專題02 勾股定理中的翻折模型（解析版）

專題02.勾股定理中的翻折模型翻折問題屬于圖形變換中的實際問題，也是近些年中考試卷出題老師青睞的題型。在解決翻折問題的有關(guān)的題目中，要注意隱含的已知條件比較多。比如翻折前后的圖形全等，這樣就好出現(xiàn)相等的線段和相等的角；因為大部分翻折問題是對矩形進(jìn)行翻折，所以翻折后由于線段交錯，出現(xiàn)的直角三角形也引起注意；因為翻折問題本身是軸對稱的問題，所以翻折前后對應(yīng)點所連線段會被折痕所在直線垂直平分；折痕還會平分翻折所形成的的兩個角?？傊?，翻折問題并不復(fù)雜，只要要把隱含已知條件熟記于心，再結(jié)合其他有關(guān)知識就能讓此類問題迎刃而解了?！局R儲備】勾股定理在有關(guān)圖形折疊計算的問題中的共同方法是：在圖形中找到一個直角三角形，然后設(shè)圖形中某一未知數(shù)為x，將此三角形中的三邊長用具體數(shù)或含x的代數(shù)式表示，再利用勾股定理列出方程，從而得出要求的線段的長度。模型1.折痕過對角線模型【模型解讀】沿著矩形的對角線所在直線進(jìn)行翻折。已知矩形ABCD中，以對角線AC為折痕，折疊ABC，點B的對應(yīng)點為B’.結(jié)論1：≌；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’；結(jié)論3：AEC是等腰三角形。例1．（2023·成都市八年級課時練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，，將△ABD沿對角線BD對折，得到△EBD，DE與BC交于F，，則（

）A． B．3 C． D．6【答案】A【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，可知BF=DF=-EF，在Rt中，由勾股定理得：，由此即可求得EF值．【詳解】解：∵，，∴AD=，，由折疊可知，AB=BE=6，AD=ED=，，，∵，∴∠BDF=∠DBF∴BF=DF=-EF，∴在Rt中，由勾股定理得：，∴，解得：EF=，故選：A．【點睛】本題主要考查的是勾股定理的應(yīng)用，靈活利用折疊進(jìn)行發(fā)掘條件是解題的關(guān)鍵．例2．（2022春·福建泉州·八年級?？计谥校┤鐖D，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，將矩形沿對角線AC折疊，點D落在處．(1)求CF的長；(2)求重疊部分△AFC的面積．【答案】(1)5(2)10【分析】（1）矩形沿對角線AC對折后，所以，，，可得，再設(shè)AF＝CF＝x，BF＝8﹣x，Rt△BCF中利用勾股定理列出方程，解出x，即可得出答案；（2）直接根據(jù)三角形面積公式求解即可．【詳解】（1）依題意可知，矩形沿對角線AC對折后有：以，，，∴（AAS），∴CF＝AF.設(shè)AF＝CF＝x，∴BF＝8﹣x，在Rt△BCF中，，即，解得x＝5．所以CF=5；（2）由（1）得AF=CF=5，根據(jù)題意，得．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的運用等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AF=CF是解題的關(guān)鍵．例3．（2023·貴州黔東南·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊在軸上，邊在軸上，點的坐標(biāo)為.將矩形沿對角線翻折，點落在點的位置，且交軸于點，那么點的坐標(biāo)為.【答案】（0，）．【分析】先證明EA=EC（設(shè)為x）；根據(jù)勾股定理列出x2=12+（3-x）2，求得x=，即可解決問題．【詳解】由題意知：∠BAC=∠DAC，AB∥OC，∴∠ECA=∠BAC，∴∠ECA=∠DAC，∴EA=EC（設(shè)為x）；由題意得：OA=1，OC=AB=3；由勾股定理得：x2=12+（3-x）2，解得：x=，∴OE=3-=，∴E點的坐標(biāo)為（0，）．故答案為（0，）．【點睛】該題主要考查了翻折變換的性質(zhì)及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是靈活運用有關(guān)定理來分析、判斷、推理或解答；對綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．模型2.折痕過一頂點模型【模型解讀】沿著矩形的一個頂點和一邊上的點的線段所在直線進(jìn)行翻折。已知矩形ABCD中，以AE為折痕，點B的對應(yīng)點為B’.折在矩形內(nèi)結(jié)論1：≌；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’。折在矩形邊上結(jié)論1：≌；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’。折在矩形外結(jié)論1：四邊形≌四邊形；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’；結(jié)論3：AEF是等腰三角形。例1．（2023·浙江寧波·八年級?？计谀┤鐖D，矩形紙片中，，，折疊紙片使的對應(yīng)點落在對角線上，折痕為，則的長為______．【答案】.【分析】先利用勾股定理求出BD，設(shè)AF=EF=x，則由折疊的性質(zhì)有BF=4-x，BE=2，在Rt△BEF中，由FB2=EF2+BE2，列出方程即可解決問題．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∵AB=4，AD=3，∴BD=，∵△DFE是由△DFA翻折得到，∴DE=AD=3，BE=2，設(shè)AF=EF=x，在Rt△BEF中，∵FB2=EF2+BE2，∴（4-x）2=x2+22，∴x=，∴AF=，故答案為：．【點睛】本題考查翻折變換、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識，利用法則不變性，設(shè)未知數(shù)列方程是解題的關(guān)鍵，是中考?？碱}型．例2．（2022·山東德州·八年級統(tǒng)考期末）如圖將矩形沿直線折疊，頂點D恰好落在邊上F處，已知，，則______．