（滬教版2020選修一）2022年上海高二數(shù)學同步講義-第３章 空間向量及其應用（典型題專練）

第3章空間向量及其應用典型題專練

能力提升

一、單選題

1.（2019?上海松江?高二期末）若向量a=（1,2,-2）,5=（-2,-4,4）,則向量。與5

A.相交B.垂直C.平行D.以上都不對

【答案】C

【分析】根據向量平行的坐標關系得解.

【詳解】??--1-=4=v，所以向量2與5平行.

【點睛】本題考查向量平行的坐標表示，屬于基礎題.

2.（2019?上海市北虹高級中學高二期末）如圖，平行六面體ABC。-A4CR中，若

AyD]-b,A]A=c,則下列向量中與丹加相等的向量是

11

A1_1r-

A.—a-\--b+cB.—a+—br-c

2222

11-

C.-a--b+cD.——d+—b+c

2222

【答案】D

【分析】由題意可得瓦瓦=可力+麗=即+]瓦瓦=—化簡得到結果.

【詳解】由題意可得瓦N=瓦石+麗=//+（前=硒+：瓦耳=^+94瓦一4瓦）

=c+|（另一d）=—+6故選D.

【點睛】本題主要考查兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，屬于基礎題.

3.（2021?上海市徐匯中學高二期中）如圖，已知正四面體A444,點A，4，4,

4,4,Ao分別是所在棱中點，點戶滿足A戶=x44+y4W+zAA且x+y+z=i,記

|麗日卓京，則當14i,匚10且iHj時，數(shù)量積麗?軻的不同取值的個數(shù)是（）

【答案】B

【分析】由條件可知點P在平面A44上，并且由幾何意義可知AQ，平面444,利用數(shù)量

積的幾何意義求碩?麗的不同取值的個數(shù).

【詳解】條件不+ya，+z4可且x+y+z=l"，說明點P在平面A44上，而

|@|=14Almm說明。為平面A44的中心，此時4QL平面A&4,由向量數(shù)量積的幾何意

義，眄在旗的投影有5種情況：0、±gl碩I、±|曜|,...數(shù)量積麗的不同取值

的個數(shù)是5,

故選：B.

【點睛】本題考查空間向量共面定理的應用，數(shù)量積的幾何意義，重點考查轉化思想，數(shù)形

結合思想，屬于中檔題型.

二、填空題

4.(2018?上海?華師大二附中高三開學考試)已知向量。=(1,-5,5),5=(2,1,7),則

卜+同=________

【答案】13

【分析】由題得二+，=(3,-4,12),即得|。+笳=13.

222

【詳解】由題得。+)=(3,-4,12),：.\a+h\=>/3+(-l)+12=13.

故答案為13

【點睛】本題主要考查空間向量的坐標運算和空間向量的模的計算，意在考查學生對這些知

識的理解掌握水平和分析推理計算能力.

5.(2019?上海?高三單元測試)已知點皿1,-2,-7),5(3,10,9),C為線段/第］中點，則向

量麗的坐標為

【答案】(1,6,8)

【分析】依題意，點41,-2,-7),8(3,10,9),。為線段4邠J中點，所以C點坐標為(2,4,1),所

以向量區(qū)的坐標為(1,6,8).

【詳解】解：依題意，點A(L-2,-7),*3,10,9),C為線段4解]中點，所以C點坐標為

(1+3—2+10—7+9)

[2，2'2-),印C(2,4,D,

所以向量無的坐標為前=(3-2,10-4,9-1)=(1,6,8).

故填:(1,6,8).

【點睛】本題考查了空間向量的中點坐標公式，空間向量的坐標.屬于基礎題.

6.(2019?上海市延安中學高二期末)已知向量&=。,2,-2),則向量￡的單位向量可=

a(122)

【答案】II

【分析】計算出向，從而可得出詬=高，即可求出向量匹的坐標.

【詳解】

va=(1,2,-2),.恫=Ji?+22+(-2丫=3,

一a1-<122、

因此，向量￡的單位向量/=同=鏟十虧―1

(122、

故答案為：II.

