專題08 三角形中的倒角模型之高分線模型、雙（三）垂直模型（解析版）

專題08三角形中的倒角模型之高分線模型、雙（三）垂直模型近年來各地考試中常出現(xiàn)一些幾何倒角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計算（內(nèi)角和定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題高分線模型、雙垂直模型進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1：高分線模型條件：AD是高，AE是角平分線結(jié)論：∠DAE=例1．（2023·遼寧本溪·七年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分線，∠B=40°，∠C=60°，則∠EAD的度數(shù)為（

）A．20° B．10° C．50° D．60°【答案】B【分析】首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，求出∠BAC的度數(shù)是多少；然后根據(jù)AE為角平分線，求出∠BAE的度數(shù)是多少；最后在Rt△DAC中，求出∠DAC的度數(shù)，即可求出∠EAD的度數(shù)是多少．【詳解】解：∵∠B=40°，∠C=60°，∴∠BAC=180°-60°-40°=80°，∵AE為∠BAC角平分線，∴∠EAC=80°÷2=40°，∵AD為△ABC的高，∴∠ADB=90°，∴∠DAC=90°-∠C=90°-60°=30°，∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=40°-30°=10°，即∠EAD的度數(shù)是10°，故選：B．【點睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形高、中線的定義，解答此題的關(guān)鍵是明確：三角形的內(nèi)角和是180°．例2．（2023·湖北十堰·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，，是高，是中線，是角平分線，交于點G，交于點H，下面結(jié)論：的面積＝的面積；；；．其中結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角形角平分線和高的性質(zhì)可確定角之間的數(shù)量關(guān)系；根據(jù)三角形的中線和面積公式可確定和的面積關(guān)系以及求出的長度．【詳解】解：是的中線的面積等于的面積

故正確；，是的高，是的角平分線又故正確；

故正確；故錯誤；故選：C【點睛】本題考查了三角形的中線、高、角平分線，靈活運用三角形的中線、高、角平分線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．例3．（2023·安徽合肥·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知AD、AE分別是Rt△ABC的高和中線，AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，試求：（1）AD的長度；（2）△ACE和△ABE的周長的差．【答案】（1）AD的長度為cm；（2）△ACE和△ABE的周長的差是3cm．【分析】（1）利用直角三角形的面積法來求線段AD的長度；（2）由于AE是中線，那么BE＝CE，再表示△ACE的周長和△ABE的周長，化簡可得△ACE的周長﹣△ABE的周長＝AC﹣AB即可．【詳解】解：（1）∵∠BAC＝90°，AD是邊BC上的高，∴S△ACB=AB?AC＝BC?AD，∵AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，∴AD＝＝＝（cm），即AD的長度為cm；（2）∵AE為BC邊上的中線，∴BE＝CE，∴△ACE的周長﹣△ABE的周長＝AC+AE+CE﹣（AB+BE+AE）＝AC﹣AB＝12﹣9＝3（cm），即△ACE和△ABE的周長的差是3cm．【點睛】此題主要考查了三角形的面積，關(guān)鍵是掌握直角三角形的面積求法．例4．（2023秋·浙江·八年級專題練習(xí)）已知：在中，，分別是的高和角平分線，

(1)若，．求的度數(shù)．(2)試求與有何關(guān)系？【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)角平分線定義求出，求出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，即可得出答案；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)角平分線定義求出，根據(jù)三角形高的定義可知，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，即可得出答案．【詳解】（1）解：，，，是的平分線，，是的高，，，，；（2）解：，理由如下：，，是的平分線，，是的高，，，．【點睛】本題考查了角平分線定義，三角形的高，三角形的內(nèi)角和定理，能求出和的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵．模型2：雙垂直模型結(jié)論：①∠A=∠C；②∠B=∠AFD=∠CFE；③。例1．（2023·四川涼山·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖所示，在△ABC中，BD，CE是兩條高，∠A=50°，則∠BOC=（

