高一數(shù)學(xué)下冊期末考點(diǎn)大串講(人教A版)第1講正弦定理和余弦定理(專題測試)特訓(xùn)（學(xué)生版+解析）

必修5第1講正弦定理和余弦定理（專題測試）第Ⅰ卷（選擇題）一．選擇題（共10小題）1．（2020?4月份模擬）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，A＝，B＝，c＝3，則a＝（）A． B．2 C．3 D．42．（2020?涪城區(qū)校級模擬）在△ABC中∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c．若a＝3，b＝4，∠C＝120°，則c＝（）A．37 B．13 C． D．3．（2020春?全國月考）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a+2c＝2bcosA，則角B的大小為（）A． B． C． D．4．（2020?興慶區(qū)校級一模）在三角形ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若b＝1，c＝，則S△ABC＝（）A． B． C． D．5．（2020?重慶模擬）在△ABC中，，BC＝2，則△ABC外接圓的面積為（）A．π B．3π C．4π D．9π6．（2020春?成都期中）在△ABC中，a＝2bcosC，則這個三角形一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角 D．等腰或直角三角形7．（2020?汕頭一模）△ABC中，角A，B，C所對應(yīng)的分別為a，b，c，且（a+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC，若a＝2，則△ABC的面積的最大值是（）A．1 B． C．2 D．28．（2020?馬鞍山二模）已知△ABC外接圓面積為π，cosA＝﹣，則△ABC周長的最大值為（）A． B． C．3 D．9．（2020?全國Ⅰ卷模擬）在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，BC＝CD，則∠ADB的最大值為（）A． B． C． D．10．（2020?貴州模擬）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c滿足b2+c2﹣a2＝bc，a＝，則b+c的取值范圍是（）A．（1，） B．（] C．（） D．（]

第Ⅱ卷（非選擇題）二．填空題（共4小題）11．（2020?東莞市模擬）△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若acosB＝bsinA，則B＝．12．（2020?北京模擬）在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，則cosA＝，△ABC的面積為．13．（2020?漢中模擬）在三棱錐P﹣ABC中，AB＝BC＝8，∠ABC＝120°，D為AC的中點(diǎn)，PD⊥平面ABC，且PD＝8，則三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積為．14．（2020?山東模擬）已知f（x）＝，A，B，C是銳角△ABC的三個內(nèi)角，且）f（A﹣）＝，則A＝，若BC＝，sinB＝，則AC的長度為．三．解答題（共3小題）15．（2020?黑龍江模擬）設(shè)a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊．已知acosB＝bcosA+c，（1）證明：△ABC是直角三角形．（2）若D是AC邊上一點(diǎn)，且CD＝3，BD＝5，BC＝6，求△ABD的面積．16．（2020?房山區(qū)一模）在△ABC中，a＝，c＝，________．（補(bǔ)充條件）（Ⅰ）求△ABC的面積；（Ⅱ）求sin（A+B）．從①b＝4，②cosB＝﹣，③sinA＝這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在上面問題中并作答．17．（2020?達(dá)州模擬）△ABC的內(nèi)角A，B，C對邊分別為a，b，c，（2a+c）cosB+bcosC＝0．（1）求B；（2）若c＝2，B的角平分線BD＝1，求△ABC的面積S△ABC．必修5第1講正弦定理和余弦定理（專題測試）參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2020?4月份模擬）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，A＝，B＝，c＝3，則a＝（）A． B．2 C．3 D．4【解析】解：∵A＝，B＝，∴C＝，∵c＝3，由正弦定理可得，，則a＝＝＝3．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題、2．（2020?涪城區(qū)校級模擬）在△ABC中∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c．若a＝3，b＝4，∠C＝120°，則c＝（）A．37 B．13 C． D．【解析】解：因?yàn)閍＝3，b＝4，∠C＝120°，由余弦定理可得，c2＝a2+b2﹣2abcosC＝9＝37．故c＝．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理在求解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題．3．（2020春?全國月考）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a+2c＝2bcosA，則角B的大小為（）A． B． C． D．