專題19與平行四邊形有關(guān)的動態(tài)問題與最值問題

專題19與平行四邊形有關(guān)的動態(tài)問題與最值問題題型一與平行四邊形有關(guān)的動態(tài)問題1．如圖，四邊形中，，，．點(diǎn)以的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動，同時點(diǎn)以的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動，其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動，當(dāng)線段將四邊形截出一個平行四邊形時，此時的運(yùn)動時間為2或3．【解答】解：設(shè)運(yùn)動時間為，由題意可得，，，，，當(dāng)時，四邊形為平行四邊形，，．，當(dāng)時，四邊形為平行四邊形，，．綜合以上可得或時，線段將四邊形截出一個平行四邊形．故答案為2或3．2．如圖，在平行四邊形中，對角線、交于點(diǎn)，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿著邊運(yùn)動到點(diǎn)停止，在點(diǎn)運(yùn)動過程中，若是直角三角形，則的長是或．【解答】解：四邊形是平行四邊形，，，，如圖，當(dāng)時，，，，，，；當(dāng)時，，，，，綜上所述：的長是或，故答案為或．3．如圖，在，，，、點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿邊運(yùn)動到點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿邊向點(diǎn)運(yùn)動，點(diǎn)運(yùn)動速度為，點(diǎn)運(yùn)動速度為，它們同時出發(fā)，同時這運(yùn)動，經(jīng)過4或時，．【解答】解：如圖，過點(diǎn)作于，，，，，設(shè)經(jīng)過時，，當(dāng)四邊形是平行四邊形時，，，，當(dāng)四邊形是等腰梯形，，，綜上所述：經(jīng)過4或時，，故答案為4或．4．如圖，等邊的邊長為，射線，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線以的速度運(yùn)動，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線以的速度運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為，當(dāng)以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時，運(yùn)動時間為A．或 B．或 C．或 D．或【解答】解：①當(dāng)點(diǎn)在的左側(cè)時，根據(jù)題意得：，，則，，當(dāng)時，四邊形是平行四邊形，即，解得：；②當(dāng)點(diǎn)在的右側(cè)時，根據(jù)題意得：，，則，，當(dāng)時，四邊形是平行四邊形，即，解得：；綜上可得：當(dāng)或時，以、、、為頂點(diǎn)四邊形是平行四邊形．故選：．5．如圖，在四邊形中，，，，點(diǎn)在邊上以每秒的速度從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動，點(diǎn)在邊上，以每秒的速度從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動，當(dāng)2或3秒時，直線在四邊形內(nèi)部能截出一個平行四邊形．【解答】解：設(shè)點(diǎn)、運(yùn)動的時間為秒，依題意得，，，，，①當(dāng)時，四邊形是平行四邊形，即，解得．②當(dāng)時，四邊形是平行四邊形，即，解得，，所以經(jīng)過2秒或3秒后，直線將四邊形截出一個平行四邊形．故答案為：2或3．6．如圖，在中，已知，點(diǎn)在邊上以的速度從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動，點(diǎn)在邊上以的速度從點(diǎn)出發(fā)在上往返運(yùn)動，兩個點(diǎn)同時出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時停止運(yùn)動（同時點(diǎn)也停止），設(shè)運(yùn)動時間為，若以、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則的值錯誤的是A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：設(shè)經(jīng)過秒，以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)組成平行四邊形，在上運(yùn)動，，即，以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)組成平行四邊形，，分為以下情況：①點(diǎn)的運(yùn)動路線是，由題意得：，解得：；②點(diǎn)的運(yùn)動路線是，由題意得：，解得：；③點(diǎn)的運(yùn)動路線是，由題意得：，解得：；綜上所述，的值為6或10或12，故選：．