對(duì)鉤函數(shù)詳解性質(zhì)圖像對(duì)比并舉例說明I6

主要內(nèi)容：本文通過對(duì)比分析，解析函數(shù)y=ax+eq\f(b,cx)當(dāng)a，b，c的系數(shù)符號(hào)不同時(shí)，并舉例以四個(gè)函數(shù)y?=72x+eq\f(65,68x),y?=72x-eq\f(65,68x),y?=-72x+eq\f(65,68x),y4=-72x-eq\f(65,68x),說明系數(shù)符號(hào)變化與函數(shù)性質(zhì)的關(guān)系，簡(jiǎn)要畫出函數(shù)在同一個(gè)坐標(biāo)系下的圖像?！?函數(shù)的定義域分析根據(jù)y?=72x+eq\f(65,68x),y?=72x-eq\f(65,68x),y?=-72x+eq\f(65,68x),y4=-72x-eq\f(65,68x)函數(shù)特征，可知均含有分式，故要求分母不為0，所以4個(gè)函數(shù)的定義域相同，定義域均為：(-∞,0)∪(0,+∞)?！?函數(shù)的單調(diào)性分析由于4個(gè)函數(shù)均是由一個(gè)正比例函數(shù)和一個(gè)反比例函數(shù)的和差函數(shù)，可以根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性綜合分析和差函數(shù)的單調(diào)性。1.對(duì)于函數(shù)y?=72x-eq\f(65,68x),是由正比例增函數(shù)和反比例減函數(shù)的差，所以相當(dāng)于兩個(gè)增函數(shù)的和，故函數(shù)y2整體為增函數(shù)。2.對(duì)于函數(shù)y?=-72x+eq\f(65,68x)，是由正比例減函數(shù)和反比例減函數(shù)的和，所以相當(dāng)于兩個(gè)減函數(shù)的和，故函數(shù)y3整體為減函數(shù)。3.對(duì)于函數(shù)y?=72x+eq\f(65,68x)，y4=-72x-eq\f(65,68x)前后兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性不一致，不能簡(jiǎn)單通過上述方法解析，但可以使用導(dǎo)數(shù)來分析單調(diào)性。☆.導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性步驟1.函數(shù)y?=72x+eq\f(65,68x),求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，有：eq\f(dy,dx)=72-eq\f(65,68x2)=eq\f(72*68x2-65,68x2),令eq\f(dy,dx)=0，即：72*68x2-65=0,所以x=±eq\f(1,408)eq\r(2210)≈±0.12,結(jié)合函數(shù)的定義域，并根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性有：(1)當(dāng)x∈(-∞,-eq\f(1,408)eq\r(2210))∪(eq\f(1,408)eq\r(2210)，+∞)時(shí)，eq\f(dy,dx)＞0，函數(shù)為增函數(shù)；(2)當(dāng)x∈[-eq\f(1,408)eq\r(2210),0)∪(0,eq\f(1,408)eq\r(2210)]時(shí)，eq\f(dy,dx)＜0，函數(shù)為減函數(shù)。2.函數(shù)y4=-72x-eq\f(65,68x),是y1的相反函數(shù)，故單調(diào)性與之相反。同理，結(jié)合函數(shù)的定義域，并根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性有：(1)當(dāng)x∈(-∞,-eq\f(1,408)eq\r(2210))∪(eq\f(1,408)eq\r(2210)，+∞)時(shí)，eq\f(dy,dx)＜0，函數(shù)為減函數(shù)；(2)當(dāng)x∈[-eq\f(1,408)eq\r(2210),0)∪(0,eq\f(1,408)eq\r(2210)]時(shí)，eq\f(dy,dx)＞0，為增函數(shù)?！?函數(shù)的凸凹性1.函數(shù)y?=72x+eq\f(65,68x)有：eq\f(dy,dx)=72-eq\f(65,68x2)，則：eq\f(d2y,dx2)=0+eq\f(2*65,68x3)=eq\f(2*65,68x3),可知與x的符號(hào)成正向關(guān)系，所以：(1)當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí)，eq\f(d2y,dx2)＜0，函數(shù)為凸函數(shù)；(2)當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，eq\f(d2y,dx2)＞0，函數(shù)為凹函數(shù)。2.函數(shù)y?=72x-eq\f(65,68x)有：eq\f(dy,dx)=72+eq\f(65,68x2)，則：eq\f(d2y,dx2)=0-eq\f(2*65,68x3)=-eq\f(2*65,68x3)，可知與x的符號(hào)有關(guān)系且相反，所以：(1)當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí)，eq\f(d2y,dx2)＞0，函數(shù)為凹函數(shù)；(2)當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，eq\f(d2y,dx2)＜0，函數(shù)為凸函數(shù)。3.y?=-72x+eq\f(65,68x)有：eq\f(dy,dx)=-72-eq\f(65,68x2)，則：eq\f(d2y,dx2)=0+eq\f(2*65,68x3)=eq\f(2*65,68x3),可知與x的符號(hào)成正向關(guān)系，所以：(1)當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí)，eq\f(d2y,dx2)＜0，函數(shù)為凸函數(shù)；(2)當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，eq\f(d2y,dx2)＞0，函數(shù)為凹函數(shù)。