卷3-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)【名校地市好題必刷】全真模擬卷（新高考）·第一輯（解析版）

備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)全真模擬卷（新高考）第三模擬（試卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘）姓名_____________班級(jí)_________考號(hào)_______________________注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.1．設(shè)集合，，則（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)椋?，所以故選：D2．若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】復(fù)數(shù)滿足方程，，的虛部為1.故選：C．3．已知正四棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，且正四棱錐的底面面積為6，側(cè)面積為，則球的體積為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，因?yàn)榈酌婷娣e為6，所以，得，因?yàn)閭?cè)面積為，所以，解得，連接交于點(diǎn)，連接，則可得平面，，所以四棱錐的高，點(diǎn)在上，連接，設(shè)球的半徑為，則，解得，所以球的體積為，故選：A4．已知，且，則（）A． B． C．7 D．【答案】A【詳解】由，可得，兩邊平方得，可得，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，?lián)立方程組，可得，所以，所以.故選：A.5．設(shè)雙曲線E：的離心率為，直線過(guò)點(diǎn)和雙曲線E的一個(gè)焦點(diǎn)，若直線與圓相切，則（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】不妨設(shè)直線右焦點(diǎn)，則直線的方程為，即，由直線與圓相切，且，可得，整理得，即，即，可得，即，解得或，因?yàn)椋傻?，所?故選：D.6．最大值為2，滿足，則（）A． B． C．或 D．或【答案】B【詳解】因?yàn)樽畲笾禐?，所以，解得，又因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，所以，，所以，即，因?yàn)椋?，故選：B7．已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，若，，，則（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)樵?，上的單調(diào)遞增，所以，即．故選：B．8．在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機(jī)構(gòu)認(rèn)為該事件在一段事件內(nèi)沒(méi)有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標(biāo)志是“連續(xù)日，每天新增疑似病例不超過(guò)人”．過(guò)去日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)信息如下：甲地：總體平均數(shù)為，中位數(shù)為；乙地：總體平均數(shù)為，總體方差大于；丙地：中位數(shù)為，眾數(shù)為；丁地：總體平均數(shù)為，總體方差為．則甲、乙、丙、丁四地中，一定沒(méi)有發(fā)生大規(guī)模群體感染的是（）A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地【答案】D【詳解】對(duì)于甲地，若連續(xù)日的數(shù)據(jù)為，則滿足平均數(shù)為，中位數(shù)為，但不符合沒(méi)有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標(biāo)志，A錯(cuò)誤；對(duì)于乙地，若連續(xù)日的數(shù)據(jù)為，則滿足平均數(shù)為，方差大于，但不符合沒(méi)有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標(biāo)志，B錯(cuò)誤；對(duì)于丙地，若連續(xù)日的數(shù)據(jù)為，則滿足中位數(shù)為，眾數(shù)為，但不符合沒(méi)有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標(biāo)志，C錯(cuò)誤；對(duì)于丁地，若總體平均數(shù)為，假設(shè)有一天數(shù)據(jù)為人，則方差，不可能總體方差為，則不可能有一天數(shù)據(jù)超過(guò)人，符合沒(méi)有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標(biāo)志，D正確.多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．某校高二年級(jí)進(jìn)行選課走班，已知語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)是必選學(xué)科，另外需從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理6門學(xué)科中任選3門進(jìn)行學(xué)習(xí).現(xiàn)有甲、乙、丙三人，則下列結(jié)論正確的是（）A．如果甲必選物理，則甲的不同選科方法種數(shù)為10B．甲在選物理的條件下選化學(xué)的概率是C．乙、丙兩人至少一人選化學(xué)與這兩人全選化學(xué)是對(duì)立事件D．