專題03 圓中的重要模型-四點共圓模型（解析版）

專題03圓中的重要模型-四點共圓模型四點共圓是初中數(shù)學的?？贾R點，近年來，特別是四點共圓判定的題目出現(xiàn)頻率較高。相對四點共圓性質(zhì)的應用，四點共圓的判定往往難度較大，往往是填空題或選擇題的壓軸題，而計算題或選擇中四點共圓模型的應用（特別是最值問題），通常能簡化運算或證明的步驟，使問題變得簡單。本文主要介紹四點共圓的四種重要模型。四點共圓：若在同一平面內(nèi)，有四個點在同一個圓上，則稱這四個點共圓，一般簡稱為“四點共圓”。模型1、定點定長共圓模型（圓的定義）【模型解讀】若四個點到一定點的距離相等，則這四個點共圓。這也是圓的基本定義，到定點的距離等于定長點的集合。條件：如圖，平面內(nèi)有五個點O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD，結(jié)論：A、B、C、D四點共圓（其中圓心為O）。例1．（2022·江蘇·二模）如圖，點為線段的中點，點到點的距離相等，若則的度數(shù)是【答案】130【分析】根據(jù)題意得到四邊形ABCD共圓，利用圓內(nèi)接四邊形對角互補即可求出所求角的度數(shù)．【詳解】解：由題意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圓O，如圖所示，∴四邊形ABCD為圓O的內(nèi)接四邊形，∴∠ABC＋∠ADC＝180°，∵∠ABC＝50°，∴∠ADC＝130°，故答案為：130．【點睛】此題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．例2．（2022秋·江西贛州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，點O為線段AB的中點，點B，C，D到點O的距離相等，連接AC，BD．則下面結(jié)論不一定成立的是（

）A．∠ACB=90°B．∠BDC=∠BACC．AC平分∠BADD．∠BCD+∠BAD=180°【答案】C【分析】以點O為圓心，OA長為半徑作圓．再根據(jù)圓周角定理及其推論逐項判斷即可．【詳解】如圖，以點O為圓心，OA長為半徑作圓．由題意可知：OA=OB=OC=OD．即點A、B、C、D都在圓O上．A．由圖可知AB為經(jīng)過圓心O的直徑，根據(jù)圓周角定理推論可知．故A不符合題意．B．，所以根據(jù)圓周角定理可知．故B不符合題意．C．當時，，所以此時AC不平分．故C符合題意．D．根據(jù)圓周角定理推論可知，．故D不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查圓周角定理及其推論，充分理解圓周角定理是解答本題的關(guān)鍵．例3．（2022·內(nèi)蒙古包頭·三模）問題背景：如圖1，等腰中，，作于點D，則D為的中點，，于是；遷移應用：如圖2，和都是等腰三角形，，D，E，C三點在同一條直線上，連接．①求證：；②請直接寫出線段之間的等量關(guān)系式；拓展延伸：如圖3，在菱形中，，在內(nèi)作射線，作點C關(guān)于的對稱點E，連接并延長交于點F，連接，．證明是等邊三角形；【答案】遷移應用：①詳見解析；②結(jié)論：；拓展延伸：詳見解析；【分析】遷移應用：①如圖2中，只要證明，即可根據(jù)解決問題；②結(jié)論：．由，可知，在中，，由，，推出，由，即可解決問題；拓展延伸：如圖3中，作于，連接．由，，推出、、、四點共圓，推出，推出，推出是等邊三角形；【詳解】遷移應用：①證明：如圖2∵，∴，在和中，，∴，②解：結(jié)論：．理由：如圖中，作于．∵，∴，在中，，∵，，∴，∴；拓展延伸：證明：如圖3中，連接，∵四邊形是菱形，，∴是等邊三角形，∴，∵E、C關(guān)于對稱，∴，∴A、D、E、C四點共圓，∴，∴，∴是等邊三角形；【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、四點共圓、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應用所學知識解決問題，學會添加輔助圓解決問題，屬于中考壓軸題．例4．（2022·北京市·九年級專題練習）如圖，四邊形中，、分別是，的中垂線，，，則___，___．【答案】

