河南省信陽市第一高級中學2025屆高二數(shù)學第一學期期末監(jiān)測模擬試題含解析

河南省信陽市第一高級中學2025屆高二數(shù)學第一學期期末監(jiān)測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若是函數(shù)的極值點，則函數(shù)（）A.有最小值，無最大值 B.有最大值，無最小值C.有最小值，最大值 D.無最大值，無最小值2．如圖，在平行六面體中，，則與向量相等的是（）A. B.C. D.3．已知直線的一個方向向量，平面的一個法向量，若，則（）A.1 B.C.3 D.4．已知點是拋物線上的一點,F是拋物線的焦點,則點M到F的距離等于()A.6 B.5C.4 D.25．已知函數(shù)的導函數(shù)為，若的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是（）A B.C. D.6．若點，在拋物線上，是坐標原點，若等邊三角形的面積為，則該拋物線的方程是（）A. B.C. D.7．設(shè)函數(shù)若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.8．東漢末年的數(shù)學家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”，根據(jù)面積關(guān)系給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”.如圖1，它由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形.我們通過類比得到圖2，它是由三個全等的鈍角三角形與一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形.對于圖2.下列結(jié)論正確的是（）①這三個全等的鈍角三角形不可能是等腰三角形；②若，，則；③若，則；④若是的中點，則三角形的面積是三角形面積的7倍.A.①②④ B.①②③C.②③④ D.①③④9．若函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的導函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C D.10．已知直線和互相平行，則實數(shù)的取值為（）A或3 B.C. D.1或11．直線的傾斜角為（）A.60° B.30°C.120° D.150°12．下列說法中正確的是（）A.命題“若，則”的否命題是真命題；B.若為真命題，則為真命題；C.“”是“”的充分條件；D.若命題：“，”，則：“，”二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，橢圓左頂點為軸上一點滿足，且線段與橢圓交于點是以為底邊的等腰三角形，則橢圓離心率為__________.14．在等比數(shù)列中，，則__________15．函數(shù)僅有一個零點，則實數(shù)的取值范圍是_________.16．如圖，橢圓的中心在坐標原點，是橢圓的左焦點，分別是橢圓的右頂點和上頂點，當時，此類橢圓稱為“黃金橢圓”，則“黃金橢圓”的離心率___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)曲線在點（1，0）處的切線方程為.（1）求a，b的值；（2）求證：；（3）當，求a的取值范圍.18．（12分）已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點M（2，1），平行于OM的直線在y軸上的截距為m，交橢圓于A，B兩個不同點.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求m的取值范圍；（Ⅲ）求證直線MA，MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.19．（12分）已知橢圓C：，右焦點為F(，0)，且離心率為（1）求橢圓C的標準方程；（2）設(shè)M，N是橢圓C上不同的兩點，且直線MN與圓O：相切，若T為弦MN的中點，求|OT||MN|的取值范圍20．（12分）已知點F是拋物線和橢圓的公共焦點，是與的交點，.（1）求橢圓的方程；（2）直線與拋物線相切于點，與橢圓交于，，點關(guān)于軸的對稱點為.求的最大值及相應(yīng)的.21．（12分）2021年2月12日，辛丑牛年大年初一，由賈玲導演的電影《你好，李煥英》上映，截至到2月21日22點8分，票房攀升至40.25億，反超同期上映的《唐人街探案3》，迎來了2021春節(jié)檔最具戲劇性的一幕．正是因為影片中母女間的這份簡單、純粹、誠摯的情感觸碰了人們內(nèi)心柔軟的地方，打動了萬千觀眾，才贏得了良好的口碑，不少觀眾都流下了感動的淚水．影片結(jié)束后，某電影院工作人員當日隨機抽查了100名觀看《你好，煥英》的觀眾，詢問他們在觀看影片的過程中是否“流淚”，得到以下表格：男性觀眾女性觀眾合計流淚20沒有流淚520合計（1）完成表格中的數(shù)據(jù)，并判斷是否有99.9%的把握認為觀眾在觀看影片的過程中流淚與性別有關(guān)？（2）以分層抽樣的方式，從流淚與沒有流淚的觀眾中抽取5人，然后從這5人中再隨機抽取2人，求這2人都流淚的概率附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828，22．（10分）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，動點M滿足（1）求動點M的軌跡方程；（2）若動點M在雙曲線C上，設(shè)雙曲線C的左支上有兩個不同的點P，Q，點，且，直線NQ與雙曲線C交于另一點B．證明：動直線PB經(jīng)過定點

