第06講比例線段（5種題型）

第06講比例線段（5種題型）【知識梳理】一．相似圖形（1）相似圖形我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形．（2）相似圖形在現(xiàn)實生活中應用非常廣泛，對于相似圖形，應注意：①相似圖形的形狀必須完全相同；②相似圖形的大小不一定相同；③兩個物體形狀相同、大小相同時它們是全等的，全等是相似的一種特殊情況．（3）相似三角形對應角相等，對應邊成比例的三角形，叫做相似三角形．二．比例的性質（1）比例的基本性質：組成比例的四個數(shù)，叫做比例的項．兩端的兩項叫做比例的外項，中間的兩項叫做比例的內項．（2）常用的性質有：①內項之積等于外項之積．若＝，則ad＝bc．②合比性質．若＝，則＝．③分比性質．若＝，則＝．④合分比性質．若＝，則＝．⑤等比性質．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），則＝．三．比例線段（1）對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如ab＝cd（即ad＝bc），我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．（2）判定四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之比是否相等即可，求線段之比時，要先統(tǒng)一線段的長度單位，最后的結果與所選取的單位無關系．四．黃金分割（1）黃金分割的定義：如圖所示，把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：AC＝AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點．其中AC＝AB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點有兩個．（2）黃金三角形：黃金三角形是一個等腰三角形，其腰與底的長度比為黃金比值．黃金三角形分兩種：①等腰三角形，兩個底角為72°，頂角為36°．這樣的三角形的底與一腰之長之比為黃金比：；②等腰三角形，兩個底角為36°，頂角為108°；這種三角形一腰與底邊之長之比為黃金比：．（3）黃金矩形：黃金矩形的寬與長之比確切值為．五．平行線分線段成比例（1）定理1：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例．（2）推論1：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．（3）推論2：平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例．【考點剖析】一．相似圖形（共2小題）1．（2022秋?埇橋區(qū)期中）下列各組圖形中，一定相似的是（）A．任意兩個正方形 B．任意兩個平行四邊形 C．任意兩個菱形 D．任意兩個矩形【分析】根據(jù)相似圖形的概念進行判斷即可．【解答】解：A、任意兩個正方形的對應角相等，對應邊的比也相等，故一定相似，符合題意；B、任意兩個平行四邊形對應邊的比不一定相等，對應角也不一定相等，故不一定相似，不符合題意；C、任意兩個菱形的對應邊的比相等，但對應角不一定相等，故不一定相似，不符合題意；D、任意兩個矩形對應角相等，但對應邊的比不一定相等，故不一定相似，不符合題意，故選：A．【點評】本題考查的是相似圖形的概念，掌握對應角相等，對應邊的比相等的多邊形，叫做相似多邊形是解題的關鍵．2．（2022秋?泗縣期中）下列各組圖形中，一定相似的是（）A．兩個矩形 B．兩個菱形 C．兩個等腰三角形 D．兩個正方形【分析】根據(jù)相似圖形的概念進行判斷即可．【解答】解：A、任意兩個矩形對應角相等，但對應邊的比不一定相等，故不一定相似，不符合題意，B、任意兩個菱形的對應邊的比相等，但對應角不一定相等，故不一定相似，不符合題意；C、任意兩個等腰三角形的對應邊的比相等，但對應角不一定相等，故不一定相似，不符合題意；D、任意兩個正方形的對應角相等，對應邊的比也相等，故一定相似，符合題意；故選：D．