2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章解三角形1.2.1解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例-距離問(wèn)題同步作業(yè)含解析新人教A版必修51

PAGE解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例——距離問(wèn)題(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共30分)1.輪船A和輪船B在中午12時(shí)同時(shí)離開(kāi)海港O,兩船航行方向的夾角為120°,兩船的航行速度分別為25nmile/h,15nmile/h,則14時(shí)兩船之間的距離是 ()A.50nmile B.70nmileC.90nmile D.110nmile【解析】選B.到14時(shí),輪船A和輪船B分別走了50nmile,30nmile,由余弦定理得兩船之間的距離為l=QUOTE=70nmile.2.海洋中有A,B,C三座燈塔,其中A,B之間距離為a,在A處視察B,其方向是南偏東40°,視察C,其方向是南偏東70°,在B處視察C,其方向是北偏東65°,B,C之的距離是 ()A.a B.QUOTEa C.QUOTEa D.QUOTEa【解析】選D.如圖所示,由題意可知AB=a,∠BAC=70°-40°=30°,∠ABC=40°+65°=105°,所以∠C=45°,在△ABC中,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,即BC=QUOTE=QUOTEa.3.一艘海輪從A處動(dòng)身,在A處視察燈塔C,其方向是南偏東85°.海輪以每小時(shí)60海里的速度沿南偏東40°方向直線航行,20分鐘后到達(dá)B處.在B處視察燈塔C,其方向是北偏東65°.則B,C之間的距離是 ()A.10QUOTE海里 B.20QUOTE海里C.20QUOTE海里 D.10QUOTE海里【解析】選C.A,B,C的位置如圖所示:因?yàn)镃在A的南偏東85°的位置,故∠EAC=85°,因?yàn)锽在A的南偏東40°的位置,故∠EAB=40°,所以∠CAB=45°.因C在B的北偏東65°的位置,故∠DBC=65°,因∠DBA=40°,故∠ABC=105°,即∠ACB=30°,在△ABC中,QUOTE=QUOTE,AB=60×QUOTE=20(海里),故BC=20QUOTE4.(2024·成都高一檢測(cè))如圖所示,隔河可以看到對(duì)岸兩目標(biāo)A,B,但不能到達(dá),現(xiàn)在岸邊取相距4km的C,D兩點(diǎn),測(cè)得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADB=45°(A,B,C,D在同一平面內(nèi)),則兩目標(biāo)A,B間的距離為 ()A.QUOTEkm B.QUOTEkm C.QUOTEkm D.2QUOTEkm【解析】選B.由已知,在△ACD中,∠CAD=30°,∠ACD=120°,由正弦定理得,QUOTE=QUOTE,所以AD=QUOTE=QUOTE=4QUOTEkm,在△BCD中,∠CBD=60°,由正弦定理得,QUOTE=QUOTE,所以BD=QUOTE=QUOTE=QUOTEkm,在△ABD中,由余弦定理得,AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos∠ADB=QUOTE,解得:AB=QUOTEkm.5.學(xué)校體育館的人字屋架為等腰三角形,如圖所示,測(cè)得AC的長(zhǎng)度為4∠A=30°,則其跨度AB的長(zhǎng)為 ()A.12m C.3QUOTEm D.4QUOTEm【解析】選D.由已知∠A=∠B=30°,所以∠C=180°-30°-30°=120°,由正弦定理得,QUOTE=QUOTE,即AB=QUOTE=QUOTE=4QUOTE(m).6.江岸邊有一炮臺(tái)高30米,江中有兩條船,從炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為45°和30°,而且兩條船與炮臺(tái)底部連線成30°角,則兩條船相距A.10QUOTE米 B.100QUOTE米C.20QUOTE米 D.30米【解析】選D.如圖,過(guò)炮臺(tái)頂部A作水平面的垂線,垂足為B,設(shè)A處觀測(cè)小船C的俯角為45°,設(shè)A處觀測(cè)小船D的俯角為30°,連接BC,BD.在Rt△ABC中,∠ACB=45°,可得BC=AB=30米,Rt△ABD中,∠ADB=30°,可得BD=QUOTEAB=30QUOTE米,在△BCD中,BC=30米,BD=30QUOTE米,∠CBD=30°,由余弦定理可得CD2=BC2+BD2-2BC·BDcos30°=900,所以CD=30二、填空題(每小題5分,共10分)7.如圖,某貨輪在A處看燈塔B在貨輪的北偏東75°,距離為12QUOTEnmile,在A處看燈塔C在貨輪的北偏西30°,距離為8QUOTEnmile,貨輪由A處向正北航行到D處時(shí),再看燈塔B在東偏南30°,則(1)A處與D處之間的距離為_(kāi)_________nmile;

(2)燈塔C與D處之間的距離為_(kāi)_________nmile.

