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文檔簡介
專題09三角函數(shù)拆角與恒等變形歸類
空盤點?置擊看考
目錄
題型一:誘導(dǎo)公式................................................................................1
題型二:輔助角:特殊角型........................................................................2
題型三:輔助角:非特殊角型......................................................................3
題型四:sinx±cosx與sinxcosx型轉(zhuǎn)化..............................................................4
題型五:齊次式轉(zhuǎn)化..............................................................................5
題型六:拆角:互補型拆角一缺....................................................................5
題型七:拆角:互余型拆角........................................................................6
題型八:拆角:二倍角型拆角......................................................................7
題型九:拆角:30度型拆角........................................................................8
題型十:拆角:60度型拆角........................................................................8
題型十一:拆角:正切型.........................................................................9
題型十二:拆角:分式型.........................................................................10
題型十三:對偶型恒等變形求值...................................................................11
題型十四:拆角求最值...........................................................................11
題型十五:韋達定理型恒等變形求值...............................................................12
題型十六:恒等變形求角.........................................................................13
^突圍?檐淮蝗分
題型二7誘導(dǎo)公式
指I點I迷I津
誘導(dǎo)公式可簡記為:奇變偶不變,符號看象限.
JT
“奇”“偶”指的是“左5+a/ez)”中的k是奇數(shù)還是偶數(shù).
"變’’與"不變”是指函數(shù)的名稱的變化,若左是奇數(shù),則正、余弦互變;若左為偶數(shù),則函數(shù)名稱不變.
TTTT
“符號看象限”指的是在中,將a看成銳角時,25+a(Z£Z)”的終邊所在的象限.
1.(23-24高三?浙江?模擬)已知銳角a(aw50。)滿足3cos(140O-a)-cosa+sin(100o+a)=sin(a-20。),則
8s2a=()
A.-B.--C.D.息
3333
2.(23-24高三?浙江寧波?模擬)已知cos(140。一a)+sin(110。+a)=sin(130。一a),求tana=()
A.叵B.一代C.73D.-73
33
3.(15-16高三?吉林長春?模擬)設(shè)cos(—80:)=加,那么tanlOCT=
ABC,醐D.丁
?左mdll-Wi''U:l一蹄F
4.(安徽省阜陽市2023-2024學(xué)年高三模擬質(zhì)量統(tǒng)測數(shù)學(xué)試題)若角a滿足cos(=7T+a)=2cos(7BT-①,則
36
cos(2cr-y)=()
43-43
A.——B.-C.一D.
5555
5.(2024?廣東?二模)tan7.5。—tan82.5。+2tan15。=()
A.-2B.-4C.-273D.-4>/3
題型二:輔助角:特殊角型
指I點I迷I津
輔助角
asina+Z>cosa=^層+廬sin(a+0),其中tan不記正切這個,要會推導(dǎo)非特殊角的輔助角)
1.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)尤)=gcos(0x+gJ+cos(0x-:|J(0>O)在1個,"J上單調(diào)遞增,則
。的取值范圍是()
2.(23-24高三?四川.階段練習(xí))若函數(shù)/(x)=?sinx+;cosx在區(qū)間[0,a],[a,2a]上的值域分別為
則下列命題錯誤的是()
A.若=則。的最小值為與
B.若=貝!)。的最小值為5
C.若mNq,則〃的取值范圍為[彳,/
D.若〃<〃,則〃的取值范圍為空
3.(22-23高三?廣西南寧?模擬)已知函數(shù)/(x)=V^sin2詈+;sinox-等(0>。),若在■,當"1上
無零點,則①的取值范圍是()
A-[°'|U'+]B,u||C.D.q,[u]l,+?O
4.(22-23高三.江西?階段練習(xí))已知函數(shù)/(%)=2sinx|cosx|+6cos2%,則()
A./(力的最小正周期是〃B.“X)的圖象關(guān)于直線對稱
c.“X)在[0,2句上有4個極值點D.“X)在[皆,藍]上單調(diào)遞減
5.(23-24高三遼寧?模擬)已知函數(shù)"尤)=J5sins-8sox,若關(guān)于尤的方程〃x)T=0在區(qū)間(0,2可上
有且只有四個不相等的實數(shù)根,則正數(shù)。的取值范圍是()
題型三:輔助角:非特殊角型
指I點I迷I津
輔助角
y、2
2a(b
asina+bcosa=4a$(〃sina+/-cosa];+=1
J/+-2G+/、yja2+/?2>
(1)正弦形式,sin(a+/?):sincif*cos/?±cos<z*sinP=sin(a±/?),
其中:cos/7=.a,sin/?=.b.
