上海市徐匯中學(xué)2024-2025學(xué)年九年級上學(xué)期數(shù)學(xué)10月月考試卷（解析版）

2025屆初三（上）數(shù)學(xué)鞏固練習(xí)3一、選擇題（每小題4分，共24分）1.如圖，在Rt△ABC中，斜邊AB的長為m，∠A＝35°，則直角邊BC的長是()A.msin35° B.mcos35° C. D.【答案】A【解析】試題分析：根據(jù)銳角三角函數(shù)定義可得sinA=，所以BC=,故選A.考點(diǎn)：銳角三角函數(shù)定義.2.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，AB的垂直平分線MN交AC于D，連接BD，若，則BC的長是（）A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm【答案】A【解析】【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出BD=AD，再利用，即可求出CD的長，再利用勾股定理求出BC的長．解：∵∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分線MN交AC于D，∴BD=AD，∴CD+BD=8cm，∵，∴，解得：CD=3cm，BD=5cm，∴BC=4cm．故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及解直角三角形等知識，得出AD=BD，進(jìn)而用CD表示出BD是解決問題的關(guān)鍵．3.如圖，小陽發(fā)現(xiàn)電線桿AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD＝8米，BC＝20米，CD與地面成30°角，且此時(shí)測得1米桿的影長為2米，則電線桿的高度為（）A.9米 B.28米 C.米 D.（14+2）米【答案】D【解析】【分析】延長AD交BC的延長線于F點(diǎn)，作DE⊥CF于E點(diǎn)，根據(jù)三角函數(shù)進(jìn)行求解即可；解：延長AD交BC的延長線于F點(diǎn)，作DE⊥CF于E點(diǎn)．DE=8sin30°=4（米）；CE=8cos30°=4（米）；∵測得1米桿的影長為2米．∴EF=2DE=8（米），∴BF=BC+CE+EF=20+4+8=28+4（米），∴電線桿AB的長度是（28+4）=14+2米．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用，掌握相關(guān)知識并正確做出輔助線是解題的關(guān)鍵．4.如圖，兩建筑物的水平距離為a米，從A點(diǎn)測得D點(diǎn)的俯角為，測得C點(diǎn)的俯角為，則較低建筑物CD的高為（）．A.a米 B.米C.米 D.米【答案】D【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，在圖形中利用輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．作交的延長線于點(diǎn)E，構(gòu)造直角三角形．用含的式子表示出，即可得出答案．解：作交延長線于點(diǎn)E，∴，∵，兩建筑物的水平距離為a米，米，∴，∴，故選：D．5.一座樓梯的示意圖如圖所示，BC是鉛垂線，CA是水平線，BA與CA的夾角為θ．現(xiàn)要在樓梯上鋪一條地毯，已知CA=4米，樓梯寬度1米，則地毯的面積至少需要（）A.米2 B.米2 C.米2 D.米2【答案】D【解析】解：在Rt△ABC中，BC=AC×tan∠CAB=4tanθ，∴所需地毯的長度為AC+BC=4+4tanq（米）．面積為：（4+4tanq）×1=4+4tanθ（米2）．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用．6.如圖，熱氣球探測器顯示，從熱氣球A處看一棟樓頂部B處的仰角為30°，看這棟樓底部C處的俯角為60°，熱氣球A處與樓的水平距離為120m，則這棟樓的高度為（）A.160m B.120m C.300m D.160m【答案】A【解析】如圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，根據(jù)題意得∠BAD=30°，∠CAD=60°，AD=120m，在Rt△ABD中，求得BD=AD?tan30°=120×=40m，在Rt△ACD中，求得CD=AD?tan60°=120×=120m，所以BC=BD+CD=160m．故答案選A．考點(diǎn)：解直角三角形應(yīng)用.二、填空題（每題4分，共48分）7.已知線段AB=10cm，點(diǎn)C為AB的黃金分割點(diǎn)，且AC＞BC，則BC的長是______cm．【答案】15－5【解析】根據(jù)黃金分割點(diǎn)的性質(zhì)可得：BC=AB=×10=15－5cm．故答案是：15－58.拋物線y=（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，則m=_____．【答案】﹣2．