【解析】(1)在△ABD中,AB=12QUOTE,∠ADB=180°-120°=60°,∠BAD=75°,所以B=45°.由正弦定理得AD=QUOTE=QUOTE=24(nmile).故A處與D處之間的距離為24nmile.(2)在△ADC中,由余弦定理,得CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos30°,解得CD=8QUOTE(nmile).故燈塔C與D處之間的距離為8QUOTEnmile.答案:(1)24(2)8QUOTE8.(2024·煙臺(tái)高一檢測(cè))如圖,一輛汽車在一條水平的馬路上向正西行駛到A處時(shí)測(cè)得馬路北側(cè)一山頂D在北偏西45°的方向上,仰角為α,行駛300米后到達(dá)B處,測(cè)得此山頂在北偏西15°的方向上,仰角為β,若β=45°,則此山的高度CD=__________米,仰角α的正切值為_(kāi)_________【解析】設(shè)山的高度CD=x(米),由題可得:∠CAB=45°,∠ABC=105°,AB=300(米),∠CBD=45°,在△ABC中,可得:∠ACB=180°-45°-105°=30°,利用正弦定理可得:QUOTE=QUOTE=QUOTE,解得:CB=300QUOTE(米),AC=150QUOTE(米),在Rt△BCD中,由∠CBD=45°,可得:x=CB=300QUOTE(米),在Rt△ACD中,可得:tanα=QUOTE=QUOTE=QUOTE-1.答案:300QUOTEQUOTE-1三、解答題(每小題10分,共20分)9.甲船自某港動(dòng)身時(shí),乙船在離港7海里的海上駛向該港,已知兩船的航向成120°角,甲、乙兩船航速之比為2∶1,求兩船間距離最短時(shí),各離該海港多遠(yuǎn)?【解析】如圖所示,甲船由A港沿AE方向行駛,乙船由D處向A港行駛,明顯∠EAD=60°.設(shè)乙船航行到B處行駛了s海里,此時(shí)A船行駛到C處,則AB=7-s,AC=2s,而∠EAD=60°,由余弦定理,得BC2=4s2+(7-s)2-4s(7-s)cos60°=7(s-2)2+21(0≤s<7).所以s=2時(shí),BC最小為QUOTE,此時(shí)AB=5,AC=4.即甲船離港4海里,乙船離港5故兩船間距離最短時(shí),甲船離港4海里,乙船離港510.如圖,A,B,C,D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi),B,D為兩島上的兩座燈塔的塔頂.測(cè)量船于水面A處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為75°,30°,于水面C處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為60°,AC=0.1(1)摸索究圖中B,D間的距離與另外哪兩點(diǎn)間距離會(huì)相等?(2)求B,D間的距離.【解題指導(dǎo)】(1)在△ADC中,∠DAC=30°,計(jì)算可得∠BCD=60°,則CB是△CAD底邊AD的中垂線,BD=BA;(2)在△ABC中,由正弦定理計(jì)算可得AB,進(jìn)而求BD.【解析】(1)在△ADC中,∠DAC=30°,∠ADC=60°-∠DAC=30°,所以CD=AC=0.1.又∠BCD=180°-60°-60°=60°,所以CB是△CAD底邊AD的中垂線,所以BD=BA.(2)在△ABC中,由正弦定理得:QUOTE=QUOTE,即AB=QUOTE=QUOTE.所以BD=QUOTE.答:B,D間的距離是QUOTEkm.(45分鐘75分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.如圖,在河岸AC測(cè)量河的寬度BC,測(cè)量下列四組數(shù)據(jù),較相宜的是 ()A.a,c,α B.b,c,αC.c,a,β D.b,α,γ【解析】選D.由b,α,γ,可利用正弦定理求出BC.2.