高一數(shù)學下冊期末考點大串講(人教A版)第2講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用(專題測試)特訓（學生版+解析）

必修5第2講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用（專題測試）第Ⅰ卷（選擇題）一．選擇題（共10小題）1．（2020?長春二模）在△ABC中，C＝30°，cosA＝﹣，AC＝﹣2，則AC邊上的高為（）A． B．2 C． D．2．（2020?南昌一模）臺球是一項國際上廣泛流行的高雅室內(nèi)體育運動，也叫桌球（中國粵港澳地區(qū)的叫法）、撞球（中國臺灣地區(qū)的叫法）．控制撞球點、球的旋轉(zhuǎn)等控制母球走位是擊球的一項重要技術(shù)，一次臺球技術(shù)表演節(jié)目中，在臺球桌上，畫出如圖正方形ABCD，在點E，F(xiàn)處各放一個目標球，表演者先將母球放在點A處，通過擊打母球，使其依次撞擊點E，F(xiàn)處的目標球，最后停在點C處，若AE＝30cm，EF＝40cm，F(xiàn)C＝30cm，∠AEF＝∠CFE＝60°，則該正方形的邊長為（）A．40cm B．15cm C．20cm D．10cm3．（2019秋?濮陽期末）某船從A處向東偏北30°方向航行千米后到達B處，然后朝西偏南60°的方向航行6千米到達C處，則A處與C處之間的距離為（）A．千米 B．千米 C．3千米 D．6千米4．（2020?漳州模擬）如圖，在△ABC中，D是邊AC上的點，且AB＝AD，2AB＝BD，BC＝2BD，則sinC的值為（）A． B． C． D．5．（2019春?瓊山區(qū)校級期中）在銳角三角形△ABC中，A、B、C成等差數(shù)列，b＝1，則a+c的取值范圍（）A．（1，2] B．（0，1） C． D．6．（2020?南充模擬）如圖，《九章算術(shù)》中記載了一個“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？意思是：有一根竹子，原高一丈（1丈＝10尺），蟲傷有病，一陣風將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離原竹子三尺遠，問折斷處離地面的高？（）A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺7．（2020?襄城區(qū)校級模擬）在△ABC中，|AC|＝2，|AB|＝2，∠BAC＝120°，＝λ，＝μ，M為線段EF的中點，若||＝1，則λ+μ的最大值為（）A． B． C．2 D．8．（2019秋?湖北期末）2002年8月在北京召開的國際數(shù)學家大會會標取材于我國古代數(shù)學家趙爽的《勾股圓方圖》，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形（如圖所示）．已知大正方形邊長為10，小正方形邊長為2．設(shè)較小直角邊a所對的角為α，則tanα的值為（）A． B． C． D．9．（2020?遼寧一模）如圖所示，為了測量A，B處島嶼的距離，小明在D處觀測，A，B分別在D處的北偏西15°、北偏東45°方向，再往正東方向行駛40海里至C處，觀測B在C處的正北方向，A在C處的北偏西60°方向，則A，B兩處島嶼間的距離為（）A．海里 B．海里 C．海里 D．40海里10．（2020春?臨淄區(qū)校級月考）某觀測站C在目標A的南偏西25°方向，從A出發(fā)有一條南偏東35°走向的公路，在C處測得與C相距31km的公路B處有一個人正沿著此公路向A走去，走20km到達D，此時測得CD距離為21km，若此人必須在20分鐘內(nèi)從D處到達A處，則此人的最小速度為（）A．30km/h B．45km/h C．14km/h D．15km/h