【點評】本題考查的是相似圖形的概念，掌握對應角相等，對應邊的比相等的多邊形，叫做相似多邊形是解題的關鍵．二．比例的性質（共8小題）3．（2023?無為市一模）若3a＝4b（ab≠0），則下列比例式成立的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)兩內項之積等于兩外項之積即可得出正確選項．【解答】解：∵3a＝4b（ab≠0），∴a：4＝b：3，∴，故選：A．【點評】本題考查了比例的性質：兩內項之積等于兩外項之積，熟記比例的性質是解題的關鍵．4．（2022秋?蒙城縣期末）已知，求的值．【分析】根據(jù)比例的性質化簡得y＝2x，即可得出答案．【解答】解：由，得3y＝2（2y﹣x），化簡，得y＝2x，∴．【點評】本題考查比例的性質，正確變形是解題的關鍵．5．（2022秋?寧國市期末）已知：，求的值．【分析】直接利用已知設x＝2a，y＝3a，z＝4a，進而代入得出答案．【解答】解：∵，∴設x＝2a，y＝3a，z＝4a，∴＝＝＝．【點評】此題主要考查了比例的性質，正確用同一未知數(shù)表示出各數(shù)是解題關鍵．6．（2023?合肥一模）若，那么的值等于（）A． B． C．﹣ D．﹣【分析】把化成1﹣＝，即可求出的值．【解答】解：∵，∴1﹣＝，∴＝．故選：A．【點評】本題考查了分式的運算，掌握分式的運算法則是關鍵．7．（2022秋?安徽期中）若＝，則＝（）A． B． C． D．【分析】利用比例的性質，進行計算即可解答．【解答】解：∵＝，∴＝，∴＝2+＝2+＝，故選：D．【點評】本題考查了比例的性質，熟練掌握比例的性質是解題的關鍵．8．（2022秋?迎江區(qū)期中）已知線段a、b、c滿足，且a+2b+c＝26．（1）求a、b、c的值；（2）若線段x是線段a、b的比例中項，求x．【分析】（1）設比值為k，然后用k表示出a、b、c，再代入等式求解得到k，然后求解即可；（2）根據(jù)比例中項的定義列式求解即可．【解答】解：（1）設＝＝＝k，則a＝3k，b＝2k，c＝6k，所以，3k+2×2k+6k＝26，解得k＝2，所以，a＝3×2＝6，b＝2×2＝4，c＝6×2＝12；（2）∵線段x是線段a、b的比例中項，∴x2＝ab＝6×4＝24，∴線段x＝2．【點評】本題考查了比例的性質，比例線段，利用“設k法”用k表示出a、b、c可以使計算更加簡便．9．（2022秋?金安區(qū)校級月考）已知＝＝＝2，且b+d+f≠0．（1）求的值；（2）若b﹣2d+3f＝5，求a﹣2c+3e的值．【分析】（1）利用等比性質，進行計算即可解答；（2）利用等比性質，進行計算即可解答．【解答】解：（1）∵＝＝＝2，且b+d+f≠0，∴＝2，∴的值為2；（2）∵＝＝＝2，∴＝＝＝2，∴＝2，∵b﹣2d+3f＝5，∴a﹣2c+3e＝2×5＝10，∴a﹣2c+3e的值為10．【點評】本題考查了比例的性質，熟練掌握等比性質是解題的關鍵．10．（2022秋?宣州區(qū)期末）（1）若，求的值；（2）若，且2a﹣b+3c＝21，求a：b：c．【分析】（1）設比值為k，然后用k表示出x、y、z，再代入代數(shù)式即可解答；（2）設比值為k，然后用k表示出a、b、c，再代入等式求出k值，然后相比即可．【解答】解：（1）設，∴x＝3k，y＝5k，z＝7k，∴＝5；（2）設＝k，則a＝3k﹣2，b＝4k，c＝6k﹣5，所以，2（3k﹣2）﹣4k+3（6k﹣5）＝21，解得k＝2，所以a＝6﹣2＝4，b＝8，c＝7，所以a：b：c＝4：8：7．【點評】本題考查了比例的性質，利用“設k法”表示出a、b、c是解決本題的關鍵．三．比例線段（共7小題）11．（2023?廬陽區(qū)校級一模）已知線段a＝9，b＝4，則線段a和b的比例中項為6．【分析】根據(jù)比例中項的概念，當兩個比例內項相同時，就叫比例中項，再列出比例式即可得出結果．【解答】解：設線段a和b的比例中項為c，∵a＝9，b＝4，∴＝，∴c2＝ab＝4×9＝36，解得：c＝±6，又∵線段不能是負數(shù)，∴﹣6舍去，∴c＝6，故答案為：6．