張曉華同學(xué)騎電動(dòng)自行車以24km/h的速度沿著正北方向的馬路行駛,在點(diǎn)A處望見(jiàn)電視塔S在電動(dòng)車的北偏東30°方向上,15min后到點(diǎn)B處望見(jiàn)電視塔在電動(dòng)車的北偏東75°方向上,則電動(dòng)車在點(diǎn)B時(shí)與電視塔 ()A.2km B.3QUOTEkm C.3km D.2QUOTEkm【解析】選B.由條件知AB=24×QUOTE=6(km).在△ABS中,∠BAS=30°,AB=6∠ABS=180°-75°=105°,所以∠ASB=45°.由正弦定理知QUOTE=QUOTE,所以BS=QUOTE=3QUOTEkm.3.在相距2km的A,B兩點(diǎn)處測(cè)量目標(biāo)點(diǎn)C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,則A,CA.QUOTEkm B.QUOTEkm C.QUOTEkm D.2km【解析】選A.由A點(diǎn)向BC作垂線,垂足為D,設(shè)AC=xkm,因?yàn)椤螩AB=75°,∠CBA=60°,所以∠ACB=180°-75°-60°=45°,所以AD=QUOTExkm,所以在Rt△ABD中,AB·sin60°=QUOTEx,x=QUOTE.4.如圖所示為起重機(jī)裝置示意圖.支桿BC=10m,吊桿AC=15m,吊索AB=5QUOTEm,起吊的貨物與岸的距離AD為A.30m B.QUOTEm C.15QUOTEm D.45m【解析】選B.在△ABC中,AC=15m,AB=5QUOTEcos∠ACB=QUOTE=QUOTE=-QUOTE,所以sin∠ACB=QUOTE.又∠ACB+∠ACD=180°,所以sin∠ACD=sin∠ACB=QUOTE.在Rt△ACD中,AD=ACsin∠ACD=15×QUOTE=QUOTE(m).【誤區(qū)警示】解答本題若選擇求∠ABC的余弦值,再解Rt△ABD求AD,則運(yùn)算量較大,極易出錯(cuò).5.已知兩座燈塔A和B與海洋視察站C的距離都等于akm,燈塔A在視察站C的北偏東20°,燈塔B在視察站C的南偏東40°,則燈塔A與燈塔B的距離為()A.akm B.QUOTEakmC.QUOTEakm D.2akm【解析】選B.在△ABC中,AC=BC=akm,∠ACB=180°-(20°+40°)=120°,所以AB=QUOTE=QUOTE=QUOTEa(km).二、填空題(每小題5分,共20分)6.一輪船向正北方向航行,某時(shí)刻在A處測(cè)得燈塔M在正西方向且相距20QUOTE海里,另一燈塔N在北偏東30°方向,接著航行20海里至B處時(shí),測(cè)得燈塔N在南偏東60°方向,則兩燈塔MN之間的距離是________海里.

【解析】由題設(shè)有AM=20QUOTE,AB=20,∠BAN=30°,∠ABN=60°,所以∠ANB=90°,AN=20×QUOTE=10QUOTE.而∠MAN=120°,故MN2=1200+300-2×20QUOTE×10QUOTE×QUOTE,所以MN=10QUOTE.答案:10QUOTE7.某船在行駛過(guò)程中起先望見(jiàn)燈塔在南偏東30°方向,后來(lái)船沿南偏東75°的方向航行15海里后,望見(jiàn)燈塔在正西方向,則這時(shí)船與燈塔的距離是________海里.

【解析】以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,設(shè)南偏東30°方向?yàn)樯渚€OM,船沿南偏東75°方向航行15海里后到達(dá)A點(diǎn)過(guò)點(diǎn)A作x軸平行線,交y于點(diǎn)D,交OM于B點(diǎn),則B為燈塔.∠DOA=75°,cos∠DOA=QUOTE,所以O(shè)D=OAcos75°=QUOTE,又sin∠DOA=QUOTE,所以AD=OAsin75°=QUOTE,又∠DOB=30°,tan∠DOB=QUOTE,所以BD=ODtan30°=QUOTE,所以AB=AD-BD=5QUOTE(海里).答案:5QUOTE8.如圖,船甲以每小時(shí)30公里的速度向正東航行,船甲在A處看到另一船乙在北偏東60°的方向上的B處,且AB=30QUOTE公里,正以每小時(shí)5QUOTE公里的速度向南偏東60°的方向航行,行駛2小時(shí)后,甲、乙兩船分別到達(dá)C、D處,則CD等于________公里.