【點睛】本題考查與非零向量同向的單位向量坐標的計算，熟悉結論”與非零向量￡同向的

單位向量為的應用是解題的關鍵，考查計算能力，屬于基礎題.

H

7.(2018?上海市七寶中學高二期末)已知空間向量a=(2x+l,3x,0),5=(l,y,y-3),(其

中x、ye/?),如果存在實數(shù)2,使得”4成立，則》+尸.

【答案】2

【分析】利用向量的坐標運算得出關于X、y、2的方程組，解出即可得出x+y的值.

2x+1=2x=-\

【詳解】?.i=(2x+l,3x,0),b=(l,3),且￡=所以上=心,解得卜=3,

0=2=—1

因此，x+y=2.

故答案為：2.

【點睛】本題考查空間向量共線的坐標運算，建立方程組求解是解題的關鍵，考查計算能

力，屬于基礎題.

8.（2012?上海黃浦?高三期末（理））已知直三棱柱48C-AB?的棱

AB=BC=AC=4,e=2,如圖所示，則異面直線A片與8a所成的角是（結果用反三

角函數(shù)值表示）.

【答案】arccos!

【分析】首先計算出鬲?西，設福與甌所成的角為0,求出COS?的值，即可求得。的

值，從而求得異面直線4片與BG所成的角.

【詳解】由題意可得鬲=通+璃=通+碼，eq=BC+cq=BC+M'

褥西=（而+麗）.（覺+福）=痔肥+麗.品+醞麗+福2

=4x4cosl20°+0+0+4=-4,

__cAB,BC.-41

設的與g所成的角為。，則有8S”國畫=限丁衍=",

6）=^-arccos1,故異面直線4片與BG所成的角是arccos",故答案為arccos".

【點睛】本題主要考查異面直線所成的角的定義和求法，兩個向量夾角公式的應用，體現(xiàn)了

轉化的數(shù)學思想，屬于中檔題.

9.（2015?上海?華師大二附中高三期中）如圖已知每條棱長都為3的直平行六面體

488-A4G。中，^BAD=60P,長為2的線段MN的一個端點M在。。上運動，另一個端點

N在底面ABC。上運動，則MN中點P的軌跡與直平行六面體的面所圍成的幾何體的體積為

【答案】y

【分析】如圖所示，利用代數(shù)法先確定點尸的軌跡，從而確定點P的軌跡與平行六面體所圍

成的幾何體的形狀，即可求幾何體的體積.

【詳解】

如圖所示，取A8的中點E連接。E,由題意知DEVCD

以OE所在直線為*軸，以。c所在直線為y軸，以。。所在直線為z軸建立空間直角坐標

系.

設"（O,O,z）,N（x,y,0）,則嗚，/]

MN=y]x2+y2+z2=2

x2+y2+z2=4

.-.OP2=1

即OP=1

點尸的軌跡是以原點D為球心，以1為半徑的球的一部分

又ABAD=60°,ZADC=120°.

...點P的軌跡是球的工

O

1A，仃

,幾何體的體積為乃XF=T

639

2萬

故答案為：—.

【點睛】本題主要考查幾何體的體積的求法，涉及點的軌跡的求法，解析法的應用以及球的

體積公式的應用，屬于中檔題.

10.（2019?上海市青浦區(qū)第一中學高二期中）已知直線/的一個方向向量2=（4,3,1）,平面

a的一個法向量萬=（"],3,-5）,且〃/a,則加=

【答案】-1

【分析】由題意可得，根據線面平行可得715,則25=0,進而得到4,〃+9-5=0,解得即

可.

【詳解】解：由題意可得2_1九則4利+9-5=0

解得機=-1

【點睛】本題主要考查了直線與平面的位置關系，根據線面平行、線面垂直的性質得到平面

的法向量與平行于平面的直線垂直，考查了空間向量垂直的坐標表示.

11.（2021?上海?高二專題練習）設向量〃=（。力,0）,1=（c,d,l）.其中/+從“2+/=1.

則以與萬夾角的最大值為.

