江蘇省清江市清江中學2025屆高二數學第一學期期末教學質量檢測試題含解析

江蘇省清江市清江中學2025屆高二數學第一學期期末教學質量檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知過點的直線與圓相切，且與直線垂直，則（）A. B.C. D.2．若直線與圓相切，則（）A. B.或2C. D.或3．如圖，四棱錐中，底面是邊長為的正方形，平面，為底面內的一動點，若，則動點的軌跡在（）A.圓上 B.雙曲線上C.拋物線上 D.橢圓上4．已知等差數列為其前項和，且，且，則（）A.36 B.117C. D.135．過點（-2，1）的直線中，被圓x2+y2-2x+4y=0截得的弦最長的直線的方程是（）A.x+y+1=0 B.x+y-1=0C.x-y+1=0 D.x-y-1=06．在條件下，目標函數的最大值為2，則的最小值是（）A.20 B.40C.60 D.807．在數列中，，則（）A. B.C.2 D.18．120°的二面角的棱上有A，B兩點，直線AC，BD分別在這個二面角的兩個半平面內，且都垂直于AB.已知，，，則CD的長為()A. B.C. D.9．設是兩個不同的平面，是一條直線，以下命題正確的是A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則10．已知等差數列滿足，，則（）A. B.C. D.11．設是橢圓的上頂點，若上的任意一點都滿足，則的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.12．設函數在R上可導，則（）A. B.C. D.以上都不對二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知為曲線：上一點，，，則的最小值為______14．已知等比數列的前項和為，若，，則______.15．設函數，若存在實數使得成立，則的取值范圍是__________.16．設函數的導數為，且，則___________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）（1）已知集合，．：，：，并且是的充分條件，求實數的取值范圍（2）已知：，，：，，若為假命題，求實數的取值范圍18．（12分）某學校高一、高二、高三的三個年級學生人數如下表，按年級分層抽樣的方法評選優(yōu)秀學生50人，其中高三有10人.高三高二高一女生100150z男生300450600（1）求z的值；（2）用分層抽樣的方法在高一學生中抽取一個容量為5的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取2人，求至少有1名女生的概率；（3）用隨機抽樣的方法從高二女生中抽取8人，經檢測她們的得分如圖所示，把這8人的得分看作一個總體，從中任取一個數，求該數與樣本平均數之差的絕對值不超過5分的概率.19．（12分）已知數列滿足,，設.（1）證明數列為等比數列，并求通項公式；（2）設，求數列的前項和.20．（12分）如圖所示，在正方體中，E是棱的中點.（Ⅰ）求直線BE與平面所成的角的正弦值；（Ⅱ）在棱上是否存在一點F，使平面？證明你的結論.21．（12分）某地從今年8月份開始啟動12-14歲人群新冠肺炎疫苗的接種工作，共有8千人需要接種疫苗.前4周的累計接種人數統(tǒng)計如下表：前x周1234累計接種人數y（千人）2.5344.5（1）求y關于的線性回歸方程；（2）根據（1）中所求的回歸方程，預計該地第幾周才能完成疫苗接種工作?參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，22．（10分）一個經銷鮮花產品的微店，為保障售出的百合花品質，每天從云南鮮花基地空運固定數量的百合花，如有剩余則免費分贈給第二天購花顧客，如果不足，則從本地鮮花供應商處進貨.今年四月前10天，微店百合花的售價為每支2元，云南空運來的百合花每支進價1.6元，本地供應商處百合花每支進價1.8元，微店這10天的訂單中百合花的需求量（單位：支）依次為：251，255，231，243，263，241，265，255，244，252.