專題01比例線段及黃金分割點壓軸題型全

專題01比例線段及黃金分割點壓軸題型全攻略【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"13"\h\u【典型例題】 1【考點一比例線段的識別】 1【考點二比例線段的計算】 2【考點三黃金分割點的定義】 2【考點四黃金分割點的應(yīng)用】 3【考點五黃金分割點的拓展提高】 3【過關(guān)檢測】 4【典型例題】【考點一比例線段的識別】【例題1】若a：b=2：3，則下列各式中正確的式子是（）A．2a=3b B．3a=2b C． D．【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)，對選項一一分析，選擇正確答案．【答案】B．【詳解】A、2a=3b?a：b=3：2，故選項錯誤；B、3a=2b?a：b=2：3，故選項正確；C、=?b：a=2：3，故選項錯誤；D、=?a：b=3：2，故選項錯誤．故選B．【點睛】考查了比例的性質(zhì)．在比例里，兩個外項的乘積等于兩個內(nèi)項的乘積．【變式1】已知=，那么下列等式中，不一定正確的是（）．A．2a=5b B. C.a+b=7 D.【答案】C．【變式2】由5a=6b（a≠0），可得比例式（）A． B． C． D．【答案】D.【詳解】A、?ab=30，故選項錯誤；B、?ab=30，故選項錯誤；C、?6a=5b，故選項錯誤；D、?5（a﹣b）=b，即5a=6b，故選項正確．故選D．【考點二比例線段的計算】【例題2】設(shè)，求的值．【分析】由已知條件利用解方程的思想不能求出x，y，z的值，因此用設(shè)參數(shù)法代入化簡．【詳解】設(shè)＝k則x＝2k，y＝3k，z＝4k原式＝＝＝【點睛】解此類題學(xué)生容易誤認(rèn)為設(shè)k后，未知數(shù)越多更不易解出，實際上分子、分母能產(chǎn)生公因式約去．【變式1】若=，則=（）. B. C. D.無法確定【答案】C.【變式2】已知，（1）求的值；（2）如果，求x的值．（1）令===k，則x=2k，y=3k，z=4k，再代入代數(shù)式進行計算即可；（2）把x=2k，y=3k，z=4k代入=y﹣z，求出k的值即可．【詳解】解：（1）∵==，∴令===k，則x=2k，y=3k，z=4k，∴===﹣1；（2）∵x=2k，y=3k，z=4k，=y﹣z，∴x+3=（y﹣z）2，即2k+3=（3k﹣4k）2，解得k=﹣1或k=3(舍去)，∴x=﹣2．【點睛】本題考查的是比例的性質(zhì)，根據(jù)題意得出x=2k，y=3k，z=4k是解答此題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式3】已知：．求k值．【分析】可分a+b+c=0和a+b+c≠0兩種情況代入求值和利用等比性質(zhì)求解.【答案與解析】①當(dāng)a+b+c=0時，b+c=a，c+a=b，a+b=c，∴k為其中任何一個比值，即k==1;②a+b+c≠0時，k=．∴k=1或.【點睛】考查比例性質(zhì)的應(yīng)用；分兩種情況探討此題是解決本題的易錯點．【考點三黃金分割點的定義】【例題3】已知點P是線段AB的一個黃金分割點（AP＞PB），則PB：AB的值為（）.A. B. C. D.【答案】B.【詳解】根據(jù)題意得AP=AB，所以PB=AB﹣AP=AB，所以PB：AB=．【變式1】已知線段AB=10cm，C是AB的一個黃金分割點，且AC＜BC，求AC長為__________cm；【分析】根據(jù)黃金分割點的定義，知AC是較短線段，由黃金分割的公式：較短的線段=原線段的倍，可得AC=10×，計算即可；【詳解】∵線段AB=10cm，C是AB的一個黃金分割點，且AC＜BC，∴AC=10×=15﹣5（cm）；【點睛】本題考查了黃金分割，應(yīng)該識記黃金分割的公式：較短的線段=原線段的倍，較長的線段=原線段的倍．【變式2】已知線段AB=1，C是線段AB的黃金分割點，則AC的長度為（） B. C.或 D.以上都不對【答案】C.【詳解】∵線段AB=1，C是線段AB的黃金分割點，當(dāng)AC＞BC，∴AC=AB=；當(dāng)AC＜BC，∴BC=AB=，∴AC=AB﹣BC=1﹣=．【考點四黃金分割點的應(yīng)用】【例題4】美是一種感覺，當(dāng)人體下半身長與身高的比值越接近0.618時，越給人一種美感．如圖，某女士身高165cm，下半身長x與身高l的比值是0.60，為盡可能達到好的效果，她應(yīng)穿的高跟鞋的高度大約為（）.A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm【答案】C.