數(shù)值計算方法教案

《計算方法》教案

課程名稱：計算方法

適用專業(yè)：醫(yī)學信息技術

適用年級：二年級_______

任課教師：張利萍

編寫時間：2011年8月

新疆醫(yī)科大學工程學院張利萍

教案目錄

《計算方法》教學大綱.................................4

一、課程的性質與任務........................................................4

二、課程的教學內容、基本要求及學時分配.....................................4

三、課程改革與特色..........................................................5

四、推薦教材及參考書........................................................5

《計算方法》教學日歷.................錯誤!未定義書簽。

第一章緒論...........................................6

第1講緒論有效數(shù)字........................................................6

第2講誤差...............................................................

第二章線性方程組的直接法............................14

第3講直接法、高斯消去法..................................................14

第4講高斯列主元消去法....................................................22

第5講平方根法、追趕法....................................................29

第三章插值法與最小二乘法...........................31

第6講機械求積、插值型求積公式...........................................32

第7講牛頓柯特斯公式、復化求積公式.......................................37

第8講高斯公式、數(shù)值微分..................................................42

第9講

第10講

第12講

第四章數(shù)值積分與數(shù)值微分...........................48

第11講歐拉公式、改進的歐拉公式..........................................48

第12講龍格庫塔方法、亞當姆斯方法........................................52

第13講收斂性與穩(wěn)定性、方程組與高階方程..................................56

第14講

第15講

第五章微分常微分方程的差分方法.....................59

第16講迭代收斂性與迭代加速...............................................60

第17講牛頓法、弦截法.....................................................64

第18講

第19講

第20講

第六章線性方程組的迭代法...........................67

第21講迭代公式的建立...................................................68

2

第22講

第23講

第24講向量范數(shù)、迭代收斂性71

第25講

3

《計算方法》教學大綱

課程名稱：計算方法/ComputerNumericalAnalysisB

學時/學分：54/4

先修課程：高等數(shù)學、線性代數(shù)、高級語言程序設計（如：Matlab語言）

適用專業(yè)：計算機科學與技術、信息管理與信息系統(tǒng)

開課學院（部）、系（教研室）：醫(yī)學工程技術學院、醫(yī)學信息技術專業(yè)

一、課程的性質與任務

計算方法是一門專業(yè)必修課。當前，由于科學技術的快速發(fā)展和計算機的廣泛應用，

學習和掌握計算機上常用的數(shù)值計算方法及有關的基礎理論知識,并能用某種高級語言（如

Matlab語言）將這些常用算法編程實現(xiàn)，這對于計算機專業(yè)的學生來說是非常重要的。

本課程著重介紹進行科學建設所必須掌握的一些最基本、最常用的算法，向高等院校

有關專業(yè)的學生普及計算方法的知識.

二、課程的教學內容、基本要求及學時分配

（一）教學內容

1.引論

數(shù)值分析的研究對象、誤差及有關概念、數(shù)值計算中應注意的一些原則。

2.線性代數(shù)方程組的數(shù)值解法

Gauss消去法、Gauss消去法的矩陣形式、主元消去法、三角分解法、迭代法、迭代法

的收斂條件及誤差估計。

3.插值方法

Lagrange插值、Newton插值、分段插值、Hermite插值、三次樣條插值、數(shù)據(jù)擬合的

最小二乘法。

4.數(shù)值積分與微分

機械求積、Newton-Cotes求積公式、復化求積、Romberg求積算法、Gauss求積公式、

數(shù)值微分。

5.常微分方程初值問題的數(shù)值解法

Euler方法及其改進、龍格-庫塔（Runge-Kulta）方法、線性多步法、收斂性與穩(wěn)定性、

一階方程組與高階方程。

6.方程求根的數(shù)值方法

二分法、迭代法、迭代過程的加速、Newton迭代法、Newton迭代法的幾種變形。

（二）基本要求

1.了解數(shù)值分析的研究對象、掌握誤差及有關概念。

2.正確理解使用數(shù)值方法求方程的解的基本思想、數(shù)學原理、算法設計。

3.了解插值是數(shù)值逼近的重要方法之一，正確理解每一種算法的基本思想、計算公式、

算法設計、程序框圖設計和源程序。

4.掌握數(shù)值積分的數(shù)學原理和程序設計方法。

5.能夠使用數(shù)值方法解決一價常微分方程的初值問題。

6.理解和掌握使用數(shù)值方法對線性方程組求解的算法設計。

（三）學時分配

本課程的理論教學時數(shù)為54學時分配如下表:

速學環(huán)節(jié)