第Ⅱ卷（非選擇題）二．填空題（共4小題）11．（2019秋?張家口月考）如圖，為了測量兩山頂D，C間的距離，飛機沿水平方向在A，B兩點進行測量，在A位置時，觀察D點的俯角為75°，觀察C點的俯角為30°；在B位置時，觀察D點的俯角為45°，觀察C點的俯角為60°，且AB＝km，則C，D之間的距離為km．12．（2020?大武口區(qū)校級一模）《九章算術(shù)》“勾股”章有一題：“今有二人同立．甲行率七，乙行率三，乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會，問甲乙各行幾何?”大意是說：“已知甲、乙二人同時從同一地點出發(fā)，甲的速度為7，乙的速度為3，乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇．甲、乙各走了多少步?”請問乙走的步數(shù)是13．（2020?海安市模擬）如圖，已知兩座建筑物AB，CD的高度分別為15m和9m，且AB＞BC＞CD，從建筑物AB的項部A看建筑物CD的張角為∠CAD，測得tan∠CAD＝，則B，C間的距離m．14．（2020?貴州模擬）如圖所示，在山腳A測得山頂P的仰角為∠QAP＝45°，沿傾斜角為∠QAB＝15°的斜坡向上走146.4米到達B，在B測得山頂P的仰角為∠CBP＝60°，則山高PQ＝米．（＝1.414，＝1.732，結(jié)果保留小數(shù)點后1位）三．解答題（共3小題）15．（2020?淮陰區(qū)模擬）如圖，某森林公園有一直角梯形區(qū)域ABCD，其四條邊均為道路，AD∥BC，∠ADC＝90°，AB＝5千米，BC＝8千米，CD＝3千米．現(xiàn)甲、乙兩管理員同時從A地出發(fā)勻速前往D地，甲的路線是AD，速度為6千米/小時，乙的路線是ABCD，速度為v千米/小時．（1）若甲、乙兩管理員到達D的時間相差不超過15分鐘，求乙的速度v的取值范圍；（2）已知對講機有效通話的最大距離是5千米．若乙先到達D，且乙從A到D的過程中始終能用對講機與甲保持有效通話，求乙的速度v的取值范圍．16．（2019秋?黃浦區(qū)校級月考）如圖，有一碼頭P和三個島嶼A，B，C，PC＝30nmile，PB＝90nmile，AB＝30nmile，∠PCB＝120°，∠ABC＝90°．（1）求B，C兩個島嶼間的距離；（2）某游船擬載游客從碼頭P前往這三個島嶼游玩，然后返回碼頭P，問該游船應(yīng)按何路線航行，才能使得總航程最短？求出最短航程．17．（2020春?啟東市校級月考）某大型商場為迎接新年的到來，在自動扶梯AC（AC＞5米）的C點的上方懸掛豎直高度為5米的廣告牌DE．如圖所示，廣告牌底部點E正好為DC的中點，電梯AC的坡度∠CAB＝30°．某人在扶梯上點P處（異于點C）觀察廣告牌的視角∠DPE＝θ．當人在A點時，觀測到視角∠DAE的正切值為．（1）求扶梯AC的長；（2）當某人在扶梯上觀察廣告牌的視角θ最大時，求CP的長．必修5第2講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用（專題測試）參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2020?長春二模）在△ABC中，C＝30°，cosA＝﹣，AC＝﹣2，則AC邊上的高為（）A． B．2 C． D．【解析】解：∵，∴，∴，由正弦定理有，，即，解得AB＝3，∴，即，∴，即AC邊上的高為．故選：C．【點睛】本題考查三角恒等變換與解三角形的綜合運用，涉及了正弦定理，三角形的面積公式等知識點，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．2．（2020?南昌一模）臺球是一項國際上廣泛流行的高雅室內(nèi)體育運動，也叫桌球（中國粵港澳地區(qū)的叫法）、撞球（中國臺灣地區(qū)的叫法）．控制撞球點、球的旋轉(zhuǎn)等控制母球走位是擊球的一項重要技術(shù)，一次臺球技術(shù)表演節(jié)目中，在臺球桌上，畫出如圖正方形ABCD，在點E，F(xiàn)處各放一個目標球，表演者先將母球放在點A處，通過擊打母球，使其依次撞擊點E，F(xiàn)處的目標球，最后停在點C處，若AE＝30cm，EF＝40cm，F(xiàn)C＝30cm，∠AEF＝∠CFE＝60°，則該正方形的邊長為（）A．40cm B．15cm C．20cm D．