【點評】考查了比例中項的概念，掌握比例中項的概念是解決問題的關鍵．12．（2023?定遠縣校級一模）已知三條線段a、b、c，其中a＝1cm，b＝4cm，c是a、b的比例中項，則c＝2cm．【分析】由c是a、b的比例中項，根據(jù)比例中項的定義，列出比例式即可得出線段c的長，注意線段不能為負．【解答】解：根據(jù)比例中項的概念結合比例的基本性質，得：比例中項的平方等于兩條線段的乘積．所以c2＝4×1，解得：c＝±2（線段是正數(shù)，負值舍去）．則c＝2cm．故答案為：2．【點評】此題考查了比例線段；理解比例中項的概念，這里注意線段不能是負數(shù)．13．（2022秋?金安區(qū)校級月考）已知線段a，b，c滿足a：b：c＝2：3：4，且a+b﹣c＝3．（1）求線段a，b，c的長．（2）若線段m是線段a，b的比例中項，求線段m的長．【分析】（1）利用a：b：c＝2：3：4，可設a＝2k，b＝3k，c＝4k，由a+b﹣c＝3得2k+3k﹣4k＝3，然后解出k的值即可得到a、b、c的值；（2）根據(jù)比例中項的定義得到m2＝ab，即m2＝6×9，然后根據(jù)算術平方根的定義求解．【解答】解：（1）∵a：b：c＝2：3：4，∴a＝2k，b＝3k，c＝4k，∵a+b﹣c＝3，∴2k+3k﹣4k＝3，解得k＝3，∴a＝6，b＝9，c＝12；（2）∵m是a、b的比例中項，∴m2＝ab，∴m2＝6×9，∴x＝3或x＝﹣3（舍去），即線段m的長為3．【點評】本題考查了比例線段：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如a：b＝c：d（即ad＝bc），我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．注意利用代數(shù)的方法解決較為簡便．14．（2022秋?宣城月考）若a：b＝1：2，且b是a，c的比例中項，則b：c等于（）A．1：3 B．1：2 C．2：3 D．2：1【分析】由b是a，c的比例中項，根據(jù)比例中項的定義可得：，再結合a：b＝1：2即可解答．【解答】解：∵b是a，c的比例中項，∴，∵a：b＝1：2，∴，即b：c＝1：2，故選：B．【點評】本題主要考查了比例線段、比例中項的定義等知識點，熟記比例中項的定義及其變形是解題關鍵．15．（2023?亳州模擬）如圖，點P把線段AB分成兩部分，且BP為AP與AB的比例中項．如果AB＝2，那么AP＝3﹣．【分析】根據(jù)黃金分割的定義結合已知條件得BP＝AB，即可得出結論．【解答】解：∵點P把線段AB分成兩部分，且BP為AP與AB的比例中項，∴BP2＝AB?AP，∴BP＝AB＝＝﹣1，∴AP＝AB﹣BP＝2﹣（﹣1）＝3﹣，故答案為：3﹣．【點評】本題考查的是黃金分割的概念，把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割．16．（2022秋?埇橋區(qū)期中）求證：三角形的內角平分線分對邊所得的兩條線段和這個角的兩邊對應成比例．【分析】過C作CE∥DA，交BA的延長線于E，根據(jù)平行線的性質和等腰三角形的性質即可得到結論．【解答】解：如圖所示，AD即為所求，已知：△ABC中，∠BAC的平分線AD交BC于點D，求證：＝．證明：過C作CE∥DA，交BA的延長線于E．∴∠1＝∠E，∠2＝∠3．∵AD是角平分線，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠E，∴AC＝AE，又∵AD∥CE，．∴＝．【點評】此題主要考查比例線段，關鍵是正確畫出圖形，理清圖中角之間的關系是解題關鍵．17．（2022秋?無為市期中）（1）已知，且a+b﹣2c＝6，求a的值．（2）已知線段a＝4cm，線段b＝9cm，線段c是線段a，b的比例中項，求線段c的長．【分析】（1）利用設k法進行計算即可解答；根據(jù)線段比例中項的概念得出a：c＝c：b，再根據(jù)a＝4cm，b＝9cm，求出c的值，注意把負值舍去．