【答案】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，，再根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)，，在中，由勾股定理得：，故答案是：．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)．例3．（2023春·成都市·八年級專題練習(xí)）如圖，在矩形中，是的中點，將沿折疊后得到，延長交于點點，若，，則的長為______．【答案】【分析】連接，根據(jù)翻折的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和是的中點，可得：，，，，可證，得；再根據(jù)，，可得，，可求出，再根據(jù)勾股定理可求出的長．【詳解】解：連接，則在矩形中，根據(jù)翻折的性質(zhì)和是的中點，可得：，，，，在與中，∴；∴，∵，，∴，∴∴，在中，故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、圖形的折疊變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用等重要知識，熟悉相關(guān)性質(zhì)并能靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．例4．（2023·廣東·八年級專題練習(xí)）如圖，矩形中，點、在上，將，分別沿著，翻折，點的對應(yīng)點和點的對應(yīng)點恰好重合在點處，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出△BCF≌△BEF和△ADG≌△AEG，從而證出A、E、F以及B、E、G共線，設(shè)CF=x，再根據(jù)勾股定理得出FG，繼而得出的值．【詳解】解：矩形中，由翻折變換的性質(zhì)得，∴△BCF≌△BEF，△ADG≌△AEG，∴∠C=∠BEF=∠D=∠AEG=90°，CF=EF，DG=EG；在四邊形BCFE中，∠CBE+∠CFE=180°，∵∠GFE+∠CFE=180°，∴∠CBE=∠GFE，∵∠CBE+∠EGF=90°，∴∠GFE+∠EGF=90°，∴∠FEG=90°，∴∠AEG+∠FEG=180°，∠BEF+∠FEG=180°，∴A、E、F三點共線，B、E、G三點共線，∴翻折變換的性質(zhì)得CF=EF=EG=DG=x∴∴∴；故選：D．【點睛】本題考查了翻折變換，勾股定理，四邊形的內(nèi)角和，得到∠FEG=90°是解題的關(guān)鍵例5．（2023·江西撫州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，，點在矩形的邊上由點向點運動.沿直線翻折，形成如下四種情形，設(shè)，和矩形重疊部分（陰影）的面積為.（1）如圖4，當(dāng)點運動到與點重合時，求重疊部分的面積；（2）如圖2，當(dāng)點運動到何處時，翻折后，點恰好落在邊上？這時重疊部分的面積等于多少？【答案】（1）；（2）當(dāng)時，點恰好落在邊上,這時.【分析】（1）根據(jù)折疊或者軸對稱的性質(zhì),找到數(shù)量關(guān)系,運用方程思想設(shè)未知數(shù),結(jié)合勾股定理解答;（2）同樣根據(jù)軸對稱的性質(zhì),找到數(shù)量關(guān)系,運用方程思想設(shè)未知數(shù),結(jié)合勾股定理解答;【詳解】解：（1）由題意可得,∴設(shè),則在中,∴重疊的面積（2）由題意可得∴

在中∵∴∴在中解得：此時∴當(dāng)時，點恰好落在邊上這時.【點睛】本題綜合考查了多個知識點,包括折疊與軸對稱、方程、勾股定理等,在結(jié)合圖形及其變化,充分理解題意的前提下,熟練掌握運用各個知識點方可解答.模型3.折痕任意兩點模型【模型解讀】沿著矩形邊上的任意兩點所在直線進(jìn)行翻折。已知矩形ABCD中，以E，F(xiàn)為折痕，點B的對應(yīng)點為B’，點C的對應(yīng)點為C’.折在矩形內(nèi)結(jié)論1：≌；結(jié)論2：折痕EF垂直平方BB’。折在矩形邊上結(jié)論1：四邊形≌四邊形；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’。折在矩形外結(jié)論1：四邊形≌四邊形；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’；結(jié)論3：GC’F是直角三角形。例1．（2022春·河南駐馬店·八年級校考期中）如圖，在長方形紙片中，，，，點E是的中點，點F是邊上的一個動點，將沿所在直線翻折，得到，連接，則當(dāng)是直角三角形時，的長是．【答案】或7【分析】根據(jù)題意，分及兩種情況進(jìn)行討論求解．其中，當(dāng)時，，，三點共線，由矩形性質(zhì)及已知條件，有，，在中，運用勾股定理求得的長，再根據(jù)翻折性質(zhì)，在中，運用勾股定理求得FD的長；當(dāng)，運用翻折性質(zhì)，證得是等腰直角三角形，再運用矩形性質(zhì)，求得FD的長．【詳解】解：分兩種情況進(jìn)行討論，①當(dāng)時，∵矩形中，沿所在直線翻折，得到，∴，∴，，三點共線．∵矩形，，∴．∵，點E是的中點，∴．∴在中，．∵沿所在直線翻折，得到，，∴，∴．設(shè)，則，∵，∴，∵，∴在中，，即，解得，∴．②當(dāng)時，∵，∴．∴沿所在直線翻折，得到，∴．∵矩形，∴．∵，∴是等腰直角三角形．∵，點E是的中點，∴，∵矩形，，∴，∴．綜上所述，的長為或7．【點睛】本題考查了矩形的翻折問題，熟練運用翻折性質(zhì)、勾股定理，是解題的關(guān)鍵．例2．（2022·成都市八年級月考）如圖，將矩形紙片ABCD沿EF折疊，使D點與BC邊的中點D′重合．若BC=8，CD=6，則CF的長為_________________．【答案】【分析】設(shè)，在中利用勾股定理求出x即可解決問題．【詳解】解：∵是的中點，，，∴，由折疊的性質(zhì)知：，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理得：，即：，解得，∴．