）A．110° B．120° C．130° D．140°【答案】C【分析】根據(jù)直角三角形中的兩個銳角互余求得，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得，即可求解．【詳解】解：∵在△ABC中，BD，CE是兩條高，∠A=50°，∴，∴，故選C．【點睛】本題考查了三角形的高的定義，直角三角形兩個銳角互余，三角形的外角的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·黑龍江哈爾濱·八年級?？荚驴迹┤鐖D，在中，，，的邊上的高與邊上的高的比值是（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根據(jù)面積相等列出比例求解即可．【詳解】解：∵的邊上的高為，邊上的高為，，，∴，即：，∴，故選：D．【點睛】本題考查了三角形的高，根據(jù)面積相等列出等式是解題的關(guān)鍵．例3．（2023春·河南周口·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，于點F，于點，與交于點，．(1)求的度數(shù)．(2)若，求的長．

【答案】(1)(2)【分析】（1）數(shù)形結(jié)合，利用三角形內(nèi)角和定理求解即可得到答案；（2）利用等面積法，由代值求解即可得到答案．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∵，，，∴．【點睛】本題考查三角形綜合，數(shù)形結(jié)合，利用等面積法求解是解決問題的關(guān)鍵．模型3：子母型雙垂直模型(射影定理模型)結(jié)論：①∠B=∠CAD；②∠C=∠BAD；③。例1．（2023·湖南婁底·八年級期中）如圖，，于點，則圖中互余的角有（

）對．

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根據(jù)余角的定義以及直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：，與互余，與互余．，，．與互余，與互余．故選：B．【點睛】本題主要考查的是余角的定義，掌握余角的定義是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·廣東廣州·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，于D，求證：．【答案】見解析【分析】根據(jù)可得，再根據(jù)，即可求證．【詳解】證：∵，∴又∵，∴又∵，∴∴【點睛】此題考查了三角形內(nèi)角和性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形內(nèi)角和的性質(zhì)．例3．（2023·山東八年級月考）如圖，在中，，是角平分線，且，求證：．

【答案】見解析【分析】根據(jù)是的角平分線，可得，由，得出，根據(jù)已知條件以及對頂角相等得出，進而根據(jù)等量代換得出，進而得出，即可得證．【詳解】解：∵是的角平分線，∴，∵在中，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查直角三角形的兩個銳角互余，三角形角平分線的定義，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．例4．（2023·湖北武漢·八年級階段練習(xí)）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=5，CH⊥AB于H，則CH的長為（

）.A．2.4 B．3 C．2.2 D．3.2【答案】A【分析】根據(jù)等面積法可以求得CH的長．【詳解】解：，解得CH=2.4，故選A.【點睛】本題考查了三角形的面積，用兩種方法表示出三角形的面積是解題的關(guān)鍵．例5．（2023春·江蘇泰州·七年級統(tǒng)考期末）已知：如圖，在中，，、分別在邊、上，、相交于點．