10cm【解析】解：如圖，連接AC交EF于點G，由對稱性可知，，在△AEG中，由余弦定理有，AG2＝AE2+EG2﹣2AE?EG?cos∠AEG＝，∴，∴，∴．故選：D．【點睛】本題考查余弦定理在解三角形中的運用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．（2019秋?濮陽期末）某船從A處向東偏北30°方向航行千米后到達B處，然后朝西偏南60°的方向航行6千米到達C處，則A處與C處之間的距離為（）A．千米 B．千米 C．3千米 D．6千米【解析】解：設(shè)A處與C處之間的距離為x千米，由余弦定理可得，則．故選：B．【點睛】本題考查三角形的解法，實際問題的解題方法，考查計算能力．4．（2020?漳州模擬）如圖，在△ABC中，D是邊AC上的點，且AB＝AD，2AB＝BD，BC＝2BD，則sinC的值為（）A． B． C． D．【解析】解：設(shè)BD＝a，則由題意可得：BC＝2a，AB＝AD＝a，在△ABD中，由余弦定理得：cosA＝＝＝，∴sinA＝＝，在△ABC中，由正弦定理得，＝，即＝，解得：sinC＝，故選：D．【點睛】此題考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．5．（2019春?瓊山區(qū)校級期中）在銳角三角形△ABC中，A、B、C成等差數(shù)列，b＝1，則a+c的取值范圍（）A．（1，2] B．（0，1） C． D．【解析】解：根據(jù)題意，銳角三角形△ABC中，A、B、C成等差數(shù)列，即A+C＝2B，則有B＝，又由b＝1，則＝＝，則＝＝，則a＝sinA，c＝sinC，則有a+c＝（sinA+sinC）＝[sinA+sin（﹣A）]＝[sinA+sincosA+cossinA）]＝×[sinA+cosA]＝2sin（A+），又由＜A＜，則＜A+＜，則有＜a+c≤2，即a+c的取值范圍為（，2]；故選：C．【點睛】本題考查正弦定理的應(yīng)用以及三角函數(shù)的恒等變形，涉及等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．6．（2020?南充模擬）如圖，《九章算術(shù)》中記載了一個“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？意思是：有一根竹子，原高一丈（1丈＝10尺），蟲傷有病，一陣風將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離原竹子三尺遠，問折斷處離地面的高？（）A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺【解析】解：如圖，已知AC+AB＝10（尺），BC＝3（尺），AB2﹣AC2＝BC2＝9，所以（AB+AC）（AB﹣AC）＝9，解得AB﹣AC＝0.9，因此，解得，故折斷后的竹干高為4.55尺，故選：A．【點睛】本題考查三角形的勾股定理的運用，考查方程思想和運算能力，屬于基礎(chǔ)題．7．（2020?襄城區(qū)校級模擬）在△ABC中，|AC|＝2，|AB|＝2，∠BAC＝120°，＝λ，＝μ，M為線段EF的中點，若||＝1，則λ+μ的最大值為（）A． B． C．2 D．【解析】解：建立如圖所示坐標系；則A（0，0），C（2，0），B（﹣1，）；∵＝λ，＝μ，∴E（﹣λ，λ），F(xiàn)（2μ，0）；∴M（μ﹣，λ）；∴||＝1?（μ﹣）2+＝1?μ2﹣λμ+λ2＝1；①令λ+μ＝t，則λ＝t﹣μ代入①整理可得：3μ2﹣3μt+t2﹣1＝0；△＝（﹣3t）2﹣4×3×（t2﹣1）≥0?﹣2≤t≤2；∴λ+μ的最大值為2．故選：C．【點睛】本題主要考察三角形中的有關(guān)數(shù)據(jù)的求解，本題建立坐標系把問題給坐標化，屬于中檔題目．8．（2019秋?湖北期末）2002年8月在北京召開的國際數(shù)學家大會會標取材于我國古代數(shù)學家趙爽的《勾股圓方圖》，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形（如圖所示）．已知大正方形邊長為10，小正方形邊長為2．