；

【分析】連接，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，從而得到、、在以為圓心，為半徑的圓上，根據(jù)圓周角定理可得，再由等腰三角形的性質(zhì)可得，即可求解．【詳解】解：連接，、分別是、的中垂線，，、、在以為圓心，為半徑的圓上，，，，，，，，，又，．故答案為：，．【點睛】本題主要考查了圓周角定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意得到、、在以為圓心，為半徑的圓上是解題的關(guān)鍵．模型2、定邊對雙直角共圓模型同側(cè)型異側(cè)型1）定邊對雙直角模型（同側(cè)型）條件：若平面上A、B、C、D四個點滿足，結(jié)論：A、B、C、D四點共圓，其中AD為直徑。2）定邊對雙直角模型（異側(cè)型）條件：若平面上A、B、C、D四個點滿足，結(jié)論：A、B、C、D四點共圓，其中AC為直徑。例1．（2022秋·福建福州·九年級校考期中）如圖，四邊形ABCD中，連接AC、BD，點O為AB的中點，若，則下面結(jié)論一定正確的是．①DC＝CB；②∠DAC＝∠DBC；③；④點A、C、D到點O的距離相等．【答案】②③④【分析】設AC、BD交于點F，連接OC、OD，先根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”得OD=OC=OA=OB=AB，可判斷④正確；由等腰三角形的性質(zhì)可證明∠BCD+∠BAD=∠ADC+∠ABC=×，可判斷③正確；由∠AFD=∠BFC根據(jù)等角的余角相等可證明∠DAC=∠DBC，可判斷③正確；由△ODC與△BOC不全等，得DC≠BC．【詳解】解∶如圖1，設AC、BD交于點F，連接OC、OD，∵，點O為AB的中點，∴OD=OC=OA=OB=AB，∴點A、C、D到點O的距離相等，故④正確；∵OD=OC=OA=OB=AB，∴∠BAD=∠ODA，∠OCD=∠ODC，∠OCB=∠ABC，∴∠BAD+∠OCD+∠OCB=∠ODA+∠ODC+∠ABC，∴∠BCD+∠BAD=∠ADC+∠ABC=，故③正確；∵，∴，，∵∠AFD=∠BFC，∴∠DAC=∠DBC，故②正確；在四邊形ABCD中，，AB中點O，連接OD、OC，則OD=OC=OA=OB=AB，若AD=BD，則OD⊥AB，∴，若，則△BOC是等邊三角形，∴，，但是△ODC與△BOC不全等，∴DC≠BC，故①不一定成立，∴正確的是②③④，故答案為∶②③④．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、多邊形的內(nèi)角和、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等知識，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．例2．（2022·浙江嘉興·二模）如圖，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝1，AE⊥AD，交BC于點E，EA平分∠BED．（1）CD的長是；（2）當點F是AC中點時，四邊形ABCD的周長是．【答案】25+【分析】（1）延長DA，CB交于點H，由“ASA”可證≌，可得，由平行得相似，依據(jù)相似的性質(zhì)即可求解；（2）先證明A，D，C，E四點共圓，因為F是AC中點，依據(jù)垂徑定理，得到DF是AC的中垂線，依據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可求得AD的長度，作于H，可證四邊形ABCH是矩形，依據(jù)矩形的性質(zhì)，結(jié)合線段長度，可得是的中垂線，由此可得AC的長度，在三角形ABC中，依據(jù)勾股定理可求得BC的長度，只需把各邊相加即可得到四邊形ABCD的周長.【詳解】解：（1）如圖1中，延長DA，CB交于點H，∵EA平分∠BED，∴∠AEH＝∠AED，且AE＝AE，∠EAH＝∠EAD＝90°，∴△ADE≌△AHE（ASA）∴AH＝AD，∵∠ABC＝∠BCD＝90°，∴AB∥CD，∴△ABH∽△DCH,∴，且AB＝1，AH＝AD＝HD，∴CD＝2，（2）如圖2中，作AH⊥CD于H，∵∠DAE＝∠DCE＝90°，∴A，D，C，E四點共圓，設圓心為O，則點O是線段DE的中點，又∵AF＝CF，∴DE⊥AC，∴DA＝DC，∵∠ABC＝∠BCH＝∠AHC＝90°，∴四邊形ABCH是矩形，∴CH＝AB＝1，∵CD＝2，∴CH＝HD＝1，又∵AH⊥CD，∴AD＝AC，∴AD＝CD＝AC＝2，∴，四邊形ABCD的周長為．故答案為：（1）2；（2）．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，垂徑定理，線段的垂直平分線的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造中垂線、相似三角形、直角三角形，建立未知線段與已知線段之間等量的關(guān)系．例3．（2022·湖北武漢·?？级＃┤鐖D，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為BC邊上一點，連接AD．（1）如圖1，作BE⊥AD延長線于E，連接CE，求證：∠AEC＝45°；（2）如圖2，P為AD上一點，且∠BPD＝45°，連接CP．若AP＝2，求△APC的面積；【答案】（1）證明見解析；（2）①△APC的面積＝1；②．【分析】（1）由題意可證點A，點B，點E，點C四點共圓，可得∠AEC＝∠ABC＝45°；（2）通過證明△APB∽△CEB，可求CE＝＝，由等腰直角三角形的性質(zhì)可求CF＝1，即可求解；【詳解】證明：（1）∵等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC＝BC，∠ABC＝∠CAB＝45°，AB＝BC，∵BE⊥AD，∴∠AEB＝90°＝∠ACB，∴點A，點B，點E，點C四點共圓，∴∠AEC＝∠ABC＝45°；（2）①如圖2，過點B作BE⊥AD，交AD的延長線于點E，過點C作CF⊥AD于F，∵∠BPD＝45°，BE⊥AD，∴∠PBE＝45°＝∠ABC，∴∠ABP＝∠CBE，∵∠AEB＝90°＝∠ACB，∴點A，點B，點E，點C四點共圓，∴∠BAE＝∠BCE，∠AEC＝∠ABC＝45°，∴△APB∽△CEB，∴CE＝＝，∵CF⊥AD，∠AEC＝45°，∴∠FCE＝∠CEF＝45°，∴CF＝EF＝CE＝1，∴△APC的面積＝×AP×CF＝1；【點睛】本題是三角形綜合題，考查了四點共圓，圓的有關(guān)知識，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，添加恰當輔助線構(gòu)造相似三角形是本題的關(guān)鍵．例4．（2022·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，點O為對角線AC的中點，點E在DC的延長線上且CE＝1.5，連接OE，過點O作OF⊥OE交CB延長線于點F，連接FE并延長交AC的延長線于點G，則＝．【答案】【分析】作OM⊥CD于M，ON⊥BC于N，根據(jù)三角形中位線定理分別求出OM、ON，根據(jù)勾股定理求出OE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出FN，得到FC的長，證明△GFC∽△GOE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，代入計算得到答案．【詳解】解：作OM⊥CD于M，ON⊥BC于N，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠D=90°，∠ABC=90°，∴OM∥AD，ON∥AB，∵點O為AC的中點，∴OM=AD=3，ON=AB=4.5，CM=4.5，CN=3，∵CE=1.5，∴ME=CM+CE=6，在Rt△OME中，OE==3，∵∠MON=90°，∠EOF=90°，∴∠MOE+∠NOE=∠NOF+∠NOE=90°，∴∠MOE=∠NOF，又∠OME=∠ONF=90°，∴△OME∽△ONF，∴，即，解得，F(xiàn)N=9，∴FC=FN+NC=12，∵∠FOE=∠FCE=90°，∴F、O、C、E四點共圓，∴∠GFC=∠GOE，又∠G=∠G，∴△GFC∽△GOE，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理的應用，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．模型3、定邊對定角共圓模型條件：如圖1，平面上A、B、C、D四個點滿足，結(jié)論：A、B、C、D四點共圓．條件：如圖2，AC、BD交于H，，結(jié)論：四點共圓.例1．（2023·黑龍江哈爾濱·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，等邊△ABC中，D在BC上，E在AC上，BD＝CE，連BE、AD交于F，T在EF上，且DT＝CE，AF＝50，TE＝16，則FT＝．【答案】17【分析】用“SAS”可判定△ABD≌△BCE，得到∠AFE=60°，延長FE至點G，使得FG=FA，連AG，AT，得到△AFG是等邊三角形，證明A、B、D、T四點共圓，設法證明△FAT≌△GAE（ASA），即可求得答案．【詳解】∵△ABC為等邊三角形，∴AB=AC=BC，∠ABD=∠BCE=60°，在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD=∠CBE，∵∠ADC=∠CBE+∠BFD=∠BAD+∠B，∴∠BFD=∠B=∠AFE=60°；延長FE至點G，使得FG=FA，連AG，AT，∵∠AFE=60°，∴△AFG是等邊三角形，∴AG=AF=FG=50，∠AGF=∠FAG=60°，∵∠BAF+∠EAF=∠CAG+∠EAF=60°，∴∠BAF=∠CAG，∵DT=CE，∴∠DBT=∠BTD，∵∠BAD=∠CBE，∴∠BAD=∠BTD，∴A、B、D、T四點共圓，∴∠BAD=∠DAT，∴∠FAT=∠GAE，在△FAT和△GAE中，，∴△FAT≌△GAE（ASA），∴FT=GE，∵FG=50，TE=16，∴FT=(FG-TE)=17．故答案為：17．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理等，作出輔助線，判斷出△FAT≌△GAE是解本題的關(guān)鍵．例2．（2022秋·湖南長沙·九年級?？茧A段練習）如圖，已知中，，，，，過點作的垂線，與的延長線交于點，則的最大值為（

