人教版九年級數(shù)學(xué)上冊知識點總結(jié)史上+九年級數(shù)學(xué)上期導(dǎo)學(xué)案+期中考試試題

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人教版九年級數(shù)學(xué)上冊知識點總結(jié)

21.1一元二次方程

知識點----元二次方程的定義

等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）

的方程，叫做一元二次方程。

注意一下幾點：

①只含有一個未知數(shù)；②未知數(shù)的最高次數(shù)是2；③是整式方程。

知識點二一元二次方程的一般形式

一般形式：ax?+bx+c=0（aW0）.其中，ax?是二次項，a是二次項系數(shù)；bx是

一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項。

知識點三一元二次方程的根

使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二

次方程的根。方程的解的定義是解方程過程中驗根的依據(jù)。

21.2降次一一解一元二次方程

21.2.1配方法

知識點一直接開平方法解一元二次方程

（1）如果方程的一邊可以化成含未知數(shù)的代數(shù)式的平方，另一邊是非負數(shù)，可以直

接開平方。一般地，對于形如x2=a（a與0）的方程，根據(jù)平方根的定義可解得

Xi=-\[G,X2=-?

（2）直接開平方法適用于解形如x2=p或（mx+a）2=p（mro）形式的方程，如果p20,

就可以利用直接開平方法。

(3)用直接開平方法求一元二次方程的根，要正確運用平方根的性質(zhì)，即正數(shù)的平

方根有兩個，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負數(shù)沒有平方根。

(4)直接開平方法解一元二次方程的步驟是：①移項；②使二次項系數(shù)或含有未知

數(shù)的式子的平方項的系數(shù)為1;③兩邊直接開平方，使原方程變?yōu)閮蓚€一元二

次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。

知識點二配方法解一元二次方程

通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次,

把一個一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解。

配方法的一般步驟可以總結(jié)為：一移、二除、三配、四開。

(1)把常數(shù)項移到等號的右邊；⑵方程兩邊都除以二次項系數(shù)；

⑶方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方，把左邊配成完全平方式；⑷若等

號右邊為非負數(shù)，直接開平方求出方程的解。

21.2.2公式法

知識點一公式法解一元二次方程

(1)一般地，對于一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0),如果b^Yac＞。，那么方程的

--4ac

兩個根為x=—N------，這個公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求

2a

根公式，我們可以由一元二方程的系數(shù)a,b,c的值直接求得方程的解，這種解

方程的方法叫做公式法。

(2)一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程

ax2+bx+c=0(aWO)的過程。

(3)公式法解一元二次方程的具體步驟：

①方程化為一般形式：ax2+bx+c=0(a#0),一般a化為正值②確定公式中a,b,c

的值，注意符號；

③求出b?-4ac的值；④若bLjac》。，則把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求

解，若b2-4acV0,則方程無實數(shù)根。

知識點二一元二次方程根的判別式

式子b?-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(aW0)根的判別式，通常用希臘字母△表示它，即

△=b2-4ac.

IA>0,方程ax,bx+cRSWO)有兩個不相等的實數(shù)

根

一元二次方程△=(),方程ax2+bx+c=0(a#0)有兩個相等的實數(shù)根

根的判別式

△<0,方程ax'bx+cR(aWO)無實數(shù)根

21.2.3因式分解法

知識點一因式分解法解一元二次方程

(1)把一元二次方程的一邊化為0,而另一邊分解成兩個一次因式的積，進而轉(zhuǎn)化

為求兩個求一元一次方程的解，這種解方程的方法叫做因式分解法。

(2)因式分解法的詳細步驟：

①移項，將所有的項都移到左邊，右邊化為0；

②把方程的左邊分解成兩個因式的積，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全

平方公式；

③令每一個因式分別為零，得到一元一次方程;

④解一元一次方程即可得到原方程的解。

知識點二用合適的方法解一元一次方程

方法名理論依據(jù)適用范圍

稱

直接開平平方根的意形如x?=p或(mx+n)2=p(p

方法義20)

配方法完全平方公式所有一元二次方程

公式法配方法所有一元二次方程

因式分解當ab=O,則a=0一邊為0,另一邊易于分解

法或b=0成兩個一次因式的積的一

元二次方程。

21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

2

若一元二次方程x+px+q=0的兩個根為Xi,X2,則有Xi+x2=-p,XiX2=q.