【解析】解：因?yàn)閍+2c＝2bcosA＝2b整理可得，a2+c2﹣b2＝﹣ac，由余弦定理可得，cosB＝﹣則B＝．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理在求解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題．4．（2020?興慶區(qū)校級一模）在三角形ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若b＝1，c＝，則S△ABC＝（）A． B． C． D．【解析】解：由余弦定理可得，cosC＝，即﹣＝，解可得a＝1，則S△ABC＝＝＝．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理及三角形的面積公式的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題．5．（2020?重慶模擬）在△ABC中，，BC＝2，則△ABC外接圓的面積為（）A．π B．3π C．4π D．9π【解析】解：設(shè)△ABC外接圓的半徑為r，由正弦定理可得：，可得r＝2．可得△ABC外接圓的面積為4π．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用，考查了圓的面積公式，屬于基礎(chǔ)題．6．（2020春?成都期中）在△ABC中，a＝2bcosC，則這個三角形一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角 D．等腰或直角三角形【解析】解：∵，又∵cosC＝，∴＝，整理可得：b2＝c2，∴解得：b＝c．即三角形一定為等腰三角形．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．7．（2020?汕頭一模）△ABC中，角A，B，C所對應(yīng)的分別為a，b，c，且（a+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC，若a＝2，則△ABC的面積的最大值是（）A．1 B． C．2 D．2【解析】解：由（a+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC，利用正弦定理可得：（a+b）（a﹣b）＝（c﹣b）c，即a2＝b2+c2﹣bc，所以由余弦定理可得：cosA＝＝，而A∈（0，π），所以A＝；因?yàn)閍＝2，所以可得：4＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，即bc≤4，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝2時(shí)，取等號，所以S△ABC＝bcsinA≤×4×＝，即△ABC面積的最大值為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．8．（2020?馬鞍山二模）已知△ABC外接圓面積為π，cosA＝﹣，則△ABC周長的最大值為（）A． B． C．3 D．【解析】解：∵△ABC的外接圓面積為π，∴△ABC的外接圓半徑為1，∵cosA＝﹣，∴由A∈（0，π），可得A＝，∵＝2，∴a＝2sinA＝，∵由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得3＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，∴bc≤3，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝等號成立，∴可得3＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc，可得（b+c）2＝3+3bc≤12，解得b+c≤2，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝等號成立，∴△ABC周長a+b+c的最大值為3．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．9．（2020?全國Ⅰ卷模擬）在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，BC＝CD，則∠ADB的最大值為（）A． B． C． D．【解析】解：設(shè)CD＝a，則AB＝2a，BC＝．取AB的中點(diǎn)M，延長AB到N點(diǎn)，使BN＝a，連接CM，CN，由平面幾何知識，易知AD＝MC，BD＝NC．設(shè)AD＝MC＝m，BD＝NC＝n．在△MBC中，，在△NBC中，，∴m2+n2＝8a2，在△ABD中，，又2mn≤m2+n2＝8a2，∴，∴∠ADB的最大值為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形中的余弦定理，還涉及利用基本不等式求最值的問題，作出輔助線并利用互補(bǔ)的兩個角的余弦值之和為0屬于本題的難點(diǎn)，考查學(xué)生的分析能力和邏輯推理能力，屬于中檔題．10．（2020?貴州模擬）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c滿足b2+c2﹣a2＝bc，a＝，則b+c的取值范圍是（）A．（1，） B．（] C．（） D．（]【解析】解：∵b2+c2﹣a2＝bc，∴cosA＝＝＝，∴由A∈（0，π），可得A＝，∵由正弦定理可得：＝＝＝2，∴b+c＝2sinB+2sinC＝2sinB+2sin（﹣B）＝2sinB+2（cosB+sinB）＝3sinB+cosB＝2sin（B+），∵B+C＝，∴B∈（0，），可得：B+∈（，），∴sin（B+）∈（，1]，∴b+c＝2sin（B+）∈（，2]，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理、和差公式、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．