(2)余弦形式JX+z^cos(a-,):cosa.cos/?土sino?sin/?=cos(a干〃),
-tpjt.門an"
其中:sin/?——,,cosp=—,..
y/a2+b2y/a2+b2
222
輔助角范圍滿足:-Na$<asina+bcosa<\Ja+b
h(TTTT]
1.(22-23高三上海寶山?階段練習(xí))若tan6=——彳<6<彳,
八22)
asin%+1cos%=+/sin(%+0)(04<<2兀),下列判斷錯誤的是()
A.當〃>0,6>0時,(p=0B.當a>0,0v0時,0=6+2兀
C.當〃<0,。>0時,(p=0+TiD.當〃<0,。<0時,0=8+2兀
2.(2023?河南?模擬預(yù)測)若關(guān)于工的方程sin2x+2cos2x=-2在[。,兀)內(nèi)有兩個不同的解戊,〃,貝IJcos(a-£)
的值為()_
A非口垂>廠2^/^門2辨
A.----D.—C.-----D.---
5555
3.(23-24高三?江西贛州?模擬)已知A(個%),3(是圓f+y2=2上兩點.若占巧+%%=T,則
%+々+%+%的取值范圍是()
A.g,用B.[-1,1]
C.「也,①]D.[-2,2]
4.(2023?四川雅安?一模)已知函數(shù)/(x)=3sin(4x+|^+4sin(4x-",設(shè)VxeR,%eR,/(x)W/(毛),
等于()
234
B.c.D.
443
5.(22-23高三遼寧大連?模擬)已知函數(shù)/(x)=asins+bcosG%(?>0,b>0,co>0)在區(qū)間上
o2
71
單調(diào),且了,則不等式/(%)+〃>。的解集是()
一?+匕7,署+左乃)(%GZ)一名+左〃■,(?十女")(左£)
A.B.Z
C.一(+k兀,k冗)(keZ)D.k7r,^+k7r\(kGZ)
叁^四:sinx±cosx與sinxcosx型轉(zhuǎn)化
指I點I迷I津
sinx±cosx與sinxcosx
的函數(shù)中一般可設(shè)Z=S山X土cosx進行換元.換元時注意新元的取值范圍.
sinx±cosx,與sinx.cosx之間的互化關(guān)系
1(sinx±cosx)2=1±2sinx?cosx
2.如果xGR,貝!J由輔助角可知sinx土cos%£[一行,行]
1.(23-24高三?麗花言次?稹教5畝及y=sinx-cosx+5sinxcosx的最天宿區(qū)()
5LL
A.—B.2C.y/5D.1+^2
2.(23-24高三?遼寧大連?階段練習(xí))若sin6,cos6是方程/一以+加=。的兩根,則加的值為()
A.1-72B.1+72C.1±72D.-1-72
c人用II42sin2a+1+cos2?-2tana,、
3.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知cos|二--a=-,則-----------------------=()
V47/sina
.1120056亞?2240八28^/2
17171717
4.(23-24高三?江蘇蘇州?階段練習(xí))已知5位4+85。=5111285g,則sin(2025兀一2a)的值為()
A.2+20B.2-272C.2±272D.2拒±2
71
5.(23-24高三?湖北武漢?模擬)已知0,-則函數(shù)y=sine-cos0+2sinecos6的值域為()
A.[Tl]B.卜-⑸]C.[1,|5
D.