若一元二次方程a2x+bx+c=0(aW0)有兩個實數(shù)根Xi,X2,則有xi+x=,XiX=-

2a2a

22.3實際問題與一元二次方程

知識點一列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟：

(1)審：是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量以及它們之

間的等量關(guān)系。

(2)設(shè)：是指設(shè)元，也就是設(shè)出未知數(shù)。

(3)歹U：就是列方程，這是關(guān)鍵步驟，一般先找出能夠表達應(yīng)用題全部含義的一個

相等含義，然后列代數(shù)式表示這個相等關(guān)系中的各個量，就得到含有未知數(shù)的

等式，即方程。

(4)解：就是解方程，求出未知數(shù)的值。

(5)驗：是指檢驗方程的解是否保證實際問題有意義，符合題意。

(6)答:寫出答案。

知識點二列一元二次方程解應(yīng)用題的幾種常見類型

(1)數(shù)字問題

三個連續(xù)整數(shù)：若設(shè)中間的一個數(shù)為x,則另兩個數(shù)分別為xT,x+lo

三個連續(xù)偶數(shù)(奇數(shù))：若中間的一個數(shù)為x,則另兩個數(shù)分別為x-2,x+2。

三位數(shù)的表示方法：設(shè)百位、十位、個位上的數(shù)字分別為a,b,c,則這個三位數(shù)是

100a+10b+c.

(2)增長率問題

設(shè)初始量為a,終止量為b,平均增長率或平均降低率為x,則經(jīng)過兩次的增長或降

低后的等量關(guān)系為a(l±x)2=bo

(3)利潤問題

利潤問題常用的相等關(guān)系式有：①總利潤=總銷售價-總成本；②總利潤=單位利潤X

總銷售量；③利潤=成本義利潤率

(4)圖形的面積問題

根據(jù)圖形的面積與圖形的邊、高等相關(guān)元素的關(guān)系，將圖形的面積用含有未知數(shù)的

代數(shù)式表示出來，建立一元二次方程。

二次函數(shù)知識點歸納及相關(guān)典型題

第一部分基礎(chǔ)知識

1.定義：一般地，如果y=or?+Zu+c（a/,c是常數(shù)，。聲0）,那么y叫做x的二次函數(shù).

2.二次函數(shù)y=o?的性質(zhì)

（1）拋物線y=ad的頂點是坐標原點，對稱軸是y軸.

（2）函數(shù)y=ad的圖像與。的符號關(guān)系.

①當a>0時。拋物線開口向上O頂點為其最低點；

②當a<0時=拋物線開口向下=頂點為其最高點.

（3）頂點是坐標原點，對稱軸是y軸的拋物線的解析式形式為yj/Qwo）.

3.二次函數(shù)y=^2+加+c的圖像是對稱軸平行于（包括重合）y軸的拋物線.

4.二次函數(shù)y=a/+bx+c用配方法可化成：y=a（x-〃y+A的形式，其中

.b,Aac-b2

h=，k,—?

2a4a

5.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：①丫=.；②”內(nèi)、女；

③y=a（x—〃I；（4）y=a（x-h）2+k；（5）y=ax1+bx+c.

6.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.

①。的符號決定拋物線的開口方向：當a>0時，開口向上；當a<0時，開口向下；

|4相等，拋物線的開口大小、形狀相同.

②平行于y軸（或重合）的直線記作x=〃.特別地，y軸記作直線x=0.

7.頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數(shù)，如果二次項系數(shù)。相同，那么拋物

線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同.

8.求拋物線的頂點、對稱軸的方法

(1)公式法：y=ax2+bx+c=afx+—~,二頂點是(一>對稱軸

2a)4a2a4。

是直線尤=_2.

2a

(2)配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為"小-娟+%的形式，得

到頂點為(力，％),對稱軸是直線x=/z.

(3)運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱

軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.

用配方法求得的頂點，再用公式法或?qū)ΨQ性進行驗證，才能做到萬無一失.

9.拋物線>=g?+/?x+c中，a,0,c的作用

(1)。決定開口方向及開口大小，這與y=a/中的。完全一樣.

(2)人和。共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線ynai+bx+c的對稱軸是直線

x=-—,故：①力=0時，對稱軸為y軸；(2)->0(即a、b同號)時，對稱軸在

2aa

y軸左側(cè)；③&<0(即a、》異號)時，對稱軸在)，軸右側(cè).

a

(3)C的大小決定拋物線y=-+以+C與y軸交點的位置.

當X=O時，y=c,.?.拋物線y=*+以+c與y軸有且只有一個交點(0,c)：

①c=O,拋物線經(jīng)過原點；②c>0,與y軸交于正半軸；③c<0,與y軸交于負

半軸.

以上三點中，當結(jié)論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)，

則-<0.

a

10.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：

函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標

y=ax2x=0（y軸）（0,0）

y=ax2+kx=0（y軸）（0,k）

y=tz（x-/i）2x=h（〃，0）

y=a^x-hf+k當4>O時x=h（A,k）

b

y=ax2+bx-\-c開口向上x------（b4ac-b2

2a

2a4。

當”0時

）

開口向下

11.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

(1)一般式：y="2+以+C.已知圖像上三點或三對X、y的值，通常選擇一般式.

(2)頂點式：y=a(x-〃)2+h已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式.

(3)交點式：已知圖像與x軸的交點坐標七、聲,通常選用交點式：y=a(x-X1)(x-X2).

12.直線與拋物線的交點

(1)y軸與拋物線y=?+〃x+c得交點為(0,c).

(2)與y軸平行的直線x=〃與拋物線產(chǎn)加+法+c有且只有一個交點

(h,ah2+bh+c).