二．填空題（共4小題）11．（2020?東莞市模擬）△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若acosB＝bsinA，則B＝．【解析】解：∵acosB＝bsinA，由正弦定理可得，sinAcosB＝sinBsinA，由sinA＞0，化簡可得tanB＝，∵0＜B＜π，故B＝．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理在求解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題．12．（2020?北京模擬）在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，則cosA＝，△ABC的面積為．【解析】解：△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，由余弦定理得，cosA＝＝＝．所以sinA＝＝S△ABC＝bcsinA＝×5×6×＝．故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理和正弦定理的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．13．（2020?漢中模擬）在三棱錐P﹣ABC中，AB＝BC＝8，∠ABC＝120°，D為AC的中點(diǎn)，PD⊥平面ABC，且PD＝8，則三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積為260π．【解析】解：在△ABC中，AB＝BC＝8，∠ABC＝120°，所以△ABC的外接圓的半徑，結(jié)合圖形分析：圓心到D點(diǎn)的距離為4，另設(shè)三棱錐P﹣ABC的外接球球心到平面ABC的距離為d，設(shè)外接球的半徑為R，則△O1OB中，82+d2＝R2，直角梯形O1ODP中，PD2＝42+（8﹣d）2＝R2，解得d＝1，R2＝65，所以S＝4πR2＝260π，故答案為：260π．【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理的應(yīng)用，考查空間想象能力和思維能力，考查計(jì)算能力，是中檔題．14．（2020?山東模擬）已知f（x）＝，A，B，C是銳角△ABC的三個內(nèi)角，且）f（A﹣）＝，則A＝，若BC＝，sinB＝，則AC的長度為2．【解析】解：因?yàn)椋篺（x）＝sinx+cosx＝2sin（x+），由f（A﹣）＝，得：2sinA＝，則sinA＝，因?yàn)锳為銳角，故A＝，由正弦定理可知：，即．故答案為：，2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩角和的正弦函數(shù)公式，正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．三．解答題（共3小題）15．（2020?黑龍江模擬）設(shè)a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊．已知acosB＝bcosA+c，（1）證明：△ABC是直角三角形．（2）若D是AC邊上一點(diǎn)，且CD＝3，BD＝5，BC＝6，求△ABD的面積．【解析】解（1）由正弦定理acosB＝bcosA+c化為：sinAcosB＝sinBcosA+sinC，∴sinAcosB﹣sinBcosA＝sinC，∴sin（A﹣B）＝sinC，∵A﹣B∈（﹣π，π），C∈（0，π），∴A﹣B＝C或A﹣B＝π﹣C（舍）∴A＝B+C，∴．即△ABC是直角三角形．（2）在Rt△BCD中，CD＝3，BD＝5，BC＝6，由余弦定理得．∴．∴，∴AD＝AC﹣CD＝，又．∴．【點(diǎn)睛】本題考查正余弦定理、三角函數(shù)的定義及三角恒等變換等知識方法．要注意對這種多個三角形的解三角形問題，先將條件集中在一個三角形中挖掘隱含條件．同時(shí)考查了學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算以及直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．16．（2020?房山區(qū)一模）在△ABC中，a＝，c＝，________．（補(bǔ)充條件）（Ⅰ）求△ABC的面積；（Ⅱ）求sin（A+B）．從①b＝4，②cosB＝﹣，③sinA＝這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在上面問題中并作答．【解析】解：選擇①（Ⅰ）在△ABC中，因?yàn)?，，b＝4，由余弦定理得，因?yàn)镃∈（0，π），所以所以．（Ⅱ）在△ABC中，A+B＝π﹣C．所以．選擇②（Ⅰ）因?yàn)?，B∈（0，π），所以因?yàn)?，，所以（Ⅱ）因?yàn)?，，，由b2＝a2+c2﹣2accosB，得，解得b＝4，由，解得，在△ABC中，A+B＝π﹣C，選擇③依題意，A為銳角，由得在△ABC中，因?yàn)椋?，，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，得解得b＝2或b＝4，（Ⅰ）當(dāng)b＝2時(shí)，．當(dāng)b＝4時(shí)，．（Ⅱ）由，，，，得在△ABC中，A+B＝π﹣C，．【點(diǎn)睛】本題考查利用正余弦定理求三角形，考查推理能力及計(jì)算能力，屬于中檔題．17．（2020?達(dá)州模擬）△ABC的內(nèi)角A，B，C對邊分別為a，b，c，（2a+c）cosB+bcosC＝0．（1）求B；（2）若c＝2，B的角平分線BD＝1，求△ABC的面積S△ABC．【解析】解：（1）∵（2a+c）cosB+bcosC＝0，∴在△ABC中，由正