設(shè)較小直角邊a所對的角為α，則tanα的值為（）A． B． C． D．【解析】解：由題意可得：a+2＝b，a2+b2＝102，解得a＝6，b＝8．∴tanα＝＝＝．故選：B．【點睛】本題考查了勾股定理、三角函數(shù)，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．9．（2020?遼寧一模）如圖所示，為了測量A，B處島嶼的距離，小明在D處觀測，A，B分別在D處的北偏西15°、北偏東45°方向，再往正東方向行駛40海里至C處，觀測B在C處的正北方向，A在C處的北偏西60°方向，則A，B兩處島嶼間的距離為（）A．海里 B．海里 C．海里 D．40海里【解析】解：連接AB，由題意可知CD＝40，∠ADC＝105°，∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，∴∠CAD＝45°，∠ADB＝60°，在△ACD中，由正弦定理得，∴AD＝20，在Rt△BCD中，∵∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∴BD＝CD＝40．在△ABD中，由余弦定理得AB＝＝20．故選：A．【點睛】本題考查了解三角形的應(yīng)用，合理選擇三角形，利用正余弦定理計算是關(guān)鍵，屬于中檔題．10．（2020春?臨淄區(qū)校級月考）某觀測站C在目標A的南偏西25°方向，從A出發(fā)有一條南偏東35°走向的公路，在C處測得與C相距31km的公路B處有一個人正沿著此公路向A走去，走20km到達D，此時測得CD距離為21km，若此人必須在20分鐘內(nèi)從D處到達A處，則此人的最小速度為（）A．30km/h B．45km/h C．14km/h D．15km/h【解析】解：如圖，易知∠CAD＝25°+35°＝60°，BC＝31，BD＝20，CD＝21，由余弦定理可得cosB＝＝，∴sinB＝．又在△ABC中，由正弦定理得：AC＝＝24．由余弦定理得BC2＝AC2+AB2﹣2AC?ABcosA，即312＝AB2+242﹣2×AB×24cos60°，∴AB2﹣24AB﹣385＝0，解得：AB＝35或AB＝﹣11（舍去），∴AD＝AB﹣BD＝35﹣20＝15（km）．此人必須在20分鐘內(nèi)從D處到達A處，則此人的最小速度為45km/小時．故選：B．【點睛】此題考查了余弦定理，正弦定理，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握正弦、余弦定理的解本題的關(guān)鍵．二．填空題（共4小題）11．（2019秋?張家口月考）如圖，為了測量兩山頂D，C間的距離，飛機沿水平方向在A，B兩點進行測量，在A位置時，觀察D點的俯角為75°，觀察C點的俯角為30°；在B位置時，觀察D點的俯角為45°，觀察C點的俯角為60°，且AB＝km，則C，D之間的距離為km．【解析】解：如上圖所示：在A位置時，觀察D點的俯角為75°，觀察C點的俯角為30°；在B位置時，觀察D點的俯角為45°，觀察C點的俯角為60°，所以∠DAC＝45°，∠CAB＝30°，∠ABD＝45°，∠DBC＝75°，所以在△ABC中，利用三角形內(nèi)角和定理解得∠ACB＝30°，所以△ABC為等腰三角形，故AB＝BC＝，∠ABC＝120°，所以在△ABC中，利用余弦定理AC2＝AB2+BC2﹣2?AB?BC?cos∠ABC，解得．在△ABD中，利用正弦定理，解得AD＝2，在△ADC中利用余弦定理DC2＝AD2+AC2﹣2?AD?AC?cos∠DAC，所以．故答案為：．【點睛】本題考查的知識要點：正弦定理余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用，主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型．12．（2020?大武口區(qū)校級一模）《九章算術(shù)》“勾股”章有一題：“今有二人同立．甲行率七，乙行率三，乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會，問甲乙各行幾何?”