3兀

【答案】v

4

【分析】由兩向量中的已知坐標和未知坐標間的關系，得出兩向量的終點的軌跡，運用向量

的夾角公式求解.

【詳解】向量5的終點都在以。為圓心，1為半徑的圓上；

向量。的終點都在以。|為圓心，1為半徑的圓上；

且為圓。與圓01的距離為I,

如圖所示，兩向量的夾角最大，為手.

4

【點睛】本題考查動點的軌跡和空間直角坐標系中向量的夾角，屬于中檔題.

三、解答題

12.（2022?上海?高三專題練習）如圖，在直三棱柱ABC-中，已知

A4,=BC=AB=2,AB±BC.

（1）求四棱錐A-BCG4的體積;

（2）求二面角4-AC-G的大小.

【答案】（1）1（2）|

【分析】（1）通過判斷條件可知四棱錐A-BCG用的高為A耳，采用體積公式求解即可

（2）建立空間直角坐標系，求出相關點的坐標，求出麗=（1,1,0）是平面AGC的一個法向

量，求出平面as。的一個法向量，利用向量的數(shù)量積求解：面角4-AC-G的大小

【詳解】（1）因為ABL3C,三棱柱ABC-ABG是直三棱柱，所以ABLBCC的,從而A與

是四棱錐A-BCC圈的高

1Q

四棱錐A-BCG4的體積為V=-x2x2x2=-

（2）如圖建立空間直角坐標系

則A(2,0,0),C(0,2,0),A(2,0,2),4(0,0⑵,C,(0,2,2)

設力冰中點為M???3MLAC,NM_LCG，.1BM，平面AGC,即麗=(1,1,0)是平面AGC

的一個法向量

設平面A4C的一個法向量是萬=(x,y,z),A.C=(-2,2-2),4耳=(一2,0,0)

.'.iiA]B1=-2x-0,n-AiC=-2x+2y-2z=0

令z=l,解得x=0,y=1,/?=(0,1,1)

設法向量元與麗的夾角為夕，二面角片-AC-6的大小為。，顯然。為銳角

G\n-BM|1n

*:cos0n=cosB=-----.=—,:.0——

\n\\BM\23

二面角的大小為午

【點睛】本題考查二面角的平面角的求法，幾何體的體積的求法，空間想象能力以及邏輯推

理能力，屬于中檔題

13.（2017?上海寶山?高二期末）如圖，點。為正四棱錐P-ABCO的底面中心，四邊形

POBQ為矩形，且OA=0,BQ=2.

（1）求正四棱錐P-ABCO的體積；

（2）設E為側棱以上的點，且笠=：，求直線跖和平面PQC所成角的大小.

EP3

【答案】（1）5（2）arcsin也^

321

【分析】（1）根據條件求出底面面積，用錐體體積公式即可求解；（2）以0點為原點建立

空間直角坐標系，求出直線3E的方向向量曲和平面PQC的法向量［的坐標，用公式

sin0=Icos<BE,n>1=J?J求解即可。

1”阿〃I

【詳解】解：（1）由己知可得OP=BQ=2,

注意到。4=點，故底面正方形ABCQ的邊長AB=2,

所以正四棱錐P-ABCD的體積為%=：5詆。PO…

=-X22X2

3

=8

"3,

（2）以。為原點，OC,OD,0P分別為％,V,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

易得P（0,0,2）,A（-V2,0,0）,B（0,-V2,0）,C（忘,0,0）,Q（0,-夜,2）.

E

'A

D

y

n±QP

設平面PQC的一個法向量為”=（x,y,z）,則

nlCP'

n-QP=O

所以

nCP=O'

[岳=0

又9=(0,&,01CP=(-72,0,2),即

[-缶+2z=0

解得卜=缶

可取元=(&,0,1)

y=0

依題意可得荏=|麗=孚，°，［］，現(xiàn)設E（x,y,z）,則通=（x+V5,y,z-

從而麗=

設直線BE和平面PQC所成角為e，則sin0=|cos<

V7

21

????！?,J,.?.0=arcsin—,

L2.21

故，直線BE和平面PQC所成角的大小為arcsin也.