）A．4 B．5 C． D．【答案】C【分析】由，，證明，推出，當有最大值時，有最大值，根據(jù)，得到點A、C、B、P四點共圓，若有最大值，則應為直徑，由，得到是圓的直徑，勾股定理求出，即可得到答案．【詳解】解：∵∴∵∴∴∴∴，∴當有最大值時，有最大值，∵，∴點A、C、B、P四點共圓，若有最大值，則應為直徑，∵，∴是圓的直徑，∴，∴的最大值為，故選：C．【點睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，四點共圓的判定和性質(zhì)，正確掌握四點共圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例3．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）請閱讀以下材料，完成相應任務．我們知道，過任意一個三角形的三個頂點能作一個圓，那么過任意一個四邊形的四個頂點能作一個圓嗎？李雷經(jīng)過實踐探究發(fā)現(xiàn)了如下結(jié)論：如果線段同側(cè)兩點（與線段在同一平面內(nèi)）分別與線段兩端點的連線所組成的夾角相等，那么這兩點和線段兩端點四點共圓．下面是李雷證明上述命題的過程（不完整）．已知：如圖1，點，是線段同側(cè)兩點，且．求證：點，，，四點共圓．證明：作的外接圓，假設點在外或在內(nèi)．如圖2，若點在外．設與交于點，連接，則（依據(jù)一），又（依據(jù)二），．．這與已知條件“”矛盾，故點在外不成立；如圖3，若點在內(nèi)，（請同學們補充完整省略的部分證明過程）綜上所述，作的外接圓，點在上，即點，，，四點共圓．(1)填空：將材料中依據(jù)一、依據(jù)二補充完整；依據(jù)一：；依據(jù)二：．(2)請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；(3)填空：如圖4，在四邊形中，，對角線，交于點，為中點，若，，則．【答案】(1)同弧所對的圓周角相等；三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和(2)見解析(3)【分析】（1）由圓周角定理和三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）作的外接圓，假設點在外或在內(nèi)．由反證法、圓周角定理以及三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)論；（3）證點，，，四點共圓，再由相似三角形得，然后由為中點，得，即可解決問題．【詳解】（1）解：依據(jù)一：同弧所對的圓周角相等；依據(jù)二：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；故答案為：同弧所對的圓周角相等；三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；（2）如圖3，若點在內(nèi)，延長與交于點，連接，則，又，．．這與已知條件“”矛盾，故點在內(nèi)不成立；（3），點，，，四點共圓，∵，∴，∴，，為中點，，，，，，解得：（負值已舍去），故答案為：．【點睛】本題是四點共圓綜合題目，考查了四點共圓、反證法、圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)等知識，本題綜合性強，熟練掌握圓周角定理，證明四點共圓是解題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．模型4、對角互補共圓模型條件：如圖1，平面上A、B、C、D四個點滿足，結(jié)論：A、B、C、D四點共圓．條件：如圖2，BA、CD的延長線交于P，，結(jié)論：A、B、C、D四點共圓.例1．（2022秋·廣東惠州·九年級?？茧A段練習）如圖，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，其中點與點對應，點與點對應．(1)畫出．(2)直線與直線相交于點，證明：A，，，四點共圓．【答案】(1)見詳解(2)見詳解【分析】（1）過點A作，且，過點A作，且，連接即可得到；（2）根據(jù)題意可得，證明，推算出，得到，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補可得到A，，，四點共圓．【詳解】（1）解：如下圖所示，過點A作，且，過點A作，且，連接即可得到；（2）證明：如下圖所示由題意可知逆時針旋轉(zhuǎn)得到邊，，則，，，，，，，，，四點共圓．【點睛】本題考查圖形的旋轉(zhuǎn)和圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知圓內(nèi)接四邊形的對角互補．例2．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，中，，平分，，連接，并延長分別交，于點和點，若，，則的長為（）A．10 B．12 C．15 D．16【答案】C【分析】由四點共圓，得到，再證明，得到與的比，延長到，使，得到為等邊三角形，在證明出，證出與，利用即可求出．【詳解】解：，，、、、四點共圓，平分，，，，，，，，如圖，延長到，使，，為等邊三角形，，，，設每一份為，，，，，．故選：C．【點睛】本題考查了三角形相似的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識點的應用，四點共圓的應用及相似比的轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵．例3．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，，，點、分別是線段、射線上的動點，以為斜邊向上作等腰，，連接，則的最小值為．

