實際問題與一元二次方程（銷售問題、圖表問題、動點問題）（導學案）-九年級數(shù)學上冊同步備課系列

學習目標1）根據(jù)實際問題中的數(shù)量關系，正確列出一元二次方程。2）通過列方程解應用題體會一元二次方程在實際生活中的應用，經(jīng)歷將實際問題轉化為數(shù)學問題的過程，提高數(shù)學應用意識。引入新課【提問】回顧列方程解決實際問題的基本步驟?新知探究【問題】九年級學生小明在暑假期間勤工儉學。1）他每天在批發(fā)市場以每斤2.5元買進黃瓜，再到市場以每斤4元賣掉黃瓜，那么他每賣1斤黃瓜可以賺到元；2）如果他每天都能賣完50斤黃瓜，則他每天收入是元。3）他每天外面吃飯需花費20元，則他每天實際可以獲得_____________元?！咎釂枴扛鶕?jù)上述問題，你能售價、進價、利潤、支出之間存在的關系嗎?【問題】某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．為了擴大銷售，增加盈利，盡快減小庫存，商場采取了降價措施．假設在一定范圍內(nèi)，襯衫的單價每降1元，商場平均每天可多售出2件.如果降價后商場銷售這批襯衫每天盈利1200元，那么襯衫的單價降了多少元？【提問1】如果設襯衫單價應降x元，根據(jù)題目信息補充表格【提問2】本題中的等量關系是什么？你能解決這個問題嗎?【提問3】站在商家角度你覺得如何降價合適？【問題】某商店進了一批服裝，進貨單價為50元，若按每件60元出售，則可銷售800件；若每件再提價1元出售，則其銷售量就減少20件。現(xiàn)在預算要獲利潤12000元，應按每件多少元出售？【提問1】如果設應按每件x元出售，根據(jù)題目信息補充表格【提問2】本題中的等量關系是什么？你能解決這個問題嗎?【問題】如果換一種設未知數(shù)的方法，是否可以更簡單地解決上面問題？請你試一試。典例分析例1某工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品按供需要求分為十個檔次．若生產(chǎn)第一檔次（最低檔次）的產(chǎn)品，一天可生產(chǎn)76件，每件的利潤為10元，每提高一個檔次，每件的利潤增加2元，每天的產(chǎn)量將減少4件．設該產(chǎn)品的檔次（每天只生產(chǎn)一個檔次的產(chǎn)品）為x，請解答下列問題．1）用含x的代數(shù)式表示：一天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為_______件，每件產(chǎn)品的利潤為________元；2）若該產(chǎn)品一天的總利潤為1080元，求這天生產(chǎn)產(chǎn)品的檔次x的值。[針對訓練]1．李華網(wǎng)上開了一家羽毛球拍專賣店，平均每天可銷售20副，每個盈利40元，若每副降價1元，則每天可多銷售5副.如果每天要盈利1700元，每副應降價______元(要求每個降價幅度不超過15元)2．山西特產(chǎn)專賣店銷售核桃，其進價為每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后來經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價每降低2元，則平均每天的銷售可增加20千克，若該專賣店銷售這種核桃要想平均每天獲利2240元，請回答：1）每千克核桃應降價多少元？2）在平均每天獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場，該店應按原售價的幾折出售？新知探究【問題】某公司組織一批員工到龍灣風景區(qū)旅游，支付給旅行社28000元，你能確定參加這次旅游的人數(shù)嗎？【提問1】公司支付給旅行社28000元，說明了什么？【提問2】設參加旅游人數(shù)共有x人，你用含x的代數(shù)式表示人均收費嗎？【提問3】本題中的等量關系是什么？你能解決這個問題嗎?【問題】為了節(jié)約用水，某水廠規(guī)定：某單元居民如果一個月的用水量不超過x噸，那么這個月該單元居民只交10元水費．如果超過x噸，則這個月除了仍要交10元水費外，超過那部分按每噸x1001）該單元居民8月份用水80噸，超過了“規(guī)定的x噸”，則超過部分應交水費元（用含x的式子表示）．2）下表是該單元居民9月、10月的用水情況和交費情況：根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求該x噸是多少？典例分析例2某市出租車收費標準如下（規(guī)定：四舍五入，精確到元，N≤15）N是走步價，李先生乘坐出租車打出的電子收費單是：里程11公里，應收29．1元，你能依據(jù)以上信息，推算出起步價N的值嗎?[針對訓練]某公司組織一批員工到該風景區(qū)旅游，支付給旅行社2800元．