新高考地區(qū)高一數(shù)學(xué)期中測試卷02(人教A版2019)(測試范圍：必修第二冊第六、七、八章)(解析版)

-2021學(xué)年度高一下學(xué)期期中復(fù)習(xí)卷02（本卷滿分150分，考試時間120分鐘）班級：姓名：得分：一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1．已知平面向量，，若存在實數(shù)，使得，則實數(shù)的值為()。A、B、C、D、【答案】D【解析】∵，∴，則，解得或，又，∴，∴，故選D。2．下列說法中錯誤的是()。A、兩條平行線段在直觀圖中對應(yīng)的兩條線段仍然平行B、平行于坐標(biāo)軸的線段長度在直觀圖中仍然保持不變C、平行于坐標(biāo)軸的線段在直觀圖中仍然平行于坐標(biāo)軸D、斜二測坐標(biāo)系取的角可能是【答案】B【解析】平行于軸的線段在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话耄蔅錯誤，由斜二測畫法的基本要求可知A、C、D正確，故選B。3．在下列命題中，正確命題的個數(shù)為()。①兩個復(fù)數(shù)不能比較大??；②若是純虛數(shù)，則實數(shù)；③是虛數(shù)的一個充要條件是；④若、是兩個相等的實數(shù)，則是純虛數(shù)；⑤的一個充要條件是；⑥的充要條件是。A、B、C、D、【答案】B【解析】復(fù)數(shù)為實數(shù)時，可以比較大小，①錯，時，，②錯，為實數(shù)時，也有，③錯，時，，④錯，⑤⑥正確，故選B4．設(shè)、是兩個不同的平面，則的充要條件是()。A、平面內(nèi)任意一條直線與平面垂直B、平面、都垂直于同一條直線C、平面、都垂直于同一平面D、平面內(nèi)存在一條直線與平面垂直【答案】D【解析】若，則平面內(nèi)存在直線與平面不垂直，選項A不正確；若平面、都垂直于同一條直線，則平面與平行，選項B不正確；若平面、都垂直于同一平面，則平面、可以平行，也可以相交，選項C不正確；若平面內(nèi)存在一條直線與平面垂直，則根據(jù)面面垂直的判定定理，可知，若，則由面面垂直的性質(zhì)定理知，平面內(nèi)垂直于兩個平面的交線的直線一定垂直于平面，故選項D正確；故選D。5．如圖，在長方體中，用截面截下一個棱錐，則棱錐的體積與剩余部分的體積之比為()。A、B、C、D、【答案】A【解析】設(shè)，，，則長方體的體積，又，且三棱錐的高為，∴，則剩余部分的幾何體體積，則，故選A。6．四面體中，，，，則四面體外接球的表面積為()。A、B、C、D、【答案】C【解析】將四面體置于一個長方體中，∴四面體的外接球即為長方體的外接球，設(shè)長方體的長、寬、高分別為、、，則根據(jù)圖形可有，則外接球的直徑，∴，則球的表面積為，故選C。7．如圖，在中，，D是邊上一點，，則的長為（）.A.B.C.D.【答案】B【解析】由余弦定理可得得到,故選：B8．我國南宋時期著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在其著作《數(shù)書九章》中，提出了已知三角形三邊長求三角形的面積的公式，與著名的海倫公式完全等價，由此可以看出我國古代已具有很高的數(shù)學(xué)水平，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上．以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實．一為從隔，開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即，其中分別為內(nèi)角A、B、C的對邊.若，，則面積S的最大值為（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，則sinC＝（sinBcosC+cosBsinC）＝sin（B+C）＝sinA，由正弦定理得c＝a，∵b＝2，△ABC的面積＝，∴當(dāng)即a＝2時，△ABC的面積S有最大值為．故選：C．【點睛】本題考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用以及二次函數(shù)求最值問題，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9．設(shè)為虛數(shù)單位，則下列命題錯誤的是()。A、，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)B、在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限C、若復(fù)數(shù)，則存在復(fù)數(shù)，使得D、，方程無解【答案】ABD【解析】A選項，只有當(dāng)時，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，錯，B選項，，對應(yīng)的點位于第一象限，錯，C選項，若復(fù)數(shù)，則存在復(fù)數(shù)，使得，對，D選項，，方程成立，錯，故選ABD。10．如圖所示，在正方體中，、分別是、的中點，則圖中陰影部分在正方體的六個面上的正投影(投射線垂直于投射面所得的平行投影)可能為下圖中的()。A、B、C、D、【答案】AC【解析】A選項為在上的投影，C選項為在上的投影。11．設(shè)、、是任意的非零平面向量，且相互不共線，則下列命題是真命題的有()。