21

【點睛】本題考查求正四棱錐的體積和直線與平面所成的角，難度一般，考查學生的空間想

象能力與運算能力。求直線與平面所成的角一般用兩種方法，方法一，作出直線與平面所成

的角，然后在三角形中求解；方法二，建立適當?shù)目臻g直角坐標系，用空間向量求解。

14.（2020?上海?高三專題練習）如圖，四棱錐4以沖，陽，平面/腿，后為龍柏中

3

點，物如的中點，△DAB2DCB,EA=EB=AB=1,尸4=］，連接醐1延長交力好￡

p

（1）求證：力〃，平面的7;

（2）求平面及孑與平面郎的夾角的余弦值.

【答案】（1）見解析（2）正

4

【分析】（1）根據已知可得AD，CP,GFYAD,所以可得證/〃1平面6密

（2）以4為坐標原點建立空間直角坐標，分別求出平面83與平面比碓法向量，從而可得出

兩平面的夾角的余弦值.

【詳解】（1）因為AOABWOCB,EA=EB=AB=\,所以是等邊三角形，

：.ZDEF=ZEBA^60°,

EF//AB,EF=-AE,GF//PA,

2

在A4E/中，???^AEF=60°,ZAFE=90°,_L所,即CF,

F41,平面ABCD,GF_L平面ABCD,:.GF±A￡>,CFcGf=F,r.A。_L平面CFG；

（2）建立空間坐標系如圖所示，

則B（L0,0）,C（|，孚,0），P（。。,|），。（0,60）,

向量配=（g，￥，o）,定=（|，￥，-|）,配=（|,-孝,0）,

設平面順的法向量I=（%,X，4）,平面如。的法向量后=U，必，Z2），則

1石

-X+O

-立

2T2

一

g得--

33?|3，3

-O

玉+TZ=

2-2-

3立

-%-O

2-2

3立3

-+Z=O

22y2-2-2

設平面ap與平面訥夾角為e,由圖示可知，。為銳角，所以

兩平面夾角的余弦coso=

所以平面吩與平面〃。的夾角的余弦值為正.

4

故得解.

【點睛】本題主要考查空間垂直關系的證明、平行關系的運用，考查空間角的求解方法，考

查空間想象能力、推理論證能力、計算能力.

15.（2021?上海?高二專題練習）被嘉定著名學者錢大聽贊譽為“國朝算學第一”的清朝

數(shù)學家梅文鼎曾創(chuàng)造出一類“方燈體”，“燈者立方去其八角也”，如圖所示，在棱長為4

的正方體A8CD-ABCQ中，點爪i=L2,L,24）為棱上的四等分點.

（1）求該方燈體的體積；

（2）求直線＜巴和E片的所成角；

（3）求直線4%和平面々鳥A的所成角.

【答案】（1）:（2）60；（3）arcsin.

33

【分析】（1）計算出八個角（即八個二棱錐）的體積之和，然后利用正方體的體積減去這

八個角的體積之和即可得出方燈體的體積；

（2）以A為原點，AB為x軸，AO為y軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標系，利用空間向

量法求出直線PA和的所成角;

（3）求出平面4鳥鳥的法向量，利用空間向量法求出直線8品和平面6舄A的所成角的正弦

值，由此可得出6%和平面424的所成角的大小.

【詳解】（1）???在棱長為4的正方體ABCD4與GA中，點片（i=1,2,L,24）為棱上的四等分

點，

111QQ

該方燈體的體積：V=4x4x4-8x-x-xlxlxl=—；

323

（2）以A為原點，4B為*軸，A￡>為y軸，AA為z軸，建立空間直角坐標系,

uuuuuum

耳（3,0,4）、鳥（4,1,4）、,（0,3,4）、4（0,4,3）,他=（1,1,0）,《匕=（0,1,-1）,

LUU1111UUT

和比片1

設直線舄和《耳的所成角為貝ljCOS0=-titftrrTtttttHr-=—,

6牝?回2

二直線66和6力的所成角為60,

UULIU1uuu

（3）￡（4,0,3）,%（4,0,1）,即；、=（0,0,-2）,24=（1,0,-1）,

設平面664的法向量7=（x,y,z'），

X

=x

H/口-

則..in-麗RR=…x-zy==00'侍[|yz=-x-，取X"得〃=

?uuuorr>

吹〃|2x/3

設直線《小和平面的所成角為a,則sina=牖后2c

???直線砧3和平面枕鳥的所成角為arcsin乎.

