專題07 中點模型之中位線、斜邊中線、中點四邊形（解析版）

專題07中點模型之中位線、斜邊中線、中點四邊形中點模型是初中數(shù)學中一類重要模型，它在不同的環(huán)境中起到的作用也不同，主要是結合三角形、四邊形、圓的運用，在各類考試中都會出現(xiàn)中點問題，有時甚至會出現(xiàn)在壓軸題當中，我們不妨稱之為“中點模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等問題，因此探尋這類問題的解題規(guī)律對初中幾何的學習有著十分重要的意義。常見的中點模型：①垂直平分線模型；②等腰三角形“三線合一”模型；③“平行線+中點”構造全等或相似模型（與倍長中線法類似）；④直角三角形斜邊中點模型；⑤中位線模型；⑥中點四邊形模型。本專題就中點模型的后三類模型進行梳理及對應試題分析，方便掌握。模型1：直角三角形斜邊中線模型定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．如圖1，若AD為斜邊上的中線，則：（1）；（2），為等腰三角形；（3），．圖1圖2拓展：如圖2，在由兩個直角三角形組成的圖中，M為中點，則（1）；（2）．模型運用條件：連斜邊上的中線（出現(xiàn)斜邊上的中點時）例1．（2023·陜西西安·校考模擬預測）如圖，在中，，為邊上的中線，為邊上的中線，若，則的長為（）

A． B． C． D．3【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)等腰三角形的性質和直角三角形斜邊上的中線性質得出，，求出，再根據(jù)勾股定理求出即可．【詳解】解：∵，由勾股定理得，，∵，為邊上的中線，∴，，∴，∵為邊上的中線，∴，∴由勾股定理得，，故選：C．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質，直角三角形斜邊上的中線性質，勾股定理等知識，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關鍵．例2．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點D是的中點，過點D作，垂足為點E，連接，若，，則．【答案】3【分析】根據(jù)直角三角形的性質得到AB=10，利用勾股定理求出AC，再說明DE∥AC，得到，即可求出DE．【詳解】解：∵∠ACB=90°，點D為AB中點，∴AB=2CD=10，∵BC=8，∴AC==6，∵DE⊥BC，AC⊥BC，∴DE∥AC，∴，即，∴DE=3，故答案為：3．【點睛】本題考查了直角三角形的性質，勾股定理，平行線分線段成比例，解題的關鍵是通過平行得到比例式．例3．（2023·青海海東·統(tǒng)考三模）如圖，菱形的對角線、相交于點，過點作于點，連接，若，，則菱形的面積為（

）

A．72 B．48 C．24 D．9【答案】B【分析】根據(jù)菱形的性質得為的中點，再由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得的長度，最后由菱形的面積公式求得面積．【詳解】解：四邊形是菱形，，，，，，，，，，，菱形的面積．故選：B．【點睛】本題考查菱形的性質，直角三角形的性質，菱形的面積公式，關鍵是根據(jù)直角三角形的性質求得．例4．（2023上·四川成都·九年級?？计谥校┤鐖D，四邊形中，，，連接．是的中點，連接．若，則的面積為．

【答案】/【分析】本題考查了直角三角形的性質、等腰三角形的性質、三角形外角的定義及性質、三角形的面積，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，由等邊對等角可得，，由三角形外角的定義及性質可得，，求出，再利用三角形面積公式，計算即可得出答案，熟練掌握直角三角形的性質、等腰三角形的性質、三角形外角的定義及性質是解此題的關鍵．【詳解】解：，是的中點，，，，，，，，，故答案為：．例5．（2023·江蘇常州·中考真題）如圖，是的弦，點C是優(yōu)弧上的動點（C不與A、B重合），，垂足為H，點M是的中點．若的半徑是3，則長的最大值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根據(jù)直角三角形斜邊中線定理，斜邊上的中線等于斜邊的一半可知MH=BC，當BC為直徑時長度最大，即可求解．【詳解】解：∵∴∠BHC=90°∵在Rt△BHC中，點M是的中點∴MH=BC∵BC為的弦∴當BC為直徑時，MH最大∵的半徑是3∴MH最大為3．故選：A．【點睛】本題考查了直角三角形斜邊中線定理，數(shù)形結合是結題關鍵．例6．（2023上·江蘇泰州·八年級?？茧A段練習）如圖，在中，于F，于E，M為的中點．(1)若，，求的周長；(2)若是等邊三角形，求的度數(shù)．