(3)拋物線與x軸的交點

二次函數(shù)y=+>x+c的圖像與x軸的兩個交點的橫坐標X|、x2,是對應(yīng)一元

二次方程以2+以+c=0的兩個實數(shù)根.拋物線與x軸的交點情況可以由對應(yīng)的

一元二次方程的根的判別式判定：

①有兩個交點拋物線與x軸相交；

②有一個交點(頂點在x軸上)=A=Oo拋物線與x軸相切；

③沒有交點=A<0=拋物線與X軸相離.

(4)平行于x軸的直線與拋物線的交點

同(3)一樣可能有。個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點

的縱坐標相等，設(shè)縱坐標為3則橫坐標是o?+以+c=k的兩個實數(shù)根.

(5)一次函數(shù)y=Zx+服不0)的圖像/與二次函數(shù)y=aY+"+c("O)的圖像G的交

點，由方麗)'"&：〃的解的數(shù)目來確定：①方程組有兩組不同的解時

一y=ax++c

o/與G有兩個交點；②方程組只有一組解時。/與G只有一個交點；③方程

組無解時。/與G沒有交點.

(6)拋物線與x軸兩交點之間的距離：若拋物線、="2+"+'與x軸兩交點為

4(孫0),8(%,0),由于陽、當是方程"2+6x+c=0的兩個根，故

bc

X]+x=——,x,-x=—

2a2a

AB

=%一%21=7(xi-X2?=J(為一7)2-4X/2=--="「J"=/

第二十三章旋轉(zhuǎn)

23.1圖形的旋轉(zhuǎn)

知識點一旋轉(zhuǎn)的定義

在平面內(nèi)，把一個平面圖形繞著平面內(nèi)某一點0轉(zhuǎn)動一個角度，就叫做圖形的旋轉(zhuǎn),

點。叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角。

我們把旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)方向稱為旋轉(zhuǎn)的三要素。

知識點二旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

旋轉(zhuǎn)的特征：（1）對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；（2）對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段

的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；（3）旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。

理解以下幾點：

（1）圖形中的每一個點都繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度。（2）對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中

心的距離相等，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等。（3）圖形的大小和形狀都沒有發(fā)

生改變，只改變了圖形的位置。

知識點三利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)作圖

旋轉(zhuǎn)有兩條重要性質(zhì)：（1）任意一對對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；

（2）對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，它是利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖的關(guān)鍵。步驟可分為:

①連：即連接圖形中每一個關(guān)鍵點與旋轉(zhuǎn)中心；②轉(zhuǎn)：即把直線按要求繞旋轉(zhuǎn)中

心轉(zhuǎn)過一定角度（作旋轉(zhuǎn)角）

③截：即在角的另一邊上截取關(guān)鍵點到旋轉(zhuǎn)中心的距離，得到各點的對應(yīng)點；④

接：即連接到所連接的各點。

23.2中心對稱

知識點一中心對稱的定義

中心對稱：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°,如果它能夠與另一個圖形重合，那

么就說這兩個圖形關(guān)于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心。

注意以下幾點：

中心對稱指的是兩個圖形的位置關(guān)系；只有一個對稱中心；繞對稱中心旋轉(zhuǎn)180°兩

個圖形能夠完全重合。

知識點二作一個圖形關(guān)于某點對稱的圖形

要作出一個圖形關(guān)于某一點的成中心對稱的圖形，關(guān)鍵是作出該圖形上關(guān)鍵點關(guān)于

對稱中心的對稱點。最后將對稱點按照原圖形的形狀連接起來，即可得出成中心對

稱圖形。

知識點三中心對稱的性質(zhì)

有以下幾點：

(1)關(guān)于中心對稱的兩個圖形上的對應(yīng)點的連線都經(jīng)過對稱中心，并且都被對稱中

心平分；

(2)關(guān)于中心對稱的兩個圖形能夠互相重合，是全等形；

(3)關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對應(yīng)線段平行(或共線)且相等。

知識點四中心對稱圖形的定義

把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那

么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心。

知識點五關(guān)于原點對稱的點的坐標

在平面直角坐標系中，如果兩個點關(guān)于原點對稱，它們的坐標符號相反，即點p(x,y)

關(guān)于原點對稱點為(-x,-y)o

第二十四章圓

24.1圓

24.1.1圓

知識點一圓的定義

圓的定義：第一種：在一個平面內(nèi)，線段0A繞它固定的一個端點0旋轉(zhuǎn)一周，另一

個端點A所形成的圖形叫作圓。固定的端點。叫作圓心，線段0A叫作半徑。第二種:

圓心為0,半徑為r的圓可以看成是所有到定點0的距離等于定長r的點的集合。

比較圓的兩種定義可知：第一種定義是圓的形成進行描述的，第二種是運用集合

的觀點下的定義，但是都說明確定了定點與定長，也就確定了圓。

知識點二圓的相關(guān)概念

(1)弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫作直徑。

(2)?。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。圓的任意一條直徑的兩個端點

把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。

(3)等圓：等夠重合的兩個圓叫做等圓。

(4)等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。

弦是線段，弧是曲線，判斷等弧首要的條件是在同圓或等圓中，只有在同圓或等圓

中完全重合的弧才是等弧，而不是長度相等的弧。

24.1.2垂直于弦的直徑

知識點一圓的對稱性

圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸。

知識點二垂徑定理

(1)垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。如圖所示，直

c

徑為CD,AB是弦，且CDLAB,

AD=BD

垂徑定理的推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條

弧

如上圖所示，直徑CD與非直徑弦AB相交于點M,

CD±AB

iIAC=BC

AD=BD

注意：因為圓的兩條直徑必須互相平分，所以垂徑定理的推論中，被平分的弦必

須不是直徑，否則結(jié)論不成立。

24.1.3弧、弦、圓心角

知識點弦、弧、圓心角的關(guān)系

(1)弦、弧、圓心角之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的

弧相等，所對的弦也相等。

(2)在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩條弧，兩條弦中有一組量相等，那

么它們所對應(yīng)的其余的各組量也相等。

(3)注意不能忽略同圓或等圓這個前提條件，如果丟掉這個條件，即使圓心角

相等，所對的弧、弦也不一定相等，比如兩個同心圓中，兩個圓心角相同，

但此時弧、弦不一定相等。

24.1.4圓周角

知識點一圓周角定理

(1)圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧

所對的圓心角的一半。

(2)圓周角定理的推論：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對

弦是直徑。

(3)圓周角定理揭示了同弧或等弧所對的圓周角與圓心角的大小關(guān)系?！巴』虻?/p>

弧”是不能改為“同弦或等弦”的，否則就不成立了，因為一條弦所對的圓周

角有兩類。

知識點二圓內(nèi)接四邊形及其性質(zhì)

圓內(nèi)接多邊形：如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓

內(nèi)接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓。

圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補。

24.2點、直線、圓和圓的位置關(guān)系

24.2.1點和圓的位置關(guān)系

知識點一點與圓的位置關(guān)系

(1)點與圓的位置關(guān)系有：點在圓外，點在圓上，點在圓內(nèi)三種。

(2)用數(shù)量關(guān)系表示：若設(shè)。0的半徑是r,點P到圓的距離OP=d,則有：

點P在圓外Qd>r；點p在圓上=dr；點p在圓內(nèi)qdVr。

知識點二過已知點作圓

(1)經(jīng)過一個點的圓(如點A)

以點A外的任意一點(如點0)為圓心，以0A為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓可

?03

（2）經(jīng)過兩點的圓（如點A、B）

以線段AB的垂直平分線上的任意一點（如點0）為圓心，以0A（或0B）為半徑作圓

即可，如圖，這樣的圓可以作無數(shù)個。

B

（3）經(jīng)過三點的圓

①經(jīng)過在同一條直線上的三個點不能作圓

②不在同一條直線上的三個點確定一個圓，即經(jīng)過不在同一條直線上的三個點可以

作圓，且只能作一個圓。如經(jīng)過不在同一條直線上的三個點A、B、C作圓，作法:

連接AB、BC（或AB、AC或BC、AC）并作它們的垂直平分線，兩條垂直平分線相

交于點。，以點。為圓心，以0A（或OB、0C）的長為半徑作圓即可，如圖，這樣

知識點三三角形的外接圓與外心

(1)經(jīng)過三角形三個頂點可以作一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓。

(2)外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，叫做這個三角形的外心。

知識點四反證法

(1)反證法：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，經(jīng)過推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設(shè)不

正確，從而得到原命題成立，這種證明命題的方法叫做反證法。

(2)反證法的一般步驟：

①假設(shè)命題的結(jié)論不成立；

②從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，推出或與定義，或與公理，或與定理，或與已知等

相矛盾的結(jié)論；

③由矛盾判定假設(shè)不正確，從而得出原命題正確。

24.2.2直線和圓的位置關(guān)系

知識點一直線與圓的位置關(guān)系

(1)直線與圓的位置關(guān)系有：相交、相切、相離三種。

(2)直線與圓的位置關(guān)系可以用數(shù)量關(guān)系表示

若設(shè)。。的半徑是r,直線1與圓心0的距離為d,則有：

直線1和。夕相交d<r；塞線1和。0相切V=r；直線1和

。。相離d>ro

知識點二切線的判定和性質(zhì)

(1)切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

(2)切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點的半徑。

(3)切線的其他性質(zhì)：切線與圓只有一個公共點；切線到圓心的距離等于半徑；經(jīng)