【解析】解：∵拋物線y=（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，∴0=m2﹣4，∴m=±2，當(dāng)m=2時(shí)，m﹣2=0，∴m=﹣2．故答案為﹣2．9.已知地圖比例尺為，地圖上面積為10平方厘米，則實(shí)際面積為______平方千米．【答案】10【解析】【分析】本題考查的是比例尺，根據(jù)比例尺即可求出圖上面積與實(shí)際面積之比，從而求出實(shí)際面積．解：比例尺為，圖上面積與實(shí)際面積的比為，實(shí)際面積為，故答案為：10．10.拋物線與x軸有交點(diǎn)，則m范圍是__________．【答案】且【解析】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系，二次函數(shù)的定義，二次函數(shù)與x軸有交點(diǎn)，那么與二次函數(shù)對應(yīng)的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，據(jù)此根據(jù)一元二次方程的判別式結(jié)合二次項(xiàng)系數(shù)不為0進(jìn)行求解即可．解：∵拋物線與x軸有交點(diǎn)，∴，∴且，故答案為：且．11.已知，如圖，，，，，則__________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，先根據(jù)兩邊成比例且夾角相等得出，可得出，進(jìn)而求出，再說明，然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例得出答案．∵，∴．∵，∴．∵，∴，∴．∵，∴．∵，∴，∴，∴．故答案為：．12.某人沿著坡度的山坡起點(diǎn)向上走了50米，則他離地面__________米高．【答案】25【解析】【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題、勾股定理，設(shè)某人沿著坡度的山坡走了米時(shí)的豎直高度為x米，則此時(shí)走的水平距離為米，然后根據(jù)勾股定理列方程求解即可．明確坡度的含義是解答此類題目的關(guān)鍵．解：設(shè)某人沿著坡度的山坡走了米時(shí)的豎直高度為x米，則此時(shí)走的水平距離為米，由勾股定理可得，，解得，（負(fù)值已舍去），故答案：25．13.如圖．在直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO的邊OA在x軸上，邊OC在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，3），將矩形沿對角線AC翻折，B點(diǎn)落在D點(diǎn)的位置，且AD交y軸于點(diǎn)E，那么點(diǎn)D的坐標(biāo)為______．【答案】（﹣，）【解析】【分析】首先過D作DF⊥AF于F，根據(jù)折疊可以證明△CDE≌△AOE，然后利用全等三角形的性質(zhì)得到OE=DE，OA=CD=1，設(shè)OE=x，那么CE=3﹣x，DE=x，利用勾股定理即可求出OE的長度，而利用已知條件可以證明△AEO∽△ADF，而AD=AB=3，接著利用相似三角形的性質(zhì)即可求出DF、AF的長度，也就求出了D的坐標(biāo)．解：如圖，過D作DF⊥AO于F，∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，3），∴BC=AO=1，AB=OC=3，根據(jù)折疊可知：CD=BC=OA=1，∠CDE=∠B=∠AOE=90°，AD=AB=3，在△CDE和△AOE中，，∴△CDE≌△AOE，∴OE=DE，OA=CD=1，AE=CE，設(shè)OE=x，那么CE=3﹣x，DE=x，∴在Rt△DCE中，CE2=DE2+CD2，∴（3﹣x）2=x2+12，∴x=，∴OE=，AE=CE=OC﹣OE=3﹣=，又∵DF⊥AF，∴DF∥EO，∴△AEO∽△ADF，∴AE：AD=EO：DF=AO：AF，即：3=：DF=1：AF，∴DF=，AF=，∴OF=﹣1=，∴D的坐標(biāo)為：（﹣，）．故答案為（﹣，）．【點(diǎn)睛】此題主要考查了圖形的折疊問題、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是把握折疊的隱含條件，利用隱含條件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它們的性質(zhì)即可解決問題．14.如圖，在矩形ABCD中，將∠ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度后，BC的對應(yīng)邊B'C'交CD邊于點(diǎn)G．連接BB'、CC'．若AD=7，CG=4，AB'=B'G，則=__（結(jié)果保留根號）．【答案】【解析】解：連接AC，AG，AC'，由旋轉(zhuǎn)可得，AB=AB'，AC=AC'，∠BAB'=∠CAC'，∴，∴△ABB'∽△ACC'，∴=，∵AB'=B'G，∠AB'G=∠ABC=90°，∴△AB'G是等腰直角三角形，∴AG=AB'，設(shè)AB=AB'=x，則AG=x，DG=x﹣4，∵Rt△ADG中，AD2+DG2=AG2，∴72+（x﹣4）2=（x）2，解得x1=5，x2=﹣13（舍去），∴AB=5，∴Rt△ABC中，AC===，∴==．