【答案】(1)的周長為14；(2)．【分析】本題考查了直角三角形斜邊中線的性質，等腰三角形的性質，平角定義等．（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出，再根據(jù)三角形的周長的定義列式計算即可得解；（2）根據(jù)平角等于，求得，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線求得，根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出，再求得，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）解：∵，，M為的中點，∴，，∴的周長；（2）解：∵是等邊三角形，∴，∴，由（1）得，∴，，∴，∴，∴，∵，∴．模型2：中位線模型三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半。如圖，在三角形ABC的AB，AC邊的中點分別為D、E，則DE//BC且，△ADE∽△ABC。中點三角形：三角形三邊中點的連線組成的三角形，其周長是原三角形周長的一半，面積是原三角形面積的四分之一。模型運用條件：構造中位線（出現(xiàn)多個中點時）。例1．（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）如圖，兩點被池塘隔開，三點不共線．設的中點分別為．若米，則（

）

A．4米 B．6米 C．8米 D．10米【答案】B【分析】根據(jù)三角形中位線定理計算即可．【詳解】解∶∵的中點分別為，∴是的中位線，∴米，故選∶B．【點睛】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關鍵．例2．（2023·廣西梧州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC，BC的中點，AC＝8，BC＝6，則四邊形CEDF的面積是（）A．6 B．12 C．24 D．48【答案】B【分析】利用三角形的中位線定理，先證明四邊形是矩形，再利用矩形的面積公式進行計算即可.【詳解】解：點D，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC，BC的中點，AC＝8，BC＝6，四邊形是平行四邊形，四邊形是矩形，故選：【點睛】本題考查的是三角形的中位線的性質，矩形的判定與性質，掌握利用三角形的中位線證明四邊形是平行四邊形是解題的關鍵.例3．（2023下·四川廣安·八年級校考階段練習）如圖，在菱形中，邊長為1，，順次連接菱形各邊中點，可得四邊形；順次連接四邊形各邊中點，可得四邊形；順次連接四邊形各邊中點，可得四邊形；按此規(guī)律繼續(xù)下去，…，則四邊形的面積是．【答案】【分析】根據(jù)菱形的性質，三角形中位線的性質，勾股定理，依次求出四邊形的面積，得出規(guī)律，即可解答．【詳解】解：菱形，，，為等邊三角形，，等邊的高為，，順次連接菱形各邊中點，可得四邊形，四邊形為矩形，,同理可得，，……．故答案為：．【點睛】本題考查了菱形以及中點四邊形的性質，找到中點四邊形的面積與原四邊形的面積之間的關系是解題的關鍵．例4.（2023·陜西西安·聯(lián)考模擬預測）如圖，在四邊形中，點、分別是，的中點，且，若，，則的長為．

【答案】13【分析】由勾股定理求得，再由直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半求得，從而利用中位線的性質求解即可．【詳解】解：在中，，由勾股定理可得：．∵點是的中點，∴，∴，∵點，分別是的中點，∴是的中位線，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理、直角三角形的斜邊中線以及中位線．掌握中位線的性質是解題的關鍵．例5．（2023·北京海淀·?？寄M預測）如圖，為的弦，，且，若點M、N分別是、的中點，則長的最大值是（）

A．4 B．5 C． D．【答案】C【分析】連接并延長交于點，連接，根據(jù)中位線定理得到當取得最大值時，就取得最大值，結合圓周角定理及勾股定理即可得到答案；【詳解】解：如圖，∵點M、N分別是、的中點，∴，