故答案為：【點睛】本題考查翻折變換、勾股定理，解題的關(guān)鍵是利用翻折不變性解決問題，學(xué)會轉(zhuǎn)化的思想，利用方程的去思考問題，屬于中考?？碱}型．例3．（2022秋·重慶沙坪壩·八年級?？计谥校┤鐖D所示，四邊形是一張長方形紙片，將該紙片沿著翻折，頂點B與頂點D重合，點A的對應(yīng)點為點，若，，則的面積為_________．【答案】【分析】根據(jù)長方形得到，，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，由勾股定理得到，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，∴，,如圖所示：∵將該紙片沿著EF翻折，頂點B與頂點D重合，∴A'D，，∴，，，∴，∴，，∴，解得，∴，∴過作于H，∴，∴AA'E的面積為，故答案為：．【點睛】本題考查了翻折變換（折疊問題），長方形的性質(zhì)，三角形面積的計算，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例4．（2023春·廣西南寧·八年級統(tǒng)考期中）如圖，將矩形ABCD沿EF折疊，使頂點C恰好落在AB邊的中點C′上．若AB=6，BC=9，則BF的長為_______【答案】4【分析】首先求出BC′的長度，設(shè)出C′F的長，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于線段C′F的方程，解方程求出C′F的長，即可解決問題．【詳解】∵四邊形ABCD為矩形，∴∠B＝90°；∵點C′為AB的中點，AB＝6，∴BC′＝3；由題意得：C′F＝CF（設(shè)為x），則BF＝9?x，由勾股定理得：x2＝32＋(9?x)2，解得：x＝5，∴BF＝9?5＝4．故答案為4．【點睛】本題以矩形為載體，以翻折變換為方法，以考查翻折變換的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用等幾何知識點為核心構(gòu)造而成；靈活運用有關(guān)定理來解題是關(guān)鍵．例5．（2022·上海楊浦·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，，點E在邊上，點A、D關(guān)于直線的對稱點分別是點M、N．如果直線恰好經(jīng)過點C，那么的長是__________．【答案】【分析】先根據(jù)題意畫出圖形，然后利用三角形勾股定理即可得到答案．【詳解】解：如圖，連接，則有四邊形，四邊形相當(dāng)于四邊形沿邊對折得到．已知，，則，，在中，，則，設(shè)，則，，在中，，即，解得，故答案為：．【點睛】考查了三角形勾股定理的應(yīng)用，三角形勾股定理是經(jīng)?？疾榈囊粋€知識點．模型4.過一個頂點所在直線（落點在一邊上）翻折模型【模型解讀】1）沿過點A的直線翻折使得點B的對應(yīng)點為B’落在斜邊AC上，折痕為AD；2）沿過點C的直線翻折使得點B的對應(yīng)點為B’落在斜邊AC上，折痕為CD；3）沿過點B的直線翻折使得點A的對應(yīng)點為E落在BC邊上，折痕為BD。例1．（2023春·廣東陽江·八年級統(tǒng)考期中）如圖，中，，，．(1)的長為．(2)把沿著直線翻折，使得點C落在邊上E處，求的長．【答案】(1)20(2)6【分析】（1）在中利用勾股定理即可求出的長；（2）首先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，則，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理得出即可求出．【詳解】（1）解：∵

∴∵，∴故答案為：；（2）根據(jù)折疊可得：，

則，設(shè)，則，∵∴

解得：，

∴【點睛】該題主要考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，掌握翻折變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例2．（2023秋·重慶·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，，為的平分線，將沿向上翻折得到，使點在射線上，則的長為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理求得，進(jìn)而根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，可得，設(shè)，表示出，進(jìn)而在中，勾股定理列出方程，解方程即可求解．【詳解】解：∵在中，，，，∴，∵將沿向上翻折得到，使點在射線上，∴，設(shè)，則，，在中，，即，解得：即的長為，故選：B．【點睛】本題考查了勾股定理與折疊問題，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．例3．（2023秋·上海靜安·八年級校考期末）如圖，在中，，，為邊上一點，將沿著直線翻折，點恰好落在邊上的點處，連接．如果，那么的長為．【答案】/【分析】根據(jù)題意，作出圖形，進(jìn)而根據(jù)折疊的性質(zhì)以及已知條件得出，進(jìn)而根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理求得，進(jìn)而得出．【詳解】解：如圖，∵，∴，∴，∵折疊，∴，∴，∵中，，∴，∴，∵，∴，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，得出是解題的關(guān)鍵．模型5.過斜邊中點所在直線翻折模型【模型解讀】1）沿直線MN（N為斜邊中點）翻折使得點A與點C重合；2）沿中線BE翻折，使得點A落在點F處，連結(jié)AF，F(xiàn)C，AF與BE交于點O.3）沿中線BE翻折，使得點C落在點D處，連結(jié)AD，CD.例1．（2023秋·廣東·八年級專題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，將△ADE沿DE翻折，使點A與點B重合，則AE的長為（

