數(shù)學(xué)學(xué)案：第二講四漸開線與擺線

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精四漸開線與擺線1．借助教具或計(jì)算機(jī)軟件，觀察圓在直線上滾動(dòng)時(shí)圓上定點(diǎn)的軌跡（平擺線）、直線在圓上滾動(dòng)時(shí)直線上定點(diǎn)的軌跡（漸開線）,了解平擺線和漸開線的生成過程，并能推導(dǎo)出它們的參數(shù)方程．2．通過閱讀材料,了解其他擺線(變幅平擺線、變幅漸開線、外擺線、內(nèi)擺線、環(huán)擺線）的生成過程；了解擺線在實(shí)際應(yīng)用中的實(shí)例．1．漸開線的產(chǎn)生過程把一條沒有彈性的細(xì)繩繞在一個(gè)圓盤上，在繩的外端系上一支鉛筆，將繩子拉緊，保持繩子與圓相切，逐漸展開，那么鉛筆畫出的曲線就是圓的______，相應(yīng)的定圓叫做________．2．?dāng)[線的概念及產(chǎn)生過程圓的擺線就是一個(gè)圓沿著一條定直線無滑動(dòng)地滾動(dòng)時(shí)圓周上一個(gè)定點(diǎn)的軌跡，圓的擺線又叫______．漸開線的實(shí)質(zhì)是直線在圓上滾動(dòng)時(shí)直線上定點(diǎn)的軌跡．圓的擺線的實(shí)質(zhì)是一個(gè)圓沿著一條定直線無滑動(dòng)地滾動(dòng)時(shí)圓周上一個(gè)定點(diǎn)的軌跡．【做一做1】關(guān)于漸開線和擺線的敘述，正確的是（)．A．只有圓才有漸開線B．漸開線和擺線的定義是一樣的，只是繪圖的方法不一樣，所以才得到了不同的圖形C．正方形也可以有漸開線D．對(duì)于同一個(gè)圓,如果建立的平面直角坐標(biāo)系的位置不同，畫出的漸開線形狀就不同3．圓的漸開線和擺線的參數(shù)方程（1)圓的漸開線的參數(shù)方程：__________________.(2）擺線的參數(shù)方程：__________________.圓的漸開線和擺線的參數(shù)方程均不宜化為普通方程，普通方程既煩瑣又沒有實(shí)際意義．【做一做2－1】半徑為4的圓的漸開線的參數(shù)方程是__________．【做一做2－2】求擺線eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2t－sint，,y＝21－cost)）(0≤t≤2π)與直線y＝2的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)．答案：1．漸開線漸開線的基圓2．旋輪線【做一做1】C不僅圓有漸開線，其他圖形如橢圓、正方形也有漸開線;漸開線和擺線的實(shí)質(zhì)是完全不一樣的，因此得出的圖形也不相同；對(duì)于同一個(gè)圓不論在什么地方建立平面直角坐標(biāo)系，畫出的圖形的大小和形狀都是一樣的，只是方程的形式及圖形在坐標(biāo)系中的位置可能不同．3．（1）eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝rcosφ＋φsinφ，，y＝rsinφ－φcosφ)）（φ為參數(shù)）（2）eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝rφ－sinφ,,y＝r1－cosφ))(φ為參數(shù)）【做一做2－1】eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝4cosφ＋φsinφ，，y＝4sinφ－φcosφ））（φ為參數(shù)）【做一做2－2】解：y＝2時(shí)，2＝2(1－cost)，∴cost＝0?！?≤t≤2π,∴t＝eq\f(π,2)或eq\f(3,2)π?！鄕1＝2（eq\f（π,2）－sineq\f（π，2）)＝π－2,x2＝2（eq\f(3，2)π－sineq\f(3,2)π)＝3π＋2.∴交點(diǎn)坐標(biāo)為（π－2,2)，（3π＋2,2)．1．圓的漸開線和擺線的參數(shù)方程中，參數(shù)φ的幾何意義剖析:根據(jù)漸開線的定義和求解參數(shù)方程的過程，可知其中的字母r是指基圓的半徑，而參數(shù)φ是指繩子外端運(yùn)動(dòng)時(shí)繩子與基圓的切點(diǎn)B轉(zhuǎn)過的角度，如圖，其中的∠AOB即是角φ.顯然點(diǎn)M由參數(shù)φ惟一確定．在我們解決有關(guān)問題時(shí)可以適當(dāng)利用其幾何意義，把點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為與三角函數(shù)有關(guān)的問題,使求解過程更加簡單．