《分類加法與分步乘法計數(shù)原理》名師課件

情境引入有4位同學和1位老師站成一排照相,如果老師要站在正中間,如圖所示,則有多少種不同的站法？情境引入由4個數(shù)字組成的密碼鎖,如圖所示,如果忘記了密碼,最多要試多少次才能打開蜜碼鎖？人教A版同步教材名師課件分類加法與分步乘法計數(shù)原理學習目標學習目標核心素養(yǎng)結(jié)合實例,理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理數(shù)學抽象能根據(jù)具體問題的特征,準確地應用兩個計數(shù)原理解決一些簡單的實際問題數(shù)學運算學習目標學習目標:1.理解兩個計數(shù)原理,能用它們解決簡單的實際問題.2.正確理解“完成一件事”的含義和區(qū)分“分步”與“分類”的特征.學科核心素養(yǎng):1.經(jīng)歷兩個計數(shù)原理的發(fā)現(xiàn)過程,感受和體會通過歸納、類比把實際問題抽象概括為數(shù)學原理的思想方法,發(fā)展學生的數(shù)學抽象核心素養(yǎng).2.在解決計數(shù)的實際應用問題過程中,發(fā)展學生的數(shù)學運算核心素養(yǎng).探究新知問題探究一

分類加法計數(shù)原理如圖,從甲地到乙地,可以乘火車,也可以乘汽車,一天中火車有3班,汽車有2班,那么一天中,乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有幾種方法？分類加法原理:完成一件事有n類不同方案,在第一類方案中有m1種不同的方法,在第二類辦法中有m2種不同的方法,……,在第n類辦法中有mn種不同的方法.那么完成這件事共有N＝m1+m2+…+mn種不同方法.完成這件事情的N類方法中,只需用一種方法就能完成這件事.甲乙汽車1火車3火車2火車1汽車2典例講解例1、某班共有男生28名,女生20名,從該班選出學生代表參加校學代會.若學校分配給該班1名代表,有多少種不同的選法?選出1名代表有2類方式:第1類是從男生中選出1名代表,有28種不同方法;第2類是從女生中選出1名代表,有20種不同方法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,共有不同的選法種數(shù)是28＋20=48.解析利用分類加法計數(shù)原理計數(shù)時的解題流程

方法歸納變式訓練1.高二(1)班有學生50人,其中男生30人,女生20人;高二(2)班有學生60人,其中男生30人,女生30人;高二(3)班有學生55人,其中男生35人,女生20人.(1)從高二(1)班或(2)班或(3)班中選一名學生任校學生會主席,有多少種不同的選法？(2)從高二(1)班、(2)班男生中或從高二(3)班女生中選一名學生任校學生會體育部長,有多少種不同的選法？(1)從高二(1)班中選一名學生任校學生會主席,有50種選法;從高二(2)班中選一名學生任校學生會主席,有60種選法;從高二(3)班中選一名學生任校學生會主席,有55種選法,由分類加法計數(shù)原理得,從高二(1)班或(2)班或(3)班中選一名學生任校學生會主席,有50＋60＋55＝165種選法.解析變式訓練1.高二(1)班有學生50人,其中男生30人,女生20人;高二(2)班有學生60人,其中男生30人,女生30人;高二(3)班有學生55人,其中男生35人,女生20人.(1)從高二(1)班或(2)班或(3)班中選一名學生任校學生會主席,有多少種不同的選法？(2)從高二(1)班、(2)班男生中或從高二(3)班女生中選一名學生任校學生會體育部長,有多少種不同的選法？解析(2)從高二(1)班男生中選一名學生任校學生會體育部長有30種選法;從高二(2)班男生中選一名學生任校學生會體育部長有30種選法;從高二(3)班女生中選一名學生任校學生會體育部長有20種選法,由分類加法計數(shù)原理得,從高二(1)班、(2)班男生中或從高二(3)班女生中選一名學生任校學生會體育部長,不同的選法有30＋30＋20＝80種.探究新知問題探究二分步乘法計數(shù)原理如圖,從甲地到乙地,要從甲地先乘火車到丙地,再于次日從丙地乘汽車到乙地,一天中,火車有3班,汽車有2班,那么兩天中,從甲地到乙地共有多少種不同的走法？并羅列出所有的走法.甲丙乙汽車1火車3火車2火車1汽車2探究新知分步乘法計數(shù)原理:完成一件事有n個步驟,做第一步有m1種不同的方法,做第二步有m2種不同的方法,……,做第n步中有mn種不同的方法.那么完成這件事共有N＝m1m2…mn種不同方法.完成這件事情的n個步驟中,每個步驟都完成才能完成這件事.典例講解例2、從1,2,3,4中選三個數(shù)字,組成無重復數(shù)字的整數(shù),則滿足下列條件的數(shù)有多少個？(1)三位數(shù);(2)三位數(shù)的偶數(shù).(1)三位數(shù)有三個數(shù)位,故可分三個步驟完成:第1步,排個位,從1,2,3,4中選1個數(shù)字,有4種方法;第2步,排十位,從剩下的3個數(shù)字中選1個,有3種方法;第3步,排百位,從剩下的2個數(shù)字中選1個,有2種方法.依據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共有4×3×2＝24個滿足要求的三位數(shù).解析典例講解例2、從1,2,3,4中選三個數(shù)字,組成無重復數(shù)字的整數(shù),則滿足下列條件的數(shù)有多少個？(1)三位數(shù);(2)三位數(shù)的偶數(shù).(2)分三個步驟完成:第1步,排個位,從2,4中選1個,有2種方法;第2步,排十位,從余下的3個數(shù)字中選1個,有3種方法;第3步,排百位,只能從余下的2個數(shù)字中選1個,有2種方法.故共有2×3×2＝12個三位數(shù)的偶數(shù).解析利用分步乘法計數(shù)原理計數(shù)時的解題流程