）A． B．3 C． D．【答案】D【分析】先利用折疊的性質(zhì)得到，設(shè)，則，，在中，根據(jù)勾股定理可得到，求解即可．【詳解】解：∵沿DE翻折，使點A與點B重合，∴，∴，設(shè)，則，，在中，∵，∴，解得，∴，故選：D．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用，理解題意，熟練掌握勾股定理解三角形是解題關(guān)鍵．例2．（2023春·廣西·八年級專題練習(xí)）已知，如圖，在中，是上的中線，如果將沿翻折后，點的對應(yīng)點，那么的長為__________．【答案】．【分析】先用勾股定理求得BC，利用斜邊上的中線性質(zhì)，求得CD，BD的長，再利用折疊的性質(zhì)，引進(jìn)未知數(shù)，用勾股定理列出兩個等式，聯(lián)立方程組求解即可．【詳解】如圖所示，∵，∴BC==8，∵CD是上的中線，∴CD=BD=AD=5，設(shè)DE=x，BE=y，根據(jù)題意，得，，解得x=，y=,∴,故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理，斜邊上中線的性質(zhì)，方程組的解法，折疊的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)，正確構(gòu)造方程組計算是解題的關(guān)鍵．例3．（2023秋·上海徐匯·八年級校聯(lián)考期末）如圖，點是的邊的中點，將沿直線翻折能與重合，若，，，則點到直線的距離為_______【答案】【分析】連接，延長交于點G，作于點H，如圖所示，由折疊的性質(zhì)及中點性質(zhì)可得三角形為直角三角形，且G為中點，從而，由勾股定理可得的長，再根據(jù)，即，從而可求得的長．【詳解】解：連接，延長交于點G，作于點H，如圖所示，由折疊的性質(zhì)可得：，則為的中垂線，∴，∵D為中點，∴，∴，∵，即，∴，即，在直角三角形中，由勾股定理可得：，∴，∵，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了翻折變換，點到直線的距離，直角三角形的判定、勾股定理、線段中垂線的判定，解決本題的關(guān)鍵是利用面積相等求相應(yīng)線段的長．模型6.過任意兩點所在直線（落在其中一邊）翻折模型【模型解讀】1）沿直線MN翻折，使得點C落在點D處，連結(jié)CD.2）沿直線DE翻折使得點C與邊AB上的點F重合；例1．（2022·河南鶴壁·八年級期末）如圖，中，，M，N分別是邊上的兩個動點．將沿直線折疊，使得點A的對應(yīng)點D落在邊的三等分點處，則線段的長為（

）A．3 B． C．3或 D．3或【答案】D【分析】根據(jù)題意，分和兩種情形，設(shè)，在中，勾股定理建立方程，解方程即可求解．【詳解】解：，點A的對應(yīng)點D落在邊的三等分點處，設(shè)BN＝x，則和，，在中，，當(dāng)時，，解得：，當(dāng)時，，解得：，故選D．【點睛】本題考查了折疊與勾股定理，分類討論是解題的關(guān)鍵．例2．（2022·重慶市七年級期中）如圖，在中，，點D，E分別在邊，上，且，將沿折疊，點C恰好落在邊上的F點，若，，，則的長為______．【答案】【分析】由三角形面積公式可求得，由折疊的性質(zhì)可得，由直角三角形的性質(zhì)可得，，即可求得AB．【詳解】解：∵將△CDE沿DE折疊，點C恰好落在AB上的F處，∴OC＝OF，CF⊥DE，∵，∴，∴，∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，且∠CDE＋∠DCF＝90°，∠CDE＝∠B，∴∠A＝∠ACF，∴，同理可求：，∴．故答案為：．【點睛】本題考查翻折變換，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是綜合運用相關(guān)知識解題．模型7其他三角形翻折模型例1．（2022·成都西川中學(xué)八年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，點E是AB邊上一點．將△CEB沿直線CE折疊到△CEF，使點B與點F重合．當(dāng)CF⊥AB時，線段EB的長為_____．【答案】2【分析】設(shè)CF與AB交于點H，利用勾股定理求出AB，利用面積法求出CH，求出HF和BH，設(shè)BE=EF=x，在△EHF中利用勾股定理列出方程，解之即可．【詳解】解：設(shè)CF與AB交于點H，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB==5，∴S△ABC=，即，∴CH=，由折疊可知：CF=CB=4，∴HF=CF-CH=，在△BCH中，BH=，設(shè)BE=EF=x，則EH=-x，在△EHF中，，∴，解得：x=2，∴EB=2，故答案為：2．【點睛】本題考查了勾股定理，折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用折疊的性質(zhì)得到相等線段，利用勾股定理列出方程．例2．（2022·內(nèi)江九年級期中）如圖，在RtABC的紙片中，∠C＝90°，AC＝7，AB＝25．點D在邊BC上，以AD為折痕將ADB折疊得到，與邊BC交于點E．若為直角三角形，則BD的長是_____．【答案】17或【分析】由勾股定理可以求出的長，由折疊可知對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，當(dāng)為直角三角形時，可以分為兩種情況進(jìn)行考慮，分別利用勾股定理可求出的長．【詳解】解：在中，，（1）當(dāng)時，如圖1，過點作，交的延長線于點，由折疊得：，，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得：，即：，解得：（舍去），，因此，．（2）當(dāng)時，如圖2，此時點與點重合，由折疊得：，則，設(shè)，則，，在△中，由勾股定理得：，解得：，因此．故答案為：17或．【點睛】本題考查了翻折變換，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是：分類討論思想的應(yīng)用注意分類的原則是不遺漏、不重復(fù)．例3．（2023春·北京·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝，D是BC上一點，連接AD．