【解答】解：（1）設＝k，∴a＝6k，b＝5k，c＝4k，∵a+b﹣2c＝6，∴6k+5k﹣8k＝6，∴k＝2，∴a＝6k＝12，∴a的值為12；（2）∵線段c是線段a和b的比例中項，a＝4cm，b＝9cm，∴c2＝ab＝36，解得：c＝±6，又∵線段長是正數(shù)，∴c＝6cm．【點評】（1）考查了比例的性質，熟練掌握設k法進行計算是解題的關鍵．（2）考查了比例線段，寫比例式的時候一定要注意順序，再根據(jù)比例的基本性質進行求解．四．黃金分割（共7小題）18．（2023?濉溪縣模擬）如圖，在△ABC中，D為BC上一點，若AB＝AC＝CD＝2，∠ADB＝108°，則AD的值為（）A． B． C． D．【分析】先證明AD＝BD，設AD＝BD＝x，則BC＝2+x．作AE⊥BC于點E，根據(jù)AD2﹣DE2＝AC2﹣CE2列方程求解即可．【解答】解：∵∠ADB＝108°，∴∠CDA＝180°﹣108°＝72°．∵AB＝AC＝CD＝2，∴∠CAD＝∠CDA＝72°，∴∠B＝∠C＝180°﹣72°﹣72°＝36°，∴∠BAD＝∠CDA﹣∠B＝36°，∴AD＝BD．設AD＝BD＝x，則BC＝2+x．如圖，作AE⊥BC于點E，∵AB＝AC＝CD＝2，∴，∴．∵AD2﹣DE2＝AC2﹣CE2，∴，解得，（舍去）．故選：A．【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質，勾股定理，正確作出輔助線是解答本題的關鍵．19．（2022秋?安徽期中）若線段MN的長為2cm，點P是線段MN的黃金分割點，則最短的線段MP的長為（）A．（﹣1）cm B．cm C．（3﹣）cm D．cm【分析】較長的線段MP的長為xcm，則較短的線段長是（2﹣x）cm．根據(jù)黃金分割的定義即可列方程求解．【解答】解：較長的線段MP的長為xcm，則較短的線段長是（2﹣x）cm．則x2＝2（2﹣x），解得x＝﹣1或﹣﹣1（舍去）．較短的線段長是2﹣（﹣1）＝3﹣（cm）故選：C．【點評】本題考查了黃金分割，與一元二次方程的解法，正確理解黃金分割的定義是關鍵．20．（2022秋?宣城期末）如果點C是線段AB的黃金分割點（AC＞BC），那么下列結論正確的為（）A． B． C．BC2＝AC?AB D．AC2＝BC?AB【分析】根據(jù)黃金分割的概念進行判斷即可．【解答】解：∵點C是線段AB的黃金分割點，AC＞BC，∴AC是BC和AB的比例中項，即，∴AC2＝AB?BC，∴選項A、B、C結論錯誤，不符合題意，選項D結論正確，符合題意，故選：D．【點評】本題考查的是黃金分割，理解黃金分割的概念，找出黃金分割中成比例的對應線段是解決問題的關鍵．21．（2022秋?埇橋區(qū)期中）若線段AB＝2cm，C是AB的黃金分割點，且BC＞AC，則BC的長為（）A．cm B．cm C．cm D．cm【分析】利用黃金分割的定義，進行計算即可解答．【解答】解：∵點C是AB的黃金分割點，且BC＞AC，AB＝2cm，∴BC＝AB＝×2＝（﹣1）cm，故選：B．【點評】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關鍵．22．（2023?雨山區(qū)一模）數(shù)學中，把這個比例稱為黃金分割比例．鸚鵡螺曲線的每個半徑和后一個半徑的比都是黃金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如圖，P是AB的黃金分割點（AP＞BP），若線段AB的長為8cm，則BP的長為（12﹣4）cm．【分析】根據(jù)黃金分割的定義進行計算即可解答．【解答】解：∵點P是AB的黃金分割點（AP＞BP），線段AB的長為8cm，∴，∴AP＝cm，BP＝AB﹣AP＝12﹣4．故答案為：（12﹣4）．【點評】本題考查了黃金分割的比例線段，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關鍵．23．（2022秋?