【詳解】根據(jù)已知條件得下半身長是165×0.60=99cm，設(shè)需要穿的高跟鞋是ycm，則根據(jù)黃金分割的定義得：=0.618，解得：y≈8cm．故選C．【變式1】如圖是一種貝殼的俯視圖，點C分線段AB近似于黃金分割．已知AB=10cm，則AC的長約為__________cm（結(jié)果精確到0.1cm）.【答案】6.2或3.8【詳解】由題意知AC：AB=BC：AC，∴AC：AB≈0.618，∴AC=0.618×10cm≈6.2（結(jié)果精確到0.1cm）或AC=106.2=3.8．故答案為：6.2或3.8．【變式2】如圖，△ABC頂角是36°的等腰三角形（底與腰的比為的三角形是黃金三角形），若△ABC、△BDC、△DEC都是黃金三角形，已知AB=4，則DE=__________．【答案】62．【詳解】根據(jù)題意可知，BC=AB，∵△ABC頂角是36°的等腰三角形，∴AB=AC，∠ABC=∠C=72°，又∵△BDC也是黃金三角形，∴∠CBD=36°，BC=BD，∴∠ABD=∠ABC∠CBD=36°=∠A，∴BD=AD，同理可證DE=DC，∴DE=DC=ACAD=ABBC=ABAB=62．故答案為：62．【考點五黃金分割點的拓展提高】【例題5】是黃金矩形（即＝≈0.618），如果在其內(nèi)作正方形CDEF，得到一個小矩形ABFE，試問矩形ABFE是否也是黃金矩形？【分析】（1）矩形的寬與長之比值為，則這種矩形叫做黃金矩形．（2）要說明ABFE是不是黃金矩形只要證明＝即可．【答案與詳解】矩形ABFE是黃金矩形．理由如下：因為＝＝所以矩形ABFE也是黃金矩形．【點睛】判斷四邊形是否是黃金矩形，要根據(jù)實際條件靈活選擇判斷方法.【變式1】如圖，扇子的圓心角為x°，余下扇形的圓心角為y°，x與y的比通常按黃金比來設(shè)計，這樣的扇子外形比較美觀，若黃金比取0.6，則x為（）.144° B.135° C.136° D.108°【答案】B.【解析】由扇子的圓心角為x°，余下扇形的圓心角為y°，黃金比為0.6，根據(jù)題意得：x：y=0.6=3：5，又∵x+y=360，則x=360×=135【總結(jié)升華】此題考查了黃金分割，以及比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出x與y的關(guān)系式.【變式2】圖1是一張寬與長之比為：1的矩形紙片，我們稱這樣的矩形為黃金矩形．同學(xué)們都知道按圖2所示的折疊方法進行折疊，折疊后再展開，可以得到一個正方形ABEF和一個矩形EFDC，那么EFDC這個矩形還是黃金矩形嗎？若是，請根據(jù)圖2證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由．矩形EFDC是黃金矩形，證明：∵四邊形ABEF是正方形，∴AB=DC=AF，又∵=，∴=，即點F是線段AD的黃金分割點．∴=，∴=，【變式3】以長為2的線段AB為邊作正方形ABCD，取AB的中點P，連接PD，在BA的延長線上取點F，使PF＝PD，以AF為邊作正方形AMEF，點M在AD上，如圖所示，（1）求AM，DM的長，（2）試說明AM2=AD·DM（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，你能找出圖中的黃金分割點嗎？【答案】（1）∵正方形ABCD的邊長是2，P是AB中點，∴AD＝AB＝2，AP＝1，∠BAD＝90°，∴PD＝?！逷F＝PD，∴AF＝，在正方形ABCD中，AM＝AF＝，MD＝AD－AM＝3－（2）由（1）得AD×DM＝2（3－）＝6－2，∴AM2=AD·DM．（3）如圖中的M點是線段AD的黃金分割點．【過關(guān)檢測】一．選擇題1.在比例尺為1︰1000000的地圖上，相距3cm的兩地，它們的實際距離為().A．3km B．30km C．300km D．3000km【答案】B【解析】圖上距離︰實際距離=1：1000000.2.已知線段滿足把它改寫成比例式，其中錯誤的是（）.A. B. C. D.【答案】B．3.（2014?牡丹江）若x：y=1：3，2y=3z，則的值是（）.A.5 B. C. D.5【答案】A．【解析】∵x：y=1：3，∴設(shè)x=k，y=3k，∵2y=3z，∴z=2k，∴==﹣5．故選：A．4.如圖，已知點P是線段AB的黃金分割點，且PA＞PB，若S1表示以PA為邊的正方形的面積，S2表示長為AB、寬為PB的矩形的面積，那么S1（）S2．A.> B.= C.< D.無法確定【答案】B．【解析】根據(jù)黃金分割的概念得：，則==1，即S1=S2．故選B．5.若，則下列式子中不正確的是（）.A. B. C. D.【答案】A．