乙、丙兩人都選物理的概率是【答案】AD【詳解】對(duì)于A，甲必選物理，還需從化學(xué)、生物、政治、歷史、地理中選2門，則甲的不同選科方法種數(shù)為，故A正確；對(duì)于B，甲在選物理的條件下，還需從化學(xué)、生物、政治、歷史、地理中選2門，共種，其中選化學(xué)的有種，則甲在選物理的條件下選化學(xué)的概率是，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，乙、丙兩人至少一人選化學(xué)包含乙、丙兩人全選化學(xué)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，乙選物理的概率為，丙選物理的概率為，因?yàn)橐疫x物理和丙選物理相互獨(dú)立，所以乙、丙兩人都選物理的概率是，故D正確；故選：AD10．已知向量，則（）A．若與垂直，則 B．若，則的值為C．若，則 D．若，則與的夾角為【答案】ABC【詳解】A.若與垂直，則，，正確；B.若，則，，，正確；C.若，，，正確；D.若，，，D錯(cuò)誤，故選：ABC．11．已知直線，曲線，則下列說(shuō)法不正確的是（）A．“”是曲線C表示圓的充要條件B．當(dāng)時(shí)，直線l與曲線C表示的圓相交所得的弦長(zhǎng)為1C．“是直線l與曲線C表示的圓相切的充分不必要條件D．當(dāng)時(shí)，曲線C與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)【答案】ABD【詳解】對(duì)于A，曲線，曲線要表示圓，則，解得或，所以“”是曲線表示圓的充分不必要條件，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，時(shí)，直線，曲線，圓心到直線的距離，所以弦長(zhǎng)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若直線與圓相切，圓心到直線的距離，所以“是直線與曲線表示的圓相切的充分不必要條件，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，曲線，其圓心坐標(biāo)，，曲線與圓兩圓圓心距離為，故兩圓相離，不會(huì)有兩個(gè)公共點(diǎn)，D錯(cuò)誤.故選：ABD12．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)在正方形內(nèi)，則（）A．若，則三棱錐的的外接球表面積為B．若平面，則不可能垂直C．若平面，則點(diǎn)的位置唯一D．若點(diǎn)為中點(diǎn)，則三棱錐的體積是三棱錐體積的一半【答案】CD【詳解】解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系：則，由于動(dòng)點(diǎn)在正方形內(nèi)，可設(shè)，其中，對(duì)于A選項(xiàng)，由于，則為的中點(diǎn)，此時(shí)，設(shè)三棱錐的的外接球的球心為，則，即，解得：，所以，則三棱錐的的外接球的半徑為，所以三棱錐的的外接球表面積為，故A不正確；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)平面的法向量為，，，則，令，得，故，而，若平面，則，則，即，所以，此時(shí)，而，所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，則，故B不正確；對(duì)于C選項(xiàng)，若平面，則，由于，，則，解得：或（舍去），此時(shí)，即點(diǎn)的位置唯一，使得平面，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，點(diǎn)為中點(diǎn)，由正方體可知平面，三棱錐的體積為：，由于在正方形內(nèi)，則到平面為，三棱錐體積為：，而，所以，所以三棱錐的體積是三棱錐體積的一半，故D正確.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13．已知函數(shù)為奇函數(shù)，，若當(dāng)時(shí)，，則______．【答案】【詳解】為奇函數(shù)，，解得：；，，是周期為的周期函數(shù)，.故答案為：.14．已知直線l分別切拋物線（）和圓于點(diǎn)A，B（A，B不重合），點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，___________.【答案】【詳解】設(shè)，，所以，所以，所以直線的方程為，則，把代入，可解得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以.故答案為：15．函數(shù)滿足：若恒成立，則的取值范圍為___________．【答案】【詳解】由題可得,,所以,(為常數(shù)),即,而,所以,即,,設(shè),,所以在上遞減,在上遞增,即,所以.可等價(jià)于,解得.故答案為：.16．畢達(dá)哥拉斯學(xué)派是古希臘哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯及其信徒組成的學(xué)派，他們把美學(xué)視為自然科學(xué)的一個(gè)組成部分．美表現(xiàn)在數(shù)量比例上的對(duì)稱與和諧，和諧起于差異的對(duì)立，美的本質(zhì)在于和諧．他們常把數(shù)描繪成沙灘上的沙?；蛐∈?，并由它們排列而成的形狀對(duì)自然數(shù)進(jìn)行研究．如圖所示，圖形的點(diǎn)數(shù)分別為，總結(jié)規(guī)律并以此類推下去，第個(gè)圖形對(duì)應(yīng)的點(diǎn)數(shù)為________，若這些數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，記為數(shù)列，則________．【答案】【詳解】記第個(gè)圖形的點(diǎn)數(shù)為，由題意知，，，，…，，累加得，即，所以．又，所以．四．