把△ACD沿AD翻折得到△ADE，且DE⊥AB于點F，連接BE，則點E到BC的距離為（）A． B．3 C．2 D．【答案】C【分析】過點A作AG⊥BC，垂足為G，過點B作BH⊥AC，垂足為H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理，可計算出BH、CG的長度，根據(jù)等面積法可計算出AG的長度，再由翻折的性質(zhì)可得△AGD≌△AFD，在Rt△BDF中，可計算出DF的長度，即可得出DE的長，再由在△BDF中應(yīng)用等面積法即可得出答案．【詳解】解：過點A作AG⊥BC，垂足為G，過點B作BH⊥AC，垂足為H，∵AB＝BC＝5，∴，在Rt△BCH中，BH2+CH2＝BC2，BH2+()2＝52，解得BH＝，解得：AG＝3，在中，CG2+AG2＝AC2，CG2+33＝，解得：CG＝1，由翻折可得，∠ADF＝∠ADG，∵DE⊥AB，∴∠AGD＝∠AFD＝90°，∴△AGD≌△AFD(AAS)，∴AF＝AG＝3，BF＝AB﹣AF＝2，設(shè)GD＝x，則DF＝x，BD＝4﹣x，在Rt△BDF中，DF2+BF2＝BD2，x2+22＝（4﹣x）2，解得，∴DE＝CD＝，BD＝BC﹣CD＝，設(shè)點E到BC的距離為d，解得d＝2．所以點E到BC的距離為2．故選：C．【點睛】本題主要考查了翻折的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)及等面積法，熟練應(yīng)用相關(guān)知識進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．例4．（2023·陜西西安·八年級?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝2，AB＝2，D、E分別是AB和BC上的點，若把△BDE沿DE翻折，B的對應(yīng)點恰好落在AC的中點處，則BD的長是．【答案】/1.75【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，設(shè)，則，在中，勾股定理列出方程即可求得的長，進(jìn)而求得BD的長．【詳解】把△BDE沿DE翻折，B的對應(yīng)點恰好落在AC的中點處，,設(shè)，則，在中，即解得故答案為：【點睛】本題考查了勾股定理，折疊的性質(zhì)，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．例5．（2023秋·廣東揭陽·八年級校考階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，，,，點E在線段AC上，D是線段BC上的一點，連接DE，將四邊形ABDE沿直線DE翻折，得到四邊形FGDE，當(dāng)點G恰好落在線段AC上時，，則．【答案】1【分析】連接BE，由將四邊形ABDE沿直線DE翻折，得到四邊形FGDE，可得BE=4-AE，然后利用勾股定理即可得解．【詳解】解：如下圖，連接BE，∵將四邊形ABDE沿直線DE翻折，得到四邊形FGDE，∴BE=EG，∵，，∴BE=EG=AC-AE-2=6-AE-2=4-AE，∵在Rt△ABC中，，，∴AE2+AB2=BE2即，∴AE=1，故答案為：1．【點睛】本題主要考查折疊的性質(zhì)及勾股定理，利用勾股定理構(gòu)造方程求解是解題的關(guān)鍵．例6．（2023春·四川達(dá)州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，，將邊沿翻折，使點落在邊上的點處；再將邊沿翻折，使點落在的延長線上的點處，兩條折痕與斜邊分別交于點、，則的長為．【答案】【分析】首先證明是等腰直角三角形，利用面積法求出，可得，由勾股定理求出，即可求得的長．【詳解】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：，，，，，，，是等腰直角三角形，，，根據(jù)勾股定理得：，，，，，故答案為：．【點睛】此題主要考查了翻折變換，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識；熟練掌握翻折變換的性質(zhì)，由直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出、是解決問題的關(guān)鍵．課后專項訓(xùn)練1．（2023·河北保定·八年級?？计谀┤鐖D，已知中，，將它的銳角翻折，使得點落在邊的中點處，折痕交邊于點，交邊于點，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由折疊可得△AEF≌△DEF，可知AE=DE，由點為邊的中點，可求CD=，設(shè)DE=x，CE=6-x，在Rt△CDE中由勾股定理解方程即可．【詳解】解：∵將它的銳角翻折，使得點落在邊的中點處，折痕交邊于點，交邊于點，∴△AEF≌△DEF，∴AE=DE，∵點為邊的中點，∴CD=，設(shè)DE=x，CE=6-x，在Rt△CDE中由勾股定理，即，解得．故選擇：C．【點睛】本題考查折疊性質(zhì)，中點定義，勾股定理，掌握折疊性質(zhì)，中點定義，勾股定理，關(guān)鍵是利用勾股定理構(gòu)造方程．2．（2023春·重慶渝北·八年級校考階段練習(xí)）如圖，已知直角三角形，點D是邊上一點，連接，把沿著翻折，得到，連接交于點F．若，，則點E到的距離為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】過點E作于點M，先根據(jù)勾股定理求出的長度，再根據(jù)翻折的性質(zhì)得出，繼而利用三角形的面積公式求出，再求出,，利用三角形的面積求解即可．【詳解】過點E作于點M，∴，在直角三角形，，，，∴，∵把沿著翻折，得到，∴，∴，∴，即，解得，∴,，∵，∴，故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理，三角形的面積公式，折疊的性質(zhì)，熟練掌握知識點，準(zhǔn)確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．3．（2023·遼寧沈陽·八年級?？计谥校┤鐖D，長方形ABCD中，，，P為AD上一點，將沿BP翻折至，PE與CD相交于點O，且，則AP的長為（

