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文檔簡介

專題09三角函數(shù)拆角與恒等變形歸類

空盤點?置擊看考

目錄

題型一:誘導(dǎo)公式................................................................................1

題型二:輔助角:特殊角型........................................................................2

題型三:輔助角:非特殊角型......................................................................3

題型四:sinx±cosx與sinxcosx型轉(zhuǎn)化..............................................................4

題型五:齊次式轉(zhuǎn)化..............................................................................5

題型六:拆角:互補型拆角一缺....................................................................5

題型七:拆角:互余型拆角........................................................................6

題型八:拆角:二倍角型拆角......................................................................7

題型九:拆角:30度型拆角........................................................................8

題型十:拆角:60度型拆角........................................................................8

題型十一:拆角:正切型.........................................................................9

題型十二:拆角:分式型.........................................................................10

題型十三:對偶型恒等變形求值...................................................................11

題型十四:拆角求最值...........................................................................11

題型十五:韋達定理型恒等變形求值...............................................................12

題型十六:恒等變形求角.........................................................................13

^突圍?檐淮蝗分

題型二7誘導(dǎo)公式

指I點I迷I津

誘導(dǎo)公式可簡記為:奇變偶不變,符號看象限.

JT

“奇”“偶”指的是“左5+a/ez)”中的k是奇數(shù)還是偶數(shù).

"變’’與"不變”是指函數(shù)的名稱的變化,若左是奇數(shù),則正、余弦互變;若左為偶數(shù),則函數(shù)名稱不變.

TTTT

“符號看象限”指的是在中,將a看成銳角時,25+a(Z£Z)”的終邊所在的象限.

1.(23-24高三?浙江?模擬)已知銳角a(aw50。)滿足3cos(140O-a)-cosa+sin(100o+a)=sin(a-20。),則

8s2a=()

A.-B.--C.D.息

3333

2.(23-24高三?浙江寧波?模擬)已知cos(140。一a)+sin(110。+a)=sin(130。一a),求tana=()

A.叵B.一代C.73D.-73

33

3.(15-16高三?吉林長春?模擬)設(shè)cos(—80:)=加,那么tanlOCT=

ABC,醐D.丁

?左mdll-Wi''U:l一蹄F

4.(安徽省阜陽市2023-2024學(xué)年高三模擬質(zhì)量統(tǒng)測數(shù)學(xué)試題)若角a滿足cos(=7T+a)=2cos(7BT-①,則

36

cos(2cr-y)=()

43-43

A.——B.-C.一D.

5555

5.(2024?廣東?二模)tan7.5。—tan82.5。+2tan15。=()

A.-2B.-4C.-273D.-4>/3

題型二:輔助角:特殊角型

指I點I迷I津

輔助角

asina+Z>cosa=^層+廬sin(a+0),其中tan不記正切這個,要會推導(dǎo)非特殊角的輔助角)

1.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)尤)=gcos(0x+gJ+cos(0x-:|J(0>O)在1個,"J上單調(diào)遞增,則

。的取值范圍是()

2.(23-24高三?四川.階段練習(xí))若函數(shù)/(x)=?sinx+;cosx在區(qū)間[0,a],[a,2a]上的值域分別為

則下列命題錯誤的是()

A.若=則。的最小值為與

B.若=貝!)。的最小值為5

C.若mNq,則〃的取值范圍為[彳,/

D.若〃<〃,則〃的取值范圍為空

3.(22-23高三?廣西南寧?模擬)已知函數(shù)/(x)=V^sin2詈+;sinox-等(0>。),若在■,當"1上

無零點,則①的取值范圍是()

A-[°'|U'+]B,u||C.D.q,[u]l,+?O

4.(22-23高三.江西?階段練習(xí))已知函數(shù)/(%)=2sinx|cosx|+6cos2%,則()

A./(力的最小正周期是〃B.“X)的圖象關(guān)于直線對稱

c.“X)在[0,2句上有4個極值點D.“X)在[皆,藍]上單調(diào)遞減

5.(23-24高三遼寧?模擬)已知函數(shù)"尤)=J5sins-8sox,若關(guān)于尤的方程〃x)T=0在區(qū)間(0,2可上

有且只有四個不相等的實數(shù)根,則正數(shù)。的取值范圍是()

題型三:輔助角:非特殊角型

指I點I迷I津

輔助角

y、2

2a(b

asina+bcosa=4a$(〃sina+/-cosa];+=1

J/+-2G+/、yja2+/?2>

(1)正弦形式,sin(a+/?):sincif*cos/?±cos<z*sinP=sin(a±/?),

其中:cos/7=.a,sin/?=.b.