(1)給出下列信息：①；②是的角平分線；③是的高．請你用其中的兩個事項作為條件，余下的事項作為結(jié)論，構(gòu)造一個真命題，并給出證明；條件：______，結(jié)論：______．（填序號）證明：(2)在（1）的條件下，若，求的度數(shù)．（用含的代數(shù)式表示）【答案】(1)①②；③；見解答(2)【分析】（1）條件：①②，結(jié)論：③，由角平分線的性質(zhì)可得，由和，得出，利用三角形內(nèi)角和可得結(jié)論；（2）利用（1）的結(jié)論和三角形外角性質(zhì)即可得答案．【詳解】（1）條件：①②，結(jié)論：③，證明：∵是的角平分線，∴，∵，∴，∵，∴，∴是的高．條件：①③，結(jié)論：②，證明：∵是的高，∴，∴，∵，，，∴，∴是的角平分線；條件：②③，結(jié)論：①，證明：∵是的角平分線，∴，∵是的高，∴，∴，∵，，∴；故答案為：①②；③；證明：見解答；（2）∵，∴，∵是的角平分線，∴，∵，∴．【點睛】本題考查命題與定理，掌握角分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，外角性質(zhì)，掌握三角形外角的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．課后專項訓(xùn)練1．（2023上·廣東廣州·八年級廣州市第三中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，在中，是高，是角平分線，是中線．則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了三角形的高、中線、角平分線，掌握這些概念是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形的高、中線、角平分線的概念進行判斷即可．【詳解】解：是中線，，故A選項正確，不符合題意；是角平分線，，故B選項正確，不符合題意；是高，，，故C選項正確，不符合題意；同高，，故D選項錯誤，符合題意；故選：D．2．（2023下·云南昆明·八年級統(tǒng)考期中）如圖，AD，BE，CF依次是ABC的高、中線和角平分線，下列表達(dá)式中錯誤的是（

）A．AE＝CE B．∠ADC＝90° C．∠CAD＝∠CBE D．∠ACB＝2∠ACF【答案】C【分析】根據(jù)三角形的高、中線和角平分線的定義（1）三角形的角平分線定義：三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，連接這個角的頂點和交點的線段叫做三角形的角平分線；（2）三角形的中線定義：在三角形中，連接一個頂點和它所對邊的中點的連線段叫做三角形的中線；（3）三角形的高定義：從三角形一個頂點向它的對邊（或?qū)吽诘闹本€）作垂線，頂點和垂足間的線段叫做三角形的高線，簡稱為高．求解即可．【詳解】解：A、BE是△ABC的中線，所以AE＝CE，故本表達(dá)式正確；B、AD是△ABC的高，所以∠ADC＝90，故本表達(dá)式正確；C、由三角形的高、中線和角平分線的定義無法得出∠CAD＝∠CBE，故本表達(dá)式錯誤；D、CF是△ABC的角平分線，所以∠ACB＝2∠ACF，故本表達(dá)式正確．故選：C．【點睛】本題考查了三角形的高、中線和角平分線的定義，是基礎(chǔ)題，熟記定義是解題的關(guān)鍵．3．（2023下·江西贛州·八年級校聯(lián)考期中）如圖所示，在△ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，并且CD、BE交于點P，若∠A=60°，則∠BPC等于（

）A．90° B．120° C．150° D．160°【答案】B【分析】由∠A=60°，高線CD，即可推出∠ACD=30°，然后由∠BPC為△CPE的外角，根據(jù)外角的性質(zhì)即可推出結(jié)果．【詳解】解：∵CD⊥AB，∠A=60°，∴∠ACD=30°，∵BE⊥AC，∴∠CEP=90°，∴∠BPC=∠ACD+∠CEP=120°．故選：B【點睛】本題主要考查垂線的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)的知識點，關(guān)鍵在于根據(jù)相關(guān)的定理推出∠ACD和∠CEP的度數(shù)．4．（2023上·湖北黃石·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在銳角中，，分別是，邊上的高，且，相交于點P，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查的是三角形高的含義，多邊形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用；根據(jù)三角形的高先求解，再利用四邊形的內(nèi)角和定理可得答案．【詳解】解：∵，分別是，邊上的高，∴，，∴，∴．故選：D．5．（2023下·安徽宿州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D．下列說法不正確的是（）A．與∠1互余的角只有∠2B．∠A與∠B互余C．∠1＝∠BD．若∠A＝2∠1，則∠B＝30°【答案】A【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余和等角或同角的余角相等對各選項分析判斷后利用排除法求解．【詳解】解：A、∵∠ACB＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∵CD⊥AB，∴∠1+∠A＝90°，∴與∠1互余的角有∠2與∠A兩個角，故本選項錯誤；B、∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠A與∠B互余，故本選項正確；C、∠1+∠2＝90°，∠2+∠B＝90°，∴∠1＝∠B，故本選項正確；D、∵∠A＝2∠1＝2∠B，∴∠A+∠B＝3∠B＝90°，解得∠B＝30°，故本選項正確．故選A．【點睛】此題考查三角形內(nèi)角和定理，余角和補角，解題關(guān)鍵在于掌握各性質(zhì)定理.6．（2023下·四川綿陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，是高，是中線，是角平分線，交于點，交于點，下面結(jié)論：①的面積等于的面積；②；③；④．其中正確的是（