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】對求導，根據(jù)極值點求參數(shù)a，再由導數(shù)研究其單調(diào)性并判斷其最值情況.【詳解】由題設(shè)，且，∴，可得.∴且，當時，遞減；當時，遞增；∴有極小值，無極大值.綜上，有最小值，無最大值.故選：A2、A【解析】根據(jù)空間向量的線性運算法則——三角形法，準確運算，即可求解.【詳解】由題意，在平行六面體中，，可得.故選：A.3、D【解析】由向量平行充要條件代入解之即可解決.【詳解】由，可知，則有，解之得故選：D4、B【解析】先求出,再利用焦半徑公式即可獲解.【詳解】由題意，,解得所以故選：B.5、D【解析】根據(jù)導函數(shù)大于，原函數(shù)單調(diào)遞增；導函數(shù)小于，原函數(shù)單調(diào)遞減；即可得出正確答案.【詳解】由導函數(shù)得圖象可得：時，，所以在單調(diào)遞減，排除選項A、B，當時，先正后負，所以在先增后減，因選項C是先減后增再減，故排除選項C，故選：D.6、A【解析】根據(jù)等邊三角形的面積求得邊長，根據(jù)角度求得點的坐標，代入拋物線方程求得的值.【詳解】設(shè)等邊三角形的邊長為，則，解得根據(jù)拋物線的對稱性可知，且，設(shè)點在軸上方，則點的坐標為，即，將代入拋物線方程得，解得，故拋物線方程為故選：A7、D【解析】有兩個零點等價于與的圖象有兩個交點，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與最值，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】解：設(shè)，則，所以在上遞減，在上遞增，，且時，，有兩個零點等價于與的圖象有兩個交點，畫出的圖象，如下圖所示，由圖可得，時，與的圖象有兩個交點，此時，函數(shù)有兩個零點，實數(shù)m的取值范圍是，故選：D.【點睛】方法點睛：本題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì)、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的零點，以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于難題.數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學問題的一種重要思想方法，函數(shù)圖象是函數(shù)的一種表達形式，它形象地揭示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究函數(shù)的數(shù)量關(guān)系提供了“形”的直觀性．歸納起來，圖象的應(yīng)用常見的命題探究角度有：1、確定方程根的個數(shù)；2、求參數(shù)的取值范圍；3、求不等式的解集；4、研究函數(shù)性質(zhì)8、A【解析】對于①，由三角形大邊對大角的性質(zhì)分析，對于②，根據(jù)題意利用正弦定理分析，對于③，利用余弦定理分析，對于④，利用三角形的面積公式分析判斷【詳解】對于①，根據(jù)題意，圖2，它是由三個全等的鈍角三角形與一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，故，，所以這三個全等的鈍角三角形不可能是等腰三角形，故①正確；對于②，由題知，在中，，，，所以，所以由正弦定理得解得，因為，所以，故②正確；對于③，不妨設(shè)，所以在中，由余弦定理得，代入數(shù)據(jù)得，所以，所以，故③錯誤；對于④，若是的中點，則，所以，故④正確.故選：A第II卷（非選擇題9、C【解析】由函數(shù)的圖象可知其單調(diào)性情況，再由導函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系即可得解.【詳解】由函數(shù)的圖象可知，當時，從左向右函數(shù)先增后減，故時，從左向右導函數(shù)先正后負，故排除AB；當時，從左向右函數(shù)先減后增，故時，從左向右導函數(shù)先負后正，故排除D.故選：C.10、B【解析】利用兩直線平行的等價條件求得實數(shù)m的值.【詳解】∵兩條直線x+my+6=0和（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行，∴解得m=﹣1，故選B【點睛】已知兩直線的一般方程判定兩直線平行或垂直時，記住以下結(jié)論，可避免討論：已知，，則，11、C【解析】求出斜率，根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系，即可求解.【詳解】解：，即，直線的斜率為，即直線的傾斜角為120°.故選：C.12、C【解析】A.寫出原命題的否命題，即可判斷其正誤；B.根據(jù)為真命題可知的p,q真假情況，由此判斷的真假；C.看命題“”能否推出“”，即可判斷；D.根據(jù)含有一個量詞的命題的否定的要求，即可判斷該命題的正誤.【詳解】A.命題“若x=y，則sinx=siny”，其否命題為若“，則”為假命題，因此A不正確；B.命題“”為真命題，則p，q中至少有一個為真命題，當二者為一真一假時，為假命題，故B不正確C.命題“若，則”為真命題，故C正確；D.命題：“，”，為特稱命題，其命題的否定：“，”，故D錯誤，故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】根據(jù)題設(shè)條件可得坐標，代入橢圓方程后可求橢圓的離心率.