底面半徑為1，高為eq\r(3），則圓錐的表面積為（）．A．πB．2πC．3πD．4π【做一做2－2】如果圓臺的母線與底面成60°角，那么這個圓臺的側面積與軸截面面積的比為（)．A．2πB．eq\f(3π，2)C．eq\f(2\r(3)π,3）D．eq\f（π，2)3．球的表面積S球＝__________,其中R為球的半徑．(1)球的表面積可用語言敘述為：球面面積等于它的大圓面積的四倍．（2)球面不能展開成平面圖形,因此不能根據柱、錐、臺的推導方法求解．（3）不要求掌握其推導的過程，只要求記住公式并會應用．【做一做3－1】若球的大圓周長為C，則這個球的表面積是（）．A．eq\f（C2,4π）B．eq\f(C2，2π）C．eq\f（C2，π)D．2πC2【做一做3－2】若棱長為3的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為__________．柱、錐、臺的側面積之間的區(qū)別和聯(lián)系剖析：通過圓柱、圓錐、圓臺的側面積公式：S圓柱側＝2πrl，S圓錐側＝πrl，S圓臺側＝π（r1＋r2)l，三者之間公式的相互聯(lián)系可以分析出(如圖)：當r1變化時，相應的圖形也隨之變化,當r1＝0，r2＝r時,相應的圓臺就轉化為圓錐，而當r1＝r2＝r時,相應的圓臺就轉化為圓柱，相應的側面積公式也隨之變化．所以可歸納為:①圓柱、圓錐、圓臺的側面積公式之間的變化關系為：S圓柱側＝2πrleq\o(→，\s\up7（r1＝r2＝r))S圓臺側＝π(r1＋r2)leq\o(→,\s\up7(r1＝0，r2＝r））S圓錐側＝πrl.②棱柱、棱錐、棱臺的側面積公式之間的變化關系為:S正棱柱側＝cheq\o（→,\s\up7(c′＝c）)S正棱臺側＝eq\f(1，2)（c＋c′）h′eq\o(→,\s\up7（c′＝0))S正棱錐側＝eq\f（1,2)ch′.一般棱柱、棱錐、棱臺的側面積的求法:因其結構特征不一致，因此應該先分別計算各側面的面積，然后再將各側面面積求和,即為相應的側面積．題型一棱柱、棱錐、棱臺的面積問題【例1】如圖，正四棱錐底面正方形邊長為4cm，高與斜高的夾角為30°，求該正四棱錐的側面積和表面積．分析:根據多面體的側面積公式，必須求出相應多面體的底面邊長和各側面的斜高，進而根據相應的公式求解，把問題轉化到三角形內加以分析求解．反思：利用正棱錐的高、斜高、底面邊心距組成的直角三角形求解相應的元素，再代入面積公式求解．空間幾何體的表面積運算，一般是轉化為平面幾何圖形的運算，再充分利用平面幾何圖形的特性通過解三角形完成基本量的運算．【例2】已知一正三棱臺的兩底面邊長分別為30cm和20cm，且其側面積等于兩底面積的和，求棱臺的高．分析：利用側面積公式求出斜高，再利用正棱臺中的直角梯形求高．反思：求棱臺的側面積時要注意利用公式及正棱臺中的直角梯形，它是架起求側面積關系式中的未知量與滿足題目條件中幾何圖形元素之間關系的橋梁．題型二圓柱、圓錐、圓臺的面積問題【例3】一個直角梯形的上、下底和高的比為1∶2∶eq\r（3），求它繞垂直于上、下底的腰旋轉后形成的圓臺的上底面積、下底面積和側面積的比．分析：利用軸截面求母線長．反思：圓臺的軸截面包含有圓臺的各度量元素,是解有關圓臺計算問題常用的平面圖形．【例4】已知一個圓錐的底面半徑為R,高為H,在其中有一個高為x的內接圓柱．(1)求圓柱的側面積．（2)x為何值時，圓柱的側面積最大?分析：本題是圓錐內接圓柱的組合體，圓錐的底面半徑為R，高為H.解答本題只需求出圓柱的底面半徑和母線長，再根據組合體之間的幾何性質畫出其軸截面．利用平面幾何知識去求底面半徑，代入側面積公式，就可以用x把側面積表示出來，最后用二次函數求最值理論求其最大值，同時要注意自變量x的實際意義．反思:立體幾何中求某些量的最值時,也可采用代數方法．其方法是：首先根據題意合理選取變元x,用其把所要求最值的量表示出來,然后采用代數方法求其最值．題型三球的切接問題【例5】長方體的共頂點的三個側面面積分別為eq\r（3），eq\r(5）,eq\r(15）,試求它的外接球的表面積．分析：根據長方體的體對角線長等于其外接球的直徑這一關系列式即可．反思：在處理球和長方體的組合問題時，通常是先作出過球心且過長方體對角面的截面圖，然后通過已知條件來求．題型四易錯辨析【例6】用互相平行且距離為27的兩個平面截球面，兩個截面圓的半徑分別為r1＝15，r2＝24，試求球的表面積．錯解：設球的半徑為R，由題意可設球心到兩平行平面的距離為OO1＝d1，OO2＝d2,如圖所示，可得d1，d2，R之間的關系：eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（R2＝152＋d\o\al(2,1)，,R2＝242＋d\o\al(2,2),,d1＋d2＝27，）)∴225＋deq\o\al（2，1）＝576＋（27－d1)2，解得d1＝20，d2＝7，R＝25.∴S球＝4πR2＝2500π.錯因分析：錯解中只分析了兩平行平面位于球心異側的情況，還應該討論兩平行平面位于球心同側的情況．1已知正六棱柱的高為h，底面邊長為a，則它的全面積為()．A．3eq\r(3）a2＋6ahB．eq\r(3)a2＋6hC．4eq\r(3)a2＋6ahD．