∴當取得最大值時，就取得最大值，連接并延長交于點，連接，∵是的直徑，∴，∵，，∴，∴，∴，∴長的最大值為，故選：C；【點睛】本題考查三角形中位線定理，勾股定理及圓周角定理，解題關鍵是根據(jù)作出輔助線，找到最大線段．例6．（2023·河南信陽·?？既＃?shù)學興趣小組的同學在學習中點知識時，遇到如下一個問題：如圖①，在邊長為4的正方形中，點是邊的中點，，連接，點分別是的中點，連接，求的長．小組成員展開討論，方法多樣、其中小佳同學的做法最具有推廣性．小佳同學是這樣思考的：題目中有兩個中點，我想到用中位線，但是這兩個中點所在的線段是交叉狀態(tài)，所以可以通過軸對稱將它變成“共頂點”的圖形、這樣就可以構造出三角形的中位線．具體如下：如圖②．過點作，垂足為，易證四邊形是矩形，連接、則點也是的中點，連接，則是的中位線，計算出的長度即可求出的長度．根據(jù)以上信息，請回答以下問題：(1)點是中點的依據(jù)是__________________；(2)請根據(jù)小佳同學的思路寫出具體的證明過程．(3)如圖③，在中，，，將繞著點順時針旋轉，，分別是，的中點，當點落在的邊上時（不包含頂點），求的長度．

【答案】(1)矩形的對角線平分且相等(2)見解析(3)的長度為2或【分析】（1）根據(jù)矩形的性質即可解決問題；（2）先證明是的中位線，再根據(jù)矩形的性質和勾股定理即可解決問題；（3）當點落在邊上時，分兩種情況，情況1，落在邊上，情況2，落在邊上，分別進行求解即可得到答案．【詳解】（1）解：由題意可知：四邊形是矩形，，點是對角線的中點，，，點是的中點，點是的中點的依據(jù)是：矩形的對角線平分且相等，故答案為：矩形的對角線平分且相等；（2）解：如圖①，過點作，垂足為，連接，四邊形是正方形，，，，四邊形是矩形，點是對角線的中點，點是的中點．

，

，

，點是的中點，點是的中點，是的中位線，，正方形邊長為4，點是的中點，，四邊形是矩形，，，在中，由勾股定理可得，；（3）解：當點落在邊上時，分兩種情況，情況1，落在邊上，情況2，落在邊上，在中，，，，，，情況1：當點落在邊上時，如圖②，由旋轉可知：，，是等邊三角形，此時點恰好與點重合，且，，分別是，的中點，；情況2：方法一：當點落在邊上時，分別以和為對角線構造矩形，如圖③，連接，則點和點為的中點，是的中位線，延長，交于點，，在中，，由勾股定理可得，，；方法二：如圖③，矩形和矩形，，，是等腰直角三角形，，，，綜上所述：當點落在的邊上時（不包含頂點），的長度為2或．【點睛】本題主要考查中位線的性質、矩形的性質、勾股定理的運用、旋轉的性質，考查學生的讀取信息的能力，類比思想及平面圖形性質的綜合分析能力．模型3：中點四邊形模型中點四邊形：依次連接四邊形四邊中點連線的四邊形得到中點四邊形。中點四邊形是中點模型中比較經(jīng)典的應用。中點四邊形不僅結合了常見的特殊四邊形的性質，而且還會涉及中位線這一重要知識點，總體來說屬于比較綜合的幾何模塊。結論1：順次連結任意四邊形各邊中點組成的四邊形是平行四邊形．如圖1，已知點M、N、P、Q是任意四邊形ABCD各邊中點，則四邊形MNPQ為平行四邊形。圖1圖2結論2：順次連結對角線互相垂直四邊形各邊中點組成的四邊形是矩形．（特例：箏形與菱形）如圖2，已知點M、N、P、Q是四邊形ABCD各邊中點，AC⊥DB，則四邊形MNPQ為矩形。結論3：順次連結對角線相等四邊形各邊中點組成的四邊形是菱形．（特例：等腰梯形與矩形）如圖3，已知點M、N、P、Q是四邊形ABCD各邊中點，AC=DB，則四邊形MNPQ為菱形。圖3圖4結論4：順次連結對角線相等且垂直的四邊形各邊中點組成的四邊形是正方形．如圖4，已知點M、N、P、Q是四邊形ABCD各邊中點，AC=DB，AC⊥DB，則四邊形MNPQ為正方形。推廣與應用1）中點四邊形的周長：中點四邊形的周長等于原四邊形對角線之和。2）中點四邊形的面積：中點四邊形的面積等于原四邊形面積的。例1．（2023上·四川達州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點，G，H分別是BD，AC的中點，AB，CD滿足什么條件時，四邊形EGFH是菱形.（