【答案】【分析】連接并延長，利用四點共圓的判定定理得到，，，四點共圓，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)和圓周角定理得到，得到點的軌跡，最后利用垂線段最短和等腰直角三角形的性質(zhì)解答即可得出結(jié)論．【詳解】解：連接并延長，如圖，

，，，，，，，四點共圓，為等腰直角三角形，，，，點的軌跡為的平分線上，垂線段最短，當時，取最小值，的最小值為，故答案為：．【點睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，四點共圓的判定，圓周角定理，點的軌跡，垂線段的性質(zhì)，利用已知條件求得點D的軌跡是解題的關(guān)鍵．例4．（2023·河南南陽·校考三模）綜合實踐課上，劉老師介紹了四點共圓的判定定理：若平面上四點連成四邊形的對角互補或一個外角等于其內(nèi)對角，那么這四點共圓．在實際應用中，如果運用這個定理，往往可以讓復雜的問題簡單化，以下是小明同學對一道四邊形問題的分析，請幫助他補充完整．

特殊情況分析：(1)如圖1，正方形中，點為對角線上一個動點，連接，將射線繞點順時針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，交直線于點．小明的思考如下：連接，∵，，∴，（依據(jù)1）∵，∴，∴點共圓，∴，，（依據(jù)2）∴，∴．（依據(jù)3）填空：①依據(jù)1應為___________，②依據(jù)2應為___________，③依據(jù)3應為___________；一般結(jié)論探究：(2)將圖1中的正方形改為菱形，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否成立，若成立，請僅以圖2的形式證明，若不成立，請說明理由；結(jié)論拓展延伸：(3)如圖2，若，，當為直角三角形時，請直接寫出線段的長．【答案】(1)兩直線平行，內(nèi)錯角相等；同弧所對的圓周角相等；等角對等邊(2)成立，理由見解析(3)或3【分析】（1）根據(jù)材料中的證明過程，即可得到答案；（2）連接DQ，如圖1所示，由菱形的性質(zhì)得到，從而確定點共圓，再由圓周角定理得到，，進而結(jié)合菱形性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)即可得證；（3）如圖2所示，當時，，從而由為直角三角形可分兩種情況討論求解即可得到答案．【詳解】（1）解：由題意可知：①兩直線平行，內(nèi)錯角相等，②同弧所對的圓周角相等，③等角對等邊，故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；同弧所對的圓周角相等；等角對等邊；（2）解：（1）中結(jié)論仍然成立，理由如下：連接DQ，如圖1所示：