同樣,根據(jù)圓的擺線的定義和建立參數(shù)方程的過程,可知其中的字母r是指定圓的半徑，參數(shù)φ是指圓上定點(diǎn)相對(duì)于定直線與圓的切點(diǎn)所張開的角度．參數(shù)的幾何意義可以在解決問題中加以引用，簡化運(yùn)算過程．當(dāng)然這個(gè)幾何意義還不是很明顯，直接使用還要注意其取值的具體情況．2．圓的漸開線和擺線的參數(shù)方程不宜化為普通方程剖析：用參數(shù)方程描述運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)，常常比用普通方程更為直接、簡便．有些重要但較復(fù)雜的曲線（例如圓的漸開線),建立它們的普通方程比較困難，甚至不可能，列出的方程既復(fù)雜又不易理解，從普通方程看不出曲線的坐標(biāo)所滿足條件的含義．如圓的漸開線普通方程,可以根據(jù)其參數(shù)方程eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝rcosφ＋φsinφ,,y＝rsinφ－φcosφ)）（φ為參數(shù))消去參數(shù)φ，得普通方程，但根據(jù)方程畫出曲線十分費(fèi)時(shí)．而利用參數(shù)方程把兩個(gè)變量x，y間接地聯(lián)系起來，常常比較容易,方程簡單明確，且畫圖也不太困難．而對(duì)于參數(shù)方程，我們可以根據(jù)參數(shù)的取值求出坐標(biāo)的關(guān)系，相比之下比普通方程更為直觀．所以，在研究圓的漸開線和圓的擺線時(shí)主要使用參數(shù)方程,而不去討論其普通方程．題型一圓的漸開線的參數(shù)方程【例1】已知圓的直徑為2，其漸開線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程對(duì)應(yīng)的曲線上兩點(diǎn)A,B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別是eq\f(π，3)和eq\f（π,2)，求A,B兩點(diǎn)的距離．分析：先寫出圓的漸開線的參數(shù)方程,再把A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)代入?yún)?shù)方程可得對(duì)應(yīng)的A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后使用兩點(diǎn)之間的距離公式可得A，B之間的距離．題型二圓的擺線的參數(shù)方程【例2】已知一個(gè)圓的擺線過一定點(diǎn)（2,0），請(qǐng)寫出該圓的半徑最大時(shí)該擺線的參數(shù)方程以及對(duì)應(yīng)的圓的漸開線的參數(shù)方程．分析：根據(jù)圓的擺線的參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝rφ－sinφ，，y＝r1－cosφ)）(φ為參數(shù))，只需把點(diǎn)（2,0)代入?yún)?shù)方程求出r的表達(dá)式，根據(jù)表達(dá)式求出r的最大值,再確定對(duì)應(yīng)的擺線和漸開線的參數(shù)方程即可．題型三易錯(cuò)辨析【例3】已知一個(gè)圓的擺線過一定點(diǎn)（1,0），請(qǐng)寫出該擺線的參數(shù)方程．錯(cuò)解:令r(1－cosφ)＝0可得cosφ＝1，所以φ＝0，代入可得x＝0.故此題無解．答案：【例1】解：根據(jù)條件可知圓的半徑是1，所以對(duì)應(yīng)的漸開線參數(shù)方程是eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝cosφ＋φsinφ，，y＝sinφ－φcosφ)）(φ為參數(shù)）,分別把φ＝eq\f（π，3)和φ＝eq\f（π,2)代入，可得A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為Aeq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(3＋\r（3)π，6），\f(3\r（3)－π，6））)，Beq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（π，2)，1））。