湖北省黃岡市巴驛中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末綜合測試試題含解析

湖北省黃岡市巴驛中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末綜合測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，已知多面體，其中是邊長為4的等邊三角形，四邊形是矩形，，平面平面，則點到平面的距離是（）A. B.C. D.2．中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則等于（）A. B.C. D.3．橢圓的短軸長為（）A.8 B.2C.4 D.4．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的，則輸入的可能為（）A.9 B.5C.4 D.35．設(shè)滿足則的最大值為A. B.2C.4 D.166．圓與圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相離C.內(nèi)切 D.外切7．某次數(shù)學(xué)考試試卷評閱采用“雙評+仲裁”的方式，規(guī)則如下：兩位老師獨立評分，稱為一評和二評，當兩者所評分數(shù)之差的絕對值小于或等于分時，取兩者平均分為該題得分；當兩者所評分數(shù)之差的絕對值大于分時，再由第三位老師評分，稱之為仲裁，取仲裁分數(shù)和一、二評中與之接近的分數(shù)的平均分為該題得分.如圖所示，當，，時，則（）A. B.C.或 D.8．函數(shù)的最小值是（）A.3 B.4C.5 D.69．某中學(xué)為了解高三男生的體能情況，通過隨機抽樣，獲得了200名男生的100米體能測試成績（單位：秒），將數(shù)據(jù)按照，，…，分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.規(guī)定成績低于13秒為優(yōu)，成績高于14.8秒為不達標.由直方圖推斷，下列選項錯誤的是（）A.直方圖中a的值為0.40B.由直方圖估計本校高三男生100米體能測試成績的眾數(shù)為13.75秒C.由直方圖估計本校高三男生100米體能測試成績?yōu)閮?yōu)的人數(shù)為54D.由直方圖估計本校高三男生100米體能測試成績?yōu)椴贿_標的人數(shù)為1810．已知圓C的方程為，點P在圓C上，O是坐標原點，則的最小值為（）A.3 B.C. D.11．不等式表示的平面區(qū)域是一個（）A.三角形 B.直角三角形C.矩形 D.梯形12．若直線與平行，則實數(shù)m等于（）A.1 B.C.4 D.0二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將數(shù)列{n}按“第n組有n個數(shù)”的規(guī)則分組如下：（1），(2，3)，(4，5，6)，…，則第22組中的第一個數(shù)是_________14．正方體的棱長為2，點為底面正方形的中心，點在側(cè)面正方形的邊界及其內(nèi)部運動，若，則點的軌跡的長度為______15．曲線在點處的切線方程為__________.16．在空間四邊形ABCD中，AD=2，BC=2，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，EF=，則異面直線AD與BC所成角的大小為____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓：的左、右焦點分別為，，離心率等于，點，且的面積等于（1）求橢圓的標準方程；（2）已知斜率存在且不為0的直線與橢圓交于A，B兩點，當點A關(guān)于y軸的對稱點在直線PB上時，直線是否過定點?若過定點，求出此定點；若不過，請說明理由18．（12分）數(shù)列滿足，，.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.19．（12分）已知函數(shù).（1）當時，討論的單調(diào)性；（2）當時，證明：.20．（12分）已知向量，（1）求；（2）求；（3）若（），求的值21．（12分）某市對排污水進行綜合治理，征收污水處理費，系統(tǒng)對各廠一個月內(nèi)排出的污水量x噸收取的污水處理費y元，運行程序如圖所示：INPUTxIFTHENELSEIFTHENELSEENDIFENDIFPRINTyEND（1）請寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）求排放污水150噸的污水處理費用.22．（10分）在平面直角坐標系中，過點且傾斜角為的直線與曲線（為參數(shù)）交于兩點.（1）將曲線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程；（2）求長.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】利用面面垂直性質(zhì)結(jié)合已知尋找兩兩垂直的三條直線建立空間直角坐標系，用向量法可解.【詳解】取的中點O，連接OB，過O在平面ACDE面內(nèi)作交DE于F∵平面平面ABC，平面ACDE平面ABC=AC，平面ACDE，∴平面ABC∴∵是邊長為4的等邊三角形，四邊形ACDE是矩形，∴以O(shè)為原點，OA，OB，OF分別為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系則，，，設(shè)平面ABD的單位法向量，，由解得取，則∴點C到平面ABD的距離.故選：C2、A【解析】由題得，進而根據(jù)余弦定理求解即可.【詳解】解：依題意，即，所以，所以，由于，所以故選：A3、C【解析】根據(jù)橢圓的標準方程求出，進而得出短軸長.【詳解】由，可得，所以短軸長為.故選：C.4、D【解析】根據(jù)輸出結(jié)果可得輸出時，結(jié)合執(zhí)行邏輯確定輸入k的可能值，即可知答案.【詳解】由，得，則輸人的可能為.∴結(jié)合選項知：D符合要求.故選：D.5、C【解析】可行域如圖,則直線過點A(0,1)取最大值2,則的最大值為4,選C.點睛：線性規(guī)劃的實質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一，準確無誤地作出可行域；二，畫目標函數(shù)所對應(yīng)的直線時，要注意與約束條件中的直線的斜率進行比較，避免出錯；三，一般情況下，目標函數(shù)的最大或最小值會在可行域的端點或邊界上取得.6、A【解析】求出兩圓的圓心及半徑，求出圓心距，從而可得出結(jié)論.【詳解】解：圓的圓心為，半徑為，圓圓心為，半徑為，則兩圓圓心距，因為，所以兩圓相交.故選：A.7、B【解析】按照框圖考慮成立和不成立即可求解.