大意是說：“已知甲、乙二人同時從同一地點出發(fā)，甲的速度為7，乙的速度為3，乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇．甲、乙各走了多少步?”請問乙走的步數(shù)是【解析】解：設(shè)甲、乙相遇經(jīng)過的時間為x，如圖：則AC＝3x，AB＝10，BC＝7x﹣10，∵A＝90°，∴BC2＝AB2+AC2，即（7x﹣10）2＝102+（3x）2，解得x＝或x＝0（舍去），∴AC＝3x＝，故答案為：．【點睛】本題考查勾股定理的實際應(yīng)用，畫出圖象是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．13．（2020?海安市模擬）如圖，已知兩座建筑物AB，CD的高度分別為15m和9m，且AB＞BC＞CD，從建筑物AB的項部A看建筑物CD的張角為∠CAD，測得tan∠CAD＝，則B，C間的距離12m．【解析】解：過A作AE∥BC，交CD的延長線于E，設(shè)∠EAD＝α，∠CAD＝β，由題意可得，AB＝15，CD＝9，DE＝6，tanβ＝，AE＝BC＝x，Rt△ADE中，tan，tanβ＝，Rt△ABC中，∠BCD＝α+β，tan（α+β）＝＝，整理可得，2x2﹣39x+180＝0，解可得x＝12或x＝，因為BC＞CD＝9，故BC＝12，故答案為：12．【點睛】考查了解三角形的實際應(yīng)用．解這類題的關(guān)鍵是建立數(shù)學模型，設(shè)出恰當?shù)慕牵疾閮山呛团c差的三角函數(shù)，考查計算能力．14．（2020?貴州模擬）如圖所示，在山腳A測得山頂P的仰角為∠QAP＝45°，沿傾斜角為∠QAB＝15°的斜坡向上走146.4米到達B，在B測得山頂P的仰角為∠CBP＝60°，則山高PQ＝282.8米．（＝1.414，＝1.732，結(jié)果保留小數(shù)點后1位）【解析】解：∠PAB＝∠PAQ﹣∠BAQ＝45°﹣15°＝30°，∠APB＝∠QPA﹣∠CPA＝45°﹣（90°﹣60°）＝15°．∠ABP＝180°﹣（∠PAB+∠APB）＝135°，在△PAB中，由正弦定理得＝，即AP＝＝＝＝＝，PQ＝APsin∠PAQ＝×＝282.8（米）．故答案為：282.8．【點睛】本題考查解三角形，考查正弦定理的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與運算能力，屬于中檔題．三．解答題（共3小題）15．（2020?淮陰區(qū)模擬）如圖，某森林公園有一直角梯形區(qū)域ABCD，其四條邊均為道路，AD∥BC，∠ADC＝90°，AB＝5千米，BC＝8千米，CD＝3千米．現(xiàn)甲、乙兩管理員同時從A地出發(fā)勻速前往D地，甲的路線是AD，速度為6千米/小時，乙的路線是ABCD，速度為v千米/小時．（1）若甲、乙兩管理員到達D的時間相差不超過15分鐘，求乙的速度v的取值范圍；（2）已知對講機有效通話的最大距離是5千米．若乙先到達D，且乙從A到D的過程中始終能用對講機與甲保持有效通話，求乙的速度v的取值范圍．【解析】解：（1）由題意，可得AD＝12千米．由題可知|﹣|≤，解得≤v≤．（2）經(jīng)過t小時，甲、乙之間的距離的平方為f（t）．由于先乙到達D地，故＜2，即v＞8．①當0＜vt≤5，即0＜t≤時，f（t）＝（6t）2+（vt）2﹣2×6t×vt×cos∠DAB＝（v2﹣v+36）t2．因為v2﹣v+36＞0，所以當t＝時，f（t）取最大值，所以（v2﹣v+36）×（）2≤25，解得v≥．②當5＜vt≤13，即＜t≤時，f（t）＝（vt﹣1﹣6t）2+9＝（v﹣6）2（t﹣）2+9．因為v＞8，所以＜，（v﹣6）2＞0，所以當t＝時，f（t）取最大值，所以（v﹣6）2（﹣））2+9≤25，解得≤v≤．③當13≤vt≤16，≤t≤時，f（t）＝（12﹣6t）2+（16﹣vt）2，因為12﹣6t＞0，16﹣vt＞0，所以當f（t）在（，）遞減，所以當t＝時，f（t）取最大值，（12﹣6×）2+（16﹣v×）2≤25，解得≤v≤．因為v＞8，所以8＜v≤．【點睛】本