4
題型五:齊次式轉(zhuǎn)化
指I點I迷I津
正切齊次求值型
給正切,利用正余弦一次分式齊次特征,可以同除余弦化為正切
二次型求正切,充分運用“1”的代換:
(1)x2+y2=1<=>cos2a+sin2tz=1
y=sina
1.(2024?新疆?一模)已知:sin(20°-0)+sin(20°+0)+sin(40°-^)=0,則tan*()
B.一走C.立D.百
A.-73
33
2.(23-24高三遼寧大連?模擬)已知a,夕均為銳角,sina=2sin/?cos(a+〃),則tana取得最大值時,
tan(a+萬)的值為()
A.A/3B.V2C.2D.1
3.(20-21高三?河南新鄉(xiāng)?階段練習(xí))函數(shù)尸比黑。小吟的最大值和最小值分別為()
V2V2c.也,0
A.1,-1B.D.0,-1
222
2-2cos611-cos。-2sin。
4.(2024.全國.模擬預(yù)測)已知=3,則二()
sin<9l+cos6+sin。
3333
A.—B.C.一D.——
101022
5.(23-24高三江蘇南京?模擬)已知sina+2cosa=?,則smacosa=()
2cosa-sma
題型六:拆角:互補型拆角---缺
指I點I迷I津
角度“互補”與“廣義互補余”可以用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化:
1.“互補”:兩個復(fù)合型角度相加為180°,可以用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化sin(>r_c)=sina
cos(萬一a)=-cosa
2.“廣義互余”:兩個復(fù)合型角度的和或者差為180°+k360°,可以用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化
1.(2022秋?陜西商洛?高三陜西省山陽中學(xué)校聯(lián)考)己知cos[c+"||=-1,則
)
A.2B.一直C.&D.「好
2233
2(2023春?浙江寧波?高三校考階段練習(xí))已知cos[3-]=-|,則cos]9+d等于()
A.-B.立C.--D.
3333
3.若sin[-^-e]=:,貝ljsin(與一。)的值為()
A.--B,-C.一五D.立
4444
4.(山東省青島市青島中學(xué)2022-2023學(xué)年10月月考)已知cos]W-aj=g,且0<a<,,則
7i27r
sin(—+a)+cos(----\-a)=______.
63
題型七:拆角:互余型拆角
指I點I迷I津
角度“互余”與“廣義互余”可以用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化:
sin----a=
1.“互余”:兩個復(fù)合型角度相加為90°,可以用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化(2)cosa
cos----a=
12)sina
2.“廣義互余”:兩個復(fù)合型角度的和或者差為90°+k360°,可以用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化
已矢口sinf6/+—,5叫.)
1.(23-24高三?河南洛陽?模擬)則cosa-切-()
112J3
「V5D.-且
A2B.--.--
,3333
已知6sin8-cos。=gI,則cos,+:)=(
2.(23-24高三廣東梅州,模擬))
A.一述1D.述
B.—c.-
3333
3.(23-24高三下?山東威海?階段練習(xí))已知cos[a+g14,則sin[tz+"=()
A-4B--1c-i
D-7
.(兀)1.1(2兀
4.(2024?浙江?模擬預(yù)測)已知0,sma-----=-,則ncosa+—)
2廣1ioj315
A.一還B.其1-11
C.——D.
3333
7111E/5兀、
5.(2024?河南信陽?模擬預(yù)測)若sinCXH---=-,貝Ucos^+―=()
3)4\、6)
1
A.\B.c
4-4
題型八:拆角:二倍角型拆角
指I點I迷I津
二倍角公式
sin2a=2sin(zcosa
cosla—cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
一2tana
tan2a=~~
1—tanza
此M/IT21+cosla.1—cos2a
降帚公式:cosza=2,sin“=2,
升嘉公式:1+cos2a=2cos2a,1—cos2a=2sin2a
1+cosa=2cos2j,1—cos(z=2sin2j.
cos26
1.(2024?江蘇連云港?模擬預(yù)測)已知cos]:
,則tan,+力()
151515
A.—B.—D.
24
=^~,則sin(2。-,得]的值為(
2.(23-24高三?四川眉山?階段練習(xí))已知sin)
「V39D.警
ABVx.------
-i-48
已知角a滿足cos(a—')=—L貝!Jsin(2a+4)=()
3.(23-24高三?江西?階段練習(xí))
834
77「20n20
A.—B.——L.------LJ.------------
9999
4.(23-24高三?江蘇連云港?模擬)已知sin(£+巴)=立,求cos(2p-?)=()
633
A-tB.TC--1D-1
5.(2024?浙江?三模)已知+則cos[26?+|^=()
A-4B-Ic--fD-T
題型九:拆角:30度型拆角
指I點I迷I津
復(fù)合型角度的和與差,如果是與30°,45°或者60°等特殊角終邊相同,則可以借助特殊角的函數(shù)值
來拆角求值
1.(23-24高三?江蘇鹽城?模擬)化簡2cos10-sin20值為()
cos20
A.3B.73C.走D.叵
243
2.(2024高三?全國?專題練習(xí))1曲70。8$10。(后曲20。-1)等于()
A.1B.2C.-1D.-2
cos550+sin25°sin30°
3.(2024?陜西西安?一模)寸J()
cos25°
V2
A.gB.D.1
22
l-2sin25"\,、
4(23-24高三?重慶?模擬)---------------2cos10°=()
2sinl0°
A,3B.