∵在菱形中，∴，，∵，∴點共圓，∴，，∵為菱形的對角線，∴，∴，∴；（3）解：或3．由于點為對角線上一個動點，分兩類情況討論如下：①當時，如圖2所示：

∵在菱形中，，，∴，∵，∴，∴，由（2）中知點共圓，知，，∴，∴，即，∴在中，，則，∴由（2）知；②當時，如圖3所示：

在菱形中，，則，，點與點重合，由（2）可知，，，綜上所述：或3．【點睛】本題考查特殊平行四邊形綜合，涉及正方形性質(zhì)、菱形性質(zhì)、含的直角三角形三邊關(guān)系、等腰三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、四點共圓、圓周角定理等知識，熟練掌握相關(guān)幾何知識并靈活運用是解決問題的關(guān)鍵．課后專項訓練1．（2023·廣西·中考模擬）如圖所示，四邊形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．則BD的長為（）A．B．C．D．【答案】B【詳解】解：以A為圓心，AB長為半徑作圓，延長BA交⊙A于F，連接DF．∵AB=AC=AD=2，∴D，C在圓A上，∵DC∥AB，∴弧DF=弧BC，∴DF=CB=1，BF=AB+AF=2AB=4，∵FB是⊙A的直徑，∴∠FDB=90°，∴BD==故選B2．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，，以為腰作等腰直角三角形，頂點恰好落在邊上，若，則的長是（

）

A． B． C．2 D．1【答案】A【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，，，再判斷出點四點共圓，在以為直徑的圓上，連接，根據(jù)圓周角定理可得，，然后根據(jù)相似三角形的判定可得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得．【詳解】解：是以為腰的等腰直角三角形，，，，，，，點四點共圓，在以為直徑的圓上，如圖，連接，

由圓周角定理得：，，，，，在和中，，，，，故選：A．【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識點，正確判斷出點四點共圓，在以為直徑的圓上是解題關(guān)鍵．3．（2021·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，AB=AC=5，點在上，且，點E是AB上的動點，連結(jié)，點，G分別是BC，DE的中點，連接，，當AG=FG時，線段長為（

）A． B． C． D．4【答案】A【分析】連接DF，EF，過點F作FN⊥AC，F(xiàn)M⊥AB，結(jié)合直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半求得點A，D，F(xiàn)，E四點共圓，∠DFE=90°，然后根據(jù)勾股定理及正方形的判定和性質(zhì)求得AE的長度，從而求解．【詳解】解：連接DF，EF，過點F作FN⊥AC，F(xiàn)M⊥AB∵在中，，點G是DE的中點，∴AG=DG=EG又∵AG=FG∴點A，D，F(xiàn)，E四點共圓，且DE是圓的直徑∴∠DFE=90°∵在Rt△ABC中，AB=AC=5，點是BC的中點，∴CF=BF=，F(xiàn)N=FM=又∵FN⊥AC，F(xiàn)M⊥AB，∴四邊形NAMF是正方形∴AN=AM=FN=又∵，∴∴△NFD≌△MFE∴ME=DN=AN-AD=∴AE=AM+ME=3∴在Rt△DAE中，DE=故選：A．【點睛】本題考查直徑所對的圓周角是90°，四點共圓及正方形的判定和性質(zhì)和用勾股定理解直角三角形，掌握相關(guān)性質(zhì)定理正確推理計算是解題關(guān)鍵．4．（2022·四川宜賓·中考真題）如圖，和都是等腰直角三角形，，點D是BC邊上的動點（不與點B、C重合），DE與AC交于點F，連結(jié)CE．下列結(jié)論：①；②；③若，則；④在內(nèi)存在唯一一點P，使得的值最小，若點D在AP的延長線上，且AP的長為2，則．其中含所有正確結(jié)論的選項是（

）A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④【答案】B【分析】證明，即可判斷①，根據(jù)①可得，由可得四點共圓，進而可得，即可判斷②，過點作于,交的延長線于點，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，即可判斷③，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)60度，得到，則是等邊三角形，根據(jù)當共線時，取得最小值，可得四邊形是正方形，勾股定理求得，根據(jù)即可判斷④．【詳解】解：和都是等腰直角三角形，，故①正確；四點共圓，故②正確；如圖，過點作于,交的延長線于點，,，,設，則，，則AH∥CE，則；故③正確如圖，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)60度，得到，則是等邊三角形，，當共線時，取得最小值，此時，此時，，，，，，，平分，，四點共圓，