）A． B．// C． D．【答案】A【分析】根據(jù)中位線的定義與性質可知四邊形EGFH是平行四邊形，然后找出鄰邊相等的條件即可證明該四邊為菱形．【詳解】解：由題意知是的中位線∴，是的中位線∴，∴，∴四邊形EGFH是平行四邊形∵是的中位線，∴當時，∴平行四邊形EGFH是菱形故選A．【點睛】本題考查了中位線，菱形的判定．解題的關鍵在于對知識的靈活運用例2．（2023上·河南鄭州·九年級?？茧A段練習）如圖，在四邊形中，順次連接四邊中點，，，，構成一個新的四邊形，請你對四邊形添加一個條件，使四邊形成為一個矩形．這個條件是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形中位線定理可得，，，，，，，，根據(jù)平行四邊形的判定可證明四邊形為平行四邊形，根據(jù)矩形的判定即可證明．【詳解】解：添加的條件為：；理由如下：∵點，，，分別是，，，的中點，∴是的中位線，是的中位線，是的中位線，是的中位線，∴，，，，，，，，∴，，，，∴四邊形為平行四邊形；∵，∴，∴四邊形為矩形，故選：D．【點睛】本題考查三角形中位線定理，平行四邊形的判定，矩形的判定，熟練掌握三角形的中位線定理是解題的關鍵．例3．（2023上·陜西西安·九年級?？茧A段練習）如圖，連接四邊形ABCD各邊的中點，得到四邊形EFGH，還要添加，才能保證四邊形EFGH是正方形．【答案】AC⊥BD，AC=BD/AC=BD，AC⊥BD【分析】根據(jù)三角形中位線定理、平行四邊形的判定定理得到四邊形EFGH為平行四邊形，根據(jù)正方形的判定定理即可得解．【詳解】解：當AC⊥BD，AC=BD時，四邊形EFGH為正方形．∵點E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點，∴EF∥AC，EF=AC，GH∥AC，GH=AC，EH∥BD，EH=BD，∴EF∥GH，EF=GH，∴四邊形EFGH為平行四邊形，當AC⊥BD，AC=BD時，EF⊥EH，EF=EH，∴四邊形EFGH為正方形．故答案為：AC⊥BD，AC=BD．【點睛】本題考查的是中點四邊形，掌握三角形中位線定理、正方形的判定定理是解題的關鍵．例4．（2023下·湖南長沙·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點分別是四邊形邊的中點．則正確的是（

）A．若，則四邊形為矩形B．若，則四邊形為菱形C．若是平行四邊形，則與互相平分D．若是正方形，則與互相垂直且相等

【答案】D【分析】根據(jù)三角形的中位線定理可得，，，，從而得到四邊形為平行四邊形，再根據(jù)矩形的判定、菱形的判定、正方形的性質，進行逐一判斷即可得到答案．【詳解】解：點分別是四邊形邊的中點，是的中位線，是的中位線，是的中位線，是的中位線，，，，，四邊形為平行四邊形，A、若，則，四邊形為菱形，故A錯誤，不符合題意；B、若，則，則四邊形為矩形，故B錯誤，不符合題意；C、任意四邊形的中點四邊形都是平行四邊形，與不一定互相平分，故C錯誤，不符合題意；D、若是正方形，則，由是的中位線，是的中位線，得，，因此與互相垂直且相等，故正確，符合題意；故選：D．【點睛】本題主要考查了三角形中位線定理、平行四邊形的判定與性質、矩形的判定與性質、菱形的判定與性質、正方形的性質，熟練掌握三角形中位線定理、平行四邊形的判定與性質、矩形的判定與性質、菱形的判定與性質、正方形的性質，是解題的關鍵．例5．（2023·內蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，，，順次連接菱形各邊中點、、、，則四邊形的周長為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】首先利用三角形的中位線定理證得四邊形為平行四邊形，再求對角線長度，然后利用三角形中位線定理求出此平行四邊形邊長即可求出周長．【詳解】解：如圖，連接、，相交于點，