【詳解】因為，故，，且在軸的正半軸上，則在第二象限中，故，代入橢圓方程有：即，故，故答案為：.14、【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意可知和同號，結(jié)合等比中項的性質(zhì)可求得的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由等比中項的性質(zhì)可得，因此，.故答案為：.【點睛】本題考查等比中項的計算，解題時不要忽略了對應(yīng)項符號的判斷，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】根據(jù)題意求出函數(shù)的導函數(shù)并且通過導數(shù)求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而得到原函數(shù)的極值，因為函數(shù)僅有一個零點，所以結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的極大值小于或極小值大于，即可得到答案.【詳解】解：由題意可得：函數(shù)，所以，令，則或，令，則，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，減區(qū)間為所以當時函數(shù)有極大值，當時函數(shù)有極小值，，因為函數(shù)僅有一個零點，，所以或，解得或.所以實數(shù)的取值范圍是故答案為：16、或【解析】寫出，，求出，根據(jù)以及即可求解，【詳解】由題意，，，所以，，因為，則，即，即，所以，即，解得或（舍）.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析（3）【解析】（1）求導，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，令x=1處的切線的斜率等1，結(jié)合，即可求得a和b的值；（2）利用（1）的結(jié)論，構(gòu)造函數(shù)，求求導數(shù)，判斷單調(diào)性，求出最小值即可證明；（3）根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，求出其導數(shù)，分類討論導數(shù)的值的情況，根據(jù)單調(diào)性，判斷函數(shù)的最小值情況，即可求得答案.【小問1詳解】由題意知：，因為曲線在點（1，0）處的切線方程為，故，即；【小問2詳解】證明：由（1）知：，令，則，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以當時，取得極小值，也即最小值，最小值為，故，即成立；【小問3詳解】當，即，（），設(shè)，（），則，當時，由得，此時，此時在時單調(diào)遞增，，適合題意；當時，，此時在時單調(diào)遞增，，適合題意；當時，，此時，此時在時單調(diào)遞增，，適合題意；當時，，此時在內(nèi)，，在內(nèi)，，故，顯然時，，不滿足當恒成立，綜上述：.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）且；（Ⅲ）證明見解析.【解析】（Ⅰ）設(shè)出橢圓方程，根據(jù)題意得出關(guān)于的方程組，從而求得橢圓的方程；（Ⅱ）根據(jù)題意設(shè)出直線方程，并與橢圓方程聯(lián)立消元，根據(jù)直線與橢圓方程有兩個不同交點，利用即可求出m取值范圍；（Ⅲ）設(shè)直線MA，MB的斜率分別為k1，k2，根據(jù)題意把所證問題轉(zhuǎn)化為證明k1+k2=0即可.【詳解】（1）設(shè)橢圓方程為，由題意可得，解得，∴橢圓方程為；（Ⅱ）∵直線l平行于OM，且在y軸上的截距為m，，所以設(shè)直線的方程為，由消元，得∵直線l與橢圓交于A，B兩個不同點，所以，解得，所以m的取值范圍為.（Ⅲ）設(shè)直線MA，MB的斜率分別為k1，k2，只需證明k1+k2=0即可，設(shè)，由（Ⅱ）可知，則，由，而，，故直線MA，MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.19、（1）；（2）[，3].【解析】（1）由題可得，即求；（2）當直線的斜率不存在或為0，易求，當直線MN斜率存在且不為0時，設(shè)直線MN的方程為：，利用直線與圓相切可得，再聯(lián)立橢圓方程并應(yīng)用韋達定理求得，然后利用基本不等式即得.【小問1詳解】由題可得，∴??=2，??=∴橢圓C的方程為：；小問2詳解】當直線MN斜率為0時，不妨取直線MN為??=，則，此時，則；當直線MN斜率不存在，不妨取直線MN為x=，則，此時，則；當直線MN斜率存在且不為0時，設(shè)直線MN的方程為：，，因為直線MN與圓相切，所以，即，又因為直線MN與橢圓C交于M，N兩點：由，得，則，所以MN中點T坐標為，則，，所以又，當且僅當，即取等號，∴|OT||MN|；綜上所述：|OT|?|MN|的取值范圍為[，3].20、（1）；（2），.【解析】（1）根據(jù)題意可得，然后根據(jù)，，計算可得，最后可得結(jié)果.（2）假設(shè)直線的方程為，根據(jù)與拋物線相切，可得，然后與橢圓聯(lián)立，計算，然后計算點到的距離，計算，利用函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】（1）由題意知：，.，得：，所以.所以的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，則由，得得：所以直線的方程為.由，得得.又，所以點到的距離為..令，則，.此時，即【點睛】本題考查直線與圓錐曲線的綜合以及三角形面積問題，本題著重考查對問題分析能力以及計算能力，屬難題.21、（1）填表見解析；有99.9%的把握認為觀眾在觀看影片的過程中流淚與性別有關(guān)；（2）【解析】（1）由已知數(shù)