）

A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④【答案】C【分析】根據(jù)三角形中線定義和三角形面積公式可對①進行判斷；根據(jù)等角的余角相等得到，再根據(jù)角平分線的定義和三角形外角性質(zhì)、等腰三角形的判定可對②進行判斷；根據(jù)等角的余角相等得到，再根據(jù)角平分線的定義可對③進行判斷．【詳解】解：是中線得到，，故①正確；，是高，∴，，是角平分線，，，，，，故②正確；，，，而，，故③正確．根據(jù)已知條件不能推出，即不能推出，故④錯誤；故選：C．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，三角形的角平分線、中線、高線等知識點，能綜合運用定理進行推理是解此題的關(guān)鍵．7．（2022下·山東青島·七年級統(tǒng)考期末）如圖，中，是邊上的高，是的平分線，若，，則°．【答案】36【分析】先根據(jù)是的平分線計算出，再根據(jù)是邊上的高計算出，再根據(jù)三角形外角和定理求出．【詳解】解：∵是的平分線，∴，∴，∵,∴,∵，∴，故答案為：36．【點睛】本題考查角平分線的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識是解此題的關(guān)鍵．8．（2023下·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，、分別是的高和角平分線，點E為邊上一點，當(dāng)為直角三角形時，則．

【答案】50或25/25或50【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得，由角平分線的定義得，當(dāng)為直角三角形時，存在兩種情況：分別根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵，∴∵平分∴當(dāng)為直角三角形時，有以下兩種情況：①當(dāng)時，如圖1，

∵，∴；②當(dāng)時，如圖2，

∴，∵，∴，綜上，的度數(shù)為或．故答案為：50或25．【點睛】本題考查的是直角三角形的兩銳角互余，三角形外角的性質(zhì)，熟知“三角形的外角的性質(zhì)”是解答此題的關(guān)鍵．9．（2023上·甘肅平?jīng)觥ぐ四昙壗y(tǒng)考期末）如圖，在中，分別是邊上的高，已知；若，則的度數(shù)為．【答案】/度【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，證即可求解．【詳解】解：∵分別是邊上的高，∴∵，∴∵，∴∴，∴故答案為：10．（2023上·廣東東莞·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，分別是邊上的高，且，則的長為．

【答案】【分析】本題考查了三角形的面積計算，運用不同的底和高計算一個三角形的面積，關(guān)鍵要注意選取三角形底邊時，要準(zhǔn)確找到底邊所對應(yīng)的高．【詳解】解：∵，∴，即，故答案為：．11．（2023下·山西臨汾·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，分別是，邊上的高，在上取一點D，使，在射線上取一點G，使，連結(jié)，．若，，則的度數(shù)為．

【答案】32度/【分析】證明得到，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得即可．【詳解】解：，分別是，邊上的高，.，..在和中，，，，..，.【點睛】本題考查三角形的高、全等三角形得判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，證明是解答的關(guān)鍵．12．（2023下·上海寶山·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，、分別是、邊上的高，、交于點O，如果，那么°．