（Ⅰ）求今年四月前10天訂單中百合花需求量的平均數和眾數，并完成頻率分布直方圖；（Ⅱ）預計四月的后20天，訂單中百合花需求量的頻率分布與四月前10天相同，百合花進貨價格與售價均不變，請根據（Ⅰ）中頻率分布直方圖判斷（同一組中的需求量數據用該組區(qū)間的中點值作代表，位于各區(qū)間的頻率代替位于該區(qū)間的概率），微店每天從云南固定空運250支，還是255支百合花，四月后20天百合花銷售總利潤會更大？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】首先由點的坐標滿足圓的方程來確定點在圓上，然后求出過點的圓的切線方程，最后由兩直線的垂直關系轉化為斜率關系求解.【詳解】由題知，圓的圓心，半徑.因為，所以點在圓上，所以過點的圓的切線與直線垂直，設切線的斜率，則有，即，解得.因為直線與切線垂直，所以，解得.故選：B.2、D【解析】根據圓心到直線的距離等于半徑列方程即可求解.【詳解】由圓可得圓心，半徑，因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離，整理可得：，所以或，故選：D.3、A【解析】根據題意，得到兩兩垂直，以點為坐標原點，分別以為軸，建立空間直角坐標系，設，由題意，得到，，再由得到，求出點的軌跡，即可得出結果.【詳解】由題意，兩兩垂直，以點為坐標原點，分別以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，因為底面是邊長為的正方形，則，，因為為底面內的一動點，所以可設，因此，，因為平面，所以，因此，所以由得，即，整理得：，表示圓，因此，動點的軌跡在圓上.故選：A.【點睛】本題主要考查立體幾何中的軌跡問題，靈活運用空間向量的方法求解即可，屬于常考題型.4、B【解析】根據等差數列下標的性質，，進而根據條件求出，然后結合等差數列的求和公式和下標性質求得答案.【詳解】由題意，，即為遞增數列，所以，又，又，聯立方程組解得：.于是，.故選：B.5、A【解析】當直線被圓截得的最弦長最大時，直線要經過圓心，即圓心在直線上，然后根據兩點式方程可得所求【詳解】由題意得，圓的方程為，∴圓心坐標為∵直線被圓截得的弦長最大，∴直線過圓心，又直線過點（-2，1），所以所求直線的方程為，即故選：A6、C【解析】首先畫出可行域，找到最優(yōu)解，得到關系式作為條件，再去求的最小值.【詳解】畫出的可行域，如下圖：由得由得；由得；目標函數取最大值時必過N點，則則（當且僅當時等號成立）故選：C7、A【解析】利用條件可得數列為周期數列，再借助周期性計算得解.【詳解】∵∴，，所以數列是以3為周期的周期數列，∴，故選：A.8、B【解析】由，把展開整理求解【詳解】由已知可得：，，，，＝41，∴.故選：B9、C【解析】對于A、B、D均可能出現，而對于C是正確的10、D【解析】根據等差數列的通項公式求出公差，再結合即可得的值.【詳解】因為是等差數列，設公差為，所以，即，所以，所以，故選：D.11、C【解析】設，由，根據兩點間的距離公式表示出，分類討論求出的最大值，再構建齊次不等式，解出即可【詳解】設，由，因為，，所以，因為，當，即時，，即，符合題意，由可得，即；當，即時，，即，化簡得，，顯然該不等式不成立故選：C【點睛】本題解題關鍵是如何求出的最大值，利用二次函數求指定區(qū)間上的最值，要根據定義域討論函數的單調性從而確定最值12、B【解析】根據極限的定義計算【詳解】由題意故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】曲線是拋物線的右半部分，是拋物線的焦點，作出拋物線的準線，把轉化為到準線的距離，則到準線的距離為所求距離和的最小值【詳解】易知曲線是拋物線的右半部分，如圖，因為拋物線的準線方程為，是拋物線的焦點，所以等于到直線的距離．過作該直線的垂線，垂足為，則的最小值為故答案為：14、【解析】設等比數列的公比為，根據已知條件求出的值，由此可得出的值.【詳解】設等比數列的公比為，則，整理可得，，解得，因此，.故答案為：.15、【解析】將變形為，令，，分別研究其單調性及值域，使問題轉化為即可.【詳解】由題，，令，則，由，得，由，得，所以在遞減，在遞增，所以，令，則，由，得，由，得，所以在遞增，在遞減，所以，若存在實數使得成立，即存在實數使得成立，即存在實數使得恒成立所以，即，解得，所以取值范圍為.