【點睛】本題考查多面體的體積、異面直線所成角、直線與平面所成角的計算，解題的關鍵

就是建立空間直角坐標系，利用空間向量法進行計算，考查運算求解能力，屬于中等題.

16.（2019?上海?高三階段練習）如圖，四棱錐中，PA_L平面ABC。，

AD//BC,AB±AD,BC==^-,AB=\,BD=PA=2.

3

（1）求異面直線8。與PC所成角的余弦值；

（2）求二面角4-PD-C的余弦值.

【答案】⑴容：（2）

385

【分析】（1）以點A為坐標原點，AB.AD.AP所在的直線分別為x軸、丫軸、z軸建立

空間直角坐標系A-孫z,計算出向量而、PC,然后利用空間向量法計算出異面直線即與

PC所成角的余弦值；

（2）計算出平面尸AD的一個法向量正，平面PCO的一個法向量G，然后利用空間向量法計

算出二面角A-PD-C的余弦值.

【詳解】（1）由題意可知，AB、A。、AP兩兩垂直，不妨以點4為坐標原點，AB.

AD.A尸所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系A-孫z,如下圖所示：

易得==淳=5則點8（1,0,0）、C1,早,0、。（0,40）、P（0,0,2）.

（）JDPC

???cosBD,^C=PHM

因此，異面直線BD與PC所成角的余弦值為身;

(2)易知點A(0,0,0)、c[l,手,()]、。(0,收0)、*0,0,2).

易知平面PAD的一個法向量為正=(1,0,0),設平面PCD的一個法向量為3=(x,y,z),

與

X=

Wn3

點:：得＞彳尸°，解得＜

由旦令丁=2石，則x=2,z=3,

Z=

-"y+2z=02

所以，平面尸CO的一個法向量為"=僅,2百,3),cos例,元)=韶=2=；,

\f|m||n|1x55

2

由圖象可知，二面角A-PD-C為銳角，它的余弦值為

【點睛】本題考查利用空間向量法計算異面直線所成的角以及二面角，解題的關鍵就是要建

立合適的空間直角坐標系，將問題轉化為向量法來求解，考查計算能力，屬于中等題.

17.(2019?上海市行知中學高二期中)在棱長為。的正方體AB8-AMGA中，E、F分

別是棱BC、CO上的點，且BE=CF.

(1)當E、尸在何位置時，B、FLD\E?

(2)是否存在點E、F,使4C1面GE尸？

(3)當E、尸在何位置時三棱錐C-CEF的體積取得最大值？并求此時二面角6-EF-C的

大小.

【答案】(1)無論￡、/在何位置均有*(2)不存在點氏F,使面G硒詳見解

析(3)E、尸分別為比、0彳的中點時，三棱錐G一團的體積最大，此時：面角C-EF-C的

大小為arctan20

【分析】(1)以4為原點，以而、而、麗為謝、j軸、z軸建立空間直角坐標系，然后利

用向量數(shù)量積為0,可以證明；

⑵利用/?屬'=0且而?雨'=()無解，可知不存在點區(qū)凡使4d面C"”：

(3)連接/戊哥于G,則1人斯，由三垂線定理知：GG_LAV.NGGC是二面角G-EF-C的

平面角，然后計算可得.

【詳解】(1)以/為原點，以而、而、麗為8由、屏由、z軸建立空間直角坐標系，

設游X,則有:

B[(67,0,a),D、(0,a),E(a,x,0),F(a-x9a90)

uuuuuu

\B]F=(-x,a,-a),DtE=(a,x-a,-d)

UUUUUL1

B}F?D}E-ax+a(x-〃)+(-a)(-a)=0

因此，無論￡陷何位置均有8/八D}E.