(2)余弦形式JX+z^cos(a-,):cosa.cos/?土sino?sin/?=cos(a干〃),

-tpjt.門an"

其中:sin/?——,,cosp=—,..

y/a2+b2y/a2+b2

222

輔助角范圍滿足:-Na$<asina+bcosa<\Ja+b

h(TTTT]

1.(22-23高三上海寶山?階段練習(xí))若tan6=——彳<6<彳,

八22)

asin%+1cos%=+/sin(%+0)(04<<2兀),下列判斷錯誤的是()

A.當〃>0,6>0時,(p=0B.當a>0,0v0時,0=6+2兀

C.當〃<0,。>0時,(p=0+TiD.當〃<0,。<0時,0=8+2兀

2.(2023?河南?模擬預(yù)測)若關(guān)于工的方程sin2x+2cos2x=-2在[。,兀)內(nèi)有兩個不同的解戊,〃,貝IJcos(a-£)

的值為()_

A非口垂>廠2^/^門2辨

A.----D.—C.-----D.---

5555

3.(23-24高三?江西贛州?模擬)已知A(個%),3(是圓f+y2=2上兩點.若占巧+%%=T,則

%+々+%+%的取值范圍是()

A.g,用B.[-1,1]

C.「也,①]D.[-2,2]

4.(2023?四川雅安?一模)已知函數(shù)/(x)=3sin(4x+|^+4sin(4x-",設(shè)VxeR,%eR,/(x)W/(毛),

等于()

234

B.c.D.

443

5.(22-23高三遼寧大連?模擬)已知函數(shù)/(x)=asins+bcosG%(?>0,b>0,co>0)在區(qū)間上

o2

71

單調(diào),且了,則不等式/(%)+〃>。的解集是()

一?+匕7,署+左乃)(%GZ)一名+左〃■,(?十女")(左£)

A.B.Z

C.一(+k兀,k冗)(keZ)D.k7r,^+k7r\(kGZ)

叁^四:sinx±cosx與sinxcosx型轉(zhuǎn)化

指I點I迷I津

sinx±cosx與sinxcosx

的函數(shù)中一般可設(shè)Z=S山X土cosx進行換元.換元時注意新元的取值范圍.

sinx±cosx,與sinx.cosx之間的互化關(guān)系

1(sinx±cosx)2=1±2sinx?cosx

2.如果xGR,貝!J由輔助角可知sinx土cos%£[一行,行]

1.(23-24高三?麗花言次?稹教5畝及y=sinx-cosx+5sinxcosx的最天宿區(qū)()

5LL

A.—B.2C.y/5D.1+^2

2.(23-24高三?遼寧大連?階段練習(xí))若sin6,cos6是方程/一以+加=。的兩根,則加的值為()

A.1-72B.1+72C.1±72D.-1-72

c人用II42sin2a+1+cos2?-2tana,、

3.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知cos|二--a=-,則-----------------------=()

V47/sina

.1120056亞?2240八28^/2

17171717

4.(23-24高三?江蘇蘇州?階段練習(xí))已知5位4+85。=5111285g,則sin(2025兀一2a)的值為()

A.2+20B.2-272C.2±272D.2拒±2

71

5.(23-24高三?湖北武漢?模擬)已知0,-則函數(shù)y=sine-cos0+2sinecos6的值域為()

A.[Tl]B.卜-⑸]C.[1,|5

D.

