專題07 新定義問(wèn)題（中考重難點(diǎn)題型）20題（解析版）

專題07新定義問(wèn)題（中考重難點(diǎn)題型）20題（解析版）題目精選自：2023、2024年上海名校及一二模真題，包含綜合知識(shí)點(diǎn)新定義類型題。一、單選題1．（2022上·上海楊浦·九年級(jí)統(tǒng)考期中）新定義：由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格圖形中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，如圖，已知在的網(wǎng)格圖形中，點(diǎn)A、B、C、D都在格點(diǎn)上，如果，那么圖中所有符合要求的格點(diǎn)D的個(gè)數(shù)是（

）．A．3 B．5 C．7 D．9【答案】D【分析】由勾股定理及其逆定理可知是等腰直角三角形，得，然后找出所有符合條件的點(diǎn)D即可．【詳解】解：∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，如圖，由等腰直角三角形的性質(zhì)可知，，由圓周角定理可知，頂點(diǎn)在圓周上的其余7個(gè)角的度數(shù)也是，∴符合條件的點(diǎn)D的個(gè)數(shù)是9個(gè)．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，以及圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023·上海楊浦·統(tǒng)考三模）新定義：由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上的三角形稱為格點(diǎn)三角形．如圖，已知是的網(wǎng)格圖中的格點(diǎn)三角形，那么該網(wǎng)格中所有與相似且有一個(gè)公共角的格點(diǎn)三角形的個(gè)數(shù)是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】取的中點(diǎn)，再取網(wǎng)格點(diǎn)M、N，連接格點(diǎn)，結(jié)合中位線的性質(zhì)可證明，，，再根據(jù)，，，，可得，結(jié)合，有，即可獲得答案．【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)，再取網(wǎng)格點(diǎn)M、N，連接格點(diǎn)，

則，且，∴，，∴．同理可證：，．∵，，，，∴，∴，，∴，綜上，滿足條件的三角形有4個(gè)，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了中位線的性質(zhì)、相似三角形的判定等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定條件是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題3．（2023·上海虹口·統(tǒng)考一模）定義：如果以一條線段為對(duì)角線作正方形，那么稱該正方形為這條線段的“對(duì)角線正方形”．例如，圖①中正方形即為線段的“對(duì)角線正方形”．如圖②，在中，，，，點(diǎn)P在邊上，如果線段的“對(duì)角線正方形”有兩邊同時(shí)落在的邊上，那么的長(zhǎng)是．【答案】/【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：當(dāng)線段的“對(duì)角線正方形”有兩邊同時(shí)落在的邊上時(shí)，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則，∵，∴，∴，∴，解得：，∴，，∴，故答案為：．4．（2023上·上海青浦·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）新定義：平行于三角形一邊的直線被其他兩邊所截得的線段叫做“三角形的弦”，已知等邊三角形的一條弦的長(zhǎng)度為2cm，且這條弦將等邊三角形分成面積相等的兩個(gè)部分，那么這個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為cm．【答案】【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，由，可得，然后由相似三角形面積比等于相似比的平方，求得答案．【詳解】如圖，根據(jù)題意得：，且，∴，，∴，∵，∴，即這個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為：．故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2022·上海楊浦·統(tǒng)考二模）新定義：在中，點(diǎn)D、E分別是邊的中點(diǎn)，如果上的所有點(diǎn)都在的內(nèi)部或邊上，那么稱為的中內(nèi)弧．已知在中，，，點(diǎn)D、E分別是邊的中點(diǎn)，如果是的中內(nèi)弧，那么長(zhǎng)度的最大值等于．【答案】【分析】首先根據(jù)題意可知：當(dāng)DE為直徑時(shí)，長(zhǎng)度取最大值，再根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式，即可求得【詳解】解：由題知，在△ABC內(nèi)部以DE為直徑的半圓弧，就是△ABC的最長(zhǎng)中內(nèi)弧，∵點(diǎn)D、E分別是邊的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∵∠A=90°，，∴，∴長(zhǎng)度，故答案為：π．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，三角形中位線定理，弧長(zhǎng)的計(jì)算，理解題意，得到當(dāng)DE為直徑時(shí)，長(zhǎng)度取最大值是解題的關(guān)鍵．6．（2023·上海青浦·校考一模）新定義：有一組對(duì)角互余的凸四邊形稱為對(duì)余四邊形，如圖，已知在對(duì)余四邊形中，，，，，那么邊的長(zhǎng)為．【答案】【分析】連接，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)F，根據(jù)求出和的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出的長(zhǎng)度，根據(jù)對(duì)余四邊形的定義得出，則，即可求出的長(zhǎng)度，再根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)度，最后根據(jù)即可求解．【詳解】解：連接，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)F，∵，，∴，設(shè)，根據(jù)勾股定理得：，即，解得：，∴，∵，∴，∴，∵四邊形為對(duì)余四邊形，∴，∵，∴，∴∵，∴，設(shè)，根據(jù)勾股定理得：，即，解得：，∴，在中，根據(jù)勾股定理得：，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了四邊形的綜合問(wèn)題，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解直角三角形的方法和步驟，勾股定理的內(nèi)容，正確作出輔助線，構(gòu)建直角三角形．7．（2023·上海閔行·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）新定義：如果一個(gè)三角形一條邊上的高等于這條邊，那么這個(gè)三角形叫做等高底三角形，這條邊叫做等底．如圖，是等高底三角形，是等底，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)，連接，如果點(diǎn)是的重心，那么的值是．