點分別是邊的中點，，，，同理，四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形，，，對角線互相垂直，，，，，是等邊三角形，，在中，，，，，，，四邊形的周長為．故選：C．【點睛】本題考查了中點四邊形的知識，解題的關鍵是靈活運用三角形的中位線定理，菱形的性質及平行四邊形的判定與性質進行計算．例6．（2023下·福建泉州·八年級統(tǒng)考期末）【猜想結論】如圖1，在△ABC中，點D、E分別是邊AB、AC的中點，可以根據(jù)度量或目測猜想結論：DEBC，且DEBC．(1)【驗證結論】如圖2，在△ABC中，點D、E分別是邊AB、AC的中點，延長DE至F，使得EF＝DE，連接FC．求證：DEBC，DEBC．(2)【應用結論】如圖3，在四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA的中點，順次連接四邊形ABCD各邊中點得到新四邊形EFGH，稱為四邊形ABCD中點四邊形．應用上述驗證結論，求解下列問題：①證明：四邊形EFGH是平行四邊形；②當AC、BD滿足時，四邊形EFGH是矩形；③當AC、BD滿足時，四邊形EFGH是正方形．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②垂直；③垂直且相等【分析】（1）先根據(jù)“SAS”證明，得出，，根據(jù)平行線的判定得出，得出BD=CF，證明四邊形BCFD為平行四邊形，得出，，即可證明結論；（2）①連接AC、BD，根據(jù)中位線性質得出，，即可得證明四邊形EFGH為平行四邊形；②根據(jù)矩形的判定方法，得出結論即可；③根據(jù)正方形的判定方法，得出結論即可．【詳解】（1）證明：∵點E為AC的中點，∴AE=CE，∵在△AED和△CEF中，∴，∴，，∴，∵點D為AB的中點，∴AD=BD，∴BD=CF，∴四邊形BCFD為平行四邊形，∴，，∵，∴，即DEBC，DEBC．（2）①連接AC、BD，如圖所示：∵點E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA的中點，∴，，，，∴，，∴四邊形EFGH為平行四邊形；②當AC⊥BD時，四邊形EFGH是矩形；根據(jù)解析①可知，，，四邊形EFGH是平行四邊形，∵AC⊥BD，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴四邊形EFGH是矩形；故答案為：垂直；③當AC=BD且AC⊥BD時，四邊形EFGH是正方形；根據(jù)解析②可知，當AC⊥BD時，四邊形EFGH是矩形，根據(jù)解析①可知，，，∵AC=BD，∴，∴四邊形EFGH是正方形．故答案為：垂直且相等【點睛】本題考查平行四邊形的判定和性質，中位線的性質，矩形的判定和性質，正方形的判定和性質，平行線的判定和性質，三角形全等的判定和性質，熟練掌握特殊四邊形的判定方法，是解題的關鍵．課后專項訓練1．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）一技術人員用刻度尺（單位：）測量某三角形部件的尺寸．如圖所示，已知，點D為邊的中點，點A、B對應的刻度為1、7，則（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由圖求得的長度，結合直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求解．【詳解】解：由圖可知，在中，，點D為邊的中點，,故選：B．【點睛】本題考查直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；解題的關鍵是熟練掌握該性質．2．（2023·山東泰安·中考真題）如圖，點A，B的坐標分別為，點C為坐標平面內一點，，點M為線段的中點，連接，則的最大值為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖所示，取AB的中點N，連接ON，MN，根據(jù)三角形的三邊關系可知OM＜ON+MN，則當ON與MN共線時，OM=ON+MN最大，再根據(jù)等腰直角三角形的性質以及三角形的中位線即可解答．【詳解】解：如圖所示，取AB的中點N，連接ON，MN，三角形的三邊關系可知OM＜ON+MN，則當ON與MN共線時，OM=ON+MN最大，∵，則△ABO為等腰直角三角形，∴AB=，N為AB的中點，∴ON=，又∵M為AC的中點，∴MN為△ABC的中位線，BC=1，則MN=，∴OM=ON+MN=，∴OM的最大值為故答案選：B．

【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質以及三角形中位線的性質，解題的關鍵是確定當ON與MN共線時，OM=ON+MN最大．3．（2023上·重慶沙坪壩·八年級?？计谀┤鐖D，在中，，于點D，且，于點E，連接，則的長為（）