故答案為．15.如圖，在中，已知為邊上的高，正方形的四個頂點(diǎn)分別在上，，，__________．【答案】【解析】【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，由四邊形是正方形可得，進(jìn)而證明，由對應(yīng)線段成比例可得，即可求解．解：如圖，設(shè)與交于點(diǎn)K，四邊形是正方形，，即，，，，，設(shè)，則，，，，故答案為：．16.在中，，，，則的面積為_______．【答案】或【解析】【分析】本題主要考查了解直角三角形，勾股定理，過點(diǎn)B作交直線于D，再分點(diǎn)D在上，點(diǎn)D在的延長線上兩種情況，先解求出，再利用勾股定理求出，，進(jìn)而求出的長，再根據(jù)三角形面積計(jì)算公式求解即可．解：過點(diǎn)B作交直線于D，如圖所示，當(dāng)點(diǎn)D在上時(shí)，在，，，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴，∴；如圖所示，當(dāng)點(diǎn)D在的延長線上時(shí)，同理可得，∴，∴；綜上所述，的面積為或，故答案：或．

17.如圖，已知中，分別為邊上的高，過D作的垂線交于E，交于G，交延長線于H．，，則__________．【答案】2【解析】【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．證明，，再利用相似三角形對應(yīng)邊的比相等建立線段之間的關(guān)系，進(jìn)而求解即可．解：如圖，∵分別為邊上的高，過D作的垂線交于E，∴，∴，∵，∴，∴，即，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴，∵，，∴，∴，∴，故答案為：2．18.如圖，中，，，于點(diǎn)D，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角的大小與相等，如果點(diǎn)C、D旋轉(zhuǎn)后分別落在點(diǎn)E、F的位置，那么的正切值是___________．【答案】##【解析】【分析】由題意畫圖如下，過A作于Q，過D作于P，于H，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理求得，，，利用三角形的面積公式求得，進(jìn)而利用勾股定理和銳角三角函數(shù)求得，，，則，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和矩形的判定與性質(zhì)證明四邊形是矩形得到，，則，利用平行線性質(zhì)證得，求解即可求解．解：由題意畫圖如下，過A作于Q，過D作于P，于H，∵，，∴，，則，由得，∴，∵，，∴，，則，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，，，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∴，∵，∴，∴，在中，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形、矩形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運(yùn)用，利用銳角三角函數(shù)尋求邊角關(guān)系是解答的關(guān)鍵．三、解答題（本大題7題，滿分78分）19.計(jì)算：．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了特殊角三角函數(shù)值的混合計(jì)算，先計(jì)算特殊角三角函數(shù)值，再根據(jù)二次根式的混合計(jì)算法則求解即可．解：．20.如圖，已知中，，，點(diǎn)D在邊AB上，．（1）求的值．（2）在圖中求作向量：在、方向上的分向量（不要求寫作法，但要指出所作圖中表示結(jié)論的向量）．【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】（1）過點(diǎn)D作于點(diǎn)E．易證，即得出，結(jié)合題意又可得出．設(shè)，則，從而可求出．根據(jù)，可求出，最后根據(jù)求解即可；（2）過點(diǎn)C作于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作交的延長線于點(diǎn)F．再根據(jù)分向量的概念即可得解．【小問1】解：如圖，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E．∵，，∴，∴，．∵，∴．設(shè)，則，∴．∵，∴，∴，∴；【小問2】如圖，過點(diǎn)C作于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作交的延長線于點(diǎn)F．