解答題：本小題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝2n＋1＋A，若為等比數(shù)列.（1）求實(shí)數(shù)A及的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn＝log2an，求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Tn.【答案】（1）根據(jù)題意，數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝2n＋1＋A，則a1＝S1＝22＋A＝4＋A，a2＝S2－S1＝（23＋A）－（22＋A）＝4，a3＝S3－S2＝（24＋A）－（23＋A）＝8，又由為等比數(shù)列，則a1×a3＝（a2）2，即（4＋A）×8＝42＝16，解可得A＝－2，則a1＝4－2＝2，即數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，則，（2）設(shè)，則設(shè)，則，故，①則有，②①－②可得：，變形可得：，故.18．年月，習(xí)近平總書記對(duì)制止餐飲浪費(fèi)行為作出重要指示，要求進(jìn)一步加強(qiáng)宣傳教育，切實(shí)培養(yǎng)節(jié)約習(xí)慣，在全社會(huì)營(yíng)造浪費(fèi)可恥、節(jié)約光榮的氛圍．為貫徹總書記指示，大慶市某學(xué)校食堂從學(xué)生中招募志愿者，協(xié)助食堂宣傳節(jié)約糧食的相關(guān)活動(dòng)．現(xiàn)已有高一人，高二人，高三人報(bào)名參加志愿活動(dòng)．根據(jù)活動(dòng)安排，擬采用分層抽樣的方法，從已報(bào)名的志愿者中抽取名志愿者，參加為期天的第一期志愿活動(dòng).（1）第一期志愿活動(dòng)需從高一、高二、高三報(bào)名的學(xué)生中各抽取多少人？（2）現(xiàn)在要從第一期志愿者中的高二、高三學(xué)生中抽取人去粘貼宣傳標(biāo)語(yǔ)，設(shè)這人中含有高二學(xué)生人，求隨機(jī)變量的分布列和期望；（3）食堂每天約有人就餐，其中一組志愿者的任務(wù)是記錄學(xué)生每天倒掉的剩菜剩飯的重量（單位：公斤），以天為單位來(lái)衡量宣傳節(jié)約糧食的效果．在一個(gè)周期內(nèi)，這組志愿者記錄的數(shù)據(jù)如下：前天剩菜剩飯的重量為：；后天剩菜剩飯的重量為：，借助統(tǒng)計(jì)知識(shí)，分析宣傳節(jié)約糧食活動(dòng)的效果．【答案】（1）報(bào)名的學(xué)生共有126人，抽取的比例為，所以高一抽取人，高二抽取人，高三抽取人．（2）隨機(jī)變量X的取值為2，3，4，，，．所以隨機(jī)變量X的分布列為234（3）所以前10天的平均值為，后10天的平均值為，且，所以宣傳節(jié)約糧食活動(dòng)的效果很好19．記△的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，點(diǎn)M在AC上，且，.（1）求B；（2）若，求的面積.【答案】（1）由題設(shè)，，又，∴，則，又，∴，，可得.（2），又，∴，則，，，∴，可得或(舍)，∴.20．在四棱錐中，平面，，，，，是的中點(diǎn)，在線段上，且滿足.（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值是，若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，且，因?yàn)?，且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，可得，因?yàn)槊?，面，所以平面?）因?yàn)?，，所以，因?yàn)槠矫?，面，面，所以，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，分別以，，所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，在等于直接三角形中，，則，，，，設(shè)，，，由，可得：，所以，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，令，則，，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，令，則，，所以，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.（3）由（2）知：平面的一個(gè)法向量，假設(shè)在線段上是否存在點(diǎn)，設(shè)，，則，因?yàn)榕c平面所成角的正弦值是，所以，整理可得：，解得：或（舍），，所以在線段上是否存在點(diǎn)符合題意，的長(zhǎng)為.21．已知點(diǎn)，，直線與直線的斜率之積為.（1）求點(diǎn)M的軌跡方程；（2）點(diǎn)N是軌跡上的動(dòng)點(diǎn)，直線，斜率分別為，滿足，求中點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍.【答案】（1）解：設(shè)，因?yàn)橹本€與直線的斜率之積為，所以，可得.所以點(diǎn)的軌跡方程為（除去點(diǎn)）.（2）解：設(shè)直線的方程為，，，由消去得：（*），所以，，由（1）知：，，∴.∴，得，此時(shí)方程（*）有兩個(gè)不同的實(shí)根，符合題意..22．設(shè)函數(shù)，（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，求證：，恒有.（3）若，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求證.【答案】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，由可得，由可得，因此函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)