盈虧問題的解題方法

盈虧問題的解題方法一、基本概念人們在分東西的時候，經(jīng)常會遇到剩余（盈）或不足（虧），根據(jù)分東西過程中的盈或虧所編成的應(yīng)用題叫做盈虧問題。盈：東西分了有剩余叫盈，往往以“多”“?！薄坝唷边@樣的字眼出現(xiàn)虧：東西不夠分就叫虧，往往以“少”“差”“缺”這樣的字眼出現(xiàn)分配量：拿來分的物品（例如把卡片分給人，卡片就是分配量）接受量：分到物品的那個，題目中往往出現(xiàn)在“每”的后面。典型的盈虧問題是“已知兩個分配方案，一次分配有余，一次分配不足，求參加分配的人數(shù)及被分配的總量”。一般以下列的形式表述：把若干個蘋果(未知數(shù))分給若干個人(未知數(shù))，如果每人分2個還多20個，如果每人分3個則少5個。問總共有多少人？有多少個蘋果？題目中的不變量是人數(shù)和蘋果數(shù)，比較兩種不同的分配方法，可知蘋果相差：20+5=25(個)；相差25個蘋果，亳無疑問是由于每人相差蘋果

3-2=1(個)而做成的，事實(shí)上，只有唯一一種情況才會導(dǎo)至上述情形，那就是有25人分蘋果！求得人數(shù)后，進(jìn)而可以根據(jù)題意，用兩種方法求得蘋果的數(shù)目：2×25＋20＝70(個)或3×25－5＝70(個)例：幼兒園阿姨分糖，如果每人分6粒，則多8粒，如果每人分8粒，則缺52粒。幼兒園有（

）個小朋友，（

）粒糖。【分析】按兩種不同的分配方案，兩次結(jié)果相差8+52=60（粒），（注意：這里兩次結(jié)果差不是52-8=44（粒）。因?yàn)榈谝淮畏峙浣Y(jié)果為多8粒，第二次分配結(jié)果為缺52粒。）兩次結(jié)果相差產(chǎn)生的原因是每人多分了8-6=2（粒）?？梢郧蟪龉灿行∨笥?0÷2=30（人），糖共有6×30+8=188（粒）。當(dāng)然我們還可以用盈虧問題的計(jì)算公式：兩次結(jié)果差÷兩次分配數(shù)差=人數(shù)。二、盈虧問題通常的3種直接計(jì)算型①盈虧型（一次多一次少）：

（盈+虧）

÷兩次分配之差

=

接受量例

葛老師分卡片，每人8張，多9張；每人10張，少7張，則人數(shù):(9+7)÷（10-8）=8人接下來再求卡片數(shù)量

8×8+9=73張

或

8×10-7=73張②盈盈型（兩次都多出來）：（大盈-小盈）÷兩次分配之差

=

接受量每人8張，多9張；每人10張，多1張，則人數(shù):（9-1）÷（10-8）=4人③虧虧型（兩次都不夠）：（大虧-小虧）÷兩次分配之差

=

接受量每人8張，少2張；每人10張，少12張，則人數(shù):（12-2）÷（10-8）=5人三、例題分析例1

小朋友分糖果，若每人分4粒則多9粒；若每人分5粒則少6粒。問：有多少個小朋友分多少粒糖？分析：由題目條件可以知道，小朋友的人數(shù)與糖的粒數(shù)是不變的。比較兩種分配方案，第一種方案每人分4粒就多9粒，第二種方案每人分5粒就少6粒，兩種不同的方案一多一少相差9＋6＝15（粒）。相差的原因在于兩種方案的分配數(shù)不同，第一種方案每人分4粒，第二種方案每人分5粒，兩次分配數(shù)之差為5－4＝1（粒）。每人相差1粒，多少人相差15粒呢？由此求出小朋友的人數(shù)為15÷1＝15（人），糖果的粒數(shù)為4×15＋9＝69（粒）。解：（9＋6）÷（5-4）＝15（人），4×15＋9＝69（粒）。答：有15個小朋友，分69粒糖。例2

