專題10 三角形中的倒角模型之平分平行（射影）構(gòu)等腰、角平分線第二定理模型（原卷版）

專題10三角形中的倒角模型之平分平行（射影）構(gòu)等腰、角平分線第二定理模型角平分線在中考數(shù)學(xué)中都占據(jù)著重要的地位，角平分線常作為壓軸題中的?？贾R點(diǎn)，需要掌握其各大模型及相應(yīng)的輔助線作法，且輔助線是大部分學(xué)生學(xué)習(xí)幾何內(nèi)容中的弱點(diǎn)，，本專題就角平分線的非全等類模型作相應(yīng)的總結(jié)，需學(xué)生反復(fù)掌握。平分平行（射影）構(gòu)等腰模型、角平行線第二定理模型（內(nèi)角平分線定理和外角平分線定理模型）模型1、平分平行（射影）構(gòu)等腰1）角平分線加平行線必出等腰三角形．模型分析：由平行線得到內(nèi)錯(cuò)角相等，由角平分線得到相等的角，等量代換進(jìn)行解題．平行線、角平分線及等腰，任意由其中兩個(gè)條件都可以得出第三個(gè)。（簡稱：“知二求一”，在以后還會遇到很多類似總結(jié)）。平行四邊形中的翻折問題就常出現(xiàn)該類模型。

圖1圖2圖3條件：如圖1，OO’平分∠MON，過OO’的一點(diǎn)P作PQ//ON.結(jié)論：△OPQ是等腰三角形。條件：如圖2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分線，DE∥BC。結(jié)論：△BDE是等腰三角形。條件：如圖3，在中，平分，平分，過點(diǎn)O作的平行線與，分別相交于點(diǎn)M，N．結(jié)論：△BOM、△CON都是等腰三角形。2）角平分線加射影模型必出等腰三角形．→圖4條件：如圖4，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°.結(jié)論：三角形CEF是等腰三角形。例1．（2023·河南濮陽·統(tǒng)考二模）如圖，直線，點(diǎn)、分別在、上，以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交、于點(diǎn)、；分別以、為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)；作射線交于點(diǎn)．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．例2．（2023.湖南長沙八年級期中）如圖，點(diǎn)O為△ABC的∠ABC和∠ACB的平分線的交點(diǎn)，OD//AB交BC于點(diǎn)D，OE//AC交BC于點(diǎn)E．若AB=5cm，BC=10cm，AC=9cm，則△ODE的周長為(

)A．10cm B．9cm C．8cm D．5cm例3．（2023·重慶·八年級期末）如圖，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分線分別交ED于點(diǎn)G、F，若FG=4，ED=8，求EB+DC=．

例4.（2023.成都市青羊區(qū)八年級期中）如圖，在中，，于點(diǎn)D，的平分線BE交AD于F，交AC于E，若，，則_____________．例5．（2023.山東八年級期末）如圖①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分線交于O點(diǎn)，過O點(diǎn)作EF∥BC交AB、AC于E、F.(1)圖①中有幾個(gè)等腰三角形?猜想:EF與BE、CF之間有怎樣的關(guān)系.(2)如圖②,若AB≠AC，其他條件不變，圖中還有等腰三角形嗎?如果有，分別指出它們.在第(1)問中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在嗎?(3)如圖③，若△ABC中∠B的平分線BO與三角形外角平分線CO交于O，過O點(diǎn)作OE∥BC交AB于E，交AC于F.這時(shí)圖中還有等腰三角形嗎?EF與BE、CF關(guān)系又如何?說明你的理由.模型2、角平行線第二定理（內(nèi)角平分線定理和外角平分線定理）模型1）內(nèi)角平分線定理圖1圖2圖3條件：如圖1，在△ABC中，若AD是∠BAC的平分線。結(jié)論：2）外角平分線定理?xiàng)l件：如圖2，在△ABC中，∠BAC的外角平分線交BC的延長線于點(diǎn)D。結(jié)論：．3）奔馳模型條件：如圖3，的三邊、、的長分別是a，b，c，其三條角平分線交于點(diǎn)O，將分為三個(gè)三角形。結(jié)論：=c：a：b。例1．（2022秋·山東菏澤·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，，是的平分線，設(shè)和的面積分別是，，則．例2．（2023·廣東惠州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，的三邊，，長分別是3，4，5，其三條角平分線將分為三個(gè)三角形，則為（