霍邱縣期中）兩千多年前，古希臘數(shù)學家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，即：如圖，點P是線段AB（AP＞BP）上一點，若滿足，則稱點P是AB的一個黃金分割點．黃金分割在日常生活中處處可見，例如：主持人在舞臺上主持節(jié)目時，站在黃金分割點上，觀眾看上去感覺最好．若舞臺長20米，主持人從舞臺一側點B進入，則他至少走多少米時恰好站在舞臺的黃金分割點上？（結果保留根號）【分析】根據(jù)黃金分割的概念，可求出AP，BP，即可求解．【解答】解：由題意知AB＝20米，，∴米，∴米，答：主持人從舞臺一側點B進入，則他至少走米時恰好站在舞臺的黃金分割點上．【點評】本題考查了黃金分割，理解黃金分割的概念，找出黃金分割中成比例的對應線段是解決問題的關鍵．24．（2023?合肥一模）設點C是長度為8cm的線段AB的黃金分割點（AC＞BC），則AC的長為4﹣4cm．【分析】根據(jù)黃金比值為計算即可．【解答】解：∵點C是長度為8cm的線段AB的黃金分割點，AC＞BC，∴AC＝AB＝4﹣4（cm），故答案為：4﹣4．【點評】本題考查的是黃金分割的概念和黃金比值，把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項，叫做把線段AB黃金分割．五．平行線分線段成比例（共8小題）25．（2023?鏡湖區(qū)校級一模）如圖，如圖，在△ABC中，D、E分別在邊AB，AC上，DE∥BC，，AE＝9，則EC的長度為（）A．4 B．6 C．12 D．15【分析】由DE∥BC，得，進而即可求解．【解答】解：∵DE∥BC，∴，∴，∴EC＝6．故選B．【點評】本題主要考查平行線截線段成比例定理，掌握平行線截得的對應線段成比例是解題的關鍵．26．（2023?蕭縣一模）如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個點A，B，C都在橫線上．若線段AB＝5，則線段BC的長是（）A． B．1 C． D．3【分析】過點A作平行橫線的垂線，交點B所在的平行橫線于D，交點C所在的平行橫線于E，根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，計算即可．【解答】解：過點A作平行橫線的垂線，交點B所在的平行橫線于D，交點C所在的平行橫線于E，則，即＝2，解得：BC＝，故選：C．【點評】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準對應關系是解題的關鍵．27．（2022秋?霍邱縣期中）如圖，a∥b∥c，直線m，n與a，b，c分別相交于點A，B，C和點D，E，F(xiàn)．若AB：BC＝2：3，DF＝10，求EF的長．【分析】根據(jù)兩條直線被一組平行線所截，截得的對應線段成比例，求解即可．【解答】解：∵a∥b∥c，∴，∵AB：BC＝2：3，DF＝10，∴，∴EF＝6．【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例，掌握平行線分線段成比例是解題的關鍵．28．（2022秋?潛山市月考）如圖，點F、D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，已知DE∥BC，F(xiàn)E∥CD，AF＝3，AD＝5，求AB的長．【分析】平行線分線段成比例定理即可得到結論．【解答】解：∵FE∥CD，AF＝3，AD＝5，∴＝，∴＝，∵DE∥BC，∴＝，∴＝，∴AB＝，故AB的長為．【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題的關鍵．29．（2022秋?長豐縣校級期末）如圖，已知AB∥CD∥EF，那么下列結論正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理逐個判斷即可．【解答】解：A．∵AB∥CD∥EF，∴＝≠，故本選項不符合題意；B．∵AB∥CD∥EF，∴＝，故本選項不符合題意；C．∵AB∥CD∥EF，∴＝，故本選項不符合題意；D．