過圓心且垂直于切線的直線必過切點；必過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓

心。

知識點三切線長定理

(1)切線長的定義：經(jīng)過園外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做

這點到圓的切線長。

(2)切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和

圓心的連線平分兩條切線的夾角。

(3)注意：切線和切線長是兩個完全不同的概念，必須弄清楚切線是直線，是不能

度量的；切線長是一條線段的長，這條線段的兩個端點一個是在圓外一點，另

一個是切點。

知識點四三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心

(1)三角形的內(nèi)切圓定義：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。這個

三角形叫做圓的外切三角形。

(2)三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心。

(3)注意：三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點，所以當三角形的內(nèi)心已

知時，過三角形的頂點和內(nèi)心的射線，必平分三角形的內(nèi)角。

24.2.3圓和圓的位置關(guān)系

知識點一圓與圓的位置關(guān)系

(1)圓與圓的位置關(guān)系有五種：

①如果兩個圓沒有公共點，就說這兩個圓相離，包括外離和內(nèi)含兩種；

②如果兩個圓只有一個公共點，就說這兩個圓相切，包括內(nèi)切和外切兩種；

③如果兩個圓有兩個公共點，就說這兩個圓相交。

(2)圓與圓的位置關(guān)系可以用數(shù)量關(guān)系來表示：

若設(shè)兩圓圓心之間的距離為d,兩圓的半徑分別是nn,且nVn,則有

<J=>

兩圓外離*d>ri+r2兩圓外切d=ri+r2u>兩圓相交=r2-ri<d<ri+r2兩

圓內(nèi)切d=r2-ri兩圓內(nèi)匕d<r2-ri

24.3正多邊形和圓

知識點一正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形

正多邊形與圓的關(guān)系非常密切，把圓分成n(n是大于2的自然數(shù))等份，順次連接

各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓。

正多邊形的中心：一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心。

正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。

正多邊形的中心角：正多邊形每一條邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角。

正多邊形的邊心距：中心到正多邊形一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。

知識點二正多邊形的性質(zhì)

(1)正n邊形的半徑和邊心距把正多邊形分成2n個全等的直角三角形。

(2)所有的正多邊形都是軸對稱圖形，每個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸

都經(jīng)過正n邊形的中心；當正n邊形的邊數(shù)為偶數(shù)時，這個正n邊形也是中心

對稱圖形，正n邊形的中心就是對稱中心。

(3)正n邊形的每一個內(nèi)角等于("-2)x180。,中心角和外角相等，等于獨。

nn

24.4弧長和扇形面積

知識點一弧長公式1=峭

180

在半徑為R的圓中，360°的圓心角所對的弧長就是圓的周長C=2nR,所以n°的圓

心角所對的弧長的計算公式1=—X2nR=^。

360180

知識點二扇形面積公式

在半徑為R的圓中，360°的圓心角所對的扇形面積就是圓的面積S=nR2,所以圓心

角為n°的扇形的面積為S扇形=上弦。

360

比較扇形的弧長公式和面積公式發(fā)現(xiàn)：

o_n兀R’n7iR1?1匚匚…1

s扇形二行相二而“萬""3伏'所以$扇形=3，"

JOU1oU，/Z

知識點三圓錐的側(cè)面積和全面積

圓錐的側(cè)面積是曲面，沿著圓錐的一條母線將圓錐的側(cè)面展開，容易得到圓錐的側(cè)

面展開圖是一個扇形。設(shè)圓錐的母線長為1,底面圓的半徑為r,那么這個扇形的半

徑為1,扇形的弧長為2Jir,因此圓錐的側(cè)面積§刑制=(2次"="/。圓錐的全面積

為S網(wǎng)錐全=S惻錐側(cè)+5底="/+"°

25.1隨機事件與概率

25.1.1隨機事件

知識點一必然事件、不可能事件、隨機事件

在一定條件下，有些事件必然會發(fā)生，這樣的事件稱為必然事件；相反地，有些事

件必然不會發(fā)生，這樣的事件稱為不可能事件；在一定條件下，可能發(fā)生也可能不

會發(fā)生的事件稱為隨機事件。

必然事件和不可能事件是否會發(fā)生，是可以事先確定的，所以它們統(tǒng)稱為確定性

事件。

知識點二事件發(fā)生的可能性的大小

必然事件的可能性最大，不可能事件的可能性最小，隨機事件發(fā)生的可能性有大有

小。不同的隨機事件發(fā)生的可能性的大小有可能不同。

25.1.2概率

知識點概率

一般地，對于一個隨機事件A,我們把刻畫其發(fā)生可能性大小的數(shù)值，稱為隨機

事件A發(fā)生的概率，記作P(A)。

一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等,

事件A包含其中的m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率P(A)=依。由m和n的含義可

n

知OWmWn,因此0W絲W1,因此OWP(A)W1.

n

當A為必然事件時，P(A)=1；當A為不可能事件時，P(A)=0.