）

A． B． C． D．例3．（2022秋·安徽合肥·九年級校考階段練習(xí)）閱讀下列材料，完成相應(yīng)的學(xué)習(xí)任務(wù)：已知角平分線分線段成比例定理內(nèi)容：三角形內(nèi)角平分線分對邊所得的兩條線段和這個(gè)角的兩邊對應(yīng)成比例，如圖①，在△ABC中，AD平分∠BAC，則．下面是這個(gè)定理的部分證明過程．(1)證明：如圖②，過C作CE∥DA，交BA的延長線于E．請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分．(2)你還有其他的證明方法么？如果有，另外寫出一個(gè)完整的證明過程例4、△ABC中，∠BAC的外角平分線交BC的延長線于點(diǎn)D，求證：．例5.（2022秋·北京·八年級北京八十中?？计谥校┰谥?，D是邊上的點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），連接．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)時(shí)，_____；(2)如圖2，當(dāng)平分時(shí)，若，，求的值（用含m、n的式子表示）；(3)如圖3，平分，延長到E．使得，連接，若，求的值．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023秋·湖北十堰·八年級統(tǒng)考期末）如圖，中，，點(diǎn)為各內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，若，那么的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2022秋·山西大同·八年級校考期中）如圖，的三邊、、長分別是30、40、50，和的角平分線交于O，則等于（

）A． B． C． D．3．（2023·河南開封·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在中，，，以為圓心，任意長為半徑畫弧分別交、于點(diǎn)和，再分別以、為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．是的平分線B．C．點(diǎn)在線段的垂直平分線上D．4．（2022秋·廣東八年級單元測試）如圖，在中，和的平分線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作交AB于M，交AC于N，若，則線段MN的長為A．6 B．7 C．8 D．95．（2023春·山東日照·八年級日照港中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，AF平分∠CAB，交CD于點(diǎn)E，交CB于點(diǎn)F．若AC=3，AB=5，則線段DE的長為（

）A． B．3 C． D．16．（2022秋·遼寧鞍山·八年級校聯(lián)考期中）如圖，，以點(diǎn)為圓心，小于長為半徑作圓弧，分別交，于，兩點(diǎn)，再分別以，為圓心，大于長為半徑作圓弧，兩條圓弧交于點(diǎn)，作射線，交于點(diǎn)．若，則．

7．（2023秋·湖南益陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，，是的角平分線，，相交于點(diǎn)于F，，下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③若的周長為m，，則④若，則其中正確的結(jié)論是（填寫序號）．8．（2023春·廣東深圳·八年級統(tǒng)考期中）如圖，Rt△ABC的兩直角邊AB，BC長分別為6，8，其三條角平分線交于點(diǎn)O，將△ABC分為三個(gè)三角形，則S△ABO：S△BCO：S△CAO=．9．（2023春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，、分別是的一個(gè)內(nèi)角的平分線與一個(gè)外角的平分線，過點(diǎn)作，分別交、于點(diǎn)E、F．如果四邊形的周長是16，，那么10．（2023·北京順義·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，分別是，的平分線，過點(diǎn)D作，分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)．若，，則的長為．11．（2022秋·江蘇南京·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，、分別為、上的點(diǎn)，，、的平分線分別交于點(diǎn)、，若，則的度數(shù)為．12．（2023江蘇八年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，過頂點(diǎn)A的直線DE∥BC，∠ABC，∠ACB的平分線分別交DE于點(diǎn)E、D，若AC=9，AB=12，則DE的長為．13．（2023天津市八年級期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝4cm，AD＝7cm，∠ABC的角平分線交AD于點(diǎn)E，交CD的延長線于點(diǎn)F，則DE＝cm．14．（2023·貴州·八年級統(tǒng)考期末）如圖①，在中，和的平分線交于點(diǎn)過點(diǎn)作交于交于（1）求證:是等腰三角形．（2）如圖①，猜想:線段與線段之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．（3）如圖②，若中的平分線與三角形外角的平分線交于，過點(diǎn)作交于點(diǎn)交于點(diǎn)這時(shí)圖中線段與線段之間的數(shù)量關(guān)系又如何？直接寫出答案，不說明理由．15．（2023吉林八年級月考）已知如圖，△ABC中BO、CO分別平分∠ABC、∠ACB，OD∥AB，OE∥AC，若BC=10．求△ODE的周長16．（2023湖北省黃岡市八年級月考）（1）如圖1，已知：在中，，平分，平分，過點(diǎn)作，分別交于兩點(diǎn)，則圖中共有__________個(gè)等腰三角形；與之間的數(shù)量關(guān)系是__________，的周長是__________；（2）如圖2，若將（1）中“中，”該為“若為不等邊三角形，”其余條件不變，則圖中共有__________個(gè)等腰三角形；與之間的數(shù)量關(guān)系是什么？證明你的結(jié)論，并求出的周長；17．（2023春·江蘇八年級課時(shí)練習(xí)）已知，是一條角平分線．【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1，若是的角平分線．可得到結(jié)論：．