4

題型五:齊次式轉(zhuǎn)化

指I點I迷I津

正切齊次求值型

給正切,利用正余弦一次分式齊次特征,可以同除余弦化為正切

二次型求正切,充分運用“1”的代換:

(1)x2+y2=1<=>cos2a+sin2tz=1

y=sina

1.(2024?新疆?一模)已知:sin(20°-0)+sin(20°+0)+sin(40°-^)=0,則tan*()

B.一走C.立D.百

A.-73

33

2.(23-24高三遼寧大連?模擬)已知a,夕均為銳角,sina=2sin/?cos(a+〃),則tana取得最大值時,

tan(a+萬)的值為()

A.A/3B.V2C.2D.1

3.(20-21高三?河南新鄉(xiāng)?階段練習(xí))函數(shù)尸比黑。小吟的最大值和最小值分別為()

V2V2c.也,0

A.1,-1B.D.0,-1

222

2-2cos611-cos。-2sin。

4.(2024.全國.模擬預(yù)測)已知=3,則二()

sin<9l+cos6+sin。

3333

A.—B.C.一D.——

101022

5.(23-24高三江蘇南京?模擬)已知sina+2cosa=?,則smacosa=()

2cosa-sma

題型六:拆角:互補型拆角---缺

指I點I迷I津

角度“互補”與“廣義互補余”可以用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化:

1.“互補”:兩個復(fù)合型角度相加為180°,可以用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化sin(>r_c)=sina

cos(萬一a)=-cosa

2.“廣義互余”:兩個復(fù)合型角度的和或者差為180°+k360°,可以用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化

1.(2022秋?陜西商洛?高三陜西省山陽中學(xué)校聯(lián)考)己知cos[c+"||=-1,則

)

A.2B.一直C.&D.「好

2233

2(2023春?浙江寧波?高三校考階段練習(xí))已知cos[3-]=-|,則cos]9+d等于()

A.-B.立C.--D.

3333

3.若sin[-^-e]=:,貝ljsin(與一。)的值為()

A.--B,-C.一五D.立

4444

4.(山東省青島市青島中學(xué)2022-2023學(xué)年10月月考)已知cos]W-aj=g,且0<a<,,則

7i27r

sin(—+a)+cos(----\-a)=______.

63

題型七:拆角:互余型拆角

指I點I迷I津

角度“互余”與“廣義互余”可以用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化:

sin----a=

1.“互余”:兩個復(fù)合型角度相加為90°,可以用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化(2)cosa

cos----a=

12)sina

2.“廣義互余”:兩個復(fù)合型角度的和或者差為90°+k360°,可以用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化

已矢口sinf6/+—,5叫.)

1.(23-24高三?河南洛陽?模擬)則cosa-切-()

112J3

「V5D.-且

A2B.--.--

,3333

已知6sin8-cos。=gI,則cos,+:)=(

2.(23-24高三廣東梅州,模擬))

A.一述1D.述

B.—c.-

3333

3.(23-24高三下?山東威海?階段練習(xí))已知cos[a+g14,則sin[tz+"=()

A-4B--1c-i

D-7

.(兀)1.1(2兀

4.(2024?浙江?模擬預(yù)測)已知0,sma-----=-,則ncosa+—)

2廣1ioj315

A.一還B.其1-11

C.——D.

3333

7111E/5兀、

5.(2024?河南信陽?模擬預(yù)測)若sinCXH---=-,貝Ucos^+―=()

3)4\、6)

1

A.\B.c

4-4

題型八:拆角:二倍角型拆角

指I點I迷I津

二倍角公式

sin2a=2sin(zcosa

cosla—cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

一2tana

tan2a=~~

1—tanza

此M/IT21+cosla.1—cos2a

降帚公式:cosza=2,sin“=2,

升嘉公式:1+cos2a=2cos2a,1—cos2a=2sin2a

1+cosa=2cos2j,1—cos(z=2sin2j.

cos26

1.(2024?江蘇連云港?模擬預(yù)測)已知cos]:

,則tan,+力()

151515

A.—B.—D.

24

=^~,則sin(2。-,得]的值為(

2.(23-24高三?四川眉山?階段練習(xí))已知sin)

「V39D.警

ABVx.------

-i-48

已知角a滿足cos(a—')=—L貝!Jsin(2a+4)=()

3.(23-24高三?江西?階段練習(xí))

834

77「20n20

A.—B.——L.------LJ.------------

9999

4.(23-24高三?江蘇連云港?模擬)已知sin(£+巴)=立,求cos(2p-?)=()

633

A-tB.TC--1D-1

5.(2024?浙江?三模)已知+則cos[26?+|^=()

A-4B-Ic--fD-T

題型九:拆角:30度型拆角

指I點I迷I津

復(fù)合型角度的和與差,如果是與30°,45°或者60°等特殊角終邊相同,則可以借助特殊角的函數(shù)值

來拆角求值

1.(23-24高三?江蘇鹽城?模擬)化簡2cos10-sin20值為()

cos20

A.3B.73C.走D.叵

243

2.(2024高三?全國?專題練習(xí))1曲70。8$10。(后曲20。-1)等于()

A.1B.2C.-1D.-2

cos550+sin25°sin30°

3.(2024?陜西西安?一模)寸J()

cos25°

V2

A.gB.D.1

22

l-2sin25"\,、

4(23-24高三?重慶?模擬)---------------2cos10°=()

2sinl0°

A,3B.