7．如圖，在四邊形中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度向運(yùn)動，同時，點(diǎn)從點(diǎn)以相同的速度向運(yùn)動．當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時，點(diǎn)隨之停止運(yùn)動．若設(shè)運(yùn)動的時間為秒，以點(diǎn)、、、、、任意四個點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形中同時存在兩個平行四邊形，則的值是A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：．時，，，，，因，此時構(gòu)成一個平行四邊形，不符合題意；．時，，，，，因，此時構(gòu)成一個平行四邊形，不符合題意；．時，，，，，因，此時只構(gòu)成一個平行四邊形，不符合題意．．時，，，，則，因，此時有2個平行四邊形：平行四邊形和平行四邊形，符合題意．故選：．8．如圖，已知四邊形，，分別是，上的點(diǎn)，，分別是，的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在上從點(diǎn)向點(diǎn)移動而點(diǎn)不動時，線段的長A．逐漸增大 B．逐漸減小 C．不變 D．不能確定【解答】解：連接．、分別是、的中點(diǎn)，為的中位線，，的長為定值，線段的長不改變．故選：．9．如圖，在四邊形中，且，，點(diǎn)、分別從點(diǎn)、同時出發(fā)，點(diǎn)以的速度由向運(yùn)動，點(diǎn)以的速度由向運(yùn)動．問幾秒后直線將四邊形截出一個平行四邊形？【解答】解：設(shè)點(diǎn)，運(yùn)動的時間為．依題意得：，，，．，①當(dāng)時，四邊形是平行四邊形．即，解得．②當(dāng)時，四邊形是平行四邊形，即，解得：．所以經(jīng)過2秒或3秒后，直線將四邊形截出一個平行四邊形．10．如圖所示，在四邊形中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)以的速度運(yùn)動；同時點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)以的速度運(yùn)動．規(guī)定其中一個動點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時，另一個動點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為秒．（1）用含有的代數(shù)式表示：，，，；（2）求出點(diǎn)從運(yùn)動開始到停止用多少時間；（3）求運(yùn)動時間為多少秒時，四邊形是平行四邊形．【解答】解：（1）由題意得：，，則，，故答案為：，，，；（2）（秒，即點(diǎn)從運(yùn)動開始到停止用15秒；（3）若四邊形是平行四邊形，，滿足時，四邊形是平行四邊形，，解得：，當(dāng)秒后四邊形是平行四邊形．11．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，現(xiàn)同時將點(diǎn)，向上平移2個單位，再向右平移1個單位，得到點(diǎn)，的對應(yīng)點(diǎn)分別是，，連接，，．（1）求點(diǎn)，的坐標(biāo)及四邊形的面積．（2）在軸上是否存在點(diǎn)，連接，，使？若存在這樣的點(diǎn)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由．（如圖（3）點(diǎn)是線段上的一個動點(diǎn)，連接，，當(dāng)點(diǎn)在上移動時（不與，重合）給出下列結(jié)論：（如圖．①的值不變；②的值不變；③的值可以等于；④的值可以等于．以上結(jié)論中正確的是：②④．【解答】解：（1）點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，現(xiàn)同時將點(diǎn)，向上平移2個單位，再向右平移1個單位，得到點(diǎn)，的對應(yīng)點(diǎn)分別是，，，，四邊形的面積；（2）設(shè)時點(diǎn)到的距離為，則，解得，要使，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，；（3）過點(diǎn)作，則，，，，，，值不變，正確；同理可得出：①的值不變，錯誤；③當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時，的值最小，此時，故不可以等于，此選項錯誤；，的值可以等于，則該選項正確．故答案為：②④．12．如圖，在直角梯形中，，，且，，．