，又,，，則四邊形是菱形，又，四邊形是正方形，，則，，，，

，，則，，，，故④不正確，故選B．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，費馬點，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解直角三角形，正方形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．5．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，點P是BC邊上一動點（點P不與B，C重合），連接AP，作點B關(guān)于直線AP的對稱點M，則線段MC的最小值為（）A．2 B． C．3 D．【答案】A【分析】根據(jù)對稱性得到動點M的軌跡是在以A圓心，3為半徑的圓上，根據(jù)點圓模型，在矩形中利用勾股定理求出線段長即可．【詳解】解：連接AM，如圖所示：∵點B和M關(guān)于AP對稱，∴AB＝AM＝3，∴M在以A圓心，3為半徑的圓上，∴當A，M，C三點共線時，CM最短，∵在矩形ABCD中，AC＝，AM＝AB＝3，∴CM＝5﹣3＝2，故選：A．【點睛】本題考查動點最值問題，解題過程涉及到對稱性質(zhì)、圓的性質(zhì)、矩形性質(zhì)、勾股定理等知識點，解決問題的關(guān)鍵是準確根據(jù)題意得出動點軌跡．6．（2023春·湖北武漢·九年級校考階段練習）如圖，在中，點D為上一點，，點E在線段上，，若，，則的最大值為．【答案】/【分析】將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，連接，可得是為等邊三角形，則，可知、、、四點共圓，令其圓心為，連接、、過作，交于，交圓于，過、分別作圓的切線，交于，連接交于，連接、，利用的直角三角形求得，由，與圓相切，可得（SSS），利用其性質(zhì)證得，計算出，，由，知，可得四邊形為平行四邊形，則，由三角形三邊關(guān)系可知：（當、、在同一直線上時去等號），即可求得的最大值．【詳解】解：將繞點順時針旋轉(zhuǎn)至，連接，可得是為等邊三角形，則，∵，，∴、、、四點共圓，令其圓心為，連接、、∴，則，過作，交于，交圓于，過、分別作圓得切線，交于，連接交于，連接、，∵，，∴，，∴，，∵，與圓相切，∴，∴（SSS）∴，∴，，，又∵，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴，由三角形三邊關(guān)系可知：（當、、在同一直線上時去等號）∴的最大值為：．故答案為：．【點睛】本題屬于幾何綜合題，考查了四點共圓，垂徑定理，切線長定理，解直角三角形，平行四邊形的判定及三角形的三邊關(guān)系，構(gòu)造輔助線，利用圓的相關(guān)性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段長度及角度，構(gòu)造三角形三邊關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵，屬于中考壓軸題．7．（2023春·廣東梅州·九年級?？奸_學考試）如圖，量角器的直徑與直角三角板ABC的斜邊重合（），其中量角器0刻度線的端點N與點A重合，射線從處出發(fā)沿順時針方向以每秒3度的速度旋轉(zhuǎn)，與量角器的半圓弧交于點E，第20秒時點E在量角器上運動路徑長是．

【答案】【分析】首先連接，由，易得點，，，C共圓，然后由圓周角定理，求得點E在量角器上對應的讀數(shù)．【詳解】解：連接，

∵，∴A，B，C在以點O為圓心，AB為直徑的圓上，∴點E，A，B，C共圓，∵，∴．∴點E在量角器上運動路徑長，故答案為：2π．【點睛】本題考查的是圓周角定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用．8．（2022秋·北京海淀·九年級?？计谥校┤鐖D，點O為線段的中點，點B，C，D到點O的距離相等，連接，．請寫出圖中任意一組互補的角為和（不添加輔助線，不添加數(shù)字角標和字母）【答案】【分析】首先判斷出點A，B，C，D四點共圓，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補得出答案．【詳解】解：∵點B，C，D到點O的距離相等，且，∴點A，B，C，D四點共圓，∴，，∴圖中互補的角為和，和，故答案為：，（或，）．【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握圓內(nèi)接四邊形對角互補是解題的關(guān)鍵．9．（2022·廣東·東莞市九年級期末）如圖，在銳角△ABC中，AB＝2，AC＝，∠ABC＝60°．D是平面內(nèi)一動點，且∠ADB＝30°，則CD的最小值是________【答案】##【分析】作AH⊥BC于H，證明△ACH為等腰直角三角形，求得BC=+1，在BC上截取BO=AB=2，則△OAB為等邊三角形，以O為圓心，2為半徑作⊙O，根據(jù)∠ADB=30°，可得點D在⊙O上運動，當DB經(jīng)過圓心O時，CD最小，其最小值為⊙O的直徑減去BC的長．【詳解】解：如圖，作AH⊥BC于H，∵AB=2，AC=，∠ABC=60°，∴BH=AB=1，∴AH=，CH=，∴△ACH為等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，BC=CH+BH=+1，在BC上截取BO=AB=2，則△OAB為等邊三角形，以O為圓心，2為半徑作⊙O，∵∠ADB=30°，∴點D在⊙O上運動，當DB經(jīng)過圓心O時，CD最小，最小值為4-（+1）=3-．故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理．解題的關(guān)鍵是得出點D在⊙O上運動．10．（2023·成都市·九年級專題練習）如圖，在矩形中，為的中點，為邊上的任意一點，把沿折疊，得到，連接．若，，當取最小值時，的值等于．【答案】【分析】點在以為圓心為半徑的圓上運動，當、、共線時時，此時的值最小，根據(jù)折疊的性質(zhì)，得出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出，，再根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)折疊的性質(zhì)，可知，再根據(jù)線段之間的數(shù)量關(guān)系，得出，再利用勾股定理，列出方程，解出即可得出答案．【詳解】解：如圖所示，點在以為圓心，為半徑的圓上運動，當、、共線時時，此時的值最小，根據(jù)折疊的性質(zhì)，，，，是邊的中點，，，，，．由折疊可知：，，在中，根據(jù)勾股定理得：，，解得．故答案為：．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、兩點之間線段最短的綜合運用，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，在中，，，的中點為O．求證：A，B，C，D四點在以O為圓心的圓上．