A/2C.V3D.2
2
廠__^、-+…上“、2sin40°-cos10°/、
5.(22-23iW)二?河南?模擬)-----77--------的值為()
sml0°
A.1B.73C.72口.g
題型十:拆角:60度型拆角
指I點I迷I津
常見的變角技巧有:
2cf=(6Z+/7)+(6Z—,
2,=(a+,)-(a-,)
"-外(加,
CC-{JJC—+廣,
1.(23-24高三?湖南湘潭?階段練習(xí))5。+sin70)的值為()
1+cos20
A.1B.~C.—D.2
22
2.(23-24高三.內(nèi)蒙古赤峰.階段練習(xí))計算(c°s310°+cosll0。)的值為()
1-cos20°
3
A.1B.1C.D.2
22
A-A-cos20°-sin30°cos40°
3.(2024.河北滄州.二模)化間------------------=()
sin40°cos60u
D,正
A.1B.6c.2
3
sin800+cos50°A/6
4.(2024?全國.模擬預(yù)測)=()
sin2502tan25°
A,顯B.D.包
正c.
2222
5.(23-24高三?湖南?階段練習(xí))2cos8(y-cos200:=()
A.瓜in20。B.sin20°C.—瓜in20。D.-sin20°
題型十一一:拆角:正切型
指1點1迷1津
正切型公式:
,tana+tanB
tan(a+/?)—Ltanata"("+加
tana-tanB
tan(?-/?)-1+tanatan/?—
一2tana
―tan2a
1.(23-24高三?重慶大足?階段練習(xí))設(shè)。,夕tana=witan£,sin(a-/)=|,若滿足條件的a與
夕存在且唯一,則tanatan/=()
A.gB.1C.2D.4
2.(2024?福建泉州?模擬預(yù)測)已知sin(a-£)=2cos(a+尸),tan(a-/?)=;,貝ijtana-tany0=()
已知tan[a—tan(?+/?)=|,則+=()
3.(23-24高三下?江蘇鎮(zhèn)江?模擬)
A.且B.”
C.-D.—
2218622
£[o,'||,tani=mtan/7,sin(i—/)=g,且a與£存在且唯一,則
4.(2024?福建泉州?二模)若a,。
tancr+mtan/3=()
A.2B.4C.1D.-
24
5.(2024高三.全國?專題練習(xí))已知tan(a")=;,tan£=」JLa,£w(0,;r)M2a-Q=()
A-7t「3nn
B.—C.——D.——
4444
題型十二:拆角:分式型
指I點I迷I津
分式型求值,主要方向是把分數(shù)的分子分母“因式分解”,再通過“約分”來達到求值的目的。
所以,通過“和、差化積”思維,利用”因式分解的重要技巧:正余余正,余余正正公式”,化成積的
形式,便于約去。
1⑵3高三湖南長沙.階段練習(xí))求值:2%尸=(
)
B.當一
A.招D.
-3"
sin50°(1+Gtan10)cos80°
2.(23-24高二?四川成都?模擬)求值-----------------L-----------()
Vl-cos20°
A.4
B.0C.1D.叵
2
3.(23-24高三.遼寧.模擬)(73tan40°-1)sin80°cos160°tan50°()
111
A.1B.-C.D.
224
sin242cos之12°_
4.(2021?廣西?一模)()
3cos36+1
11
A.-B.-c.D.