）A．4.8 B．4.6 C．5 D．4.5【答案】A【分析】由折疊的性質(zhì)得出EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，由ASA證明△ODP≌△OEG，得出OP=OG，PD=GE，設(shè)AP=EP=x，則PD=GE=6-x，DG=x，求出CG、BG，根據(jù)勾股定理得出方程，解方程即可．【詳解】解：如圖所示，∵四邊形ABCD是長方形，∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，根據(jù)題意得：△ABP≌△EBP，∴EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，在△ODP和△OEG中，，∴△ODP≌△OEG（ASA），∴OP=OG，PD=GE，∴DG=EP，設(shè)AP=EP=x，則PD=GE=6-x，DG=x，∴CG=8-x，BG=8-（6-x）=2+x，根據(jù)勾股定理得：，即，解得：x=4.8，∴AP=4.8，故選A．【點睛】本題考查了長方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的運用，熟練掌握翻折變換和長方形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計算是解決問題的關(guān)鍵．4．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考三模）如圖，將矩形ABCD沿EF翻折，使B點恰好與D點重合，已知AD＝8，CD＝4，則折痕EF的長為（

）A．4 B．5 C． D．【答案】D【分析】作于，則，由四邊形為矩形，得，由折疊的性質(zhì)及等量代換得，設(shè)，則，由勾股定理解得，所以，，根據(jù)矩形的判定可證四邊形是矩形，可得出，在由勾股定理得即可計算出．【詳解】解：如圖，作于，則，四邊形為矩形，，，，，，矩形沿折疊，使點與點重合，，，，，，設(shè)，則，在中，，，解得：，，，，，四邊形是矩形，，，，在中，，故選：D．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化．5．（2023·廣東·八年級期末）如圖，在矩形中，，，先將矩形沿著直線翻折，使點落在邊上的點處，再將沿著直線翻折，點恰好落在邊上的點處，則線段的長為()A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，設(shè)，，由勾股定理計算出，進(jìn)而得到，在中，根據(jù)勾股定理得，故可求解．【詳解】解：由翻折得，．∵四邊形是矩形，∴，．在中，根據(jù)勾股定理，得，∴．設(shè)，則，由翻折得，，，在中，由勾股定理，得．∴．解得．故選A．【點睛】此題主要考查矩形與折疊，解題的關(guān)鍵是熟知折疊的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用．6．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測）如圖，在矩形紙片中，，將矩形紙片翻折，使點C恰好落在對角線交點O處，折痕為，點E在邊上，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先證明△OBC是等邊三角形，在Rt△EBC中求出CE即可解決問題；【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴OB=OC，∠BCD=90°，由翻折不變性可知：BC=BO，∴BC=OB=OC，∴△OBC是等邊三角形，∴∠OBC=60°，∴∠EBC=∠EBO=30°，∴BE=2CE根據(jù)勾股定理得：EC==，故選：D．【點睛】本題考查翻折變換，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是證明△OBC是等邊三角形．7．（2023·甘肅慶陽·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，把矩形紙片ABCD沿EF翻折，點A恰好落在BC的處，若，，，則四邊形的面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)結(jié)合矩形的性質(zhì)得到，，，利用勾股定理求得，過作⊥于，設(shè)，在中，再利用勾股定理列式求得，根據(jù)梯形面積公式即可求解．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，∴，根據(jù)折疊的性質(zhì)，得：，，，，，，在中，，，∴，∴，過作⊥于，則，設(shè)，則，，在中，，即，解得：，即，∴四邊形的面積是，故選：C．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，梯形的面積公式，解本題的關(guān)鍵是利用勾股定理分別求出，的長．8．（2023·山東濟南·七年級期末）如圖，折疊直角三角形紙片，使得點與點重合，折痕為．若，，則的長是______．【答案】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，然后在中，利用勾股定理即可解答．【詳解】解：∵折疊直角三角形紙片，使得點與點重合，∴，又∵，，，∴，∵在中，，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了翻折變換（折疊問題），勾股定理．理解和掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．9．（2023春·重慶九龍坡·八年級校考期中）如圖，在中，，，，點D在邊上，連接．將沿翻折后得到，若，則線段的長為______．【答案】【分析】與交于點F，設(shè)，則，據(jù)勾股定理得出，，再由翻折的性質(zhì)得出，，設(shè)，則，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：與交于點F，設(shè)，則，∵，，，，∴即，解得：，∴，∴，∵將沿翻折后得到，∴，，∴，設(shè)，則，∴即，解得：線段的長為故答案為：【點睛】本題考翻折變換，勾股定理知識，解題關(guān)鍵是熟練掌握運用勾股定理進(jìn)行求解，屬中考常考題型．