專題11 弦圖模型鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）-（解析版）

弦圖模型鞏固練習(xí)1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b．AB＝c，將Rt△ABC繞點(diǎn)O依次旋轉(zhuǎn)90°、180°和270°，構(gòu)成的圖形如圖所示，該圖是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽制作的“勾股圓方圖”，也被稱作“趙爽弦圖”，它是我國(guó)最早對(duì)勾股定理證明的記載，也成為了2002年在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)設(shè)計(jì)的主要依據(jù)．（1）請(qǐng)你利用這個(gè)圖形證明勾股定理．（2）請(qǐng)你利用這個(gè)圖形說(shuō)明a2+b2≥2ab，并說(shuō)明等號(hào)成立的條件．（3）設(shè)a=x，b=y，代入a2+b2≥2根據(jù)你得到的結(jié)論解決下面的問(wèn)題：長(zhǎng)為x，寬為y的矩形，其周長(zhǎng)為16，請(qǐng)問(wèn)當(dāng)x，y取何值時(shí)，該矩形面積最大？最大面積是多少？【分析】（1）根據(jù)題意，我們可在圖中找等量關(guān)系，由中間的小正方形的面積等于大正方形的面積減去四個(gè)直角三角形的面積，列出等式化簡(jiǎn)即可得出勾股定理的表達(dá)式．（2）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)證明即可．（3）把a(bǔ)、b的值代入a2+b2≥2ab中，進(jìn)行計(jì)算得到a+b≥2ab．利用該結(jié)論求得當(dāng)x，y取何值時(shí)，該矩形面積最大以及其最大面積．【解答】解：（1）∵大正方形面積為c2，直角三角形面積為12ab，小正方形面積為：（b﹣a）2∴c2＝4×12ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+即c2＝a2+b2．（2）∵（a﹣b）2≥0，∴a2﹣2ab+b2≥0，∴a2+b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．（3）把a(bǔ)=x，b=y，代入a2+b2≥2ab中得到：a+b≥2依題意得：x+y＝8．則x+y≥2xy，即8≥2xy，∴xy≤16，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝4時(shí)取“＝”．∴當(dāng)x＝y(tǒng)＝4時(shí)，該矩形面積最大，最大面積是16．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了四邊形綜合題．需要學(xué)生掌握勾股定理的證明和以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，掌握三角形和正方形面積計(jì)算公式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2．如圖1，在計(jì)算陰影部分面積時(shí)，我們可以用邊長(zhǎng)為a的大正方形面積減去邊長(zhǎng)為b的小正方面積，即：S＝a2﹣b2．我們也可以把圖中陰影部分剪下一個(gè)小長(zhǎng)方形，然后按圖2把陰影部分拼接成一個(gè)長(zhǎng)為（a+b），寬為（a﹣b）的長(zhǎng)方形來(lái)計(jì)算面積，即：S＝（a+b）（a﹣b），因?yàn)殛幱安糠值拿娣e相等，我們可以得到a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），這恰好驗(yàn)證了平方差公式．（1）圖3中最大正方形的面積算法也可以驗(yàn)證一個(gè)乘法公式，請(qǐng)用含a和b的代數(shù)式寫(xiě)出這個(gè)公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2或a2+2ab+b2＝（a+b）2．（2）圖4是著名的“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)形狀大小完全一致的直角三角形拼成，每個(gè)直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)分別為a和b，斜邊長(zhǎng)為c，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽利用此圖驗(yàn)證了直角三角形的斜邊c和兩直角邊a和b之間存在一個(gè)固定的等量關(guān)系，請(qǐng)你求出關(guān)于a、b、c的關(guān)系式．【分析】（1）根據(jù)圖3的各個(gè)部分的面積可得完全平方公式；（2）通過(guò)圖中小正方形面積證明勾股定理．【解答】解：（1）由題意可得：（a+b）2＝a2+2ab+b2或a2+2ab+b2＝（a+b）2．故答案為：（a+b）2＝a2+2ab+b2或a2+2ab+b2＝（a+b）2．（2）S大正方形=c2=(b?a)2+4×12ab=b2﹣2ab+【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解的應(yīng)用，用數(shù)形結(jié)合來(lái)證明勾股定理，鍛煉了同學(xué)們的數(shù)形結(jié)合的思想方法．