【答案】/【分析】延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)得，，，再由是等高底三角形，是等底，得，再根據(jù)三角形的重心定理得，設(shè)，則，由勾股定理用表示，進(jìn)而計(jì)算的值便可．【詳解】解：延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，如圖所示：

點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)，，，，是等高底三角形，是等底，，點(diǎn)是的重心，，設(shè)，則，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)稱變換，三角形的重心性質(zhì)，新定義，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的重心性質(zhì)得出與的數(shù)量關(guān)系．8．（2022上·上海崇明·九年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：有一組對(duì)邊相等而另一組對(duì)邊不相等的凸四邊形叫做“對(duì)等四邊形”，如圖，在中，，點(diǎn)A在邊BP上，點(diǎn)D在邊CP上，如果，，，四邊形ABCD為“對(duì)等四邊形”，那么CD的長(zhǎng)為．【答案】13或12-或12+【分析】根據(jù)對(duì)等四邊形的定義，分兩種情況：①若CD=AB，此時(shí)點(diǎn)D在D1的位置，CD1=AB=13；②若AD=BC=11，此時(shí)點(diǎn)D在D2、D3的位置，AD2=AD3=BC=11；利用勾股定理和矩形的性質(zhì)，求出相關(guān)相關(guān)線段的長(zhǎng)度，即可解答．【詳解】解：如圖，點(diǎn)D的位置如圖所示：①若CD=AB，此時(shí)點(diǎn)D在D1的位置，CD1=AB=13；②若AD=BC=11，此時(shí)點(diǎn)D在D2、D3的位置，AD2=AD3=BC=11，過(guò)點(diǎn)A分別作AE⊥BC，AF⊥PC，垂足為E，F(xiàn)，設(shè)BE=x，∵，∴AE=x，在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2，即x2+(x)2=132，解得：x1=5，x2=-5（舍去），∴BE=5，AE=12，∴CE=BC-BE=6，由四邊形AECF為矩形，可得AF=CE=6，CF=AE=12，在Rt△AFD2中，F(xiàn)D2=，∴CD2=CF-FD2=12-，CD3=CF+FD2=12+，綜上所述，CD的長(zhǎng)度為13、12-或12+．故答案為：13、12-或12+．【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義，銳角三角函數(shù)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解并能運(yùn)用“等對(duì)角四邊形”這個(gè)概念．在（2）中注意分類討論思想的應(yīng)用、勾股定理的應(yīng)用．9．（2021上·上海徐匯·九年級(jí)統(tǒng)考期中）定義：如果兩條線段將一個(gè)三角形分成個(gè)互相沒(méi)有重合部分的等腰三角形，我們把這兩條線段叫做這個(gè)三角形的三分線（如圖1所示）．如圖2，已知在中，，，，則的三分線中，較短的那條長(zhǎng)為．（只需寫出一種情況即可）．【答案】【分析】根據(jù)等腰三角形的判定定理容易畫出圖形；根據(jù)，則，，則，，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，，，得出方程組，解方程組即可．【詳解】解：如圖2所示，、就是所求的三分線．設(shè)，則，，此時(shí)，，設(shè)，，，，，，所以聯(lián)立得方程組，解得，即較短的那條長(zhǎng)為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解方程組等知識(shí)，解題關(guān)鍵是正確作出圖像．10．（2022上·上海黃浦·九年級(jí)統(tǒng)考期中）定義：如果將一個(gè)三角形繞著它的一個(gè)角的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，使這個(gè)角的一邊與另一邊重疊，再將所旋轉(zhuǎn)后的三角形進(jìn)行相似縮放，使重疊的兩條邊相互重合，我們稱這樣的圖形變換為三角形轉(zhuǎn)似，這個(gè)三角形的頂點(diǎn)稱為轉(zhuǎn)似中心，所得的三角形稱為原三角形的轉(zhuǎn)似三角形．