課程輻、、、學時講課

引論4

線性代數(shù)方程組的數(shù)值解法6

插值方法12

數(shù)值積分與微分10

常微分方程初值問題的數(shù)值解法10

方程求根的數(shù)值方法10

總復習2

合計54

（四）課程內容的重點、難點

重點：Lagrange插值、Newton插值、分段插值、Heimite插值、三次樣條插值、機械

求積、Newlon-Coies求積公式、復化求積、Romberg求積算法。

難點：Gauss消去法、Gauss消去法的矩陣形式、主元消去法、三角分解法、迭代法、

迭代法的收斂條件及誤差估計。

三、課程改革與特色

本課程是一門重要的專業(yè)基礎課。數(shù)值計算方法既是一門古老的學科，又是一門新興

的學科。電子計算機的產生和發(fā)展極大地促進了數(shù)值計算方法的發(fā)展。只有把數(shù)值計算方

法和程序設計緊密結合起來，把算法變?yōu)橛嬎銠C能直接執(zhí)行的程序，才能真正使計算機幫

助人們解決各種復雜的計算任務。

本課程試圖將數(shù)值計算方法和程序設計方法學融為一體，這也是一種嘗試。

四、推薦教材及參考書

推薦教材：《計算機數(shù)值方法》（第三版），主編：施吉林、劉淑珍、陳桂芝，出版社:

高等教育出版社，出版時間：2005年3月

參考書：

《數(shù)值計算方法和算法》，主編：張韻華、奚梅成、陳效群，出版社：科學出版社，出

版時間：2002年3月

《NumericalAnalysis》，主編：RichardL.Burden,出版社：高等教育出版社影印，出

版或修訂時間：2003

《數(shù)值分析》，主編：金聰、、熊盛武，出版社：武漢理工大學出版社，出版時間：2003

年8月

5

第一章緒論

一、教學目標及基本要求

通過對本章的學習，使學生對了解涉及工程和科學實驗中常見的數(shù)學問題，其中包括

線性方程組、函數(shù)插值、離散數(shù)據(jù)的擬合、微積分、微分方程等，這些問題是其他數(shù)學問

題的基礎。

二、教學內容及學時分配

本章主要介紹數(shù)值分析的研究對象及誤差的概念。具體內容如下：

第1-2學時講授內容：計算方法的研究內容、對象與特點；誤差的基本概念。

三、教學重點難點

1.教學重點：誤差、誤差種類：誤差分析：誤差與有效數(shù)字的關系.

2.教學難點：誤差分析、誤差與有效數(shù)字的關系。

四、教學中應注意的問題

多媒體課堂教學為主。適當提問，加深學生對概念的理解。

第1講緒論

基本求解步驟

編程上機

計算結果

數(shù)學模型是通過科學實驗或者觀察分析一系列數(shù)據(jù)后，用數(shù)學作為工具近似地描述客觀事

物的一種數(shù)學表達式。在數(shù)學模型中，往往包含了若干參量，這些物理參數(shù)通常由實驗儀

器測得，根據(jù)儀器的精密程度，物理參數(shù)的確定也會產生一定的誤差。

在建立了數(shù)學模型之后，并不能立刻用計算機直接求解，還必須尋找用計算機計算這些數(shù)

學模型的數(shù)值方法，即將數(shù)學模型中的連續(xù)變量離散化，轉化成一系列相應的算法步驟，

編制出正確的計算程序，再上機計算得出滿意的數(shù)值結果。

算法：從給定的已知量出發(fā)，經(jīng)過有限次四則運算及規(guī)定的運算順序，最后求出未知量的

數(shù)值解，這樣構成的完整計算步驟稱為算法。

計算多項式p(x)=31+4x2-2x+6的值。

算法1：由X計算出x',3后再進行計算。

需乘法5次，加法3次。

6

〃(x)=x[x(3x+4)—2J+6

需乘法3次，加法3次。

一般地，計算n次多項式的值

nnx

巴(%)=anx+an_xx~+…++4

P_,、?i〃(〃+i)

如若按4"1有14次乘法運算，計算K(x)共需"2++〃=1—次乘法和〃次加

法運算。

采用：秦九韶算法(1247)有遞推公式：

%)=工(舊.《(『+%)+噎+.+4)+%從內往外一層一層計算，社巳表示第k層

以=(...(atlx+a,^)x+...+an_k.x)x+an_k

[匕=%TX+4T

Vo=4

需乘法n次，加法n次，存儲單元n+3個。

對算法所要考慮的問題,包括如下：

?計算速度

例如，求解一個20階線性方程組，用消元法需3000次乘法運算；而用克萊姆法則要進行

9.7X1O20次運算,如用每秒1億次乘法運算的計算機要30萬年。

7

?存儲量

大型問題必要考慮計算機的數(shù)據(jù)存貯。

?數(shù)值穩(wěn)定性

在大量計算中,舍入誤差是積累還是能控制,這與算法有關。

實際算法往往表現(xiàn)為某種無窮遞推過程

算法的精度控制

方程根的二分法求解

/(幻在［〃,切上單調連續(xù)，f(a)f(b)<0,根據(jù)連續(xù)函數(shù)性質，/(處在［?力內一定有實的零點,

即方程〃幻=0在［。,川內一定有唯一實根。解實根為/

若/(/)=0,則%為所求根

否則若f(a)J(Xo)<。，則根在區(qū)間［。，須)］，取q=x0

若/S)/(%)<0,則根在區(qū)間島，勿，取4=Xo，b［=b

[a,b]n[?1，/?!]z>...n[ak,bk]Tt...