若動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒的速度沿線段、向點(diǎn)運(yùn)動；動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒的速度沿向點(diǎn)運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時，動點(diǎn)、同時停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)、同時出發(fā)，并運(yùn)動了秒，（1）直角梯形的為12，周長為；（2）當(dāng)為多少時，四邊形成為平行四邊形？（3）是否存在，使得點(diǎn)在線段上且？若存在，求出此時的值；若不存在，說明理由．【解答】解：（1）如圖1所示，過點(diǎn)作于，，，四邊形是矩形，，，由勾股定理得，，，直角梯形的周長；故答案為：12，32；（2）由題意得：，，，，當(dāng)時，四邊形成為平行四邊形，則，解得：；即為秒時，四邊形成為平行四邊形；（3）存在，使得點(diǎn)在線段上且，理由如下：作于，連接，如圖2所示：點(diǎn)在上，，，，的面積，，在中，由勾股定理得：，，解得：此時，，存在秒，使得點(diǎn)在線段上且．13．如圖，直角梯形中，，，已知，，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段向點(diǎn)作勻速運(yùn)動；動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段向點(diǎn)作勻速運(yùn)動．過點(diǎn)垂直于的射線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．、兩點(diǎn)同時出發(fā)，速度為每秒1個單位長度，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)，、兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動的時間為秒．（1）當(dāng)為何值時，四邊形構(gòu)成平行四邊形？（2）試用含的代數(shù)式分別表示與的長度．（3）若設(shè)的面積為，試求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．【解答】解：（1）由于四邊形構(gòu)成平行四邊形，，即，解得，則當(dāng)時，四邊形構(gòu)成平行四邊形；（2），，在中，，，在中，，，；，（3），則的面積為：．14．如圖，在中，對角線，相交于點(diǎn)，，，．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向勻速運(yùn)動，速度為，連接并延長交于點(diǎn)．設(shè)運(yùn)動時間為（1）當(dāng)為何值時，四邊形是平行四邊形？（2）設(shè)四邊形的面積為，當(dāng)時，求的值．【解答】解：（1）當(dāng)時，四邊形是平行四邊形，理由是：四邊形是平行四邊形，，，，，，，在和中，，，，即，，四邊形是平行四邊形，即當(dāng)時，四邊形是平行四邊形；（2）過作于，過作于，，，，在中，由勾股定理得：，由三角形的面積公式得：，，，，，，，，，在和中，，，的面積，當(dāng)時，，的面積為，．15．如圖，在四邊形中，，，，點(diǎn)自點(diǎn)向以的速度運(yùn)動，到點(diǎn)即停止．點(diǎn)自點(diǎn)向以的速度運(yùn)動，到點(diǎn)即停止，點(diǎn)，同時出發(fā)，設(shè)運(yùn)動時間為．（1）用含的代數(shù)式表示：；；；．（2）當(dāng)為何值時，四邊形是平行四邊形？（3）當(dāng)為何值時，四邊形是平行四邊形？【解答】解：（1），，，（2）根據(jù)題意有，，，．，當(dāng)時，四邊形是平行四邊形．，解得．時四邊形是平行四邊形；（3）由，，，，，如圖1，，即，當(dāng)時，四邊形是平行四邊形．即：，解得，當(dāng)時，四邊形是平行四邊形．16．如圖，在四邊形中，，，，，．動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段的方向以每秒2個單位長的速度運(yùn)動，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在線段上以每秒1個單位長的速度向點(diǎn)運(yùn)動，點(diǎn)，分別從點(diǎn)，同時出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時，點(diǎn)隨之停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動的時間為（秒．（1）若四邊形為平行四邊形，求運(yùn)動時間．（2）當(dāng)為何值時，三角形是以或為底邊的等腰三角形？【解答】解：（1）四邊形為平行四邊形，，又，，，解得；（2）如圖，過作于，當(dāng)為頂角時，，，，，依據(jù)有：，解得；當(dāng)為頂角時，，由有：，解得，綜上，或時，符合題意．