如圖，在中，，是以點(diǎn)為轉(zhuǎn)似中心的順時(shí)針的一個(gè)轉(zhuǎn)似三角形，那么以點(diǎn)A為轉(zhuǎn)似中心的逆時(shí)針的另一個(gè)轉(zhuǎn)似三角形（點(diǎn)分別與對(duì)應(yīng)），其中邊的長(zhǎng)為【答案】【分析】根據(jù)條件可得，然后利用相似三角形的性質(zhì)就可以求出結(jié)論．【詳解】解：如圖所示，由題意可得，，∴，∵，∴，解得，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運(yùn)用，相似三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形相似，理解新定義，運(yùn)用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求解是關(guān)鍵．11．（2024上·上海崇明·九年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：P為內(nèi)一點(diǎn)，連接，在和中，如果存在一個(gè)三角形與相似，那么就稱P為的自相似點(diǎn)，根據(jù)定義求解問(wèn)題：已知在中，是邊上的中線，如果的重心P恰好是該三角形的自相似點(diǎn)，那么的余切值為．【答案】/【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，重心的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識(shí)；過(guò)點(diǎn)E作于E，由題意得，結(jié)合重心性質(zhì)得；設(shè)，則，由勾股定理得；由E為中點(diǎn)及，可得，進(jìn)而得，由中線性質(zhì)及面積關(guān)系可求得，由勾股定理求得，則由余切的定義即可求得結(jié)果；由相似及重心性質(zhì)得到的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，中線交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)E作于E，∵，，∴不可能與相似，∴與相似，即，且，∴，即；∵P是重心，∴；∵是斜邊上中線，∴，∴，∴，∴；設(shè)，則，由勾股定理得；∵E為中點(diǎn)，，∴，由重心性質(zhì)得：；∵為中線，∴，即，∴，由勾股定理得：，在中，；故答案為：．三、解答題12．（2023上·上海嘉定·九年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：對(duì)于拋物線（、、是常數(shù)，），若，則稱該拋物線是黃金拋物線，已知平面直角坐標(biāo)系，拋物線是黃金拋物線，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．(1)求此黃金拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)坐標(biāo)；(2)點(diǎn)在這個(gè)黃金拋物線上．①點(diǎn)在這個(gè)黃金拋物線的對(duì)稱軸上，求的正弦值．②在射線上是否存在點(diǎn)，使以點(diǎn)、、所組成的三角形與相似，且相似比不為1．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，(2)①，②存在，【分析】（1）根據(jù)黃金拋物線的定義，列出方程求出值，進(jìn)而求出頂點(diǎn)的坐標(biāo)即可；（2）①將點(diǎn)代入解析式，求出的值，求出對(duì)稱軸，得到的值，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，勾股定理逆定理，得到，利用正弦的定義，求解即可；②分和，兩種情況進(jìn)行討論求解即可．本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)．利用數(shù)形結(jié)合，分類討論的思想，進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：拋物線是黃金拋物線，，所求拋物線的表達(dá)式為，配方得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）①由（1）得：拋物線的對(duì)稱軸是直線，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在這個(gè)黃金拋物線上，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，，，．②存在過(guò)點(diǎn)作，垂足為拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，，