UUUUUUUUU

(2)\C=(a,。,-a),EC、=(0,a-x,a),FC}=(x,0,a),

若4C_L面G例則而?博=0且/?星二0,

所以《2八得。=0才盾，

ax-a=0

故不存在點及F,使4CL面

（3）%s=；GC?SvcmCE2CF

』x"x）Va（"：+x）2ML",（當且僅當“7=x，即x=：時等號成立），.

3262242

當x時，二棱錐C一儂的體積最大，

這時，E、，分別為比'、。的中點.

連接力吠所于G,則/CL￡E由三垂線定理知：C\G1EF

“GC是二面角c「EF-C的平面角，

QGC=；AC=￥”,CC1=a,\tan?CfiC躇二2"

所求二面角大小為arctan2夜.

【點睛】本題考查了用向量數(shù)量積為。證明兩直線垂直,用基本不等式求體積的最大值以及二

面角的求法,屬于中檔題.

18.（2019?上海?復旦附中高二期末）如圖，在多面體A58EF中，粉，平面A8C￡）,四邊

形ADEF為正方形，四邊形A38為梯形，且A￡>〃BC,ZBAD=90°,AB=AD=\,BC=3.

(D求直線8尸與平面C￡>E所成角的正弦值；

(2)線段上是否存在點M,使得直線CE〃平面4；“？若存在，求黑的值：若不存在，請說

DL)

明理由.

【答案】(1)叵;(2)

【分析】建立適當?shù)目臻g宜角坐標系.

(1)求出平面CQE的法向量,利用空間向量夾角公式可以求出直線8尸與平面COE所成角的正

弦值；

(2)求出平面的的法向量,結合線面平行的性質，空間向量共線的性質,如果求出器的值，

也就證明出存在線段BD上是否存在點M,使得直線CE〃平面AFM,反之就不存在.

【詳解】以A為空間直角坐標系的原點，向量而，而，而所在的直線為x，y，z軸.如下所示：

A(0)0,0),5(l,0,0),C(l,3,0),。(0,1,0),E(0,1,1),尸(0,0,1).

⑴平面COE的法向量為而=(和y,z),DC=(1,2,0),DE=(0,0,1),BF=(-1,0,1).

m_LDCm-DC=0卜i+2y=0

..慶=(2,—1,0).

ih.LDE^m-DE=0(z,=0

直線BF與平面CDE所成角為以所以有sin0=

(2)假設線段8。上是存在點M,使得直線CE〃平面AFM.設筌=〃2￡@1]),因此的=義麗,

所以M的坐標為：(1-ZZ0).在=(-1,-2,1).

設平面A/W的法向量為1(々，切心)，AF=(O,O,1),AA7=(1-/1,^O),

[iilAF\n-AF=O[z2=0,,,…、

[nVAM[n-AM=0[x,(1-2)+/ly2=0

__2BM2

因為直線CE〃平面所以有位，〃=>”2(1-團=0=>/1=:,即器=：.

【點睛】本題考查了線面角的求法以及線面平行的性質，考查了數(shù)學運算能力.

19.(2018?上海市大同中學高三期中)如圖所示，在四棱錐O-ABC。中，底面ABCO是

■7T

邊長為1的菱形，ZABC=-,面ABC。，0A=2,M、N分別為QA、8c的中點.

4

(1)證明：直線仞V〃平面OC￡>；

(2)求異面直線AB與"。所成角的大小；

(3)求點B到平面。8的距離.

【答案】(1)證明見解析(2)j(3)|

【分析】(D取OD的中點E,構造平行四邊形MNCE,再根據線面平行的判定定理完成證

明；

(2)根據平行可知異面直線AB與MD所成的角即為N/gC或其補角，然后根據長度進行求

解；

(3)根據線面平行將問題轉化為A到平面。8的距離，然后作出A在平面內的射影，根據長

度即可計算出A到平面。8的距離，即可求解出點8到平面OCO的距離.