∵AB∥CD∥EF，∴＝，故本選項符合題意；故選：D．【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理，能根據(jù)平行線分線段成比例定理得出正確的比例式是解此題的關鍵．30．（2023?蜀山區(qū)二模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，角平分線BE與中線CD交于點F，若AC＝16，BC＝12，則的值為（）A． B． C． D．【分析】作EH⊥AB于H，延長CD到M，使DM＝CD，連接BM，由勾股定理求出AB的長，由三角形面積公式求出CE的長，由△BDM≌△ADC（SAS），得到BM＝AC＝16，∠M＝∠ECF，得到CE∥MB，推出△CEF∽△MBF，因此＝＝＝．【解答】解：作EH⊥AB于H，延長CD到M，使DM＝CD，連接BM，∵∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，∴AB＝＝20，∵BF平分∠ABC，∴EH＝EC，∵△ABC的面積＝△ABE的面積+△BCE的面積，∴AC?BC＝AB?EH+BC?CE，∴16×12＝20CE+12CE，∴CE＝6，∵AD＝BD，∠ADC＝∠BDM，∴△BDM≌△ADC（SAS），∴BM＝AC＝16，∠M＝∠ECF，∴CE∥MB，∴△CEF∽△MBF，∴＝＝＝．故選：B．【點評】本題考查勾股定理，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，三角形的面積，關鍵是通過作輔助線，構造全等三角形，相似三角形．31．（2022秋?固鎮(zhèn)縣校級期中）如圖，AB∥CD∥EF，AF與BE相交于點G，且AG＝4、GD＝2、DF＝8，求BC：CE的值．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計算即可．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝，∵AG＝4，GD＝2，DF＝8，∴＝＝．【點評】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準對應關系是解題的關鍵．32．（2023?固鎮(zhèn)縣一模）如圖，互相垂直的兩條公路AM、AN旁有一矩形花園ABCD，其中AB＝30米，AD＝20米．現(xiàn)欲將其擴建成一個三角形花園APQ，要求P在射線AM上，Q在射線AN上，且PQ經過點C．（1）DQ＝10米時，求△APQ的面積．（2）當DQ的長為多少米時，△APQ的面積為1600平方米．【分析】（1）由DC∥AP，得到＝，代入數(shù)據(jù)求得AP＝90，于是得到結論；（2）設DQ＝x米，則AQ＝x+20，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到＝，得到方程＝，求出AP＝，解一元二次方程即可得到結論．【解答】解：（1）∵DC∥AP，∴＝，∴＝，∴AP＝90，∴S△APQ＝AQ?AP＝1350米2；（2）設DQ＝x米，則AQ＝x+20，∵DC∥AP，∴＝，∴＝，∴AP＝，由題意得××（x+20）＝1600，化簡得3x2﹣200x+1200＝0，解x＝60或．經檢驗：x＝60或是原方程的根，∴DQ的長應設計為60或米．【點評】本題考查了平行線分線段成比例，求三角形的面積，一元二次方程的應用，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題的關鍵．【過關檢測】一、單選題1．（2022秋·安徽六安·九年級統(tǒng)考期末）生活中到處可見黃金分割的美，如上圖,在設計人體雕像時：使雕像的腰部以下a與全身b的高度比值接近0.618，可以增加視覺美感，若圖中b為2米，則a約為（