A公司參加這次旅游的員工有多少人？某風景區(qū)的旅游信息如下：新知探究【問題】如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，點P從點A出發(fā)沿AB以1cm/s的速度向點B移動；同時，點Q從點B出發(fā)沿BC以2cm/s的速度向點C移動．幾秒鐘后△DPQ的面積等于28cm2？【提問1】設xs后△DPQ的面積等于28cm2，則AP、PB、BQ、QC的長度如何用含x的代數(shù)式表示？【提問2】Rt△DAP、Rt△PBQ、Rt△QCD的面積如何用含x的代數(shù)式表示?！咎釂?】你能解決這個問題嗎？典例分析例3如圖，A、B、C、D為矩形的四個頂點，AB=16cm，BC=6cm，動點P、Q分別從點A、C出發(fā)，點P以3cm/s的速度向點B移動，一直到達B為止；點Q以2cm/s的速度向點D移動。經(jīng)過多長時間P、Q兩點之間的距離是10cm？[針對訓練]如圖，A、B、C、D為矩形的四個頂點，AB=16cm，BC=6cm，動點P、Q分別從點A、C出發(fā)，點P以3cm/s的速度向點B移動，一直到達B為止；點Q以2cm/s的速度向點D移動。1)當運動時間為2s時，P，Q兩點的距離為多少？2)當運動時間為4s時，P，Q兩點的距離為多少？感受中考1．（2021·山東日照真題）某藥店新進一批桶裝消毒液，每桶進價35元，原計劃以每桶55元的價格銷售，為更好地助力疫情防控，現(xiàn)決定降價銷售．已知這種消毒液銷售量y（桶）與每桶降價x（元）（0<x<20）之間滿足一次函數(shù)關系，其圖象如圖所示：（1）求y與x之間的函數(shù)關系式；（2）在這次助力疫情防控活動中，該藥店僅獲利1760元．這種消毒液每桶實際售價多少元？2．（2018·江蘇鹽城真題）某商店銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.為了擴大銷售、增加盈利，該店采取了降價措施，在每件盈利不少于25元的前提下，經(jīng)過一段時間銷售，發(fā)現(xiàn)銷售單價每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若降價3元，則平均每天銷售數(shù)量為________件；（2）當每件商品降價多少元時，該商店每天銷售利潤為1200元？3．（2021·山東菏澤真題）端午節(jié)期間，某水果超市調(diào)查某種水果的銷售情況，下面是調(diào)查員的對話：小王：該水果的進價是每千克22元；小李：當銷售價為每千克38元時，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的銷售量將增加120千克．根據(jù)他們的對話，解決下面所給問題：超市每天要獲得銷售利潤3640元，又要盡可能讓顧客得到實惠，求該水果的銷售價為每千克多少元？課堂小結1.本節(jié)課學習，你有哪些收獲？請你用自己的語言簡述一元二次方程解應用題的步驟？2.你知道解決“銷售問題”、“圖表問題”、“動點問題”的關鍵步驟是什么？【參考答案】新知探究【問題】九年級學生小明在暑假期間勤工儉學。1）他每天在批發(fā)市場以每斤2.5元買進黃瓜，再到市場以每斤4元賣掉黃瓜，那么他每賣1斤黃瓜可以賺到1.5元；2）如果他每天都能賣完50斤黃瓜，則他每天收入是75元。3）他每天外面吃飯需花費20元，則他每天實際可以獲得_______50______元?！咎釂枴扛鶕?jù)上述問題，你能售價、進價、利潤、支出之間存在的關系嗎?1）單件售價-單件進價=單件利潤2）單件利潤×銷量=總利潤3）總利潤-支出=實際利潤（或：銷售總額-成本總額-支出=實際利潤)【問題】某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．為了擴大銷售，增加盈利，盡快減小庫存，商場采取了降價措施．假設在一定范圍內(nèi)，襯衫的單價每降1元，商場平均每天可多售出2件.如果降價后商場銷售這批襯衫每天盈利1200元，那么襯衫的單價降了多少元？【提問1】如果設襯衫單價應降x元，根據(jù)題目信息補充表格【提問2】本題中的等量關系是什么？你能解決這個問題嗎?等量關系:單件利潤（降價后）×銷量（降價后）=總利潤設襯衫單價應降x元由題意得(40-x)(20+2x)=1200解方程得x1=20，x2=10（舍去）答：襯衫的單價降了20元【提問3】站在商家角度你覺得如何降價合適？為了盡快減小庫存，所以降價幅度越大越好，因此x=20【問題】某商店進了一批服裝，進貨單價為50元，若按每件60元出售，則可銷售800件；若每件再提價1元出售，則其銷售量就減少20件?，F(xiàn)在預算要獲利潤12000元，應按每件多少元出售？