【詳解】(1)取。。的中點E,連接ME、CE.則四邊形MNCE為平行四邊形，

MN//CE,又平面OCD,CEu平面。CD,

MZV〃平面OCD

o

(2)VCD//AB,

為異面直線43與所成的角(或其補角)

作AP_LCD于點P,連接

：OA_L平面ABC。，ACDYMP,"：ZADP=~,：.DP=—.

42

MD=yjMA2+AD2=叵，

cosZA/DP=—=-,NMDC=NMDP=%.

MD23

所以異面直線AB與M￡＞所成的角為

O

(3):AB〃平面0C￡),...點B和點A到平面。8的距離相等.

連接。尸，過點A作AQJ_OP于點Q,

VAPLCD,OALCD,；.CO_L平面04P,：.AQ±CD,

又?；4Q_LOP,AQ_L平面OCD,

線段AQ的長就是點A到平面OCD的距離，與點B到平面OCD的距離相等

OP=^OD2-DP2=yJOA2+AD2-DP2=—,AP=AD=旦,

22

2x也

OP3V23

—

所以點B到平面OCD的距離為12.

【點睛】本題考查線面平行的證明、異面直線所成角以及點到面的距離的求解，難度一

般.（1）求解異面直線所成角注意角是鈍角還是銳角；（2）求解點到平面內的距離，除了通過

找到點在平面內射影的方法并根據長度求解距離，還可以通過等體積法完成距離的求解.

20.（2020?上海?復旦附中青浦分校高三階段練習）已知正方體488-A4G9的棱長為

（1）求點G到平面AA4的距離；

（2）求平面CDRG與平面所成的二面角（結果用反三角函數(shù)值表示）.

【答案】（1）^-a；（2）arccos—

33

【分析】（1）利用三棱錐等體積法求點G到平面4片。1的距離.

（2）建空間直角坐標系，用向量法求二面角.

【詳解】（1）0?e%-共用4=匕

匕GO.=；S.c心q?A4|；倉*a2?a^a3

???小旦，是邊長為缶的等邊三角形

?*-S=-x41axyjlax—=

△八AR巧D52、22

設點到平面48a的距離為力

旦

3

(2)建立如圖所示空間直角坐標系.

則A(0,0,0)，4(a,0,a),D](0,a,a)所以ABl=(a,O,a),ADl=(O,a,a)

設平面Ag的法向量為A=(x,y,z)

n-AB=0ax+az=0,

l“y+az=。'令I則y=1,Z=?1

n-AD1=0

\?=(1,1,-1)

又平面CDD,C\的法向量為m=(0,1,0)

設平面82G與平面AAR所成的二面角的平面角為。

turn1

8sq=麗=忑

【點睛】本題考查等體積法及二面角的向量求法.

計算二面角大小的常用方法

(1)分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角

得到二面角的大小，但要注意結合實際圖形判斷所求角的大??；

(2)分別在二面角的兩個半平面內找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則這兩個向

量的夾角的大小就是二面角的大小.

21.(2021?上海?高二專題練習)如圖，在三棱柱A8C-A4G中，叫1.平面ABC,

AB1BC,AA,=AB=BC=2.

(1)求證：8。]_1平面4區(qū)。；

(2)點N在線段8片上運動，求AN與8c所成角的范圍.

【答案】(1)證明見解析;(2)管1.

【分析】(1)推導出BG1BC，從而平面BCG4,進而

BCt1AA,由此證明BC|_L平面ABC；

(2)以8為原點，BC為x軸，班為y軸，因為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法求

出AN與BC所成角的范圍.

【詳解】⑴證明：：在三棱柱ABC-4月￡中，陰，平面ABC,ABLBC,

AA^=AB=BC=2

四邊形BCC向是正方形，，BQ1B、C

?.?841.平面ABC,ABrBC

44_LBB[,耳與_LB]C]

BBlcB￡=B],；.44_L平面BCC[B[

■「BQu平面BCC｝與，/.BC、，A4

?.?4餐cdC=4,BC\!平面&Be

(2)點N在線段8片上運動，由(1)知，A片，平面8CG4，86u平面8CG4，

-JT

.??4片，片C