8642
5.(2023.全國.模擬預(yù)測)化簡:二5皿10。=()
sin10°
A.4B.2C.tan20°D.sin20°
題型十三:對偶型恒等變形求值
"旨I點I迷I津
常見的對稱型結(jié)構(gòu):
!qsma+psin〃=t為對稱結(jié)構(gòu),可以借助cos?a+sin2a=1滔去求解
音皿_____________________________________________________________________
1.(2024.全國.模擬預(yù)臥已知sin(a+0+sm(a-6)="smS+MsmQR二,WJtan.=()
9494
A.-B.-C.——D.—
4949
兀兀3J3
2.(2024?山西晉中?三模)已知a,£e一5'5,sini+sin分=-m,cosi-cosQ=^-,則sin(a+/)=()
A..B.-3
c.ID.--
2222
已矢口5皿%85P+<:05%$111'=;,cos2%—cos2y=(,貝(Jsin(x-y)=()
3.(2024?山東?模擬預(yù)測)
131
A.gB.—C.—D.—
444
21
4.(23-24高三?江蘇連云港?模擬)已知sina+cos,,cos?+sin/?,則sin(a+/?)=()
「1313
c--iiDn-
5.(22-23高三?江蘇徐州?模擬)已知cosa-cos/?=;,sina+sin/3=^,則cos(c+£)的值為()
A13n1359-59
A.-----B.—C.-----D.—
72727272
題型十四:拆角求最值
1.(23-24高三?湖南?階段練習(xí))已知尸<0,]),3cos(a+尸)=cosacos/7,則tan(a+/?)的最小值是
()
A.273B.275C.2A/6D.2、/7
2.(2014高三?全國?競賽)若ye10,鼻,且無,y滿足關(guān)系式sin尤cosy+2sinycosx=0,則
tan(x+y)的最小值為()
AAA
/2R/2r5/2n?
2424
2
3.(2024高三?江蘇?專題練習(xí))AABC中,sin(2A+B)=2sinB,則tanA+tanC+------的最小值為()
tanB
A.2B.3C.2A/3D.273
4-(233高三下?新疆烏魯木齊?階段練習(xí))已知。,夕均為銳角,且滿足%Q=2c°sa’則”9的
最大值為()
兀717171
A.B.C.D.
12~6~4
5.(2024.山西,模擬預(yù)測)E^Dcos(e-£)=2cos(e+/7),tana>0,貝!Jtan(a+£)的最小值為()
A.-4C.也D.2
題型十五:韋達定理型恒等變形求值
指I點I迷I津
若sinacosd是關(guān)于x的一元二次方程既2+bx+c=O的兩個不相等的實根,貝U:
A>0
b.c
<sina+cosa=——,sma?cosa=一
aa
(sincr+cosa)2=sin2a+cos2a-2sina?cosa)2=1-2—
、aa
1.(21-22jWj三?貴州遵義階段練習(xí))若$111。,以)56是方程4尤2+2如;+機=0的兩根,則m的值為
A.1+<\/5B.1-5/5
C.-1-75D.-1+75
2.(22-23高三?北京西城?階段練習(xí))已知sina,cosa是關(guān)于x的一元二次方程2/_%_根=。的兩根,則
sina+cosa=,m—.
sin0cos6
3.(2023高三?全國?專題練習(xí))已知5近。,85。是方程2%2_如+1=0的兩根,則1+11+tan0.
tan。
cos(a-0
4-⑵-22高三天津模擬)已知tana,ta”是方程"+41=。的兩根,則端方
sin(a+£)
5.(2。22?江蘇南通一模)已知tana…尸是方程3f+5x-7=。的兩根,則就才
題型十六:恒等變形求角
指I點I迷I津
求復(fù)合型角,
1.以給了函數(shù)值的角度為基角來拆角。
2.討論基角的范圍,確認基角的正余弦值符號
3.所求復(fù)合型角的范圍,以及對應(yīng)的正(或者余)弦符號,確認對應(yīng)復(fù)合型角度
1.(23-24高三?遼寧遼陽?模擬)已知a,/6。兀),且cosa=且,sin(?+^)=—,則a一尸=()
510
71c3兀C.一瀉D/或?qū)?/p>
A.——B.——
44
2.⑵-24高三?江蘇徐州?模擬)已知。,?!?sin/?+sin/=sincr,cosa+cos/=cos/?,貝|()
A.sin(夕一a)=gB.sin(;0+a)=^C.a-y-2/3
D.。+7=2,
3.(2024?黑龍江雙鴨山?模擬預(yù)測)已知。,匹卜",cos26r-sin26r=1,且3
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