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學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精本講檢測(cè)一、選擇題(每小題5分,共60分)1。如圖1—9,在△ABC中,∠BAC=90°,D是BC的中點(diǎn),AE⊥AD交CB延長(zhǎng)線于E,則結(jié)論正確的是()圖1-9A?!鰽ED∽△ACBB.△AEB∽△ACDC.△BAE∽△ACED?!鰽EC∽△DAC解析:∵D是BC的中點(diǎn),∴AD=BC=BD=DC?!唷螦BD=∠BAD?!摺螮AB+∠BAD=90°,∠C+∠ABD=90°,∴∠EAB=∠C.∴△BAE∽△ACE。答案:C2.如圖1-10,DE是△ABC的中位線,F(xiàn)G為梯形BCED的中位線,若DE=4,則FG等于()圖1-10A.6B。8C.10解析:∵DE是△ABC中位線,∴DE∥BC?!逨G是梯形BCED中位線,∴FG∥DE.∴==?!郌G=DE=×4=6。答案:A3?!鰽BC的三邊長(zhǎng)分別為,2,△A′B′C′的四邊長(zhǎng)分別為1和。如果△ABC∽△A′B′C′,那么△A′B′C′的第三邊長(zhǎng)為()A。B.C.D.解析:∵,∴設(shè)第三邊長(zhǎng)為x,則,∴x=2。答案:A4。如圖1—11,D是△ABC的AB邊上的一點(diǎn),要使△ACD∽△ABC,則它們還必須具備的條件是()圖1—11A.AC∶CD=AB∶BCB.CD∶AD=BC∶ACC。CD2=AD·DBD.AC2=AD·AB解析:若使兩三角形相似,已含公共角A,則需夾此角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例.∵AC2=AD·AB,∴=。又∠A是公共角,∴△ACD∽△ABC。答案:D5。如圖1—12,△ABC中,DE∥BC,AD∶DB=1∶2,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()圖1-12A.=B。=C.=D.=解析:∵DE∥BC,∴==.∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC.∴==.∴=()2=,故C錯(cuò)誤.而=正確.答案:C6.如圖1-13,已知ABCD是正方形,E是CD的中點(diǎn),P是BC邊上的一點(diǎn),下列條件,不能推出△ABP與△ECP相似的是()圖1—13A?!螦PB=∠EPCB?!螦PE=90°C。P是BC的中點(diǎn)D.BP∶BC=2∶3解析:∵ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠C=90°。當(dāng)A成立時(shí),∠APB=∠EPC,有△ABP∽△ECP;當(dāng)∠APE=90°時(shí),也可證出∠APB=∠PEC?!唷鰽BP∽△ECP也成立.當(dāng)BP∶BC=2∶3時(shí),可以推出PC∶BP=1∶2,而EC∶AB=1∶2,又∠B=∠C=90°,∴△ABP∽△ECP。當(dāng)P是BC的中點(diǎn)時(shí),無法推出△ABP∽△ECP.答案:C7。如圖1-14,在正方形ABCD中,E是BC的中點(diǎn),F(xiàn)是CD上一點(diǎn),AE⊥EF,則下列結(jié)論正確的是()圖1—14A?!螧AE=30°B。CE2=AB·CFC。CF=CDD?!鰽BE∽△AEF解析:∵ABCD是正方形,∴∠B=∠C=90°?!摺?+∠3=90°,∠2+∠3=90°,∴∠1=∠2。∴△ABE∽△ECF.∴?!郋C·BE=AB·CF?!逧是BC中點(diǎn),BE=CE,∴CE2=AB·CF。而其他結(jié)論均無法推出。答案:B8.如圖1—15,等腰直角△ABC中,AD是直角邊BC上的中線,BE⊥AD,交AC于E,EF⊥BC,若AB=BC=a,則EF等于()圖1—15A。aB.aC.aD。a解析:設(shè)EF為x,∵△ABC為等腰直角三角形,EF⊥BC,∴△EFC為等腰直角三角形.∴BF=BC—CF=a-x.在Rt△ABD中,∠BAD+∠BDA=90°,∠DBH+∠BDA=90°.∴∠BAD=∠DBE.∴△ABD∽△BFE。∴?!?解得x=a.答案:A9。如圖1-16,已知AD是△ABC的中線,E是AD上的一點(diǎn),CE交AB于F,且=,則等于()圖1-16A。B.C。D。解析:過D作DG∥CF,∵CD=BD,∴FG=GB.∵EF∥DG,∴==。∴==.答案:B10.如圖1-17,ABCD中,E是BC上一點(diǎn),BE∶EC=2∶3,AE交BD于F,則BF∶FD等于()圖1-17A。2∶5B.3∶5C.2∶3解析:∵BE∶EC=2∶3,∴BE∶BC=2∶5。又∵ABCD中,ADBC,∴BE∶AD=2∶5.