A． B． C．5 D．6【答案】C【分析】先求解，再利用直角三角形斜邊上的中線的性質可得答案.【詳解】解：∵，且，∴，∵，∴，故選：C．【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質，勾股定理的應用，直角三角形斜邊上的中線的性質，熟記基本圖形的性質是解本題的關鍵.4．（2023·廣東佛山·校考三模）如圖，在中，，，是邊上的中線，把線段沿著方向平移到點B，使得點C與點B重合，連接，，與相交與點O，則下列結論：①四邊形為菱形；②；③；④的面積為四邊形面積的一半．其中正確結論的個數(shù)為（

）

A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】在，是邊上的中線，，可得，由平移可得，，，可證四邊形為平行四邊形，由，可證四邊形為菱形，進而可判斷①的正誤；由菱形的性質可知，為中點，證明為的中位線，則，進而可判斷②的正誤；由菱形的性質可得，，則，進而可判斷③的正誤；由中線的性質可得，由菱形的性質可得，則，進而可判斷④的正誤．【詳解】解：∵在，是邊上的中線，，∴，由平移可得，，，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴四邊形為菱形，①正確，故符合要求；∵四邊形為菱形，∴為中點，又∵是的中點，∴為的中位線，∴，②正確，故符合要求；∵四邊形為菱形，∴，∴，③正確，故符合要求；∵是的中線，∴，由菱形的性質可得，∴，④正確，故符合要求；綜上，正確的結論個數(shù)為4，故選：A．【點睛】本題考查了平移的性質，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，含的直角三角形，菱形的判定與性質．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．5．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考二模）如圖所示，為的中位線，點F在上，且，若，，則的長是（）

A．2 B． C． D．3【答案】C【分析】先根據(jù)三角形中位線定理得到，再由直角三角形斜邊上的中線的性質得到，則．【詳解】解：∵為的中位線，，∴，點D為的中點，∵，，∴，∴，故選C．【點睛】本題主要考查了三角形中位線定理，直角三角形斜邊上的中線的性質，熟知三角形中位線平行與第三邊且等于第三邊的一半是解題的關鍵．6．（2023上·甘肅白銀·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，在中，平分，E是中點，若，則的長為（

）

A．3 B． C．4 D．【答案】D【分析】本題考查的是直角三角形的性質，等腰三角形的判定．根據(jù)三角形內角和定理求出，根據(jù)角平分線的定義，求出，根據(jù)直角三角形的性質解答即可．【詳解】解：∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，在中，E是中點，∴，故選：D7．（2022·遼寧沈陽·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在中，，點D、E分別是直角邊AC、BC的中點，連接DE，則度數(shù)是（

）A．70° B．60° C．30° D．20°【答案】B【分析】因為點D、E分別是直角邊AC、BC的中點，所以DE是的中位線，三角形的中位線平行于第三邊，進而得到，求出的度數(shù)，即為的度數(shù)．【詳解】解：∵點D、E分別是直角邊AC、BC的中點，∴DE是的中位線，∴，∴，∵，，∴，∴，故選：B．【點睛】本題考查三角形中位線的性質以及三角形內角和，由三角形中位線定義，找到平行線是解答本題的關鍵．8．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考中考真題）如圖，點G為的重心，連接CG，AG并延長分別交AB，BC于點E，F(xiàn)，連接EF，若AB＝4.4，AC＝3.4，BC＝3.6，則EF的長度為（

）A．1.7 B．1.8 C．2.2 D．2.4【答案】A【分析】由已知條件得EF是三角形的中位線，進而根據(jù)三角形中位線定理求得EF的長度．【詳解】解：∵點G為△ABC的重心，∴AE＝BE，BF＝CF，∴EF＝＝1.7，故選：A．【點睛】本題主要考查了三角形的重心，三角形的中位線定理，關鍵正確利用重心定義得EF為三角形的中位線．9．（2023·山西呂梁·模擬預測）的周長為36，對角線相交于點O，點E是的中點，的周長為15，則長（）

A．18 B．16 C．14 D．12【答案】D【分析】由平行四邊形的性質及周長為36得到，由點E是的中點得到是的中位線，，則，由的周長為15得到，求出，即可得到長．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，其周長為36，對角線相交于點O，∴，∵點E是的中點，∴是的中位線，，∴，∵的周長為15，∴，即，∴，∴，∴．故選：D．【點睛】此題考查了平行四邊形的性質、三角形中位線定理等知識，熟練掌握平行四邊形的性質和三角形中位線定理是解題的關鍵．10．（2023·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是矩形，，，點P是邊上一點（不與點A，D重合），連接．點M，N分別是的中點，連接，，，點E在邊上，，則的最小值是（