eq\f(3,2)eq\r（3）a2＋6ah2（2012·山東濰坊一模)已知矩形ABCD的面積為8，當矩形周長最小時，沿對角線AC把△ACD折起，則三棱錐D－ABC的外接球的表面積等于(）．A．4πB．8πC．16πD．24π3一個幾何體的三視圖如圖，該幾何體的表面積是(）．A．372B．360C．292D．2804已知一圓錐的側面展開圖為半圓,且面積為S，則圓錐的底面面積是__________．5正四棱臺的高是12cm,兩底面邊長相差10cm，全面積是512cm2，則兩底面的邊長分別是__________．答案：基礎知識·梳理1．cheq\f(1,2)ch′eq\f(1,2)（c＋c′）h′【做一做1－1】B設長，寬,高分別為3x,2x，x,則對角線長為eq\r(9x2＋4x2＋x2)＝eq\r(14)x＝2eq\r(14)，∴x＝2.∴表面積S＝2（6x2＋3x2＋2x2）＝88。【做一做1－2】eq\r(3)【做一做1－3】eq\f（27\r（3）,2）cm22．(1）cl2πrleq\f(1,2)clπrl(2)πr2＋πrl＝πr（r＋l）π(r′2＋r2＋r′l＋rl)【做一做2－1】C設圓錐的母線長為l，則l＝eq\r（3＋1）＝2，所以圓錐的表面積S＝π×1×（1＋2)＝3π.【做一做2－2】C可以把母線的長設為1,根據已知求出圓臺的高，進而根據公式分別求出圓臺的側面積和軸截面的面積．3．4πR2【做一做3－1】C【做一做3－2】27π正方體的體對角線即為球的直徑，即直徑d＝eq\r(32＋32＋32）＝eq\r（27）＝3eq\r（3），∴球的半徑R＝eq\f（3\r（3),2)。∴S＝4πR2＝27π。典型例題·領悟【例1】解：正四棱錐的高PO，斜高PE，底面邊心距OE組成一個Rt△POE。因為OE＝2cm，∠OPE＝30°，所以PE＝eq\f（OE,sin30°)＝4(cm)．因此S正四棱錐側＝eq\f（1，2）ch′＝eq\f（1，2）×4×4×4＝32（cm2），S正四棱錐表＝S正四棱錐側＋S正四棱錐底＝32＋4×4＝48（cm2）．【例2】解：如圖所示,正三棱臺ABC－A1B1C1中，O，O1為兩底面中心，D,D1是BC，B1C1的中點，則DD1為棱臺的斜高．由A1B1＝20cm，AB＝30cm,則OD＝5eq\r（3）cm，O1D1＝eq\f(10\r(3),3）cm.由S側＝S上＋S下,得S側＝eq\f（1,2)(60＋90）·DD1＝eq\f（\r（3），4)（202＋302），解得DD1＝eq\f（13，3）eq\r（3)(cm)．在直角梯形O1ODD1中，O1O＝eq\r(DD21－OD－O1D12)＝eq\r(\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(13,3)\r(3）))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（5\r(3）－\f（10\r（3），3)))2)＝4eq\r(3）（cm),即棱臺的高為4eq\r（3)cm?！纠?】解：如圖所示，設上、下底和高分別為x，2x，eq\r（3)x，則母線長l＝eq\r(2x－x2＋\r（3)x2)＝2x，∴S上底＝πx2，S下底＝π（2x）2＝4πx2，S側＝π(x＋2x)·2x＝6πx2，∴圓臺的上底面積、下底面積和側面積之比為1∶4∶6?！纠?】解：（1）畫圓錐及內接圓柱的軸截面，如圖所示，設所求圓柱的底面半徑為r，它的側面積S圓柱側＝2πr·x，∵eq\f(r，R）＝eq\f(H－x，H)，∴r＝R－eq\f(R，H)x，∴S圓柱側＝2πRx－eq\f（2πR，H）·x2（0＜x＜H)．（2)∵S圓柱側的表示式中x2的系數小于零，∴這個二次函數有最大值，這時圓柱的高是x＝－eq\f（2πR，－2×\f（2πR，H)）＝eq\f(H,2)＞0，且x＝eq\f（H,2）＜H，滿足題意,∴當圓柱的高是已知圓錐的高的一半時，它的側面積最大．【例5】解：如圖為過長方體的一條體對角線的截面．設長方體有公共頂點的三條側棱的長分別為x，y，z，則由已知有eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（xy＝\r(3），，yz＝\r（5）,,zx＝\r（15），)）解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝\r(3)，,y＝1,,z＝\r（5）.）)所以球的半徑R＝eq\f（1，2）AB＝eq\f（1，2)eq\r(x2＋y2＋z2)＝eq\f(3,2)。所以S球＝4πR2＝9π?！纠?】正解：設球的半徑為R,球心O到兩平行截面的距離分別為OO1＝d1，OO2＝d2。（1)當兩平行截面位于球心O異側時，如圖①，則eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（R2＝152＋d\o\al（2，1）,,R2＝242＋d\o\al(2，2)，,d1＋d2＝27.））∴225＋deq\o\al(2，1）＝576＋(27－d1）2.解得d1＝20,d2＝7，R＝25?！郤球＝4πR2＝2500π。(2）當兩平行截面位于球心O同側時，