4.y4=-72x-eq\f(65,68x)有：eq\f(dy,dx)=-72+eq\f(65,68x2)，則：eq\f(d2y,dx2)=0-eq\f(2*65,68x3)=-eq\f(2*65,68x3)，可知與x的符號(hào)有關(guān)系且相反，所以：(1)當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí)，eq\f(d2y,dx2)＞0，函數(shù)為凹函數(shù)；(2)當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，eq\f(d2y,dx2)＜0，函數(shù)為凸函數(shù)?！?函數(shù)的極限eq\s(lim,x→-∞)72x+eq\f(65,68x)=-∞，eq\s(lim,x→0-)72x+eq\f(65,68x)=-∞,eq\s(lim,x→0+)72x+eq\f(65,68x)=+∞,eq\s(lim,x→+∞)72x+eq\f(65,68x)=+∞。eq\s(lim,x→-∞)72x-eq\f(65,68x)=-∞，eq\s(lim,x→0-)72x-eq\f(65,68x)=+∞，eq\s(lim,x→0+)72x-eq\f(65,68x)=-∞，eq\s(lim,x→+∞)72x-eq\f(65,68x)=+∞，eq\s(lim,x→-∞)-72x+eq\f(65,68x)=+∞,eq\s(lim,x→0-)-72x+eq\f(65,68x)=-∞，eq\s(lim,x→0+)-72x+eq\f(65,68x)=+∞,eq\s(lim,x→+∞)-72x+eq\f(65,68x)=-∞。eq\s(lim,x→-∞)-72x-eq\f(65,68x)=+∞,eq\s(lim,x→0-)-72x-eq\f(65,68x)=-∞eq\s(lim,x→0+)-72x-eq\f(65,68x)=-∞,eq\s(lim,x→+∞)-72x-eq\f(65,68x)=+∞☆.函數(shù)的奇偶性按照奇偶性判斷方法，可知四個(gè)函數(shù)y?=72x+eq\f(65,68x),y?=72x-eq\f(65,68x),y?=-72x+eq\f(65,68x),y4=-72x-eq\f(65,68x),均為奇函數(shù)。所以，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,本處以y?介紹奇偶性判斷步驟?！遞(x)=-72x+eq\f(65,68x)∴f(-x)=-72*(-x)+eq\f(65,68*(-x))=72x-eq\f(65,68x)=-[-72x+eq\f(65,68x)]=-f(x).即：f(-x)=-f(x)，所以函數(shù)為奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱?！?函數(shù)的五點(diǎn)圖x(＜0)-0.18-0.15-0.12-0.09-0.0572x+eq\f(65,68x)-18.27-17.17-16.61-17.10-22.7272x-eq\f(65,68x)-7.65-4.43-0.674.1415.52-72x+eq\f(65,68x)7.654.430.67-4.14-15.52-72x-eq\f(65,68x)18.2717.1716.6117.1022.72x(＞0)0.050.090.120.150.1872x+eq\f(65,68x)22.7217.1016.6117.1718.2772x-eq\f(65,68x)-15.52-4.140.674.437.65-72x+eq\f(65,68x)15.524.14-0.67-4.43-7.65-72x-eq\f(65,68x)-22.72-17.10-16.61-17.17-18.27☆.函數(shù)的圖像示意圖四個(gè)函數(shù)y?=72x+eq\f(65,68x),y?=72x-eq\f(65,68x),y?=-72x+eq\f(65,68x),y4=-72x-eq\f(65,68x)在同一個(gè)坐標(biāo)系下示意圖如下所示。其中：紅色曲線表示y?=72x+eq\f(65,68x)圖像；綠色曲線表示y?=72x-eq\f(65,68x)圖像；紫色曲線表示y?=-72x+eq\f(65,68x)圖像；黑色曲線表示y4=-72x-eq\f(65,68x)圖像。y4=-72x-eq\f(65,68x)y?=72x+eq\f(65,68x)y?=-72x+eq\f(65,68x)y?=72x-eq\f(65,68x)y?=-72x+eq\f(65,68x) xy?=72x+eq\f(65,68x)y4=-72x-eq\f(65,68x)☆.主要特性歸納1.函數(shù)相反性：函數(shù)y?=72x+eq\f(65,68x)和函數(shù)y4=-72x-eq\f(65,68x)在同一個(gè)x處的y值互為相反數(shù)；函數(shù)y?=72x-eq\f(65,68x)和函數(shù)y?=-72x+eq\f(65,68x)也在同一個(gè)x處的y值互為相反數(shù)。2.經(jīng)過的象限：函數(shù)y?=72x+eq\f(65,68x)經(jīng)過第一和第三象限，函數(shù)y4=-72x-eq\f(65,68x)則經(jīng)過第二、第三象限；函數(shù)y?=72x-eq\f(65,68x)和函數(shù)y?=-72x+eq\f(65,68x)四個(gè)象限均經(jīng)過。3.曲線的交點(diǎn)：函數(shù)y?=72x+eq\f(65,68x)和函數(shù)y4=-72x-eq\f(65,68x)分別同另外3條曲線均沒有交點(diǎn);曲線方程y?=72x-eq\f(65,68x)和函數(shù)y?=-72x+eq\f(65,68x)有公共交點(diǎn)，且有兩個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)在x軸上，并互為相反數(shù)。4.坐標(biāo)軸交點(diǎn)：函數(shù)y?=72x+eq\