，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

，，

，

，要使以點(diǎn)、、所組成的三角形與相似，有兩種情況第一種：，又，，∴與全等，相似比為1，不合題意，舍去；第二種：，∵，，，，，，，點(diǎn)在射線上，點(diǎn)的坐標(biāo)為．13．（2022上·上?！ぞ拍昙?jí)上海市民辦新復(fù)興初級(jí)中學(xué)校考期中）我們定義【，，】為函數(shù)的“特征數(shù)”，如：函數(shù)的“特征數(shù)”是【2，，5】，函數(shù)的“特征數(shù)”是【0，1，2】(1)若一個(gè)函數(shù)的“特征數(shù)”是【1，，1】，將此函數(shù)圖像先向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到一個(gè)圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)“特征數(shù)”是______；(2)將“特征數(shù)”是【0，，】的圖像向上平移2個(gè)單位，得到一個(gè)新函數(shù)，這個(gè)函數(shù)的解析式是______；(3)在（2）中，平移前后的兩個(gè)函數(shù)圖像分別與軸交于A、兩點(diǎn)，與直線分別交于、兩點(diǎn)，在給出的平面直角坐標(biāo)系中畫出圖形，并求出以A、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積；(4)若（3）中的四邊形與“特征數(shù)”是【1，，】的函數(shù)圖像有交點(diǎn)，求滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)【1，0，】(2)(3)圖見(jiàn)解析；面積為(4)【分析】（1）由已知可知，平移后的函數(shù)為，則可求“特征數(shù)”；（2）由已知可知函數(shù)為，平移后函數(shù)為；（3）令，求出，令，求出，，則，又由，可判斷四邊形是菱形；然后結(jié)合圖形求面積即可；（4）由已知可得，則函數(shù)與AD邊無(wú)交點(diǎn)，只能與BC邊有交點(diǎn)，將代入函數(shù)，將代入函數(shù)求解即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：∵函數(shù)的特征數(shù)是【1，，1】，∴函數(shù)為，將函數(shù)向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到，∴函數(shù)的“特征數(shù)”是【1，0，】．故答案為：【1，0，】．（2）∵函數(shù)的“特征數(shù)”是【0，，】，∴，∵函數(shù)圖象向上平移2個(gè)單位，∴平移后函數(shù)為．故答案為：．（3）解：令，則，∴，令，則，，∴，，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形．；（4）∵函數(shù)的“特征數(shù)”是【1，，】，∴，∴由函數(shù)圖象得：函數(shù)與AD邊無(wú)交點(diǎn)，∴函數(shù)與BC邊有交點(diǎn)，將代入函數(shù)得：，將代入函數(shù)得：，∴．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合、新定義，函數(shù)的平移，理解定義，能將定義與所學(xué)函數(shù)知識(shí)結(jié)合是解題的關(guān)鍵．14．（2024·上海普陀·統(tǒng)考一模）綜合實(shí)踐九年級(jí)第一學(xué)期教材第2頁(yè)結(jié)合教材圖形給出新定義對(duì)于下圖中的三個(gè)四邊形，通?？梢哉f(shuō)，縮小四邊形，得到四邊形；放大四邊形，得到四邊形．

圖形的放大或縮小，稱為圖形的放縮運(yùn)動(dòng)．將一個(gè)圖形放大或縮小后，就得到與它形狀相同的圖形．圖中，四邊形和四邊形都與四邊形形狀相同．我們把形狀相同的兩個(gè)圖形說(shuō)成是相似的圖形，或者就說(shuō)是相似形．如圖，對(duì)于兩個(gè)多邊形，如果它們的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，并且這點(diǎn)與對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)所連線段成比例，那么這兩個(gè)多邊形就是位似多邊形，這個(gè)點(diǎn)就是位似中心．(1)填空：在上圖中位似中心是點(diǎn)________；________多邊形是特殊的________多邊形．（填“位似”或“相似”）(2)在平面直角坐標(biāo)系中（如下圖），二次函數(shù)的圖像與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B是此函數(shù)圖像上一點(diǎn)（點(diǎn)A、B均不與點(diǎn)O重合），已知點(diǎn)B的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，以點(diǎn)O為位似中心，相似比為，將縮小，得到它的位似．

①畫出，并求經(jīng)過(guò)O、、三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式；②直線與二次函數(shù)的圖像交于點(diǎn)M，與①中的拋物線交于點(diǎn)N，請(qǐng)判斷和是否為位似三角形，并根據(jù)新定義說(shuō)明理由．【答案】(1)P；位似；相似(2)①圖形見(jiàn)解析；；②和為位似三角形，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)位似圖形的定義，即可求解；（2）①根據(jù)位似圖形的定義，畫出圖形，再求出、的坐標(biāo)，即可求解；②過(guò)點(diǎn)M作軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)N作軸于點(diǎn)C，聯(lián)立求出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，可得，從而得到，進(jìn)而得到，再由點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，可得，然后根據(jù)新定義，即可求解．【詳解】（1）解：在上圖中位似中心是點(diǎn)P；位似多邊形是特殊的相似多邊形．故答案為：P；位似；相似（2）解：①如圖，即為所求；