方法歸納變式訓練由題意可知E→F共有6種走法,F→G共有3種走法,由分步乘法計數(shù)原理知,共有6×3=18種走法.2.如圖,小明從街道的E處出發(fā),先到F處與小紅會合,再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動,則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為(

)A.24B.18C.12 D.9解析B典例講解例3、書架的第一層放有3本不同的藝術書,第二層放有2本不同的計算機書,第三層放有5本不同的體育書,從書架上任取2本不同學科的書,共有多少種不同的取法?根據(jù)取書的學科不同,可以分為三類:1.計算機與藝術:3×2＝62.計算機與體育:2×5＝103.藝術與體育:3×5＝15

共有6+10+15=31種不同的取法解析

方法歸納(1)當題目無從下手時,可考慮要完成的這件事是什么,即怎樣做才算完成這件事,然后給出完成這件事的一種或幾種方法,從這幾種方法中歸納出解題方法.(2)分類時標準要明確,做到不重不漏,有時要恰當畫出示意圖或樹形圖,使問題的分析更直觀、清楚,便于探索規(guī)律.(3)綜合問題一般是先分類再分步.利用兩個計數(shù)原理解題時的三個注意點變式訓練(1)需完成的事情是“借1本書”,所以借給乙數(shù)學、物理、化學書中的任何1本,都可以完成這件事情.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,共有5＋4＋3＝12種借法.(2)需完成的事情是“每科各借1本書”,意味著要借給乙3本書,只有從數(shù)學、物理、化學三科中各借1本,才能完成這件事情.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共有5×4×3＝60種借法.解析3.甲同學有5本不同的數(shù)學書、4本不同的物理書、3本不同的化學書,現(xiàn)在乙同學向甲同學借書,(1)若借1本書,則有多少種借法？(2)若每科各借1本書,則有多少種借法？(3)若任借2本不同學科的書,則有多少種借法？變式訓練(3)需完成的事情是“從三種學科的書中借2本不同學科的書”,可分三類:第1類,借1本數(shù)學書和1本物理書,只有2本書都借,事情才能完成,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,有5×4＝20種借法;第2類,借1本數(shù)學書和1本化學書,有5×3＝15種借法;第3類,借1本物理書和1本化學書,有4×3＝12種借法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,共有20＋15＋12＝47種借法.3.甲同學有5本不同的數(shù)學書、4本不同的物理書、3本不同的化學書,現(xiàn)在乙同學向甲同學借書,(1)若借1本書,則有多少種借法？(2)若每科各借1本書,則有多少種借法？(3)若任借2本不同學科的書,則有多少種借法？解析素養(yǎng)提煉1.如果完成一件事有兩類方案,這兩類方案彼此之間是相互獨立的,無論哪一類方案中的哪一種方法都能單獨完成這件事,求能完成這件事的方法種數(shù)就用分類加法計數(shù)原理2.如果完成一件事需要分成多個步驟,各個步驟都是不可缺少的,需要依次完成所有步驟,才能完成這件事,而完成每一個步驟有若干種不同的方法,求能完成這件事的方法種數(shù)就用分步乘法計數(shù)原理用兩個計數(shù)原理解決具體問題時,首先要分清是“分類”還是“分步”,其次要清楚“分類”或“分步”的具體標準,在“分類”時要做到“不重不漏”,在“分步”時要正確設計“分步”的程序,注意步與步之間的連續(xù)性.當堂練習

直線a與b上的8個點可分別確定8個不同的平面;直線b與a上的5個點可分別確定5個不同的平面.故可確定5＋8＝13個不同的平面2.在一塊并排共10壟的田地上,選擇2壟分別種植A、B兩種作物,每種作物種植1壟,為了有利于作物生長,要求A、B兩種作物的間隔不小于6壟,則不同的選壟方法有________種(結(jié)果用數(shù)字作答).把空的6壟看作一個整體,A、B兩種作物可在其余4壟上種植,不同的選壟方法為(3＋2＋1)×2＝12種.B解析解析12當堂練習3.如圖,用五種不同的顏色分別給A,B,C,D四個區(qū)域涂色,相鄰區(qū)域必須涂不同顏色,若允許同一種顏色多次使用,則不同的涂色方法共有多少種(

)A.280 B.180C.96 D.60按區(qū)域分四步:第一步:A區(qū)域有5種顏色可選;第二步:B區(qū)域有4種顏色可選;第三步:C區(qū)域有3種顏色可選;第四步:由于可重復使用區(qū)域A中已有過的顏色,故也有3種顏色可選用.由分步乘法計數(shù)原理,共有5×4×3×3＝180種涂色方法.解析B當堂練習4.將1,2,3,…,9這9個數(shù)字填在如圖的9個空格中,要求每一行從左到右,每一列從上到下分別依次增大.當3,4固定在圖中的位置時,填寫空格的方法為()A.6種 B.12種C.18種 D.24種因為每一行從左到右,每一列從上到下分別依次增大,數(shù)字1、2、9只有一種填法,5只能填在右上角或左下角,5填好后與之相鄰的空格可填6、7、8任一個;余下兩個數(shù)字按從小到大只有一種方法.共有2×3=6種結(jié)果,故選A解析A歸納小結(jié)