第02講實(shí)數(shù)（教師版）八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)講義（華師大版）

第2講實(shí)數(shù)目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航1.了解無理數(shù)和實(shí)數(shù)的意義；2.了解有理數(shù)的概念、運(yùn)算法則在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍適用.知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01有理數(shù)與無理數(shù)有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都稱為有理數(shù).無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù).考點(diǎn)詮釋：（1）無理數(shù)的特征：無理數(shù)的小數(shù)部分位數(shù)無限.無理數(shù)的小數(shù)部分不循環(huán)，不能表示成分?jǐn)?shù)的形式.（2）常見的無理數(shù)有三種形式：①含類.②看似循環(huán)而實(shí)質(zhì)不循環(huán)的數(shù)，如：1.313113111…….③帶有根號(hào)的數(shù)，但根號(hào)下的數(shù)字開方開不盡，如.【即學(xué)即練1】已知下列結(jié)論：①任何一個(gè)無理數(shù)都能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示；②每個(gè)實(shí)數(shù)都對(duì)應(yīng)數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)；③在數(shù)軸上的點(diǎn)只能表示無理數(shù)；④有理數(shù)有無限個(gè)，無理數(shù)有有限個(gè)；⑤無理數(shù)都是無限小數(shù)，不帶根號(hào)的數(shù)不是無理數(shù)；⑥﹣3是（﹣3）2的算術(shù)平方根．其中正確的結(jié)論是（） A．①② B． ①②⑥ C． ③④⑥ D． ②④⑤【答案】A．解：①∵任何一個(gè)無理數(shù)都能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，∴①正確；②∵實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，∴每個(gè)實(shí)數(shù)都對(duì)應(yīng)數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)，∴②正確；③∵在數(shù)軸上的點(diǎn)既能表示無理數(shù)，又能表示有理數(shù)，∴在數(shù)軸上的點(diǎn)只能表示無理數(shù)這種說法不正確，∴③不正確；④根據(jù)有理數(shù)、無理數(shù)的含義，可得有理數(shù)有無限個(gè)，無理數(shù)有無限個(gè)，∴④不正確；⑤無理數(shù)都是無限小數(shù)，但是不帶根號(hào)的數(shù)可能是無理數(shù)，例如：3.1415926535…不帶根號(hào)，但是它是無理數(shù)，∴⑤不正確；⑥∵3是（﹣3）2的算術(shù)平方根，∴⑥不正確．綜上，可得①②．故選：A．知識(shí)點(diǎn)02實(shí)數(shù)有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù).有理數(shù)和無理數(shù)組成了一個(gè)新的數(shù)集——實(shí)數(shù)集，實(shí)數(shù)集通常用字母R表示.1.實(shí)數(shù)的分類按定義分：實(shí)數(shù)按與0的大小關(guān)系分：實(shí)數(shù)2.實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng).數(shù)軸上的任何一個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)，反之任何一個(gè)實(shí)數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個(gè)點(diǎn)與之對(duì)應(yīng).【即學(xué)即練3】把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合內(nèi)：，，，，，，，，，，0，0.3737737773……（相鄰兩個(gè)3之間7的個(gè)數(shù)逐次增加1）…有理數(shù)集合…無理數(shù)集合【答案】解：有理數(shù)有：，，，，0，無理數(shù)有：，，，，，，0.3737737773……【總結(jié)】有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都稱為有理數(shù).無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù).常見的無理數(shù)有三種形式：①含類.②看似循環(huán)而實(shí)質(zhì)不循環(huán)的數(shù)，如：0.3737737773……③帶有根號(hào)的數(shù)，但根號(hào)下的數(shù)字開方開不盡，如，，，，.知識(shí)點(diǎn)03實(shí)數(shù)大小的比較對(duì)于數(shù)軸上的任意兩個(gè)點(diǎn)，右邊的點(diǎn)所表示的實(shí)數(shù)總是比左邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)大.正實(shí)數(shù)大于0，負(fù)實(shí)數(shù)小于0，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小.【即學(xué)即練4】比較與的大?。舅悸贰扛鶕?jù)，，則來比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大?。敬鸢浮拷猓阂?yàn)?，．所以＜【總結(jié)】實(shí)數(shù)的比較有多種方法，除了上述方法外，還有作差法、作商法、同分子法、倒數(shù)法等.【即學(xué)即練5】解：已知實(shí)數(shù)、、在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，試化簡：．【答案】由圖知，，．∴，，，．∴．能力拓展能力拓展考法01無理數(shù)的定義．，3.33……，，，，，，，中，無理數(shù)的個(gè)數(shù)是個(gè).【答案】4；【解析】，，，為無理數(shù).考法02實(shí)數(shù)的分類有下列四個(gè)論斷：①﹣是有理數(shù)；②是分?jǐn)?shù)；③2.131131113…是無理數(shù)；④π是無理數(shù)，其中正確的是（） A．