令，則，解得：或0，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為，∴，解得：或0，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，∵以點(diǎn)O為位似中心，相似比為，將縮小，得到它的位似，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)經(jīng)過(guò)O、、三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式為，把點(diǎn)，，代入得：，解得：，∴經(jīng)過(guò)O、、三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式為，②和為位似三角形，理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)M作軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)N作軸于點(diǎn)C，

聯(lián)立得：，解得：或，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為，∴，，，同理點(diǎn)N的坐標(biāo)為，∴，，∴，∵，∴，∴，∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，∴，∴，∴和為位似三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，理解新定義，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．15．（2022上·上海閔行·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，在中，，，，點(diǎn)、分別在邊、上，且均不與頂點(diǎn)重合，（如圖1所示），設(shè)，．(1)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)（如圖2所示），求線段的長(zhǎng)；(2)在圖1中當(dāng)點(diǎn)不與點(diǎn)重合時(shí)，求關(guān)于的函數(shù)解析式及其定義域；(3)我們把有一組相鄰內(nèi)角相等的凸四邊形叫做等鄰角四邊形．請(qǐng)閱讀理解以上定義，完成問(wèn)題探究：如圖1，設(shè)點(diǎn)在邊上，，如果四邊形是等鄰角四邊形，求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)(3)或或【分析】（1）由點(diǎn)與點(diǎn)重合，可想到，過(guò)點(diǎn)作于，再結(jié)合的勾股定理和面積，即可求解的長(zhǎng)，又在中可求解，最后利用等腰的性質(zhì)即可求解的長(zhǎng)；（2）由題意想到過(guò)點(diǎn)作于，則可知，即可知與之間的數(shù)量關(guān)系，再結(jié)合可知，即可知與的數(shù)量關(guān)系，最后由共線的數(shù)量關(guān)系即可求解與之間的函數(shù)關(guān)系；（3）分三種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別求解即可．【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)作于，在中，，，，，，，，，；（2）過(guò)點(diǎn)作于，，，，，，，，，，，，，，結(jié)合可知的最小值為（3）當(dāng)時(shí)，如圖，，，，，，當(dāng)時(shí)，，，，，，，；當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合，由得，，；綜上所述，如果凸四邊形是等鄰角四邊形，線段的長(zhǎng)為或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、等鄰角四邊形、分類討論等知識(shí)點(diǎn)，屬于四邊形的綜合應(yīng)用題，具有一定難度．解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，理解等鄰角四邊形的定義，并注意數(shù)形結(jié)合以及分類思想的應(yīng)用．16．（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）如圖，半圓的直徑，點(diǎn)是上一點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），點(diǎn)是的中點(diǎn)，分別連接、．

(1)當(dāng)是圓的內(nèi)接正六邊形的一邊時(shí)，求的長(zhǎng)；(2)設(shè)，，求與之間的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；(3)定義：三角形一邊上的中線把這個(gè)三角形分成兩個(gè)小三角形，如果其中有一個(gè)小三角形是等腰三角形，且這條中線是這個(gè)小三角形的腰，那么這條中線就稱為這個(gè)三角形的中腰線．分別延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)，連接．是的中腰線，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)(3)的長(zhǎng)為或【分析】（1）連接，，是圓的內(nèi)接正六邊形的一邊時(shí)，進(jìn)而判斷是等邊三角形，即可求解；（2）根據(jù)題意證明，得出則,，在，中，勾股定理即可求解；（3）分情況討論，①當(dāng)時(shí)，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，②當(dāng)時(shí)，分別畫出圖形，根據(jù)，解方程即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，連接，，

∵半圓的直徑，∴，∵是圓的內(nèi)接正六邊形的一邊時(shí)，∴,∴，∵是的中點(diǎn)，∴，∵，∴是等邊三角形，∴；（2）解：如圖所示，連接交于點(diǎn)，

∵是的中點(diǎn)，∴，∵是直徑，∴，∴，∴，∴，∵，，∴,∴，在中，，∴，在中，，∴，∴，∵，∴，∴；（3）解：①當(dāng)時(shí)，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，