小朋友分糖果，若每人分3粒則剩2粒；若每人分5粒則少6粒。問：有多少個小朋友？多少粒糖果？分析：本題與例1基本相同，例1中兩次分配數(shù)之差是5-4=1（粒），本題中兩次分配數(shù)之差是5-3＝2（粒）。例1中，兩種分配方案的盈數(shù)與虧數(shù)之和為9＋6＝15（粒），本題中，兩種分配方案的盈數(shù)與虧數(shù)之和為2＋6=8（粒）。仿照例1的解法即可。解：（6＋2）÷（4—2）＝4（人），3×4＋2＝14（粒）。答：有4個小朋友，14粒糖果。由例1、例2看出，所謂盈虧問題，就是把一定數(shù)量的東西分給一定數(shù)量的人，由兩種分配方案產(chǎn)生不同的盈虧數(shù)，反過來求出分配的總?cè)藬?shù)與被分配東西的總數(shù)量。解題的關(guān)鍵在于確定兩次分配數(shù)之差與盈虧總額（盈數(shù)+虧數(shù)），由此得到求解盈虧問題的公式：分配總?cè)藬?shù)=盈虧總額÷兩次分配數(shù)之差。需要注意的是，兩種分配方案的結(jié)果不一定總是一“盈”一“虧”，兩“盈”、兩“虧”、也會出現(xiàn)一“不盈不虧”一“盈”或“虧”等情況。例3

小朋友分糖果，每人分10粒，正好分完；若每人分16粒，則有3個小朋友分不到糖果。問：有多少粒糖果？分析與解：第一種方案是不盈不虧，第二種方案是虧16×3＝48（粒），所以盈虧總額是0＋48=48（粒），而兩次分配數(shù)之差是16——10＝6（粒）。由盈虧問題的公式得有小朋友（0＋16×3）÷（16-10）＝8（人），有

糖10×8＝80（粒）。下面的幾道例題是購物中的盈虧問題。例4

一批小朋友去買東西，若每人出10元則多8元；若每人出7元則少4元。問：有多少個小朋友？東西的價格是多少？分析與解：兩種購物方案的盈虧總額是8＋4＝12（元），兩次分配數(shù)之差是10——7＝3（元）。由公式得到小朋友的人數(shù)（8＋4）÷（10-7）＝4（人），東西的價格是10×4-8＝32（元）。例5

顧老師到新華書店去買書，若買5本則多3元；若買7本則少1.8元。這本書的單價是多少？顧老師共帶了多少元錢？分析與解：買5本多3元，買7本少1.8元。盈虧總額為3＋1.8=4.8（元），這4.8元剛好可以買7——5＝2（本）書，因此每本書4.8÷2=2.4（元），顧老師共帶錢2.4×5＋3＝15（元）。例6

王老師去買兒童小提琴，若買7把，則所帶的錢差110元；若買5把，則所帶的錢還差30元。問：兒童小提琴多少錢一把？王老師帶了多少錢？分析：本題在購物的兩個方案中，每一個方案都出現(xiàn)錢不足的情況，買7把小提琴差110元，買5把小提琴差30元。從買7把變成買5把，少買了7——5=2（把）提琴，而錢的差額減少了110——30＝80（元），即80元錢可以買2把小提琴，可見小提琴的單價為每把40元錢。解：（110——30）÷（7——5）＝40（元），40×7——110＝170（元）。答：小提琴40元一把，王老師帶了170元錢。例7.托兒所小朋友分杏，若每人分2個就多出30個；如果每人分4個，杏正好分完。阿姨買來多少個杏？思路剖析

通過讀題可以知道，在兩種分杏的方案中，第二種方案中每人分得的4個杏比第一種方案中每從發(fā)得的2個多了4-2=2（個），也就是第二次分杏時，相當(dāng)于在實(shí)施第一種方案的基礎(chǔ)上每人又分到2個杏，而每人分的2個杏，又是從實(shí)施第一種方案后剩的30個杏中拿走的。概括地說，就是每人分2個杏，一共分了30份。根據(jù)這個分析可以求出這個托兒所小朋友的人數(shù)，再根據(jù)小朋友的人數(shù)就可以求出阿姨買