）．A．1.52米 B．1.38米 C．1.42米 D．1.24米【答案】D【分析】根據(jù)線段比例的定義列出a，b的比例關系，再代入b的值求a即可；【詳解】解：∵雕像的腰部以下與全身的高度比值接近0.618，∴，∵b為2米，∴a≈2×0.618=1.236≈1.24（米）；故選：D．【點睛】此題考查了線段的比例：若a∶b=k，說明a是b的k倍；掌握線段比例的概念是解題關鍵．2．（2023春·安徽安慶·九年級統(tǒng)考期末）已知，則（

）A．?3 B．3 C． D．【答案】C【分析】由，可得，再代入計算即可．【詳解】解：∵∴，∴；故選C．【點睛】本題考查的是比例的基本性質，熟練地把比例式化為等積式是解本題的關鍵．3．（2023春·安徽合肥·九年級校考階段練習）若，則的值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等式的性質進行計算即可．【詳解】解：∵，∴，，故將等式兩邊都除以，得：，故選：A．【點睛】本題考查了等式的性質，熟練掌握等式的性質是解題的關鍵．4．（2023·安徽蚌埠·校聯(lián)考一模）主持人在舞臺上主持節(jié)目時，站在黃金分割點上，觀眾看上去感覺最好．若舞臺長20米，主持人從舞臺一側進入，設他至少走x米時恰好站在舞臺的黃金分割點上（BP長為x），則x滿足的方程是（）A． B．C． D．以上都不對【答案】A【分析】點P是的黃金分割點，且，，則，則，即可求解．【詳解】解：由題意知，點P是的黃金分割點，且，，則，，，．故選：A．【點睛】本題考查了黃金分割，理解黃金分割的概念，找出黃金分割中成比例的對應線段是解決問題的關鍵．5．（2022秋·安徽滁州·九年級統(tǒng)考期中）若線段，點P是線段的黃金分割點，且，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)黃金分割的定義即可解答．【詳解】解：∵點P是線段的黃金分割點，且，∴，故選：D．【點睛】此題考查了黃金分割，應該熟記黃金分割的公式：較長線段=原線段長的倍，熟練掌握上述知識點是解答本題的關鍵．6．（2022秋·安徽六安·九年級?？茧A段練習）如圖，，兩條直線與這三條平行線分別交于點A、B、C和D、E、F．已知，則的值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，設則，根據(jù)平行線分線段成比例得，代入計算即可．【詳解】解：∵，設則，，∴，故選：D．【點睛】此題主要考查平行線分線段成比例，解題的關鍵是找到對應線段成比例．7．（2023秋·安徽池州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，那么下列結論正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理逐個判斷即可．【詳解】解：A．∵，∴，故本選項不符合題意；B．∵，∴，故本選項不符合題意；C．∵，∴，故本選項不符合題意；D．∵，∴，故本選項符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，能根據(jù)平行線分線段成比例定理得出正確的比例式是解此題的關鍵．8．（2022秋·安徽宿州·九年級統(tǒng)考期末）下列各組線段中，成比例的是（）A．2cm，3cm，4cm，5cm B．2cm，4cm，6cm，8cmC．3cm，6cm，8cm，12cm D．1cm，3cm，5cm，15cm【答案】D【分析】分別計算各組數(shù)中最大與最小數(shù)的積和另外兩數(shù)的積，然后根據(jù)比例線段的定義進行判斷即可得出結論．【詳解】解：A、∵，∴選項A不成比例；B、∵，∴選項B不成比例；C、∵，∴選項C不成比例；D、∵，∴選項D成比例．故選：D．【點睛】本題考查了比例線段，解題關鍵是掌握判斷四條線段是否成比例的方法．9．（2022秋·安徽蕪湖·九年級?？茧A段練習）如圖，直線，若等于，則線段的長為（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】已知直線，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得到一個含有與已知線段的比例式，從而可求得的長．