）

A． B．3 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直線三角形斜邊中線的性質可得，，通過證明四邊形是平行四邊形，可得，則，作點C關于直線的對稱點M，則，點B，P，M三點共線時，的值最小，最小值為．【詳解】解：四邊形是矩形，，，點M，N分別是的中點，，，，，，，，又，四邊形是平行四邊形，，，如圖，作點C關于直線的對稱點M，連接，，

則，當點B，P，M三點共線時，的值最小，最小值為，在中，，，，的最小值，故選C．【點睛】本題考查矩形的性質，直線三角形斜邊中線的性質，中位線的性質，平行四邊形的判定與性質，軸對稱的性質，勾股定理，線段的最值問題等，解題的關鍵是牢固掌握上述知識點，熟練運用等量代換思想．11．（2023·福建寧德·校考模擬預測）如圖，在中，，D為斜邊的中點，E，F(xiàn)分別是的中點，若，則的長為（）

A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質求出，再根據(jù)三角形中位線定理計算即可．【詳解】解：在中，，，D為斜邊的中點，則，∵E，F(xiàn)分別是的中點，∴是的中位線，∴，故選：A．【點睛】本題考查的是直角三角形斜邊上的中線的性質、三角形中位線定理，熟記三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關鍵．12．（2023下·河北承德·八年級統(tǒng)考期末）順次連接四邊形各邊中點得到四邊形，下列說法正確的是（

）A．只有四邊形為平行四邊形，四邊形才可能為平行四邊形B．只有四邊形為正方形，四邊形才可能為正方形C．如果四邊形為矩形，則四邊形一定是菱形D．如果四邊形為菱形，則四邊形一定是菱形【答案】C【分析】根據(jù)三角形中位線定理、平行四邊形的判定定理得到四邊形為平行四邊形，根據(jù)矩形、菱形、正方形的判定定理判斷即可．【詳解】解：如圖，∵點E、F、G、H分別為、、、的中點，∴，，，，，，∴，，∴四邊形為平行四邊形，故A不符合題意；當，時，∴，，∴平行四邊形為正方形，故B不符合題意；當四邊形為矩形，∴，∴，∴平行四邊形為菱形，C選項符合題意；當四邊形為菱形，∴，∴，∴平行四邊形為矩形，D選項說法不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查的是中點四邊形，掌握三角形中位線定理、平行四邊形、正方形、矩形、菱形的判定定理是解題的關鍵．14．（2023下·河北邢臺·八年級校考階段練習）如圖，在四邊形中，，且，順次連接四邊形各邊的中點，得到四邊形，順次連接四邊形各邊的中點，得到四邊形，…按此規(guī)律進行下去．對于結論Ⅰ和Ⅱ，下列判斷正確的是（