【解析】過(guò)B作BE⊥AC交AC于E,故BE=15QUOTE,AE=45,AC=30×2=60,所以CE=15,BD=5QUOTE×2=10QUOTE,由于BDsin60°=10QUOTE×QUOTE=15=CE,故CD∥BE,所以CD=BE-BDcos60°=15QUOTE-5QUOTE=10QUOTE.答案:10QUOTE9.我國(guó)南宋聞名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)書九章》卷五“田域類”里有一個(gè)題目:“問(wèn)有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里.里法三百步,欲知為田幾何.”這道題講的是有一個(gè)三角形沙田,三邊分別為13里,14里,15里,假設(shè)1里按500米計(jì)算,則該沙田的面積為_(kāi)_______平方千米【解析】設(shè)三角形沙田的三個(gè)頂點(diǎn)為A,B,C,其對(duì)應(yīng)邊的邊長(zhǎng)分別為a=13里,b=14里,c=15里,則cosC=QUOTE=QUOTE,sinC=QUOTE,S=21×106m2=21(平方千米).答案:21三、解答題(每小題10分,共30分)10.如圖,一艘船由A島以v海里/小時(shí)的速度往北偏東10°的B島行駛,安排到達(dá)B島后停留10分鐘后接著以相同的速度駛往C島.C島在B島的北偏西65°的方向上,C島也在A島的北偏西20°的方向上.上午10時(shí)整,該船從A島動(dòng)身.上午10時(shí)20分,該船到達(dá)D處,此時(shí)測(cè)得C島在北偏西35°的方向上.假如一切正常,此船何時(shí)能到達(dá)C島?(精確到1分鐘)【解析】在△ACD中,∠CAD=30°,∠ADC=135°,依據(jù)正弦定理得,QUOTE=QUOTE,即CD=QUOTEAD.在△BCD中,∠BCD=30°,∠CBD=105°,依據(jù)正弦定理得,QUOTE=QUOTE=QUOTE,即DB+BC=QUOTECD.所以DB+BC=QUOTEAD,即DB+BC=QUOTEAD=QUOTEAD=(1+QUOTE)AD,從而,此船行駛DB和BC共需20(1+QUOTE)分鐘.故由A島動(dòng)身至到達(dá)C島全程須要50+20QUOTE分鐘.即該船于11時(shí)18分到達(dá)島.(說(shuō)明:11時(shí)19分,也正確.)11.如圖所示,在平面四邊形ABCD中,AC與BD為其對(duì)角線,已知BC=1,且cos∠BCD=-QUOTE.(1)若AC平分∠BCD,且AB=2,求AC的長(zhǎng).(2)若∠CBD=45°,求CD的長(zhǎng).【解析】(1)若對(duì)角線AC平分∠BCD,即∠BCD=2∠ACB=2∠ACD,所以cos∠BCD=2cos2∠ACB-1=-QUOTE,因?yàn)閏os∠ACB>0,所以cos∠ACB=QUOTE,因?yàn)樵凇鰽BC中,BC=1,AB=2,cos∠ACB=QUOTE,所以由余弦定理AB2=BC2+AC2-2BC·AC·cos∠ACB,即AC2-QUOTEAC-3=0,解得AC=QUOTE,或AC=-QUOTE(舍去),所以AC的長(zhǎng)為QUOTE.(2)因?yàn)閏os∠BCD=-QUOTE,所以sin∠BCD=QUOTE=QUOTE,又因?yàn)椤螩BD=45°,所以sin∠CDB=sin(180°-∠BCD-45°)=sin(∠BCD+45°)=QUOTE(sin∠BCD+cos∠BCD)=QUOTE,所以在△BCD中,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,可得CD=QUOTE=5,即CD的長(zhǎng)為5.12.如圖,游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C,另一種是先從A沿索道乘纜車到B,然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下