【答案】見解析【分析】連接、，由直角三角形斜邊上的中線定理得，則可得出結(jié)論．【詳解】證明：連接，，

∵，AB的中點為O，∴，∴A，B，C，D四點在以O為圓心，長為半徑的圓上．【點睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，圓的定義，是基礎題，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）已知：如圖，在正方形中，、分別是、的中點．(1)線段與有何關(guān)系．說明理由；(2)延長、交于點H，則B、D、G、H這四個點是否在同一個圓上．說明理由．【答案】(1)且，證明見解析(2)見解析【分析】（1）證明，證據(jù)全等三角形的對應邊相等，以及直角三角形的兩銳角互余即可證明相等且互相垂直；（2）證明，依據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可證得，，，四點到的距離相等，即可證得四點共圓．【詳解】（1）解：且．證明：、分別是、的中點，，，，又，，，，，在直角中，，，，；（2）連接．，，，，，在直角中，，，，，，，在以為圓心、長為半徑的圓上．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及直角三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．13．（2023·廣東·九年級專題練習）【結(jié)論理解】“善思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動，得出結(jié)論：對角互補的四邊形的四個頂點共圓．該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進行探究．(1)【問題探究】如圖1，在矩形中，點E為上一點，將沿翻折，點C的對應點F恰好落在邊上，做經(jīng)過F、E、C三點的圓，請根據(jù)以上結(jié)論判斷點B點______（填“在”或“不在”）該圓上；(2)如圖2，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，，，求四邊形的面積．(3)【問題解決】如圖3，四邊形是某公園的一塊空地，現(xiàn)計劃在空地中修建與兩條小路，（小路寬度不計），將這塊空地分成四部分，記兩條小路的交點為P，其中與空地中種植草坪，與空地中分別種植郁金香和牡丹花．已知，且點C到的距離是，求種植牡丹花的地塊的面積比種植郁金香的地塊的面積多多少？【答案】(1)在(2)(3)【分析】（1）矩形的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)得：，則四點B、C、E、F共圓，從而可得答案；（2）由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、勾股定理即可求得四邊形的面積；（3）過點C作于E，過點B作，交的延長線于點F，易證，則，從而可分別求得的面積，兩個面積之差即可所求的結(jié)果．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，∴，由折疊的性質(zhì)得：，∴，∴四點B、C、E、F共圓，∴點B在點C、E、F確定的圓上，故答案為：在；（2）解：∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴，∵，∴，由勾股定理，，；（3）解：如圖，過點C作于E，過點B作，交的延長線于點F，則，，∵，，∴，∵，∴，∴；∵，，∴．【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)等知識，有一定的綜合性，熟練掌握這些知識并正確運用是關(guān)鍵．14．（2023秋·湖北鄂州·九年級統(tǒng)考期末）請仔細閱讀以下材料：定理一：一般地，如圖，四邊形中，如果連接兩條對角線后形成的，則四點共圓．我們由定理可以進一步得出結(jié)論：，，．定理二：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．溫馨提示：下面問題的關(guān)鍵地方或許能夠用到上述定理，如果用到，請直接運用相關(guān)結(jié)論；如果你有自己更好的做法，那就以自己的做法為主，只要正確，一樣得分．探究問題：如圖，在和中，，，，連接交于點，交于點，連接．(1)求證；(2)請直接寫出___________度，___________度；(3)若，求證．【答案】(1)證明過程見詳解(2)，(3)證明過程見詳解【分析】（1）根據(jù)題意，證明即可求證；（2）由（1）可知，在，中即可求解；根據(jù)定理一，可知四點共圓，由此即可求解；（3）根據(jù)定理二，如圖所示（見詳解），，證明是等腰三角形，即可求證．【詳解】（1）證明：∵，∴，即，在和中，，∴，∴．（2）解：由（1）可知，，∴，在，，∴在中，，∴；∵，根據(jù)定理一，可知四點共圓，如圖所示，∵，，∴是等腰直角三角形，即，∵是圓周角，且與圓周角所對弧相同，∴，故答案為：，．（3）解：如圖所示，取的中點，連接，由（2）可知，，，∴在中，點是的中點，∴根據(jù)定理二，可知，即，∴是等腰三角形，且，∵是外角，∴，在中，，∴，∴是等腰三角形，即，∴，∴．【點睛】本題主要考查圓、直角三角形、等腰三角形的綜合，掌握圓的基礎知識，定理一，定理二，等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）以下是“四點共圓”的幾個結(jié)論，你能證明并運用它們嗎？I．若兩個直角三角形有公共斜邊，則這兩個三角形的4個頂點共圓（圖①、②）；Ⅱ．若四邊形的一組對角互補，則這個四邊形的4個頂點共圓（圖③）；Ⅲ．若線段同側(cè)兩點與線段兩端點連線的夾角相等，則這兩點和線段兩端點共圓（圖④）．(1)在圖①、②中，取的中點O，根據(jù)得，即A，B，C，D共圓；(2)在圖③中，畫⊙O經(jīng)過點A，B，D（圖⑤）．假設點C落在外，交于點E，連接，可得，所以，得出矛盾；同理點C也不會落在內(nèi)，即A，B，C，D共圓．結(jié)論Ⅲ同理可證．(3)利用四點共圓證明銳角三角形的三條高交于一點．已知：如圖⑥，銳角三角形的高，相交于點H，射線交于點F．求證：是的高．