【解析】根據(jù)題意，設(shè)x=3k，y=4k，分別代入，A、左邊=，錯誤；B、左邊==4，正確；C、左邊=，正確；D、左邊=，正確．故選A6.寬與長的比是（約0.618）的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形蘊藏著豐富的美學(xué)價值，給我們以協(xié)調(diào)和勻稱的美感．我們可以用這樣的方法畫出黃金矩形：作正方形ABCD，分別取AD、BC的中點E、F，連接EF：以點F為圓心，以FD為半徑畫弧，交BC的延長線于點G；作GH⊥AD，交AD的延長線于點H，則圖中下列矩形是黃金矩形的是（）矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH【答案】D.【解析】設(shè)正方形的邊長為2，則CD=2，CF=1在直角三角形DCF中，DF==∴FG=∴CG=﹣1∴=∴矩形DCGH為黃金矩形二.填空題7.已知，則a：b=______________．【答案】a：b=線段AB長10cm，點P在線段AB上，且滿足=，那么AP的長為cm．【答案】5﹣5．【解析】設(shè)AP=x，則BP=10﹣x，∵=，∴=，∴x1=5﹣5，x2=﹣5﹣5（不合題意，舍去），∴AP的長為（5﹣5）cm．故答案為：5﹣5．已知三個數(shù)1，2，，請你再寫一個數(shù)，使這四個數(shù)能成比例，那么這個數(shù)是________，（填寫一個即可）．【答案】2或或．【解析】設(shè)所求數(shù)為x．分四種情況：①如果x，1，2，，這四個數(shù)能成比例，那么x：1=2：，x=；②如果1，x，2，，這四個數(shù)能成比例，那么1：x=2：，x=；③如果1，2，x，，這四個數(shù)能成比例，那么1：2=x：，x=；④如果1，2，，x，這四個數(shù)能成比例，那么1：2=：x，x=2．綜上，可知這個數(shù)是2或或．已知若若5x4y=0,則x:y=________.【答案】在△ABC和△A'B'C'，中，==．若△ABC的周長等于12，則△A'B'C'的周長等于________．【答案】18．【解析】∵==，∴=．∵△ABC的周長等于12，∴△A'B'C'的周長=12÷=18．故答案為：18．12.如圖所示，頂角A為36°的第一個黃金三角形△ABC的腰AB=1，底邊與腰之比為K，三角形△BCD為第二個黃金三角形，依此類推，第2008個黃金三角形的周長為____________．【答案】K2007（K+2）.【解析】第一個三角形的周長為K+2；第二個三角形的周長K+K+K2=K（K+2）；第三個周長為K2+K2+K3=K2（K+2）…所以第2008個三角形的周長為K2007（K+2）三．綜合題13.如圖，在△ABC中，點D在邊AB上，且DB=DC=AC，已知∠ACE=108°，BC=2．（1）求∠B的度數(shù)；（2）我們把有一個內(nèi)角等于36°的等腰三角形稱為黃金三角形．它的腰長與底邊長的比（或者底邊長與腰長的比）等于黃金比．①寫出圖中所有的黃金三角形，選一個說明理由；②求AD的長；③在直線AB或BC上是否存在點P（點A、B除外），使△PDC是黃金三角形？若存在，在備用圖中畫出點P，簡要說明畫出點P的方法（不要求證明）；若不存在，說明理由．【解析】（1）∵BD=DC=AC．則∠B=∠DCB，∠CDA=∠A．設(shè)∠B=x，則∠DCB=x，∠CDA=∠A=2x．又∠BOC=108°，∴∠B+∠A=108°．∴x+2x=108，x=36°．∴∠B=36°；（2）①有三個：△BDC，△ADC，△BAC．∵DB=DC，∠B=36°，∴△DBC是黃金三角形，（或∵CD=CA，∠ACD=180°∠CDA∠A=36°．∴△CDA是黃金三角形．或∵∠ACE=108°，∴∠ACB=72°．又∠A=2x=72°，∴∠A=∠ACB．∴BA=BC．∴△BAC是黃金三角形．②△BAC是黃金三角形，∴，∵BC=2，∴AC=．∵BA=BC=2，BD=AC=，∴AD=BABD=2（）=3，③存在，有三個符合條件的點P1、P2、P3．?。┮訡D為底邊的黃金三角形：作CD的垂直平分線分別交直線AB、BC得到點P1、P2．ⅱ）以CD為腰的黃金三角形：以點C為圓心，CD為半徑作弧與BC的交點為點P3．14.如圖，用長為40cm的細鐵絲圍成一個矩形ABCD（AB＞AD）．（1）若這個矩形的面積等于99cm2，求AB的長度；（2）這個矩形的面積可能等于101cm2嗎？若能，求出AB的長度，若不能，說明理由；（3）若這個矩形為黃金矩形（AD與AB之比等于黃金比），求該矩形的面積．（結(jié)果保留根號）【解析】解：（1）設(shè)AB=xcm，則AD=（20﹣x）cm，根據(jù)題意得x（20