A/2C.V3D.2

2

廠__^、-+…上“、2sin40°-cos10°/、

5.(22-23iW)二?河南?模擬)-----77--------的值為()

sml0°

A.1B.73C.72口.g

題型十:拆角:60度型拆角

指I點I迷I津

常見的變角技巧有:

2cf=(6Z+/7)+(6Z—,

2,=(a+,)-(a-,)

"-外(加,

CC-{JJC—+廣,

1.(23-24高三?湖南湘潭?階段練習(xí))5。+sin70)的值為()

1+cos20

A.1B.~C.—D.2

22

2.(23-24高三.內(nèi)蒙古赤峰.階段練習(xí))計算(c°s310°+cosll0。)的值為()

1-cos20°

3

A.1B.1C.D.2

22

A-A-cos20°-sin30°cos40°

3.(2024.河北滄州.二模)化間------------------=()

sin40°cos60u

D,正

A.1B.6c.2

3

sin800+cos50°A/6

4.(2024?全國.模擬預(yù)測)=()

sin2502tan25°

A,顯B.D.包

正c.

2222

5.(23-24高三?湖南?階段練習(xí))2cos8(y-cos200:=()

A.瓜in20。B.sin20°C.—瓜in20。D.-sin20°

題型十一一:拆角:正切型

指1點1迷1津

正切型公式:

,tana+tanB

tan(a+/?)—Ltanata"("+加

tana-tanB

tan(?-/?)-1+tanatan/?—

一2tana

―tan2a

1.(23-24高三?重慶大足?階段練習(xí))設(shè)。,夕tana=witan£,sin(a-/)=|,若滿足條件的a與

夕存在且唯一,則tanatan/=()

A.gB.1C.2D.4

2.(2024?福建泉州?模擬預(yù)測)已知sin(a-£)=2cos(a+尸),tan(a-/?)=;,貝ijtana-tany0=()

已知tan[a—tan(?+/?)=|,則+=()

3.(23-24高三下?江蘇鎮(zhèn)江?模擬)

A.且B.”

C.-D.—

2218622

£[o,'||,tani=mtan/7,sin(i—/)=g,且a與£存在且唯一,則

4.(2024?福建泉州?二模)若a,。

tancr+mtan/3=()

A.2B.4C.1D.-

24

5.(2024高三.全國?專題練習(xí))已知tan(a")=;,tan£=」JLa,£w(0,;r)M2a-Q=()

A-7t「3nn

B.—C.——D.——

4444

題型十二:拆角:分式型

指I點I迷I津

分式型求值,主要方向是把分數(shù)的分子分母“因式分解”,再通過“約分”來達到求值的目的。

所以,通過“和、差化積”思維,利用”因式分解的重要技巧:正余余正,余余正正公式”,化成積的

形式,便于約去。

1⑵3高三湖南長沙.階段練習(xí))求值:2%尸=(

)

B.當一

A.招D.

-3"

sin50°(1+Gtan10)cos80°

2.(23-24高二?四川成都?模擬)求值-----------------L-----------()

Vl-cos20°

A.4

B.0C.1D.叵

2

3.(23-24高三.遼寧.模擬)(73tan40°-1)sin80°cos160°tan50°()

111

A.1B.-C.D.

224

sin242cos之12°_

4.(2021?廣西?一模)()

3cos36+1

11

A.-B.-c.D.