【提問1】如果設應按每件x元出售，根據(jù)題目信息補充表格【提問2】本題中的等量關系是什么？你能解決這個問題嗎?等量關系:單件利潤（提價后）×銷量（提價后）=總利潤設應按每件x元出售由題意得（x-50）[800-20（x-60）]=12000解方程得x1=70，x2=80當x=70時，50×（800-20×10）=30000>24000舍去當x=80時，50×（800-20×20）=20000<24000答：應按每件80元出售，進貨數(shù)量400件【問題】如果換一種設未知數(shù)的方法，是否可以更簡單地解決上面問題？請你試一試。設提價x元由題意得(10+x)(800-20x)=12000解方程得x1=10，x2=20當x=10時，50×（800-20×10）=30000>24000舍去當x=20時，50×（800-20×20）=20000<24000當x=20時,60+x=60+20=80元答：應按每件80元出售，進貨數(shù)量400件典例分析例1某工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品按供需要求分為十個檔次．若生產(chǎn)第一檔次（最低檔次）的產(chǎn)品，一天可生產(chǎn)76件，每件的利潤為10元，每提高一個檔次，每件的利潤增加2元，每天的產(chǎn)量將減少4件．設該產(chǎn)品的檔次（每天只生產(chǎn)一個檔次的產(chǎn)品）為x，請解答下列問題．1）用含x的代數(shù)式表示：一天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為_______件，每件產(chǎn)品的利潤為________元；2）若該產(chǎn)品一天的總利潤為1080元，求這天生產(chǎn)產(chǎn)品的檔次x的值?！窘馕觥拷猓?）一天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為[76-4（x-1）]=（80-4x）件，每件產(chǎn)品的利潤為[10+2（x-1）]=（8+2x）元，（2）當利潤是1080元時，即：[10+2（x-1）][76-4（x-1）]=1080，整理得：-8x2+128x+640=1080，解得：x1=5，x2=11，∵x=11＞10，不符合題意，舍去。∴x=5，答：當生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量檔次是在第5檔次時，一天的總利潤為1080元。[針對訓練]1．李華網(wǎng)上開了一家羽毛球拍專賣店，平均每天可銷售20副，每個盈利40元，若每副降價1元，則每天可多銷售5副.如果每天要盈利1700元，每副應降價___6___元(要求每個降價幅度不超過15元)2．山西特產(chǎn)專賣店銷售核桃，其進價為每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后來經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價每降低2元，則平均每天的銷售可增加20千克，若該專賣店銷售這種核桃要想平均每天獲利2240元，請回答：1）每千克核桃應降價多少元？2）在平均每天獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場，該店應按原售價的幾折出售？【詳解】解：1）設每千克核桃應降價x元根據(jù)題意，得（60﹣x﹣40）（100+x2化簡，得x2﹣10x+24=0，解得x1=4，x2=6.答：每千克核桃應降價4元或6元.2）由1）可知每千克核桃可降價4元或6元.∵要盡可能讓利于顧客，∴每千克核桃應降價6元此時，售價為：60﹣6=54（元），54答：該店應按原售價的九折出售．新知探究【問題】某公司組織一批員工到龍灣風景區(qū)旅游，支付給旅行社28000元，你能確定參加這次旅游的人數(shù)嗎？【提問1】公司支付給旅行社28000元，說明了什么？參加這次旅游人數(shù)大于30人【提問2】設參加旅游人數(shù)共有x人，你用含x的代數(shù)式表示人均收費嗎？[800-10（x-30）]元【提問3】本題中的等量關系是什么？你能解決這個問題嗎?等量關系:參加旅游人數(shù)×人均消費=支付總額解：設參加旅游人數(shù)共有x人，∵800×30=24000<28000，∴參加人數(shù)x>30,根據(jù)題意，得x×[800-10（x-30）]=28000.整理，得x解得，x1=40，x2=70當x=40時，[800-10（x-30）]=800-10（40-30）=700>500當x=70時，[800-10（x-30）]=800-10（70-30）=400<500（不符合題意，舍去）答：參加人數(shù)共有40人【問題】為了節(jié)約用水，某水廠規(guī)定：某單元居民如果一個月的用水量不超過x噸，那么這個月該單元居民只交10元水費．