）

結論Ⅰ：當時，四邊形是正方形；結論Ⅱ：當時，四邊形的周長是10．A．Ⅰ和Ⅱ都對 B．Ⅰ和Ⅱ都不對 C．Ⅰ不對Ⅱ對 D．Ⅰ對Ⅱ不對【答案】A【分析】根據(jù)中點四邊形和可知四邊形矩形，當時，可得即結論Ⅰ正確；求出四邊形的對角線長，再根據(jù)三角形中位線的性質求得的各邊長，進而求得周長，以此類推即可解答．【詳解】解：∵順次連接四邊形各邊的中點，得到四邊形，∴，∵，∴四邊形矩形，當時，∴∴四邊形是正方形，即結論Ⅰ正確；當時，，∴,∴,，∴四邊形的周長為20；∴∴，∴四邊形的周長為14；∴,∴，∴四邊形的周長為10，即結論Ⅱ正確．故選A．【點睛】本題主要考查了中點四邊形、正方形的判定、三角形中位線、勾股定理等知識點，綜合應用所學知識成為解答本題的關鍵．15．（2022·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）“做數(shù)學”可以幫助我們積累數(shù)學活動經(jīng)驗．如圖，已知三角形紙片，第1次折疊使點落在邊上的點處，折痕交于點；第2次折疊使點落在點處，折痕交于點．若，則．【答案】6【分析】根據(jù)第一次折疊的性質求得和，由第二次折疊得到，，進而得到，易得MN是的中位線，最后由三角形的中位線求解．【詳解】解：∵已知三角形紙片，第1次折疊使點落在邊上的點處，折痕交于點，∴，．∵第2次折疊使點落在點處，折痕交于點，∴，，∴，∴．∵，∴MN是的中位線，∴，．∵，，∴．故答案為：6．【點睛】本題主要考查了折疊的性質和三角形中位線的性質，理解折疊的性質，三角形的中位線性質是解答關鍵．16．（2023·遼寧沈陽·中考真題）如圖，在平行四邊形中，點為邊上一點，，點，點分別是中點，若，則的長為．【答案】8【分析】先根據(jù)三角形中位線定理可得BC的長，再根據(jù)平行四邊形的性質可得AD的長，然后根據(jù)即可得．【詳解】點，點分別是中點是的中位線四邊形ABCD是平行四邊形又故答案為：8．【點睛】本題考查三角形中位線定理、平行四邊形的性質等知識點，解題關鍵是熟記三角形中位線定理．17．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的平分線AD交BC于點D，E為AB的中點，若BC=12，AD=8，則DE的長為．【答案】5【分析】利用勾股定理求出AB，再利用直角三角形斜邊中線的性質求解即可．【詳解】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD=CD=6，∴∠ADB=90°，∴AB=，∵E為AB的中點，∴DE=AB=5，故答案為：5．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，勾股定理，直角三角形斜邊中線的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識．18．（2022上·江蘇蘇州·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，分別以點A、C為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧分別相交于點M、N，直線與相交于點E，過點C作，垂足為點D，與相交于點F，若，則的度數(shù)為．【答案】/106度【分析】由作圖可知，是的垂直平分線，則為的中點，如圖，連接，則，，，，由，可得，根據(jù)，計算求解即可．【詳解】解：由作圖可知，是的垂直平分線，∴為的中點，如圖，連接，∵，∴，∴，∴，，，∵，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了作垂線，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，等邊對等角，三角形外角的性質等知識．熟練掌握直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半是解題的關鍵．19．（2023·四川成都·一模）在中，，，，為的中點，則．【答案】/【分析】先根據(jù)題意畫出圖形，再運用勾股定理求得，然后再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答即可．【詳解】解：如圖：∵，，，∴∵，為的中點，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了運用勾股定理解直角三角形、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質等知識點，掌握“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”成為解題的關鍵．20．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，點D為斜邊的中點，連接，過點D作交于點E，若，則的長為．【答案】【分析】根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質得出，證得是等腰三角形，再根據(jù)等腰三角形的性質得出點E為的中點，從而得到是的中位線，最后根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：∵，點D為斜邊的中點，∴，∴是等腰三角形，∵，，∴，即，∴，即點E為的中點，∴是的中位線，∴，在中，，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了直角三角形的性質，等腰三角形的性質與判定，三角形中位線的性質與判定和勾股定理等知識點，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．21．（2023·山西晉城·校聯(lián)考模擬預測）如圖，在菱形中，對角線，相交于點，為邊的中點．若，，則菱形的面積為．

【答案】96【分析】根據(jù)菱形的性質和直角三角形斜邊上的中線性質得到，，再利用勾股定理求得，則，根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半求解即可．【詳解】解：∵四邊形是菱形，，∴，，，∵在中，為邊的中點．，∴，∴，則，∴菱形的面積為，故答案為：96．【點睛】本題考查菱形的性質、直角三角形斜邊的中線性質、勾股定理，熟練掌握菱形的性質是解答的關鍵．22．（2023·湖南長沙·?？既＃┤鐖D，在中，，，，點是邊的中點分別以點，為圓心，以的長為半徑畫弧，兩弧交于點；連接，．

(1)根據(jù)以上尺規(guī)作圖的過程，請直接寫出四邊形的形狀是______；(2)在第（1）問的基礎上，求四邊形的面積．【答案】(1)菱形(2)【分析】（1）證明即可．（2）證明是等邊三角形，可得結論．【詳解】（1）四邊形是菱形．理由：，，，，