∴在、方向上的分向量分別為、．【點(diǎn)睛】本題考查三角形相似的判定和性質(zhì)，解直角三角形，平面向量的相關(guān)知識．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．21.如圖，為了測量出樓房AC的高度，從距離樓底C處米的點(diǎn)D（點(diǎn)D與樓底C在同一水平面上）出發(fā)，沿斜面坡度為i=1：的斜坡DB前進(jìn)30米到達(dá)點(diǎn)B，在點(diǎn)B處測得樓頂A的仰角為53°，求樓房AC的高度（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈，計(jì)算結(jié)果用根號表示，不取近似值）．【答案】．【解析】【分析】如圖作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M，先在RT△BDN中求出線段BN，在RT△ABM中求出AM，再證明四邊形CMBN是矩形，得CM=BN即可解決問題．如圖作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M．在RT△BDN中，BD=30，BN：ND=1：，∴BN=15，DN=，∵∠C=∠CMB=∠CNB=90°，∴四邊形CMBN是矩形，∴CM=BM=15，BM=CN=，在RT△ABM中，tan∠ABM=，∴AM=，∴AC=AM+CM=．【點(diǎn)睛】構(gòu)造適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，并?yīng)用銳角的三角函數(shù)，正確理解坡比的概念．22.如圖，表示某引水工程的一段設(shè)計(jì)路線，從M到N的走向?yàn)槟掀珫|，在M的南偏東方向上有一點(diǎn)A，以A為圓心、為半徑的圓形區(qū)域?yàn)榫用駞^(qū)．取上的另一點(diǎn)B，測得的方向?yàn)槟掀珫|．已知，通過計(jì)算回答，如果不改變方向，輸水管道是否會穿過居民區(qū)．【答案】輸水管道會穿過居民區(qū)【解析】【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，過點(diǎn)A作于C，由題意得，，設(shè)，解直角三角形得到，，則可得方程，解方程即可得到答案．解：如圖所示，過點(diǎn)A作于C，由題意得，，設(shè)，在中，，在中，，∵，∴，解得，∵，∴，∴，∴輸水管道會穿過居民區(qū)．23.如圖，在中，E是的中點(diǎn)，和相交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作，交于點(diǎn)G．（1）求證：；（2）若，求證：．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定；（1）先由平行四邊形的性質(zhì)得到，再證明，得到，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義推出，進(jìn)而得到，再證明，得到，則，即；（2）根據(jù)已知條件可以設(shè)，，則，．通過證，得到對應(yīng)角．然后易證，所以，即可求解．【小問1】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，∵E是的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，即；【小問2】證明：設(shè)，，則，，∴，，∴．又∵，∴，∴．∵，；∴，，∴．又∵，∴，∴，∴．24.如圖，已知：直線交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A、B、C（1，0）三點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，0），在直線上有一點(diǎn)P,使ΔABO與ΔADP相似，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，在x軸下方的拋物線上，是否存在點(diǎn)E，使ΔADE的面積等于四邊形APCE的面積？如果存在，請求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）（1，2），；（3）不存在，理由見解析．【解析】解：（1）：由題意得，A（3，0），B（0，3）∵拋物線經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三點(diǎn)分別代入得方程組解得：∴拋物線的解析式為（2）由題意可得：△ABO為等腰三角形,如圖所示，若△ABO∽△AP1D，則∴DP1=AD=4∴P1若△ABO∽△ADP2，過點(diǎn)P2作P2M⊥x軸于M，AD=4∵△ABO為等腰三角形,∴△ADP2是等腰三角形,由三線合一可得：DM=AM=2=P2M，即點(diǎn)M與點(diǎn)C重合∴P2（1，2）（3）如圖設(shè)點(diǎn)E，則①當(dāng)P1(-1,4)時(shí)，S四