25.2用列舉法求概率

知識點一用列舉法求概率

一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等,

事件A包含其中的m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率P(A)=-

n0

知識點二用列表發(fā)求概率

當一次試驗要涉及兩個因素并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時，為不重不漏地列出所

有可能的結(jié)果，通常用列表法。

列表法是用表格的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件

發(fā)生的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法。

知識點三用樹形圖求概率

當一次試驗要涉及3個或更多的因素時一，列方形表就不方便了，為不重不

漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹形圖。樹形圖是反映事件發(fā)生的各種情況出

現(xiàn)的次數(shù)和方式，并求出概率的方法。

(1)樹形圖法同樣適用于各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)不是很大時求概率的方法。

(2)在用列表法和樹形圖法求隨機事件的概率時，應(yīng)注意各種情況出現(xiàn)的可能

性務(wù)必相同。

25.3用頻率估計概率

知識點

在隨機事件中，一個隨機事件發(fā)生與否事先無法預(yù)測，表面上看似無規(guī)律可循，

但當我們做大量重復(fù)試驗時，這個事件發(fā)生的頻率呈現(xiàn)出穩(wěn)定性，因此做了大量試

驗后，可以用一個事件發(fā)生的頻率作為這個事件的概率的估計值。

一般地，在大量重復(fù)試驗中，如果事件A發(fā)生的頻率%穩(wěn)定于某一個常數(shù)P,那

n

么事件A發(fā)生的頻率P（A）=po

九年級第一學(xué)期數(shù)學(xué)期中測試題

一、選擇題（每題3分，共30分）

1.下列圖形繞某點旋轉(zhuǎn)180。后，不能與原來圖形重合的是（）

ABCD

2.下列方程是關(guān)于x的一元二次方程的是()

A.ctx~+hx+c=0B.—―H—=2C.x~+2x=-1D.3(x+1)~=2(x+1)

XX

3.下列函數(shù)中，不是二次函數(shù)的是()

A.y=l一鏡x‘B.y=2(x—l)J+4C.~(x—1)(x+4)D.y=(x-2)'—x"

4.方程（x+l）（x-3）=5的解是（）

=

A.x}=l,x2=—3B.2=4,x2=—2C.x]=—l,x2D.=—4,x2=2

5.把二次函數(shù)y=—x+3用配方法化成y=a(x—h)4k的形式()

A.y=一；(x-2"+2B.y=；(x—2)，+4C.y=—；(x+2)。+4D.y=&—^)+3

6.一元二次方程(相一2)--43+2加一6=0有兩個相等的實數(shù)根，則相等于()

A.-6或1B.1C.-6D.2

7.對拋物線y=—x?+2x—3而言，下列結(jié)論正確的是（）

A.與x軸有兩個交點B.開口向上

C.與y軸的交點坐標是(0,3)D.頂點坐標是(1,-2)

8.若點A(”,2)與點8(—3,⑼關(guān)于原點對稱，則〃一加=()

A.-1B.一5C.1D.5

9.如下圖的四個圖案中，既可用旋轉(zhuǎn)來分析整個圖案的形成過程，又可用軸對稱來分析整個圖案的形成過程的

有()__________

HHHS

A.1個B.2個C.3個D.4個

10.在同一平面直角坐標系內(nèi)，一次函數(shù)y=ax+b與二次函數(shù)y=ax?+8x+b的圖象

、填空題(11——16每題3分，第17題6分，共24分)

11.方程2/-1=岳的二次項系數(shù)是,一次項系數(shù)是,常數(shù)項是。

12.若函數(shù)y=(m—3)x"'+2，"T3是二次函數(shù)，則皿二

13.已知二次函數(shù)的圖象過(1,0),(2,0)和(0,2)三點，則該函數(shù)的解析式是()

A.y=2x+%+2B.y=x+3x+2

C.y=/—2x+3D.3%+2

14.如圖，將等邊△?(劭沿被中點旋轉(zhuǎn)180°得到現(xiàn)給出下列命題：①四邊形力質(zhì)是菱形；②四邊形心⑦

是中心對稱圖形；③四邊形/靦是軸對稱圖形；④其中正確的是(寫上正確的序

15.拋物線y=2x?—bx+3的對稱軸是直線x=l,則b的值為.

16.如果一元二方程(加一2)/+3彳+疝-4=0有一個根為0,貝!)m=.

17.認真觀察圖J23-3-3中的四個圖案，回答下列問題：

(1)請寫出這四個圖案都具有的兩個共同特征：

特征1：；特征2：.

（2）請你在下圖中設(shè)計出你心中最美的圖案，使它也具備你所寫出的上述特征.