3．教材在探索平方差公式時(shí)利用了面積法，面積法除了可以幫助我們記憶公式，還可以直觀地推導(dǎo)或驗(yàn)證公式，俗稱“無(wú)字證明”，例如，著名的趙爽弦圖（如圖①，其中四個(gè)直角三角形較大的直角邊長(zhǎng)都為a，較小的直角邊長(zhǎng)都為b，斜邊長(zhǎng)都為c），大正方形的面積可以表示為c），也可以表示為4×12ab+（a﹣b）2，由此推導(dǎo)出重要的勾股定理：如果直角三角形兩條直角邊長(zhǎng)為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，則a2+b2＝c（1）圖②為美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”，請(qǐng)你利用圖②推導(dǎo)勾股定理．（2）如圖③，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，設(shè)BD＝x，求x的值．（3）試構(gòu)造一個(gè)圖形，使它的面積能夠解釋（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，畫(huà)在如圖4的網(wǎng)格中，并標(biāo)出字母a，b所表示的線段．【分析】（1）梯形的面積可以由梯形的面積公式求出，也可利用三個(gè)直角三角形面積求出，兩次求出的面積相等列出關(guān)系式，化簡(jiǎn)即可得證；（2）運(yùn)用勾股定理在Rt△ABD和Rt△ADC中求出AD2，列出方程求解即可；（3）畫(huà)出邊長(zhǎng)為a+b和a+2b的矩形即可．【解答】解：（1）梯形ABCD的面積為12也可以表示為12ab+1即a2+b2＝c2；（2）在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝42﹣x2＝16﹣x2；在Rt△ADC中，AD2＝AC2﹣DC2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2；所以16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2，解得x=9（3）如圖，由此可得（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理的證明與應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)定理是解答此題的關(guān)鍵．4．我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽曾用圖1證明了勾股定理，這個(gè)圖形被稱為“弦圖”.2002年在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)（ICM2002）的會(huì)標(biāo)（圖2），其圖案正是由“弦圖”演變而來(lái)．“弦圖”是由4個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形組成，恰好拼成一個(gè)大正方形請(qǐng)你根據(jù)圖1解答下列問(wèn)題：（1）敘述勾股定理（用文字及符號(hào)語(yǔ)言敘述）；（2）證明勾股定理；（3）若大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，求（a+b）2的值．【分析】（1）用文字及符號(hào)語(yǔ)言敘述勾股定理即可；（2）如圖1，根據(jù)四個(gè)全等的直角三角形的面積+小正方形的面積＝大正方形的面積，代入數(shù)值，即可證明；（3）利用（2）的結(jié)論進(jìn)行解答．【解答】解：（1）勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．在直角三角形中，兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，a2+b2＝c2．（2）∵S大正方形＝c2，S小正方形＝（b﹣a）2，4SRt△＝4×12ab＝2∴c2＝2ab+（b﹣a）2＝2ab+b2﹣2ab+a2＝a2+b2，即a2+b2＝c2．（3）∵4SRt△＝S大正方形﹣S小正方形＝13﹣1＝12，∴2ab＝12．∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝c2+2ab＝13+12＝25．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的證明．求面積時(shí)，利用了“分割法”．5．公元3世紀(jì)初，我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理的圖形稱為“弦圖”．1876年美國(guó)總統(tǒng)Garfeild用圖1（點(diǎn)C、點(diǎn)B、點(diǎn)C′三點(diǎn)共線）進(jìn)行了勾股定理的證明．△ACB與△BC′B′是一樣的直角三角板，兩直角邊長(zhǎng)為a，b，斜邊是c．請(qǐng)用此圖證明勾股定理．拓展應(yīng)用l：如圖2，以△ABC的邊AB和邊AC為邊長(zhǎng)分別向外做正方形ABFH和正方形ACED，過(guò)點(diǎn)F、E分別作BC的垂線段FM、EN，則FM、EN、BC的數(shù)量關(guān)系是怎樣？直接寫(xiě)出結(jié)論FM+EN＝BC．