【詳解】解：∵直線，，故選：B．【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理，掌握三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例是解題的關鍵．10．（2022秋·安徽滁州·九年級?？茧A段練習）如圖，在中，，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平行線所截線段成比例可知，則有，然后問題可求解．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵，∴；故選A．【點睛】本題主要考查平行線所截線段成比例，熟練掌握平行線所截線段成比例是解題的關鍵．二、填空題11．（2022秋·安徽宿州·九年級統(tǒng)考期中）若a＝4cm，b＝9cm，則線段a，b的比例中項是______cm．【答案】6【分析】根據(jù)比例中項的定義可求得c的值．【詳解】解：設線段a，b的比例中項是xcm，∵a＝4cm，b＝9cm，∴，∴x=6cm．故答案為：6【點睛】本題主要考查比例中項的定義，掌握若c為a、b的比例中項，則有是解題的關鍵．12．（2023·安徽滁州·?？家荒＃┮阎龡l線段、、，其中，，是、的比例中項，則_____．【答案】【分析】由是、的比例中項，根據(jù)比例中項的定義，列出比例式即可得出線段的長，注意線段不能為負．【詳解】解：根據(jù)比例中項的概念結合比例的基本性質，得：比例中項的平方等于兩條線段的乘積，∴，解得：或（線段長度是正數(shù)，負值舍去），∴．故答案為：．【點睛】本題考查比例線段，注意線段長度不能是負數(shù)．理解比例中項的概念是解題的關鍵．13．（2023春·安徽合肥·九年級?？茧A段練習）若線段、、、成比例，其中，，，則____．【答案】4cm【分析】根據(jù)成比例線段的概念，得．再根據(jù)比例的基本性質，求得的值．【詳解】解：∵四條線段成比例，，，，解得：．故答案為：．【點睛】本題考查了比例線段的定義，注意根據(jù)已知條件寫比例式的時候，一定要注意順序．然后根據(jù)比例的基本性質進行求解．14．（2023春·安徽淮北·九年級淮北一中校聯(lián)考階段練習）若，則________．【答案】【分析】根據(jù)比例性質把豎式化為等積式，恒等變形，得到a與b的關系式，再把等積式化為比例式即可．【詳解】∵，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了比例性質，熟練掌握比例性質是解本題的關鍵．15．（2023秋·安徽池州·九年級統(tǒng)考期末）若，則________．【答案】5【分析】先求出，再根據(jù)比例的性質即可得．【詳解】解：，，，故答案為：5．【點睛】本題考查了比例的性質，熟練掌握比例的性質是解題關鍵．16．（2023·安徽安慶·統(tǒng)考二模）如圖，在中，平分，交于點，若，，則為__________．

【答案】【分析】根據(jù)角平分線的定義及平行線的性質得到，再根據(jù)平行線分線段成比例得到即可解答．【詳解】解：∵平分，∴，∵交于點，∴，∴，∵交于點，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為．【點睛】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質，平行線分線段成比例，掌握平行線分線段成比例是解題的關鍵．17．（2023·安徽合肥·?？家荒＃┰O點C是長度為8cm的線段的黃金分割點（），則的長為___________cm．【答案】【分析】根據(jù)黃金分割點的定義，進行計算即可．【詳解】解：由題意，得：，∴；故答案為：．【點睛】本題考查黃金分割點．熟練掌握黃金分割點的定義，是解題的關鍵．18．（2023·安徽亳州·統(tǒng)考模擬預測）如圖，點P把線段分成兩部分，且為與的比例中項．如果，那么_____．【答案】/【分析】根據(jù)黃金分割的定義結合已知條