二、解答題（共66分）

18、解方程（每題4分，共8分）

（1）x2-2x-S-Q（用因式分解法）(2)(x-2)(x-5)=-2

19.（8分）已知等腰三角形底邊長為8,腰長是方程丁-9x+2°=°的一個根,

求這個等腰三角形的腰長。

20.（8分）用長為20cm的鐵絲，折成一個矩形，設(shè)它的一邊長為xcm,面積為yen?。

（1）求出y與x的函數(shù)關(guān)系式。（2）當邊長x為多少時，矩形的面積最大，最大面積是多少？

K21.（8分）一商店1月份的利潤是2500元，3月份的利潤達到3025元，這兩個月的利潤月增長的百分率相同,

求這個百分率。

22、(10分)如圖，在菱形A3C。中，對角線AC與8。相交于點O,48=13,80=24,在菱形ABCD的外

部以AB為邊作等邊三角形ABE。點廠是對角線3。上一動點(點F不與點8、D重合)，將線段AF繞點A順

時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段40,連接月0。

(1)求A。的長；

(2)如圖2,當點廠在線段80上，且點M,EC三點在同一條直線上時，

求證：ZACM=30°

(3)連接￡M,若41￡^的面積為40,請畫出圖形，并直接寫出AA月以的周長。

23.(10分)行駛中的汽車，在剎車后由于慣性的作用，還要向前方滑行一段距離才

能停止，這段距離稱為“剎車距離”，為了測定某種型號的汽車的剎車性能(車速

不超過140km/h),對這種汽車進行測試，測得數(shù)據(jù)如下表：

剎車時車速

0102030405060

/km?h

剎車距離/m00.31.02.13.65.57.8

(1)以車速為x軸，以剎車距離為y軸，建立平面直角坐標系，根據(jù)上表對應(yīng)值作出

函數(shù)的大致圖象；

(2)觀察圖象估計函數(shù)的類型，并確定一個滿足這些數(shù)據(jù)的函數(shù)解析式;

(3)該型號汽車在國道發(fā)生了一次交通事故，現(xiàn)場測得剎車距離為46.5m,推測剎車

時的車速是多少？請問事故發(fā)生時，汽車是超速行駛還是正常行駛?

24.(14分)已知，如圖拋物線y=ax2+3ax+c(a>0)與y軸交于點C,與x軸交于A,B兩點，點A在點B左側(cè).點

B的坐標為(1,0),0C=30B.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點D是線段AC下方拋物線上的動點,求四邊形ABCD面積的最大(3)若點E在x軸上，點P在拋物線上.是

否存在以A,C,E,P為頂點且以AC為一邊的平行四邊形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由.w

新人教版九年級數(shù)學(xué)上期導(dǎo)學(xué)案

班級一學(xué)習小組一_學(xué)生姓名一

課題一元二次方程(1)課型新授課

年級九年級單元第組單元課時第L課時

1、會根據(jù)具體問題列出一元二次方程，體會方程的模型思想，提高歸納、

學(xué)習

目標分析的能力。

2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；會把一個一

元二次方程化為一般形式；會判斷一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)

和常數(shù)項。

學(xué)習重點由實際問題列出一元二次方程和一元二次方程的概念。

學(xué)習由實際問題列出一元二次方程。準確認識一元二次方程的二次項和系數(shù)以及

難點

一次項和系數(shù)還有常數(shù)項。

學(xué)法指導(dǎo)自主探究，合作交流

知識鏈接一元一次方程的相關(guān)知識

自學(xué)課本P27—29頁，完成下列要求：

導(dǎo)案1、理解并背誦一元二次方程的定義及一元二次方程的一般形式；

課自學(xué)2、準確認識一元二次方程的二次項和系數(shù)以及一次項和系數(shù)還有常數(shù)項。

刖

1、自學(xué)課本導(dǎo)圖，走進一元二次方程

分析：現(xiàn)設(shè)雕像下部高x米，則度可列方程

_________________________去括號得_________________①

你知道這是一個什么方程嗎？你能求出它的解嗎？想一想你以前學(xué)過

自學(xué)

什么方程，它的特點是什么？

完成

2、探究新知

自學(xué)課本25頁問題1、問題2(列方程、整理后與課本對照)，并完成下列

各題：

問題］可列方程_______________整理得________________缸

問題2可列方程_______________整理得________________③

觀察上述三個方程以及①②兩個方程的結(jié)構(gòu)特征，類比一元一次方程的定

義，自己試著歸納出一元二次方程的定義。

一元二次方程的是：

1)、只含有______個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是___________，

這樣的___________方程，叫做一元二次方程。

2)、一元二次方程的一般形式：___________________________，其中

二次項，___________是一次項，_________是常數(shù)項，______二次項系數(shù)，

一次項系數(shù)。

3、展示反饋【挑戰(zhàn)自我】判斷下列方程是否為一元二次方程。

①41=81；⑵2(1-1)=3了；(3)5丁一1=4%；

12

+ix=°!(5)2X2+3X-1；(6)3X(X-1)=5(X+2)；

(7)關(guān)于X的方程⑻關(guān)于y的方程

爾2-3x+2=0；(/+l)j?+(2a-l)y+5-a=0.其中為一元二次方

程的是：___________________________0

小結(jié)

1、本節(jié)課我們學(xué)習了哪些知識？2、學(xué)習過程中用了哪些數(shù)學(xué)方法？

3、確定一元二次方程的項及系數(shù)時要注意什么？

1、將下列方程化為一元二次方程的一般形式，并分別指出它們的二次項系

數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項：

(1)5X2-1=4X；(2)81=4x>

反

饋(3)4x(x+2)=25(4)(3x-2)(x+l)=8x-3

練

2、列出關(guān)于x的方程，并將其化成一元二次方程的一般形式：

習

1、一個正方形的面積的2倍等于50,這個正方形的邊長是多少？

2、一個數(shù)比另一個數(shù)大3,且這兩個數(shù)之積為這個數(shù)，求這個數(shù)。

3、一塊面積是150cm2長方形鐵片，它的長比寬多5cm,則鐵片的長是多少？

課課后

后反思

達標測評

1、判斷下列方程是否是一元二次方程;