A、B、C、不與垂直D、【答案】BD【解析】A選項，平面向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，故A假，B選項，由向量的減法運(yùn)算可知、、恰為一個三角形的三條邊長，由“兩邊之差小于第三邊”，故B真，C選項，∵，∴與垂直，故C假，D選項，，成立，故D真，故選BD。12．在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別是棱BC、CC1的中點，則下列結(jié)論正確的是（）A.A1D⊥AFB.三棱錐A﹣BCF外接球的表面積為9πC.點C到平面AEF的距離為D.平面AEF截正方體所得的截面面積為【答案】BCD【解析】【分析】取中點，連接，用反證法證明與不可能垂直，判斷A，證明的中點就是三棱錐外接球球心，求得球面積，判斷B，利用等體積法求得點C到平面AEF的距離判斷C，作出完整截面并求出面積判斷D．【詳解】A．如圖，取中點，連接，由于是中點，∴，而平面，∴平面，平面，∴，若，由于，∴平面，又平面，∴，但正方形中，是中點，不可能有，A錯；B．設(shè)與交于點，則是的外心，取中點，連接，則，∴平面，∴是三棱錐外接球的球心，，球表面積為，B正確；C．，，中，，，，則，，，設(shè)到平面的距離為，則得，，C正確；D．連接，易證得，平面AEF截正方體所得的截面即為等腰梯形，，，，梯形的高為，，D正確．故選：BCD．【點睛】本題考查立體幾何中命題的真假，考查線線垂直的判斷，三棱錐的外接球問題，等體積法求點到平面的距離，考查正方體的截面等知識，考查學(xué)生的空間想象能力，運(yùn)算求解能力，分析并解決問題的能力，屬于中檔題．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．在中，，，，則的外接圓半徑為___________?！敬鸢浮俊窘馕觥坑捎嘞叶ɡ碇?，∵，∴。所以的外接圓半徑。14．已知在正四面體中，是棱的中點，是點在底面內(nèi)的射影，則異面直線與所成角的余弦值為?！敬鸢浮俊窘馕觥吭O(shè)正四面體的棱長為，則，高，設(shè)點在底面內(nèi)的射影是，則，∴即為所求異面直線與所成角，則。15．已知非零向量、滿足，，且與的夾角為，則的取值范圍是?！敬鸢浮俊窘馕觥苛睿瑒t，與的夾角為，∴，又，∴，∴的取值范圍是。16．如圖所示，一豎立在地面上的圓錐形物體的母線長為，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點出發(fā)，繞圓錐爬行一周后回到點處，若該小蟲爬行的最短路程為，則這個圓錐的體積為?！敬鸢浮俊窘馕觥孔鞒鲈搱A錐的側(cè)面展開圖，如圖所示：該小蟲爬行的最短路程為，由余弦定理可得，∴，設(shè)底面圓的半徑為，則有，解得，∴這個圓錐的高為，這個圓錐的體積為。四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（本小題滿分10分）已知復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為，.（1）若，求的值；（2）復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在二、四象限的角平分線上，求的值.18．（本小題滿分12分）已知三個點，，。(1)求證：；(2)若四邊形為矩形，求點的坐標(biāo)以及矩形兩對角線所夾銳角的余弦值?！窘馕觥?1)證明：∵，，，∴，，2分∵，∴，即；4分(2)解：∵，四邊形為矩形，∴，5分設(shè)點坐標(biāo)為，則，6分∴，解得，∴點坐標(biāo)為，7分從而，，且，，，9分設(shè)與的夾角為，則，11分∴矩形的兩條對角線所夾銳角的余弦值為。12分19．（12分）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足，，．（1）求角B的大?。唬?）求的面積．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由正弦定理結(jié)合三角恒等變換可得，進(jìn)而可得，即可得解；（2）由余弦定理可得，進(jìn)而可得，再由三角形面積公式即可得解.【詳解】解：（1）由正弦定理，得．由，得．由，得．所以．又，所以．又，得．（2）由余弦定理及，得．即．將代入，解得．所以．20．（本小題滿分12分）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為，已知.(I)求B；(II)若的周長為的面積.【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】(Ⅰ),，,，.,.(Ⅱ)由余弦定理得，，，，.21．（本小題滿分12分）如圖所示的空間幾何體中，平面平面，，和平面所成的角為，且點在平面上的射影落在的平分線上。(1)求證：平面；(2)求多面體的體積?！窘馕觥?1)證明：由題意知，、都是邊長為的等邊三角形，取中點，連接、，則，，∵平面平面，∴平面，2分作平面，則，根據(jù)題意點落在上，∴，易求得，∴四邊形是平行四邊形，，4分∵平面，平面，∴平面；5分(2)解：∵平面平面，，∴平面，又∵，∴平面，7分∴三棱錐體積，9分又三棱錐體積，11分∴多面體體積為。12分22．（本小題滿分12分）如圖所示，已知四棱錐，平面，底面是直角梯形，其中，，，為邊上的中點。(1)證明：平面；(2)證明：平面平面；(3)求三棱錐的體積。【解析】(1)如圖，取的中點，連接、，∵為中點，∴，且，∵，，∴且，∴四邊形是平行四邊形，