10．（2023春·北京東城·八年級?？计谥校┤鐖D，在長方形中，E為上一點，將沿翻折，點D恰好落在邊上的點F處．若，則的長為____________．【答案】5【分析】設(shè)，由，利用勾股定理可得的長，在中，利用勾股定理列式，即可解得，據(jù)此即可求解．【詳解】解：∵四邊形是長方形，∴，設(shè)，則，∵，∴，∴，在中，，∴，解得：，∴，∴，故答案為：5．【點睛】本題考查了翻折的性質(zhì)，勾股定理及應(yīng)用等知識，熟練掌握翻折的性質(zhì)和矩形性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2023·湖北十堰·八年級統(tǒng)考期中）如圖，將一塊長方形紙片沿翻折后，點C與E重合，交于點H，若，，則的長度為．【答案】6【分析】由翻折得到，，利用長方形的性質(zhì)得到，推出，證明，得到，求出，由此求出，繼而得到答案．【詳解】解：由翻折得，，在長方形中，，，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：6．【點睛】此題考查了翻折的性質(zhì)，長方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形30度角的性質(zhì)，熟練掌握各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）綜合實踐課上，小聰用一張長方形紙ABCD對不同折法下的折痕進(jìn)行了探究，已知AB＝12，∠CAB＝30°，點E，F(xiàn)分別在AB，CD上，且AE＝5，（1）把長方形紙片沿著直線EF翻折，使點A的對應(yīng)點A′恰好落在對角線AC上，點D的對應(yīng)點為D′，如圖①，則折痕EF長為；（2）在EF，A′D′上取點G，H，沿著直線GH繼續(xù)翻折，使點E與點F重合，如圖②，則折痕GH長為．【答案】8【分析】（1）過F點作FM⊥AB于M點，易證明四邊形AMFD是矩形，即有AD=FM，DF=AM，根據(jù)∠CAB=30°，AB=12，在Rt△ABC中，利用勾股定理可得，即，則，根據(jù)翻折的性質(zhì)有，即可得∠MFE=∠CAB=30°，則在Rt△MFE中，得，問題得解；（2）連接HF、HE，AC、EF交于N點，根據(jù)折疊的性質(zhì)，可求出AM=AE-ME=5-4=1，即DF=AM=1，，在和中，利用勾股定理有，，即有，可得到，進(jìn)而可得，在中利用勾股定理即可求解．【詳解】解：（1）過F點作FM⊥AB于M點，如圖，在長方形ABCD中，AB=CD，BC=AD，∠DAB=∠D=90°，∵FM⊥AB，∴∠FMA=∠FME=90°，∴四邊形AMFD是矩形，∴AD=FM，DF=AM，∵∠CAB=30°，AB=12，∴在Rt△ABC中，有2BC=AC，即，得，解得，，即，∴，根據(jù)翻折的性質(zhì)有，∴∠MFE+∠FEM=90°，∠CAB+∠AEF=90°，

∴∠MFE=∠CAB=30°，∴在Rt△MFE中，有2ME=EF，即，得，解得EF=8，即ME=4，故答案為：8．（2）連接HF、HE，AC、EF交于N點，如圖，根據(jù)翻折的性質(zhì)有，，，，，，∵M(jìn)E=4，AE=5，∴AM=AE-ME=5-4=1，∴DF=AM=1，∴，，，∴，根據(jù)折疊的性質(zhì)有：GH垂直平分EF，

∴FG=GE=EF=4，∵在和中，利用勾股定理有，，∴，解得，∴，∵在中，，故答案為：．【點睛】本題屬于幾何綜合題，考查矩形的性質(zhì)，翻折變換，勾股定理以及含30°角直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用勾股定理，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．13．（2022春·遼寧葫蘆島·八年級統(tǒng)考期末）在矩形中，，，點E在邊上，連接，將沿翻折，得到，交于點F，連接．若點F為的中點，則的長度為．【答案】【分析】過點C'作C'H⊥AD于點H，由折疊的性質(zhì)可得CD＝C'D＝3，∠C＝∠EC'D＝90°，由勾股定理可求C'F＝1，由三角形面積公式可求C'H的長，再由勾股定理可求AC'的長．【詳解】解：如圖，過點C'作C'H⊥AD于點H，∵點F為AD的中點，AD＝BC＝，∴AF＝DF＝，∵將△DEC沿DE翻折，∴CD＝C'D＝3，∠C＝∠EC'D＝90°，在Rt△DC'F中，C'F＝＝1，∵S△C'DF＝×DF×C'H＝×C'F×C'D，∴×C'H＝1×3，∴C'H＝，∴FH＝，∴AH＝AF+FH＝，在Rt△AC'H中，AC'＝．故答案為：．【點睛】本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，求C'H的長是本題的關(guān)鍵．14．（2022·河南駐馬店·統(tǒng)考三模）如圖，在矩形ABCD中，，，點E是AB邊上的動點（不與點A，B重合），連接CE，將沿直線CE翻折得到，連接．當(dāng)點落在邊AD上，且點恰好是AD的三等分點時，的周長為．【答案】或【分析】分以下兩種情況進(jìn)行討論．①當(dāng)點恰好是AD的三等分點且靠近A點時；②當(dāng)點恰好是AD的三等分點且靠近D點時，根據(jù)折疊性質(zhì)及勾股定理求解即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴，．由題意，可知需分以下兩種情況進(jìn)行討論．①當(dāng)點恰好是AD的三等分點且靠近A點時，如圖1所示．又∵，∴，．由折疊的性質(zhì)，可知，，∴．∴．∴．②當(dāng)點恰好是AD的三等分點且靠近D點時，如圖2所示．又∵，∴，．由折疊的性質(zhì)，可知，，∴．∴．∴．綜上所述，當(dāng)點落在邊AD上，且點恰好是AD的三等分點時，的周長為或．故答案為：或【點睛】本題考查矩形及其折疊問題，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，對點位置進(jìn)行分情況討論．15．（2023春·重慶南岸·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=5，點E，F(xiàn)分別為邊AB與BC上兩點，連接EF，將△BEF沿著EF翻折，使得B點落在AC邊上的D處，AD=2，則EO的值為．