那么，根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式可得A，B兩點(diǎn)的距離為｜AB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（3＋\r（3）π,6)－\f(π，2）））2＋\f(3\r(3)－π，6）－12)＝eq\f(1,6）eq\r（13－6\r(3)π2－6π－36\r(3)＋72）.即A，B兩點(diǎn)之間的距離為eq\f(1，6）eq\r(13－6\r（3）π2－6π－36\r(3）＋72）?！纠?】解：令y＝0，可得r（1－cosφ）＝0,由于r＞0，即得cosφ＝1,所以φ＝2kπ（k∈Z)．代入x＝r（φ－sinφ)，得x＝r(2kπ－sin2kπ）．又因?yàn)閤＝2，所以r（2kπ－sin2kπ）＝2，即得r＝eq\f（1，kπ)(k∈Z)．又由實(shí)際可知r＞0，所以r＝eq\f(1,kπ）(k∈N＋）．易知，當(dāng)k＝1時(shí)，r取最大值為eq\f(1，π)。代入即可得圓的擺線的參數(shù)方程為eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝\f（1，π)φ－sinφ，,y＝\f（1,π）1－cosφ)）(φ為參數(shù)）；圓的漸開線的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝\f（1,π）cosφ＋φsinφ，，y＝\f（1,π)sinφ－φcosφ)）（φ為參數(shù)）．【例3】錯(cuò)因分析:在求出cosφ＝1時(shí)，直接得出φ＝0,從而導(dǎo)致答案不全面．正解:令r(1－cosφ）＝0可得cosφ＝1，所以φ＝2kπ（k∈Z），代入可得x＝r（2kπ－sin2kπ）＝1。所以r＝eq\f(1，2kπ)。又根據(jù)實(shí)際情況可知r是圓的半徑,故r＞0.所以,應(yīng)有k＞0且k∈Z，即k∈N＋.所以，所求擺線的參數(shù)方程是eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝\f(1，2kπ)φ－sinφ，,y＝\f(1,2kπ)1－cosφ）)(φ為參數(shù))，其中k∈N＋。1圓（θ為參數(shù)）的平擺線上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，那么其橫坐標(biāo)可能是（）．A．πB．3πC．6πD．10π2給出下列說法：①圓的漸開線的參數(shù)方程不能轉(zhuǎn)化為普通方程；②圓的漸開線的參數(shù)方程也可以轉(zhuǎn)化為普通方程，但是轉(zhuǎn)化后的普通方程比較麻煩，且不容易看出坐標(biāo)之間的關(guān)系,所以常使用參數(shù)方程研究圓的漸開線問題;③在求圓的擺線和漸開線方程時(shí)，如果建立的坐標(biāo)系原點(diǎn)和坐標(biāo)軸選取不同，可能會(huì)得到不同的參數(shù)方程；④圓的漸開線和x軸一定有交點(diǎn)而且是惟一的交點(diǎn)．其中正確的說法有（）．A．①③B．②④C．②③D．①③④3已知圓的漸開線的參數(shù)方程是(θ為參數(shù)）,則此漸開線對(duì)應(yīng)的基圓的直徑是________，當(dāng)參數(shù)θ＝時(shí)對(duì)應(yīng)的曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)為________．4漸開線(φ為參數(shù)）的基圓的圓心在原點(diǎn)，把基圓的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得到的曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為________．5寫出半徑為2的基圓的漸開線的參數(shù)方程．答案：1．C根據(jù)條件可知圓的平擺線的參數(shù)方程為（φ為參數(shù)),把y＝0代入，得cosφ＝1，所以φ＝2kπ（k∈Z）．而x＝3φ－3sinφ＝6kπ(k∈Z）．2．C對(duì)于一個(gè)圓,只要半徑確定，漸開線和擺線的形狀就是確定的，但是隨著選擇坐標(biāo)系的不同，其在坐標(biāo)系中的位置也會(huì)不同，相應(yīng)的參數(shù)方程也會(huì)有所區(qū)別，至于漸開線和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)要看選取的坐標(biāo)系的位置．3