數(shù)學(xué)學(xué)案:?jiǎn)卧系诙v證明不等式的基本方法_第1頁(yè)
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學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精單元整合知識(shí)網(wǎng)絡(luò)專題探究專題一比較法比較法證明不等式的依據(jù)是:不等式的意義及實(shí)數(shù)比較大小的充要條件.作差比較法證明的一般步驟是:①作差;②恒等變形;③判斷結(jié)果的符號(hào);④下結(jié)論.其中,變形是證明推理中一個(gè)承上啟下的關(guān)鍵,變形的目的在于判斷差的符號(hào),而不是考慮差能否化簡(jiǎn)或值是多少,變形所用的方法要具體情況具體分析,可以配方,可以因式分解,可以運(yùn)用一切有效的恒等變形的方法.eq\x(應(yīng)用1)設(shè)a≠b,求證:a2+3b2>2b(a+b).提示:用作差比較法證明.作差比較法的步驟是:①作差;②變形;③判斷差與0的大小關(guān)系;④下結(jié)論,其中最關(guān)鍵的步驟是②③。證明:(a2+3b2)-2b(a+b)=a2+3b2-2ab-2b2=a2-2ab+b2=(a-b)2。因?yàn)閍≠b,所以a-b≠0.從而(a-b)2>0,于是(a2+3b2)-2b(a+b)>0.所以a2+3b2>2b(a+b).eq\x(應(yīng)用2)若a=eq\f(ln2,2),b=eq\f(ln3,3),c=eq\f(ln5,5),則()A.a(chǎn)<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c提示:作商比較法的步驟是:①作商;②變形;③判斷商與1的大小關(guān)系;④下結(jié)論.其中②③是關(guān)鍵步驟,同時(shí)要注意分子、分母的正負(fù).解析:∵eq\f(b,a)=eq\f(2ln3,3ln2)=log89>1,且a>0,b>0,∴b>a.又∵eq\f(a,c)=eq\f(5ln2,2ln5)=log2532>1,且a>0,c>0,∴a>c?!郼<a<b。答案:C專題二綜合法綜合法證明不等式的依據(jù):已知的不等式以及邏輯推證的基本理論.證明時(shí)要注意:作為依據(jù)和出發(fā)點(diǎn)的幾個(gè)重要不等式(已知或已證)成立的條件往往不同,應(yīng)用時(shí)要先考慮是否具備應(yīng)有的條件,避免錯(cuò)誤,如一些帶等號(hào)的不等式,應(yīng)用時(shí)要清楚取等號(hào)的條件,即對(duì)重要不等式中“當(dāng)且僅當(dāng)……時(shí),取等號(hào)"的理由要理解掌握.綜合法證明不等式的思維方面是“順推”,即由已知的不等式出發(fā),逐步推出其必要條件(由因?qū)Ч?最后推導(dǎo)出所要證明的不等式成立.eq\x(應(yīng)用)已知a,b,c為△ABC的三條邊,求證:a2+b2+c2<2(ab+bc+ca)提示:應(yīng)用余弦定理解決.證明:設(shè)a,b兩邊的夾角為θ,則由余弦定理,得:cosθ=eq\f(a2+b2-c2,2ab)因?yàn)?<θ<π,∴cosθ<1,∴eq\f(a2+b2-c2,2ab)<1,即a2+b2-c2<2ab。同理可證:b2+c2-a2<2bc,c2+a2-b2<2ac將上面三個(gè)同向不等式相加,即得:a2+b2+c2<2(ab+bc+ca)專題三分析法分析法證明不等式的依據(jù):不等式的基本性質(zhì)、已知的重要不等式和邏輯推理的基本理論.分析法證明不等式的思維方向是“逆求”(但絕不是逆推),即由待證的不等式出發(fā),逐步逆求使其成立的充分條件(執(zhí)果索因),最后得到充分條件是已知(或已證)的不等式.