【答案】【分析】過點作的垂線段，交于點，根據(jù)題意，可得為等腰直角三角形，再根據(jù)翻折可得，，，求出，再設(shè)，根據(jù)勾股定理求出的長，即可得到的長．【詳解】解：如圖，過點作的垂線段，交于點，，，為等腰直角三角形，,，，設(shè)，則根據(jù)翻折，，在中，，可得方程，解得：，將△BEF沿著EF翻折，使得B點落在AC邊上的D處，，，，，．故答案為：．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理列方程求解問題，翻折問題，正確的作出輔助線，一步一步推論是解題的關(guān)鍵．16．（2023·上海松江·八年級期末）如圖，長方形ABCD中，BC=5，AB=3，點E在邊BC上，將△DCE沿著DE翻折后，點C落在線段AE上的點F處，那么CE的長度是________．【答案】【分析】由對折先證明再利用勾股定理求解再證明從而求解于是可得答案.【詳解】解：長方形ABCD中，BC=5，AB=3，由折疊可得：故答案為：【點睛】本題考查的是長方形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，軸對稱的性質(zhì)，求解是解本題的關(guān)鍵.17．（2023·四川達(dá)州·八年級?？计谀┤鐖D所示，有一塊直角三角形紙片，，，將斜邊翻折使點B落在直角邊的延長線上的點E處，折痕為，則的長為【答案】4cm【分析】根據(jù)勾股定理可將斜邊的長求出，根據(jù)折疊的性質(zhì)知，，已知的長，可將的長求出，再根據(jù)勾股定理列方程求解，即可得到的長．【詳解】解：∵，，∴，由題意得，，∴．設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理得，即，解得，即長為．【點睛】本題考查的是翻折變換，理解翻折變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，翻折后的圖形與原圖形是全等的．18．（2022秋·山東濟南·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝5，將此三角形沿DE翻折，使得點A與點B重合，則AE長為．【答案】3.4【分析】由折疊的性質(zhì)得，設(shè)，后在中，由勾股定理得出方程，求出x即可．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)得：，設(shè)，在中，由勾股定理得：，∴，∴，故答案為：．【點睛】題目主要考查折疊的性質(zhì)，勾股定理解三角形等，理解題意，熟練掌握運用勾股定理是解題關(guān)鍵．19．（2023春·湖南長沙·八年級校考期中）如圖、將長方形沿對角線翻折，點B落在點F處，交于E．(1)求證：是等腰三角形；(2)若，，求圖中的面積．【答案】(1)見解析(2)40【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，得到，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到可得到結(jié)論；（2）設(shè)，則：，在中，利用勾股定理求出的值，進(jìn)而利用面積公式進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：∵四邊形是長方形即矩形，∴，∴，∵將長方形沿對角線翻折，點落在點處，∴，∴，∴，∴是等腰三角形；（2）解：∵，，∴，，設(shè)，則：，在中，即，解得：，∴，∴．∴圖中的面積為．【點睛】本題考查翻折變換—折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，勾股定理，等腰三角形的判定，三角形面積的計算．熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．（2022秋·福建漳州·八年級期末）在長方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，P是邊AD上一點，將△ABP沿著直線BP翻折得到△A'BP．(1)如圖1，當(dāng)A'在BC上時，連接AA'，求AA'的長；(2)如圖2，當(dāng)AP＝6時，連接A'D，求A'D的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意可得，再利用勾股定理，即可求解；（2）過點作于點M，延長交BC于點N，可得AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥BC，，AD=BC=10，再設(shè)，則，，在和中，根據(jù)勾股定理可得，，從而得到，，進(jìn)而得到，再由勾股定理，即可求解．(1)解：根據(jù)題意得：，∴；(2)解：如圖，過點作于點M，延長交BC于點N，根據(jù)題意得：AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥BC，，AD=BC=10，∴DP=4，∵，∴MN⊥BC，∴MN=AB=8，AM=BN，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得，即，在中，由勾股定理得，即，由①②聯(lián)立得：，把代入②得：或（舍去），∴，，∴，∴．【點睛】本題考查圖形的折疊，勾股定理，熟練掌握圖形折疊前后對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．22．（2023秋·山東濟南·九年級統(tǒng)考開學(xué)考試）在學(xué)完矩形的性質(zhì)后，老師組織同學(xué)們利用矩形的折疊開展數(shù)學(xué)活動．小亮發(fā)現(xiàn)矩形折疊后，會出現(xiàn)全等的圖形；小穎發(fā)現(xiàn)矩形折疊后會得到直角三角形，請利用同學(xué)們的發(fā)現(xiàn)解決下列問題．(1)如圖1，矩形，，，將延對角線翻折得到，點的對應(yīng)點為點，與交于點，則有______，，且，易得______；(2)在（1）的條件下，若要求線段的長度，令，則______(用x表示)，在中利用勾股定理列出方程