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：本題解題關鍵是將所求問題轉為存在實數使得恒成立，結合的值域進一步轉化為存在實數使得恒成立，再只需即可.16、【解析】，而，所以，，故填：.考點：導數三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】（1）由二次函數的性質，求得，又由，求得集合，根據命題是命題的充分條件，所以，列出不等式，即可求解（2）依題意知，均為假命題，分別求得實數的取值范圍，即可求解【詳解】（1）由，∵，∴，，∴，所以集合，由，得，所以集合，因為命題是命題的充分條件，所以，則，解得或，∴實數的取值范圍是.（2）依題意知，，均為假命題，當是假命題時，恒成立，則有，當是假命題時，則有，或.所以由均為假命題，得，即.【點睛】本題主要考查了復合命題的真假求參數，以及充要條件的應用，其中解答中正確得出集合間的關系，列出不等式，以及根據復合命題的真假關系求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題18、（1）400（2）（3）【解析】（1）根據分層抽樣的方法，列出關系式計算即可；（2）根據分層抽樣的方法，求出抽取的女生人數，進而列舉出從樣本中抽取2人的所有情況，可根據古典概型的概率公式計算即可；（3）求出樣本平均數，進而求出與樣本平均數之差的絕對值不超過5的數，從而利于古典概型的概率公式計算即可.【小問1詳解】設該?？側藬禐閚人，由題意得，所以，.【小問2詳解】設所抽樣本中有m個女生，因為用分層抽樣的方法在高一學生中抽取一個容量為5的樣本，所以，解得.所以抽取了2名女生，3名男生，分別記作，；，，，則從中任取2人的所有基本事件為：，，，，，，，，，，共10個，其中至少有1名女生的基本事件有，，，，，，，共7個，所以從中任取2人，至少有1名女生的概率為.【小問3詳解】樣本的平均數為，那么與樣本平均數之差的絕對值不超過5的數為94，86，92，87，90，93這6個數，總的個數為8，所以該數與樣本平均數之差的絕對值不超過5的概率為.19、（1）證明見解析，；（2）.【解析】（1）計算可得出，根據等比數列的定義可得出數列為等比數列，確定該數列的首項和公比，可求得數列的通項公式，進而可求得數列的通項公式；（2）求得，利用錯位相減法可求得.【小問1詳解】證明：對任意的，，則，則，因為，則，，，以此類推可知，對任意的，，所以，，所以，數列是等比數列，且該數列的首項為，公比為，所以，，則.【小問2詳解】解：，則，，下式上式得.20、（1）；（2）詳見解析【解析】設正方體的棱長為1.如圖所示，以為單位正交基底建立空間直角坐標系.（Ⅰ）依題意，得，所以.在正方體中，因為,所以是平面的一個法向量，設直線BE和平面所成的角為，則.即直線BE和平面所成的角的正弦值為.（Ⅱ）在棱上存在點F，使.事實上，如圖所示，分別取和CD的中點F，G，連結.因,且,所以四邊形是平行四邊形，因此.又E,G分別為，CD的中點，所以，從而.這說明，B，G，E共面，所以.因四邊形與皆為正方形，F，G分別為和CD的中點，所以，且，因此四邊形是平行四邊形，所以.而，，故.21、（1）；（2）預計第9周才能完成接種工作【解析】（1）利用最小二乘法原理求解即可；（2）解方程即得解.【小問1詳解】解：由表中數據得，，，，.所以所以y關于的線性回歸方程為.【小問2詳解】解：令，解得.所以預計第9周才能完成接種工作.22、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）四月后20天總利潤更大【解析】（Ⅰ）根據眾數的定義直接可求出眾為255.利用平均數的公式可以求出平均數．根據給定的分組，通過計算完成頻率分布直方圖（Ⅱ）設訂單中百合花需求量為（支），由（Ⅰ）中頻率分布直方圖，可以求出可能取值、每個可能取值相應頻率，每個可能取值相應的天數．分別求出空運250支，255支百合花時，銷售總利潤的大小，進行比較，得出結論【詳解】解：（Ⅰ）四月前10天訂單中百合需求量眾數為255，平均數頻率分布直方圖補充如下：（