【答案】50【分析】根據(jù)，，求出，根據(jù)，求出．【詳解】解：∵為邊上的高，∴，∵，∴，∵為邊上的高，∴，∴．故答案為：50．【點睛】本題主要考查了三角形的高，直角三角形兩銳角互余，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)高線定義推出和．13．（2023上·福建莆田·七年級統(tǒng)考期末）如圖所示，AD、BE分別是鈍角三角形ABC的邊BC、AC上的高．求證：=【答案】證明見解析．【分析】利用三角形面積公式可得，代入數(shù)值即可求解．【詳解】解：由題意知，，∴．【點睛】本題考查求三角形的高，根據(jù)三角形面積公式列出等式是解題的關(guān)鍵．14．（2023下·八年級課時練習(xí)）已知：如圖，在中，，，垂足為D．求證：．【答案】見解析【分析】根據(jù)直角的定義與同角的余角相等即可求解．【詳解】在中，∵（已知），∴°（三角形內(nèi)角和定理）．∵（已知），∴（垂直的定義）．∴（三角形內(nèi)角和定理）．∴（同角的余角相等）．【點睛】此題主要考查直角三角形的角度求解，解題的關(guān)鍵是熟知直角的定義．15．（2023下·安徽安慶·八年級安慶市石化第一中學(xué)校考期中）如圖，在中，，，是邊上的高，是的平分線．

(1)求的度數(shù)；(2)若，試探求、、之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出，根據(jù)角平分線的定義得出，根據(jù)，得出，求出，最后根據(jù)得出結(jié)果；（2）根據(jù)角平分線的定義得出，根據(jù)高線的定義得出，求出，根據(jù)，得出，根據(jù)求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：∵在中，，，∴，∵是的平分線，∴，∵是邊上的高，∴，∴，∴，∴．（2）解：∵，是的平分線，∴，∵是邊上的高，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即．【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，角平分線的定義，三角形的高線，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形內(nèi)角和為．16．（2023下·河南南陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，，分別是的高線，角平分線和中線，（1）下列結(jié)論：①，②，③，④與互余，其中錯誤的是______（只填序號）．（2）若，，求的度數(shù)．【答案】（1）①；（2）．【分析】（1）依據(jù)AD，AE，AF分別是三角形的高線，角平分線及中線，即可得出，，，據(jù)此分別判斷各選項即可；（2）先根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出∠BAC，然后分別求出∠BAE和∠BAD，再利用角的和差計算即可．【詳解】解：（1）∵，，分別是的高線，角平分線，中線，∴，，，而不一定成立，故①不正確，②正確；∴，∴，即與互余，④正確；∴，,∴，③正確；綜上所述，錯誤的是：①；（2）∵，，∴，∵，∴，∴【點睛】本題主要考查了三角形的角平分線、高線、中線的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（2023上·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期中）（1）如圖①所示，在中，分別是的高和角平分線，若，，求的度數(shù)．（2）如圖②所示，已知平分，交邊于點，過點作于點，，．①_________；（用含x的式子表示）②求的度數(shù)．【答案】（1）；（2）①；②【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)角平分線的定義和高線的定義分別求出，，即可求出；（2）①根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解；②根據(jù)角平分線定義求出，根據(jù)三角形外角定理求出，根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可求出．【詳解】解：（1）∵，，∴．∵是的角平分線，∴．∵是的高，∴，∴在中，，∴．（2）①∵，，∴．故答案為：；②∵平分，∴，∴，∵，∴在中，．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，外角定理，直角三角形兩銳角互余，與三角形角平分線，高線有關(guān)的角的計算等知識，熟知相關(guān)知識并根據(jù)題意靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵．18．（2023下·河南周口·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，的高和角平分線交于點F．求的度數(shù)．【答案】【分析】先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得，再根據(jù)角平分線的定義可得，然后根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余可得，最后根據(jù)對頂角相等即可得．【詳解】解：，，，是的角平分線，，是的高，，，由對頂角相等得：．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理、直角三角形的兩個銳角互余等知識點，熟練掌握直角三角形的兩個銳角互余是解題關(guān)鍵．19．（2023下·福建福州·七年級?？计谀┤鐖D所示，在中，分別是上的