題型二與平行四邊形有關(guān)的最值問題17．如圖，在平行四邊形中，，，，是邊上任意一點(diǎn)，沿剪開，將沿方向平移到的位置，得到四邊形，則四邊形周長的最小值為A．24 B．22 C．30 D．28【解答】解：當(dāng)時，四邊形的周長最小，，，．，，沿方向平移到的位置，，四邊形周長的最小值為：，故選：．18．如圖，在中，，，，為斜邊邊上的一動點(diǎn)，以、為邊作平行四邊形，則線段長度的最小值為．【解答】解：如圖，過點(diǎn)作于，在中，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，當(dāng)時，有最小值，此時：，故答案為．19．如圖，已知，，，為的中點(diǎn)，為上的一動點(diǎn)，以、為一組鄰邊構(gòu)造，連接，則的最小值是9．【解答】解：如圖，當(dāng)時，垂足為，此時的值最小，過點(diǎn)作于，，，，，，為的中點(diǎn)，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，和中，，，，．故答案為：9．20．如圖，已知與，是直線上的一條動線段且在的下方），當(dāng)最小時，點(diǎn)坐標(biāo)為A．， B．， C． D．【解答】解：作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，過點(diǎn)作直線，使得平行于直線，并沿向下平移單位后得連接交直線于點(diǎn)如圖理由如下：，四邊形是平行四邊形且當(dāng)值最小時，值最小根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，即，，三點(diǎn)共線時值最小，直線的解析式即點(diǎn)坐標(biāo)，故選：．21．如圖，在平行四邊形中，，，點(diǎn)，分別是邊，上的動點(diǎn)，連接，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接．則的最小值為A．2 B． C．1 D．【解答】解：如圖，連接，四邊形是平行四邊形，，，，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，是的中位線，，當(dāng)最小時，有最小值，當(dāng)時，最小，則，此時，，，即的最小值是，故選：．22．如圖，在中，，，點(diǎn)是射線上的一個動點(diǎn)，以，為鄰邊作平行四邊形，則邊的最小值為A．4 B．2 C． D．【解答】解：四邊形是平行四邊形，，由垂線段最短可得，當(dāng)時，值最小，，，，在中，，，，，故選：．23．如圖，在中，，，點(diǎn)、分別是邊、上的動點(diǎn)，連接、，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，連接，則的最小值為A．1 B． C． D．【解答】解：如圖，連接，、分別為、的中點(diǎn)，，的最小值，就是的最小值，當(dāng)時，最小，中，，，，，的最小值是．故選：．24．如圖，在中，，，，點(diǎn)在線段上一動點(diǎn)，以為對角線的平行四邊形中，則的最小值是6．【解答】解：平行四邊形的對角線的交點(diǎn)是的中點(diǎn)，當(dāng)時，最小，即最?。?，，又平行四邊形中，，，是的中位線，，，．在中，，，，，．故答案為6．25．如圖，在中，，，，為上的動點(diǎn)，連接以、為邊作平行四邊形，則長的最小值為A．3 B．4 C． D．【解答】解：當(dāng)時，的長最小，四邊形是平行四邊形，，，，作于，如圖所示：則四邊形是矩形，，，，，，是直角三角形，，的面積，，的最小值為；故選：．26．如圖，在四邊形中，，，，分別是邊，上的動點(diǎn)（含端點(diǎn)，但點(diǎn)不與點(diǎn)重合）點(diǎn)，分別是線段，的中點(diǎn)，若線段的最大值為2.5，則的長為A．5 B． C．2.5 D．3【解答】解：點(diǎn)，分別是線段，的中點(diǎn)，，，，最大時，最大，線段的最大值為2.5，．與重合時最大，此時，．故選：．27．在平面直角坐標(biāo)系中，已知平行四邊形的點(diǎn)、點(diǎn)，，點(diǎn)，則對角線的最小值是A． B． C．5 D．6【解答】解：點(diǎn)，令，，在直線上，設(shè)，交于點(diǎn)，如圖1，是和的中點(diǎn)，，，當(dāng)最小時，最小，過作直線于，根據(jù)垂線段最短，，所以的最小值為，即當(dāng)直線時，最小，則最小，設(shè)直線與軸，軸交于點(diǎn)，，如圖2，令，則，，同理，，，，又，，為等腰直角三角形，，，，，且，，，即對角線的最小值為，故選：．28．如圖，已知的頂點(diǎn)、分別在直線和上，是坐標(biāo)原點(diǎn)，則對角線長的最小值為A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：過點(diǎn)作直線，交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，交軸于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，如圖：四邊形是平行四邊形，，，，直線與直線均垂直于軸，