1Q

(1)2x一一%2--=0()(2)2x2-y+5=0()

32

(3)ax2+/?Jt+c=0()(4)4x2——+7=0()

X

2、將下列方程化為一元二次方程的一般形式，并分別指出它們的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)

項：

(1)3X-A=2；(2)7x-3=2x(3)(2x—l)—3X(矛-2)=0(4)2x(x—l)=3x.

新人教版九年級數(shù)學(xué)上期導(dǎo)學(xué)案

班級—學(xué)習小組_學(xué)生姓名_________________

課題一元二次方程(2)課型新授課

年級九年級單元第組單元課時第二課時

學(xué)習了解一元二次方程根的用關(guān)念，會判定一個數(shù)是否是一個一元二次方程的根及

目標利用它們解決一些具體N習題.

學(xué)習重點判定一個數(shù)是否是方程的根；

學(xué)習由實際問題列出的一元二次方程解出根后還要考慮這些根是否確定是實際

難點問題的根.

學(xué)法指導(dǎo)自主探究，合作交流

知識鏈」餒一元一次方程的相關(guān)知識

課前導(dǎo)自學(xué)課本P27—29頁，完成下列要求：

案3、理解并背誦一元二次方程的根的定義。

自4、注意一元二次方程的根如何找。

學(xué)5、理解一元二次方程的根的定義。

1、前面有關(guān)排球邀請賽的問題中，我們列出方程X2-X=56

當x=l時，x2-x=O；當x=2時，x2-x=2；......我們可以得出下表的值

X12345678910???.

x2-x02???

從中發(fā)現(xiàn)當x=8時，x2-x=；所以x=8是方程

自一元二次方程的__________也是一元二次方程的根。

學(xué)2、歸納一元二次方程的根的定義：_________________

完

成先獨立思考，完成下列各題

1.下面哪些數(shù)是方程x2-x-6=0的根?

-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.

2.你能用以前所學(xué)的知識求出下列方程的根嗎？

(1)x2-36=0(2)4x2-9=0(3)x2-3x=0

小你今天學(xué)會了解怎樣找的一元二次方程的根？步驟是什么?

結(jié)_________________________________

1.下面哪些數(shù)是方程x2+x-12=0的根？

-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.

2.寫出下列方程的根

(1)9x2=1(2)25x2-4=0(3)4x2=2

反

Wi

綜

習

3.你能想出下列方程的根嗎？

(1)(x-2)2=1(2)X2+2X+1=4(3)x2-6x+9=0

課后課

后

反

思

自查自省

選擇題

1.方程x(x-1)=2的兩根為().

A.xi=O,X2=lB.Xi=O,X2=-lC.Xi=l,X2=2D.XI=-1,X2=2

2.方程2x(x-3)+(3-x)=0的根是().

A.Xi=3,X2=2B.XI=3,X2=—C.XI=2,X2=—D.XI=4,X2=9

22

填空題

1.如果X2-81=0,那么X2-81=0的兩個根分別是XI=,x2=

2.已知方程5x2+mx-6=0的一個根是x=3,則m的值為

3.方程(x+1)2+V2x(x+1)=0,那么方程的根Xi=；X2=

綜合提高題

1.如果x=l是方程ax2+bx+3=0的一?個根，求a+b的值.

新人教版九年級數(shù)學(xué)上期導(dǎo)學(xué)案

班級__________學(xué)習小組__________學(xué)生姓名__________

課題22.2配方法(一)課型新授課

年級九年級單元第組單元課時第L課時

1、初步掌握用直接開平方法解一元二次方程，會用直接開平方法解形如

x2=p(p20)或(mx+n)2=p(p\0)的方程

學(xué)習目標2、理解一元二次方程解法的基本思想及其與一元一次方程的聯(lián)系，體會兩

者之間相互比較和轉(zhuǎn)化的思想方法；

3、能根據(jù)具體問題的實際意義檢驗結(jié)果的合理性。

學(xué)習重點掌握用直接開平方法解一元二次方程的步驟。

學(xué)習難點理解并應(yīng)用直接開平方法解特殊的一元二次方程。

學(xué)法指導(dǎo)自主探究，合作交流

知識鏈:餒完全平方公式、平方根的相關(guān)知識

課前導(dǎo)自學(xué)課本P30—31頁，完成下列要求：

案1理解并掌握一元二次方程的解法。

自2注意開平方時有兩個根。

學(xué)

小交流課前學(xué)習內(nèi)容，互幫互助，提高學(xué)習思想，掌握多變的學(xué)習方