設(shè)，由（2）可得，，∵，為的中點(diǎn)，∴，∴，在中，，∴，在中，，又∵∴，解得：，∴；②如圖所示，當(dāng)時(shí)，

同理可得，則，,∴，解得：，∴，綜上所述，的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓，垂徑定理，函數(shù)關(guān)系式，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握是解題的關(guān)鍵．17．（2022·上海青浦·校考一模）在平面直角坐標(biāo)系中（如圖），已知拋物線，其頂點(diǎn)為．(1)寫出這條拋物線的開口方向、頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)我們把一條拋物線上橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)叫做這條拋物線的“不動(dòng)點(diǎn)”．①試求拋物線的“不動(dòng)點(diǎn)”的坐標(biāo)；②向左或向右平移拋物線，使所得新拋物線的頂點(diǎn)是該拋物線的“不動(dòng)點(diǎn)”，其對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)，且四邊形是梯形，求新拋物線的表達(dá)式．【答案】(1)拋物線開口向上，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(2)①與；②新拋物線的表達(dá)式為【分析】（1）由，故該拋物線開口向上，將拋物線的解析式化為頂點(diǎn)式即可得到頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）①設(shè)拋物線“不動(dòng)點(diǎn)”坐標(biāo)為，則，解出方程即可求解；②新拋物線頂點(diǎn)為“不動(dòng)點(diǎn)”，則設(shè)點(diǎn)，則新拋物線的對(duì)稱軸為，與軸的交點(diǎn)為，由四邊形是梯形，則直線在軸左側(cè)，而點(diǎn)，點(diǎn)，則，即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴該拋物線開口向上，又∵，∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．∴這條拋物線開口向上，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．（2）①設(shè)拋物線“不動(dòng)點(diǎn)”坐標(biāo)為，∴，解得：，，∴拋物線的“不動(dòng)點(diǎn)”的坐標(biāo)為與；②向左或向右平移拋物線，使所得新拋物線的頂點(diǎn)是該拋物線的“不動(dòng)點(diǎn)”，其對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)，且四邊形是梯形，∴，與不平行，∵新拋物線頂點(diǎn)為“不動(dòng)點(diǎn)”，則設(shè)點(diǎn)，∴新拋物線的對(duì)稱軸為：，與軸的交點(diǎn)，又∵點(diǎn)，點(diǎn)，∴，∴，∴新拋物線是由拋物線向左平移個(gè)單位得到的，表達(dá)式為：．∴新拋物線的表達(dá)式為．【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)綜合運(yùn)用題，正確利用二次函數(shù)基本知識(shí)、梯形基本性質(zhì)進(jìn)行分析是解題關(guān)鍵．18．（2023上·上海靜安·九年級(jí)上海市市北初級(jí)中學(xué)?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，把一條線段繞其一個(gè)端點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，并把這條線段伸長(zhǎng)或縮短，稱這樣的運(yùn)動(dòng)叫做線段的“旋似”，經(jīng)“旋似”運(yùn)動(dòng)后新線段和原線段的夾角為“旋似角”，新線段長(zhǎng)和原線段長(zhǎng)比值為“旋似比”：如圖，平面直角坐標(biāo)系中有一點(diǎn)，把線段繞點(diǎn)做“旋似”運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，若“旋似角”為，

(1)當(dāng)“旋似比”為時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)過(guò)做軸，點(diǎn)為垂足，連接，若軸，求此時(shí)的“旋似比”；(3)當(dāng)“旋似比”為時(shí)，設(shè)線段與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，且滿足，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)點(diǎn)；(2)“旋似比”為；(3)．【分析】（）先證明，再利用“旋似比”為即可求解；（）證明，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；（）由“旋似比”為，求出點(diǎn)，再求出解析式，則有，從而得出，最后根據(jù)角度和差即可求解．【詳解】（1）如圖，過(guò)作軸于點(diǎn)，過(guò)作軸于點(diǎn)，∴∵，，∴，，，∴，∴，∴，，∴點(diǎn)；（2）如圖，∵，∴，，∵，，∴，∴，∴，即，∴此時(shí)的“旋似比”為；（3）如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，∵“旋似比”為，∴同理：點(diǎn)，設(shè)解析式為，∴，解得：，∴解析式為，則有，∴，∵，∴，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，待定系數(shù)法求解析式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為相似三角形，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定．19．（2023·上海楊浦·統(tǒng)考一模）新定義：由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格圖形中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．如圖