（補全以下證明框圖，并在圖上作必要標注）(4)如圖⑦，點P是外部一點，過P作直線，，的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，D，且點D，E，F(xiàn)在同一條直線上．求證：點P在的外接圓上．【答案】(1)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；(2)；；(3)①；②B、E、D、C；③；(4)證明見解析．【分析】（1）利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可證明；（2）根據(jù)結(jié)論Ⅱ可知：，再利用得到，利用外角性質(zhì)可得，相互矛盾即可證明點C在圓上；（3）以A、E、H、D四點作圓，以B、E、D、C四點作圓，連接，得到，，再利用，得到，即可證明；（4）連接，，由結(jié)論I可得：點P、D、F、C四點共圓，點P、E、B、F四點共圓，證明，由結(jié)論Ⅲ可得點A、B、C、P四點共圓，即點P在的外接圓上．【詳解】（1）解：連接，，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得：，，∴故答案為：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；（2）解：假設點C落在外，交于點E，連接，可得：，∵，∴，∵是的一個外角，∴，相互矛盾，故點C在圓上，故答案為：；；（3）證明：以A、E、H、D四點作圓，以B、E、D、C四點作圓，連接．∵A、E、H、D四點共圓，∴，∵B、E、D、C四點共圓，∴，∵，∴，∴，∴，即是的高．故答案為：；B、E、D、C；；（4）證明：連接，，由結(jié)論I可得：點P、D、F、C四點共圓，點P、E、B、F四點共圓，又∵點D，E，F(xiàn)在同一條直線上，∴，，∴，由結(jié)論Ⅲ可得點A、B、C、P四點共圓，即點P在的外接圓上．【點睛】本題考查四邊形外接圓的綜合問題，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，三角形外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握以上相關(guān)知識點，并能夠綜合運用，難度較大，考查學生對整體知識的應用．16．（2022春·成都市九年級課時練習）定義：如果同一平面內(nèi)的四個點在同一個圓上，那么我們把這稱為四點共圓．(1)下列幾何圖形的四個頂點構(gòu)成四點共圓的有．（填序號）①平行四邊形；②菱形；③矩形；④正方形；⑤等腰梯形．(2)已知△ABC中，∠A＝40°，如圖1，平面上一點D，使得A、B、C、D四點共圓，試求∠BDC的度數(shù)．(3)若△ABC的外接圓為⊙O，半徑為r，平面上有兩點E、F，分別與△ABC的三個頂點構(gòu)成四點共圓（E在AB的左側(cè)，F(xiàn)點在AC的右側(cè)），如圖2．①試判斷∠E+∠F﹣∠BAC的值是否為定值？如果是，請求出這個值；如果不是，請說明理由；②若BC弦的長度與⊙O的半徑r之比為：1，并且邊AB經(jīng)過圓心O，如圖3，試求五邊形AEBCF的最大面積（用含r的式子表示）．【答案】(1)③④⑤；(2)∠BDC的度數(shù)為140°或40°；(3)【分析】（1）由“對角互補的四邊形是圓的內(nèi)接四邊形”，即可得出答案；（2）分點D在上和點D在、上兩種情況討論，即可求出∠BDC的度數(shù)；（3）①由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠E+∠AFB＝180°，由∠BAC＝∠BFC，可得∠E+∠AFC＝∠E+∠AFB+∠BFC＝∠E+∠AFB+∠BAC＝180°+∠BAC，進而可得∠E+∠AFC﹣∠BAC＝180°；②由AB經(jīng)過圓心O，BC弦的長度與⊙O的半徑r之比為：1，可得△ABC為等腰直角三角形，S五邊形AEBCF＝S△ABE+S△ABC+S△ACF，當△ABE及△ACF面積最大時，五邊形AEBCF的最大面積，E為中點時，△ABE面積最大，F(xiàn)為中點時，△ACF面積最大，求出△ABE及△ACF面積最大值，最后把三個三角形的面積相加，即可求出五邊形AEBCF的最大面積．【詳解】（1）解：∵矩形、正方形、等腰梯形的對角互補，∴矩形、正方形、等腰梯形的四個頂點構(gòu)成四點共圓，故答案為：③④⑤；（2）解：如圖4，當點D在上時，∵A、B、D、C四點共圓，∴∠A+∠D＝180°，∵∠BAC＝40°，∴∠BDC＝180°﹣40°＝140°，如圖5和圖6，當點D在或上時，∵∠BAC＝40°，∴∠BDC＝∠BAC＝40°，綜上所述，∠BDC的度數(shù)為140°或40°；（3）解：①如圖7，連接BF，∵四邊形AEBF是圓內(nèi)接四邊形，∴∠E+∠AFB＝180°，又∵∠BAC＝∠BFC，∴∠E+∠AFC＝∠E+∠AFB+∠BFC＝∠E+∠AFB+∠BAC＝180°+∠BAC，∴∠E+∠AFC﹣∠BAC＝180°，即∠E+∠F﹣∠BAC＝180°；②∵AB經(jīng)過圓心，∴AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵BC：OB＝：1，OB＝r，∴BC＝r，∵AB＝2r，∴AC＝＝r，∴BC＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵S五邊形AEBCF＝S△ABE+S△ABC+S△ACF，∴當△ABE及△ACF面積最大時，五邊形AEBCF的最大面積，此時，E為中點時，△ABE面積最大，F(xiàn)為中點時，△ACF面積最大，如圖8，連接OE，連接OF交AC于H，∴OE⊥AB，OF⊥AC，∴AH＝CH，∴OH＝BC＝r，∴S△ABE的最大值為：?AB?OE＝×2r×r＝r2，S△ACF的最大值為：?AC?FH＝×r×（r﹣r）＝r2﹣×r2，∴S五邊形AEBCF的最大值為：r2+r2+r2﹣×r2＝．【點睛】本題考查了四點共圓，掌握四點共圓及圓周角的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．17．（2023·河南商丘·統(tǒng)考三模）綜合與實踐小明在劉老師的指導下開展“探究四點共圓的條件”活動，得出結(jié)論：對角互補的四邊形四個頂點共