當(dāng)要證的不等式不知從何入手時(shí),可考慮用分析法去證明,特別是對(duì)于條件簡(jiǎn)單而結(jié)論復(fù)雜的題目往往更為有效.分析法是“執(zhí)果索因",步步尋求上一步成立的充分條件,而綜合法是“由因?qū)Ч?,逐步推?dǎo)出不等式成立的必要條件,兩者是對(duì)立統(tǒng)一的兩種方法,一般說(shuō)來(lái),對(duì)于較復(fù)雜的不等式,直接用綜合法往往不易入手,因此,常用分析法探索證題途徑,然后用綜合法加以證明,所以分析法和綜合法可結(jié)合使用.eq\x(應(yīng)用)設(shè)a>0,b>0,求證:a5+b5≥a3b2+a2b3.提示:此題可以用分析法、綜合法和比較法來(lái)證明,這里我們用分析法證明.證明:要證a5+b5≥a3b2+a2b3成立,即證(a5-a3b2)+(b5-a2b3)≥0成立,即證a3(a2-b2)+b3(b2-a2)≥0成立,即證(a3-b3)(a2-b2)≥0成立.而a>0,b>0,當(dāng)a≥b>0或b≥a>0時(shí),a3-b3與a2-b2的符號(hào)都相同,所以(a3-b3)(a2-b2)≥0成立.所以原不等式成立.專題四反證法運(yùn)用反證法證明不等式,主要有以下兩個(gè)步驟:①作出與所證不等式相反的假設(shè);②從條件和假設(shè)出發(fā),應(yīng)用正確的推理方法,推出矛盾的結(jié)論,否定假設(shè),從而證明原不等式成立.反證法常用于直接證明困難或以否定形式出現(xiàn)的命題.涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命題,也常用反證法.eq\x(應(yīng)用)用反證法證明鈍角三角形最大邊上的中線小于該邊長(zhǎng)的一半.解:已知:如圖,在△ABC中,∠CAB>90°,D是BC的中點(diǎn).求證:AD<eq\f(1,2)BC。證明:假設(shè)AD≥eq\f(1,2)BC.(1)若AD=eq\f(1,2)BC,由平面幾何中定理“若三角形一邊上的中線等于該邊長(zhǎng)的一半,那么,這條邊所對(duì)的角為直角”,知∠CAB=90°,與題設(shè)矛盾.所以AD≠eq\f(1,2)BC。(2)若AD>eq\f(1,2)BC,因?yàn)锽D=DC=eq\f(1,2)BC,所以在△ABD中,AD>BD,從而∠B>∠BAD.同理∠C>∠CAD.所以∠B+∠C>∠BAD+∠CAD,即∠B+∠C>∠CAB。因?yàn)椤螧+∠C=180°-∠CAB,所以180°-∠CAB>∠CAB,則∠CAB<90°,這與題設(shè)矛盾.由(1)(2)知AD<eq\f(1,2)BC.專題五放縮法在證明不等式時(shí),有時(shí)我們要把所證不等式的一邊適當(dāng)?shù)胤糯?或縮小)以方便化簡(jiǎn),并使它與不等式的另一邊的不等關(guān)系更為明顯,從而得到欲證的不等式成立,這種證明的方法稱為放縮法.它是證明不等式的特殊方法.eq\x(應(yīng)用)已知a,b,c為三角形的三邊,求證:eq\f(a,1+a),eq\f(b,1+b),eq\f(c,1+c)也可以構(gòu)成一個(gè)三角形.證明:設(shè)f(x)=eq\f(x,1+x),x∈(0,+∞),0<x1<x2,則f(x2)-f(x1)=eq\f(x2,1+x2)-eq\f(x1,1+x1)=eq\f(x2-x1,(1+x2)(1+x1))>0,f(x2)>f(x1),∴f(x)在(0,+∞)上為單調(diào)增函數(shù).∵a,b,c為三角形三邊,∴a+b>c,∴eq\f(c,1+c)<eq\f(a+b,1+(a+b))=eq\f(a,1+a+b)+eq\f(b,1+a+b)<eq\f(a,1+a)+eq\f(b,1+b),即eq\f(c,1+c)<eq\f(a,1+a)+eq\

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