【詳解】因為，，，所以輸入，當成立時，，即，解得，，滿足條件；當不成立時，，即，解得，，不滿足條件；故.故選：B.8、D【解析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用其單調(diào)性求最小值【詳解】由，得，因為，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，故選：D9、D【解析】根據(jù)頻率之和為求得，結(jié)合眾數(shù)、頻率等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】，解得，A選項正確.眾數(shù)為，B選項正確.成績低于秒的頻率為，人數(shù)為，所以C選項正確.成績高于的頻率為，人數(shù)為人，D選項錯誤.故選：D10、B【解析】化簡判斷圓心和半徑，利用圓的性質(zhì)判斷連接線段OC，交圓于點P時最小，再計算求值即得結(jié)果.【詳解】化簡得圓C的標準方程為，故圓心是，半徑，則連接線段OC，交圓于點P時最小，因為原點到圓心的距離，故此時.故選：B.11、D【解析】作出不等式組所表示平面區(qū)域，可得出結(jié)論.【詳解】由可得或，作出不等式組所表示的平面區(qū)域如下圖中的陰影部分區(qū)域所示：由圖可知，不等式表示的平面區(qū)域是一個梯形.故選：D.12、B【解析】兩直線平行的充要條件【詳解】由于，則，.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由已知，第組中最后一個數(shù)即為前組數(shù)的個數(shù)和，由此可求得第21組的最后一個數(shù)，從而就可得第22組的第一個數(shù).【詳解】由條件可知，第21組的最后一個數(shù)為，所以第22組的第1個數(shù)為.故答案為：14、【解析】取中點，利用線面垂直的判定方法可證得平面，由此可確定點軌跡為，再計算即可.【詳解】取中點，連接，平面，平面，，又四邊形為正方形，，又，平面，平面，又平面，；由題意得：，，，，；平面，，平面，，在側(cè)面的邊界及其內(nèi)部運動，點軌跡為線段；故答案為：.15、【解析】先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率，最后根據(jù)點斜式求切線方程.【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，所以切線的斜率，切點為，則切線方程為故答案為：【點睛】易錯點睛：求曲線的切線要注意“過點P的切線”與“在點P處的切線”的差異，過點P的切線中，點P不一定是切點，點P也不一定在已知曲線上，而在點P處的切線，必以點P為切點，考查學(xué)生的運算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】由已知找到異面直線所成角的平面角，再運用余弦定理可得答案.【詳解】解：設(shè)BD的中點為O，連接EO，F(xiàn)O，所以，則∠EOF（或其補角）就是異面直線AD，BC所成的角的平面角，又因為EO=AD=1，F(xiàn)O=BC=，EF=.根據(jù)余弦定理得=-，所以∠EOF=150°，異面直線AD與BC所成角的大小為30°.故答案為：30°.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）用待定系數(shù)法求出橢圓的標準方程；（2）設(shè)直線的方程為,設(shè)，用“設(shè)而不求法”表示出和.表示出直線PB，把A關(guān)于y軸的對稱點為帶入后整理化簡，即可得到，從而可以判斷出直線恒過定點.【小問1詳解】由題意可得：，解得：，所以橢圓的標準方程為：.【小問2詳解】由題意可知,直線的斜率存在且不為0,設(shè)直線的方程為,設(shè)設(shè)點A關(guān)于y軸的對稱點為.聯(lián)立方程組，消去y可得：,所以.因為直線PB的方程為,且點D在直線PB上,所以則，所以，則,故，因為k≠0,所以，則直線l的方程為，所以直線恒過定點.18、(1)證明見解析；(2)【解析】（1）將的兩邊同除以，得到，由等差數(shù)列的定義，即可作出證明；（2）有（1）求出，利用錯位相減法即可求解數(shù)列的前項和.試題解析：(1)證明：由已知可得＝＋1，即－＝1.所以是以＝1為首項，1為公差的等差數(shù)列(2)由(1)得＝1＋(n－1)·1＝n，所以an＝n2.從而bn＝n·3n.Sn＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，①3Sn＝1·32＋2·33＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1.②①－②得－2Sn＝31＋32＋…＋3n－n·3n＋1＝－n·3n＋1＝.所以Sn＝.點睛：本題主要考查了等差數(shù)列的定義、等差數(shù)列的判定與證明和數(shù)列的求和，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，本的解答中利用等差數(shù)列的定義得到數(shù)列為等差數(shù)列，求解的表達式，從而化簡得到，利用乘公比錯位相減法求和中，準確計算是解答的一個難點.19、（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）證明見解析【解析】（1）當時，利用求得的單調(diào)區(qū)間.（2）將問題轉(zhuǎn)化為證明，利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值大于零，從而證得不等式成立.【小問1詳解】當時，，且，又與均在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增.當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增綜上，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】因為，所以，要證，只需證當時，即可.，易知在上單調(diào)遞增，又，所以，且，即，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增，，所以.【點睛】在證明不等式的過程中，直接證明困難時，可考慮證明和兩個不等式成立，從而證得成立.20、（1）（2）（3）【解析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標表示即可得解；（2）求出，再根據(jù)空間向量的模的坐標表示即可得解；（3）由，可得，再根據(jù)數(shù)量積的運算律即可得解.【小問1詳解】解：；【小問2詳解】解：；【小問3詳解】解：因為，所以，即，解得.21、（1）；（2）1400（元）.【解析】（1）根據(jù)已知條件即可容易求得函數(shù)關(guān)系