如果超過x噸，則這個月除了仍要交10元水費外，超過那部分按每噸x1001）該單元居民8月份用水80噸，超過了“規(guī)定的x噸”，則超過部分應交水費元（用含x的式子表示）．2）下表是該單元居民9月、10月的用水情況和交費情況：根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求該x噸是多少？【詳解】解：（1）超過的用水量為（80-x）噸，所以，超過部分應交水費x100（2）根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)，可以知道x≥50，根據(jù)9月份用水情況可以列出方程：10+x解得，x1=60，x2=25因為x≥50，所以x=60答：該水廠規(guī)定的x噸是60噸．師生活動：學生獨立思考，給出答案。師生活動：學生獨立思考，給出答案。典例分析例2某市出租車收費標準如下（規(guī)定：四舍五入，精確到元，N≤15）N是走步價，李先生乘坐出租車打出的電子收費單是：里程11公里，應收29．1元，你能依據(jù)以上信息，推算出起步價N的值嗎?【詳解】由題意，可列出方程N+整理得N2—29.1N+191=0．解方程得N1=10，N2=19.1（不合題意舍去）答：起步價是10元．[針對訓練]某公司組織一批員工到該風景區(qū)旅游，支付給旅行社2800元．A公司參加這次旅游的員工有多少人？某風景區(qū)的旅游信息如下：【解析】設參加這次旅游的員工有x人，∵30×80=2400<2800，∴x>30．根據(jù)題意得：x[80-（x-30）]=2800，解得：x1=40，x2=70．當x=40時，80-（x-30）=70>55，當x=70時，80-（x-30）=40<55，舍去．答：A公司參加這次旅游的員工有40人．新知探究【問題】如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，點P從點A出發(fā)沿AB以1cm/s的速度向點B移動；同時，點Q從點B出發(fā)沿BC以2cm/s的速度向點C移動．幾秒鐘后△DPQ的面積等于28cm2？【提問1】設xs后△DPQ的面積等于28cm2，則AP、PB、BQ、QC的長度如何用含x的代數(shù)式表示？AP、PB、BQ、QC的長度分別為x、6-x、2x、12-2x【提問2】Rt△DAP、Rt△PBQ、Rt△QCD的面積如何用含x的代數(shù)式表示。設xs后△DPQ的面積等于28cm2，則S△APD=1/2×x×12，S△PBQ=1/2×2x×(6-x)，S△DCQ=1/2×6×(12-2x)【提問3】你能解決這個問題嗎？設xs后△DPQ的面積等于28cm2，根據(jù)題意得：12×x解這個方程得，xx1=2，x2=4答：2s或4s后△DPQ的面積等于28cm2典例分析例3如圖，A、B、C、D為矩形的四個頂點，AB=16cm，BC=6cm，動點P、Q分別從點A、C出發(fā)，點P以3cm/s的速度向點B移動，一直到達B為止；點Q以2cm/s的速度向點D移動。經(jīng)過多長時間P、Q兩點之間的距離是10cm？【解析】設經(jīng)過xs時間P、Q兩點之間的距離是10cm。由題意得16解方程得x1=1.6，x2=4.8答：1.6s或4.8s后P、Q距離是10cm[針對訓練]如圖，A、B、C、D為矩形的四個頂點，AB=16cm，BC=6cm，動點P、Q分別從點A、C出發(fā)，點P以3cm/s的速度向點B移動，一直到達B為止；點Q以2cm/s的速度向點D移動。1)當運動時間為2s時，P，Q兩點的距離為多少？2)當運動時間為4s時，P，Q兩點的距離為多少？【解析】1）x=2時，由運動可知AP＝3×2＝6cm，CQ＝2×2＝4cm，∴四邊形ABCD是矩形，∴QE＝AD＝6，∴PE＝AB﹣BE﹣AP＝16﹣6﹣4＝6，根據(jù)勾股定理得PQ=PE∴當x＝2s時，P，Q兩點的距離為62cm；2）x=4時，由運動知AP′＝3×4＝12cm，CQ′＝2×4＝8cm，∴四邊形ABCD是矩形，∴P′E＝AD＝6P′B=CE=AB-AP′=16-12=4∴Q′E＝Q′C﹣CE＝8﹣4＝4，根據(jù)勾股定理得P′Q′=P'E∴當x＝4s時，P，Q兩點的距離為213感受中考1．（2021·山東日照真題）某藥店新進一批桶裝消毒液，每桶進價35元，原計劃以每桶55元的價格銷售，為更好地助力疫情防控，現(xiàn)決定降價銷售．已知這種消毒液銷售量y（桶）與每桶降價x（元）（0<x<20）之間滿足一次函數(shù)關系，其圖象如圖所示：（1）求y與x之間的函數(shù)關系式；（2）在這次助力疫情防控活動中，該藥店僅獲利1760元．這種消毒液每桶實際售價多少元？【詳解】解：（1）設y與銷售