4個(gè) B． 3個(gè) C． 2個(gè) D． 1個(gè)【答案】B；【解析】解：①﹣是有理數(shù)，正確；②是無理數(shù)，故錯(cuò)誤；③2.131131113…是無理數(shù)，正確；④π是無理數(shù)，正確；正確的有3個(gè)．故選：B．考法03實(shí)數(shù)比較大小解：已知實(shí)數(shù)、、在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，試化簡：．【答案】由圖知，，．∴，，，．∴．考法04實(shí)數(shù)的綜合運(yùn)用．已知，且，求的值．【答案】解：∵，且，．∴，即，．解得＝3，＝5，得＝64．∴．【總結(jié)】本題考查非負(fù)性與立方、立方根的綜合運(yùn)用，由，可求、，又，所以＝64，則可求．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．下列說法錯(cuò)誤的是（）A．實(shí)數(shù)都可以表示在數(shù)軸上 B．?dāng)?shù)軸上的點(diǎn)不全是有理數(shù)C．坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)都是實(shí)數(shù)對(duì) D．是近似值，無法在數(shù)軸上表示準(zhǔn)確【答案】D；【解析】實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，無理數(shù)也可以在數(shù)軸上表示.2.（當(dāng)涂縣期中）下列說法：①有理數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)；②不帶根號(hào)的數(shù)一定是有理數(shù)；③負(fù)數(shù)沒有立方根；④17的平方根是﹣，其中正確的是（） A．0個(gè) B． 1個(gè) C． 2個(gè) D． 3個(gè)【答案】A；【解析】解：①實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，故①錯(cuò)誤；②無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，故②錯(cuò)誤；③負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，故③錯(cuò)誤；④17的平方根是±，故④錯(cuò)誤；故選：A．3.估計(jì)的大小應(yīng)在（）A．7～8之間 B．8.0～8.5之間C．8.5～9.0之間 D．9～10之間【答案】C；【解析】，因?yàn)?6比較接近81，所以在8.5～9.0之間.4.（煙臺(tái)）下列實(shí)數(shù)中，有理數(shù)是（）A． B． C． D．0.101001001【答案】D；【解析】解：A、不能正好開方，即為無理數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、不能正好開方，即為無理數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、π為無理數(shù)，所以為無理數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、小數(shù)為有理數(shù)，符合．5.實(shí)數(shù)和的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．【答案】C；【解析】.6．一個(gè)正方體水晶磚，體積為100，它的棱長大約在（）A．4～5之間 B．5～6之間C．6～7之間 D．7～8之間【答案】A；【解析】.7．代數(shù)式，，||，，中，一定是正數(shù)的有（）．A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)【答案】D；【解析】僅＞0，其余可以為0，還可為負(fù)數(shù)8.如圖，在數(shù)軸上表示數(shù)×（﹣5）的點(diǎn)可能是（）A．點(diǎn)E B．點(diǎn)F C．點(diǎn)P D．點(diǎn)Q【答案】B；【解析】解：∵×（﹣5）=﹣，﹣3＜﹣＜﹣2，∴由數(shù)軸可知點(diǎn)F所表示的數(shù)大于﹣3而小于﹣2．故選：B．9.要使，的取值范圍是（）．A．≤3B．≥3C．0≤≤3D．一切實(shí)數(shù)【答案】D；【解析】本題主要考查立方根的性質(zhì)，即．因?yàn)?，所以可取一切?shí)數(shù)．10.若，、互為相反數(shù)，則下列各對(duì)數(shù)中互為相反數(shù)的一對(duì)是（）A.B.與C.與D.與【答案】C；【解析】＋＝0，＝－，所以，所以＋＝0.11.實(shí)數(shù)、、在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則下列關(guān)系正確的是（）A．＞0B．＜0C．D．【答案】B；【解析】從數(shù)軸上可以看出－3＜＜－2，－2＜＜－1，0＜＜1，所以很明顯＜0.題組B能力提升練1.＜0時(shí)，化簡＝________.【答案】0；【解析】∵，∴．2.計(jì)算：＝__________．【答案】；【解析】．3.已知互為相反數(shù),互為倒數(shù),,則的值.【答案】－4；【解析】原式＝.4.（濟(jì)源期末）比較大?。憨仯ㄌ睢埃尽?、“＜”或“=”）．【答案】＞；【解析】解：∵﹣﹣=，∴﹣﹣＞0，∴﹣＞．故答案為：＞．5.（句容市一模）設(shè)a=﹣|﹣2|，b=﹣（﹣1），c=，則a、b、c中最大實(shí)數(shù)與最小實(shí)數(shù)的差是．【答案】4；【解析】解：∵a=﹣|﹣2|=﹣2，b=﹣（﹣1）=1，c==﹣3，∴則a、b、c中最大實(shí)數(shù)是b，最小實(shí)數(shù)是c，∴a、b、c中最大實(shí)數(shù)與最小實(shí)數(shù)的差是b﹣c=1﹣（﹣3）=4.6．畫出數(shù)軸，在數(shù)軸上表示下列各數(shù)，并用“＜”連接：﹣，，0，．【解析】解：∵=2，∴﹣＜0＜＜．7．（榮昌縣校級(jí)期中）把下列各數(shù)填入相應(yīng)的大括號(hào)內(nèi).，﹣2，，0，，，3.1415，π﹣3，，3+，3，0.2121121112…整數(shù)集合：{…}；非負(fù)實(shí)數(shù)集合：{…}；無理數(shù)集合：{…}．【解析】解：整數(shù)集合：{﹣2，0，，，…}；非負(fù)實(shí)數(shù)集合：{，，0，，3.1415，π﹣3，，3+，3，0.2121121112…，…}；無理數(shù)集合：{，，π﹣3，3+，3，0.2121121112…，…}．8.天安門廣場的面積大約是440000，若將其近似看作一個(gè)正方形，那么它的邊長大約是多少？（用計(jì)算器計(jì)算，精確到）【解析】解：設(shè)廣場的邊長為，由題意,得440000＝≈66