拓展應(yīng)用2：如圖3，在兩平行線m、n之間有一正方形ABCD，已知點(diǎn)A和點(diǎn)C分別在直線m、n上，過(guò)點(diǎn)D作直線l∥n∥m，已知l、n之間距離為1，l、m之間距離為2．則正方形的面積是5．【分析】用a、b、c表示三角形與梯形的面積，再根據(jù)梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積和便可得結(jié)論；拓展1．過(guò)點(diǎn)A作AP⊥BC于點(diǎn)P，再證明三角形全等便可得結(jié)論；拓展2．過(guò)點(diǎn)D作PQ⊥m，分別交m于點(diǎn)P，交n于點(diǎn)Q，然后證明三角形全等，轉(zhuǎn)化線段，再用勾股定理解答【解答】解：∵點(diǎn)C、點(diǎn)B、點(diǎn)B′三點(diǎn)共線，∠C＝∠C′＝90°∴四邊形ACC′B′是直角梯形，∵△ACB與△BC′B′是一樣的直角三角板，∴Rt△ACB≌Rt△BC′B′，∴∠CAB＝∠C′BB′，AB＝BB′，∴∠CBA+∠C′BB’＝90°∴△ABB′是等腰直角三角形，所以S梯形ACC′B′＝（AC+B′C′）?CC′÷2=(a+bS△ACB=12AC?BC=12ab，S△BC′B′=12所以(a+b)a2+2ab+b2＝ab+ab+c2，∴a2+b2＝c2；拓展1．過(guò)A作AP⊥BC于點(diǎn)P，則∠BMF＝∠APB＝90°，∵∠ABF＝90°，∴∠BFM+∠MBF＝∠MBF+∠ABP，∴∠BFM＝∠ABP，在△BMF和△ABP中，∠BFM=∠ABP∠BMF=∠APB=90°∴△BMF≌△ABP（AAS），∴FM＝BP，同理，EN＝CP，∴FM+EN＝BP+CP，即FM+EN＝BC，故答案為：FM+EN＝BC；拓展2．過(guò)點(diǎn)D作PQ⊥m，分別交m于點(diǎn)P，交n于點(diǎn)Q，如圖3，則∠APD＝∠ADC＝∠CQD＝90°，∴∠ADP+∠DAP＝∠ADP+∠CDQ＝90°，∴∠DAP＝∠CDQ，在△APD和△DQC中，∠DAP=∠CDQ∠APD=∠DQC∴△APD≌△DQC（AAS），∴AP＝DQ＝2，∵PD＝1，∴AD2＝22+12＝5，∴正方形的面積為5，故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題是勾股定理的探究與應(yīng)用，主要考查了勾股定理的性質(zhì)及應(yīng)用，正方形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形和直角三角形．6．通過(guò)整式乘法的學(xué)習(xí)，我們進(jìn)一步了解了利用圖形面積來(lái)說(shuō)明法則、公式等的正確性的方法，例如利用圖甲可以對(duì)平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2給予解釋．圖乙中的△ABC是一個(gè)直角三角形，∠C＝90°，人們很早就發(fā)現(xiàn)直角三角形的三邊a，b，c滿足a2+b2＝c2的關(guān)系．圖丙是2002年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)徽，選定的是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽用來(lái)證明勾股定理的弦圖，弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形．如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的較短直角邊長(zhǎng)為a，較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為b，求出（a+b）2的值．【分析】根據(jù)勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面積，然后求四個(gè)直角三角形的面積，即可得到ab的值，然后根據(jù)（a+b）2＝a2+2ab+b2即可求解．【解答】解：根據(jù)勾股定理可得a2+b2＝13，四個(gè)直角三角形的面積是：12ab×4＝13﹣1＝12，即2ab則（a+b）2＝a2+2ab+b2＝13+12＝25．故（a+b）2的值為25．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理，以及完全平方式，正確根據(jù)圖形的關(guān)系求得a2+b2和ab的值是關(guān)鍵．7．下圖是“弦圖”，請(qǐng)將“弦圖”中的四個(gè)直角三角形通過(guò)你所學(xué)過(guò)的圖形變換，在以下方格紙中設(shè)計(jì)另兩個(gè)不同的圖案．畫(huà)圖要求：（1）每個(gè)直角三角形的頂點(diǎn)均在方格紙的格點(diǎn)上，且四個(gè)三角形不重疊；（2）所設(shè)計(jì)的圖案（不含方格紙）必須是中心對(duì)稱圖形或軸對(duì)稱圖形．【分析】依據(jù)題目所給的條件，可以利用圖形的旋轉(zhuǎn)4次，得出圖形即可，也可以利用軸對(duì)稱作出圖象即可．【解答】解：如圖所示：答案不唯一．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)或者軸對(duì)稱設(shè)計(jì)方案，關(guān)鍵是理解旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱的概念，按照要求作圖．8．圖1是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的．若AC