8642

5.(2023.全國.模擬預(yù)測)化簡:二5皿10。=()

sin10°

A.4B.2C.tan20°D.sin20°

題型十三:對偶型恒等變形求值

"旨I點I迷I津

常見的對稱型結(jié)構(gòu):

!qsma+psin〃=t為對稱結(jié)構(gòu),可以借助cos?a+sin2a=1滔去求解

音皿_____________________________________________________________________

1.(2024.全國.模擬預(yù)臥已知sin(a+0+sm(a-6)="smS+MsmQR二,WJtan.=()

9494

A.-B.-C.——D.—

4949

兀兀3J3

2.(2024?山西晉中?三模)已知a,£e一5'5,sini+sin分=-m,cosi-cosQ=^-,則sin(a+/)=()

A..B.-3

c.ID.--

2222

已矢口5皿%85P+<:05%$111'=;,cos2%—cos2y=(,貝(Jsin(x-y)=()

3.(2024?山東?模擬預(yù)測)

131

A.gB.—C.—D.—

444

21

4.(23-24高三?江蘇連云港?模擬)已知sina+cos,,cos?+sin/?,則sin(a+/?)=()

「1313

c--iiDn-

5.(22-23高三?江蘇徐州?模擬)已知cosa-cos/?=;,sina+sin/3=^,則cos(c+£)的值為()

A13n1359-59

A.-----B.—C.-----D.—

72727272

題型十四:拆角求最值

1.(23-24高三?湖南?階段練習(xí))已知尸<0,]),3cos(a+尸)=cosacos/7,則tan(a+/?)的最小值是

()

A.273B.275C.2A/6D.2、/7

2.(2014高三?全國?競賽)若ye10,鼻,且無,y滿足關(guān)系式sin尤cosy+2sinycosx=0,則

tan(x+y)的最小值為()

AAA

/2R/2r5/2n?

2424

2

3.(2024高三?江蘇?專題練習(xí))AABC中,sin(2A+B)=2sinB,則tanA+tanC+------的最小值為()

tanB

A.2B.3C.2A/3D.273

4-(233高三下?新疆烏魯木齊?階段練習(xí))已知。,夕均為銳角,且滿足%Q=2c°sa’則”9的

最大值為()

兀717171

A.B.C.D.

12~6~4

5.(2024.山西,模擬預(yù)測)E^Dcos(e-£)=2cos(e+/7),tana>0,貝!Jtan(a+£)的最小值為()

A.-4C.也D.2

題型十五:韋達定理型恒等變形求值

指I點I迷I津

若sinacosd是關(guān)于x的一元二次方程既2+bx+c=O的兩個不相等的實根,貝U:

A>0

b.c

<sina+cosa=——,sma?cosa=一

aa

(sincr+cosa)2=sin2a+cos2a-2sina?cosa)2=1-2—

、aa

1.(21-22jWj三?貴州遵義階段練習(xí))若$111。,以)56是方程4尤2+2如;+機=0的兩根,則m的值為

A.1+<\/5B.1-5/5

C.-1-75D.-1+75

2.(22-23高三?北京西城?階段練習(xí))已知sina,cosa是關(guān)于x的一元二次方程2/_%_根=。的兩根,則

sina+cosa=,m—.

sin0cos6

3.(2023高三?全國?專題練習(xí))已知5近。,85。是方程2%2_如+1=0的兩根,則1+11+tan0.

tan。

cos(a-0

4-⑵-22高三天津模擬)已知tana,ta”是方程"+41=。的兩根,則端方

sin(a+£)

5.(2。22?江蘇南通一模)已知tana…尸是方程3f+5x-7=。的兩根,則就才

題型十六:恒等變形求角

指I點I迷I津

求復(fù)合型角,

1.以給了函數(shù)值的角度為基角來拆角。

2.討論基角的范圍,確認基角的正余弦值符號

3.所求復(fù)合型角的范圍,以及對應(yīng)的正(或者余)弦符號,確認對應(yīng)復(fù)合型角度

1.(23-24高三?遼寧遼陽?模擬)已知a,/6。兀),且cosa=且,sin(?+^)=—,則a一尸=()

510

71c3兀C.一瀉D/或?qū)?/p>

A.——B.——

44

2.⑵-24高三?江蘇徐州?模擬)已知。,?!?sin/?+sin/=sincr,cosa+cos/=cos/?,貝|()

A.sin(夕一a)=gB.sin(;0+a)=^C.a-y-2/3

D.。+7=2,

3.(2024?黑龍江雙鴨山?模擬預(yù)測)已知。,匹卜",cos26r-sin26r=1,且3

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