△BEF∽△DAF.∴BF∶FD=BE∶AD=2∶5。答案:A11。若m=,則m的值為()A。B。—1C.或-1D。解析:當(dāng)x+y+z=0時(shí),m==—1.當(dāng)x+y+z≠0時(shí),m=。答案:C12.如圖1-18,梯形ABCD,AB∥CD,E是對(duì)角線AC和BD的交點(diǎn),S△DEC∶S△DBC=1∶3,則S△DCE∶S△ABD為()圖1—18A.1∶5B.1∶6C.1∶7解析:∵△DEC與△DBC同高,∴S△DEC∶S△DBC=DE∶DB=1∶3?!逥C∥AB,∴△DCE∽△BAE?!?()2=.又△DEC與△ADE同高,∴=。∴S△DCE∶S△ABD=1∶6.答案:B二、填空題(每小題4分,共16分)13.兩個(gè)相似三角形的面積比是1∶2,則它的外接圓面積之比是___________。解析:三角形面積比等于相似比的平方,而相似三角形外接圓面積之比也等于相似比的平方.答案:1∶214。如圖1—19,已知DE∥BC,DF∥AC,AD=4,BD=8,DE=5,則BF=____________.圖1-19解析:∵DE∥BC,DF∥AC,∴DECF是平行四邊形.∴FC=DE=5.∵DF∥AC,∴=,即?!郆F=10。答案:1015.如圖1—20,已知△ABC中,AD是BC邊上的中線,F是AD上一點(diǎn),且AF∶FD=1∶5,連結(jié)CF并延長(zhǎng)交AB于E,則AE∶EB=___________。圖1-20解析:過D作DH∥CE交AB于H,∵DH∥EF,∴=1∶5.∵DH∥CE,D為中點(diǎn),∴HE=HB?!郃E∶EB=1∶10.答案:1∶1016.已知在梯形ABCD中,AB∥CD,對(duì)角線相交于O,△AOB與△COD的面積分別為p2和q2,則梯形ABCD的面積是___________。圖1-21解析:∵DC∥AB,∴△COD∽△AOB.∴=()2?!?()2?!?.∵=,=,∴S△AOD=pq。同理,S△BOC=pq。∴S梯形ABCD=S△COD+S△AOD+S△BOC+S△AOB=q2+pq+pq+p2=(p+q)2。答案:(p+q)2三、解答題(共74分)17.(12分)如圖1—22,已知ABCD中,P為對(duì)角線BD上的點(diǎn),過P作直線分別交BA、BC的延長(zhǎng)線于Q、R,交CD、AD于S、T,求證:PQ·PT=PR·PS.圖1—22證明:∵AB∥CD,∴=.∵TD∥BR,∴=?!?.∴PQ·PT=PR·PS.18。(12分)如圖1-23,延長(zhǎng)正方形AEDC的邊DC到B,連結(jié)BE交AC于F,作FG∥BD,交AB于G.求證:GF=FC。圖1-23證明:∵FC∥ED,∴=.∵GF∥AE,∴=。∴=?!逜BCD為正方形,∴AE=ED.∴GF=FC。19。(12分)在△ABC中,M是AC的中點(diǎn),E是AB上一點(diǎn),且AE=AB,連結(jié)EM并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于D,求證:BC=2CD。圖1—24證明:過C作CF∥DE,交AB于F,∴=,?!郃M=MC,∴EF=AE=AB?!郆F=AB?!?2?!?2.∴BC=2CD。20.(12分)如圖1—25,已知C是線段AB上一點(diǎn),△ACD與△BCE是兩個(gè)等邊三角形,AE交CD于G,BD交CE于H,求證:GH∥AB.圖1—25證明:∵△ACD與△BCE是等邊三角形,∴∠ACD=∠CBE=60°?!郉C∥BE?!?,=.∵BC=BE,AC=DC,∴=。∴=?!郍H∥AB.21。(12分)如圖1-26,已知AE、AF分別為△ABC的內(nèi)外角平分線,O為EF中點(diǎn),求證:=。圖1—26證明:∵AE、AF分別是△ABC的內(nèi)外角平分線,∴AE⊥AF?!逴為EF的中點(diǎn),∴OA=OE,∠OEA=∠OAE.∵∠OAE=∠CAE+∠OAC,∠OEA=∠B+∠BAE,∠BAE=∠CAE,∴∠OAC=∠B。又∵∠BOA=∠AOC,∴△OBA∽△OAC.∴=.又∵=,∴=.22。(14分)如圖1—27,在△ABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),沿AB以每秒4cm的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā),沿CA以每秒3cm的速度向A運(yùn)動(dòng)。設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x.(1)當(dāng)x為何值時(shí),PQ∥BC.(2)當(dāng)=時(shí),求。(3)△APQ能否與△CQB相似?若能,求出AP的長(zhǎng)
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