每一區(qū)間為前一區(qū)間的一半，有根區(qū)間［4,4］長度%一見=-(b-a)

2

,一(4

§1.2預備知識和誤差

(1)誤差的來源

實際問題"建立數(shù)學模型”研究計算方法》編程上機計算解結果。

模型誤差：在建立數(shù)學模型過程中,不可能將所有因素均考慮,必然要進行必要的簡化,這

就帶來了與實際問題的誤差。

測量誤差：測量已知參數(shù)時，數(shù)據(jù)帶來的誤差。

截斷誤差：模型的準確解與某種數(shù)值方法的準確解之間的誤差稱為截斷誤差或方法誤差。

舍入誤差：計算機的字長是有限的,每一步運算均需四舍五入，由此產出的誤差稱舍入誤

差。如：n.1/3,……取小數(shù)點8位、16位。

［截斷誤差的實例］

21一+

己知e"=1+x+—X4--"3+?..+------X十

2!7i!

求e-的近似值，并估計誤差。

解：利用展開式的前三項，取n=2,

6T?14-(-1)4-1(-1)2=0.5

由Qy如公式:

/(x)=f(x0)+/'(x0)(x-x(l)+

+k(i。-即a-"

8

"+l

=Ov?<1

5+1)!

\R\=Ie-1-O.S|^—<1.7*IO-1

213!截斷誤差為：0.17

［舍入誤差的實例］

1.492x1.066=1.590472,設在一臺虛構的4位數(shù)字的計算機上計算

1.492x1.066?1.590,舍入誤差為0.000472。

數(shù)值計算方法主要討論截斷誤差和舍入誤差的影響，不討論模型誤差和測量誤差。

三、誤差的基本概念

(1)誤差與誤差限

誤差不可避免，設以工代表數(shù)K*的近似值，稱《二”一/是近似值大的絕對誤差。簡稱誤

差。誤差是有量綱的，可正可負。

誤差通常是無法計算的，但可以估計出它的一個上界。即

卜一‘稱￡是近似值X的誤差限，或稱精度，即

**

X-8<x<x+8

O

(2)相對誤差與相對誤差限

e_x*—x

絕對誤差并不能完全反應精度，稱?-X為近似值x的相對誤差，記作。相對

誤差是個相對數(shù),是無量綱的,也可正可負。

相對誤差的估計圖",「，稱￡，為相對誤差限，即

(3)有效數(shù)字

定義：如果近似值X的誤差限是3(某一數(shù)位的半個單位)，則稱X準確到小數(shù)點后n

位,并從第一個非零的數(shù)字到這一位的所有數(shù)字均為有效數(shù)字。

如：n=3.1415926535,

3.14有三位有效數(shù)字,誤差限e=0.005;

3.1416有五位有效數(shù)字,誤差限為0.00005o

(4)有效數(shù)字與誤差限的關系：

x有n位有效數(shù)字，標準形式為.x=±KTx0.生生…%其中a(i=l,2,…)是0~9之間的

整數(shù)，且qW0,如果誤差|x-x|<^xl(F"JV/V〃，稱x為/的具有1位有效數(shù)值的

近似值.

(5)有效數(shù)字與相對誤差的關系：

9

標準形式為x=±UTxO.q/…耳，則:

M

a)若寸有〃位有效數(shù)字，J_xio'-

kI2q

1.?10止"

品甯WxlO1

若邑？!<一!一xio?

b)以12(4+1)，則x"有〃位有效數(shù)字

,n

證:lx-x*-----------x10l-nxx*|4―!—x10~x(a.+l)x10-'=-x10*”

112(4+1)2(q+l)'2

例，已知乃=3.14159265..,試問其近似值內=3.1,x2=3.14,x3=3.1415,A:3=3.1416

各有幾位有效數(shù)字？并給出它們的誤差限和相對誤差限。

e,=|^-^|?0.04<^10十分位以前都是有效數(shù)字，有兩位有效數(shù)字

1-2",

e\r-<—xlO=-xl0

2x36

?=歸一々核0.002<-xl02有三位有效數(shù)字

年一天|<^—XlO1-3=-xl0-2

2x36

3

|^--x3|?0.00009<^xl0-,有四位有效數(shù)字

<—!—xio1-4=-xio-3

，「

22x36

/=年一%|。0.00001<^xW4,有五位有效數(shù)字

^,叱小叱

例：為使二*的相對誤差小于0.001%,至少應取幾位有效數(shù)字?

解:

￡「M」一XlO-1<0.001%

2al

〃>6—k)g6,即〃之6,取〃=6,則"*=3.14159

10

§1.3數(shù)值計算的若干原則

1,避免兩相近數(shù)相減

當x較大時，計算工T-6，可先轉化為'-6=-^J—尸

VX+I4-VX

/(x)=G&x=2得導數(shù)值f⑵X,2+%二J2i,精確值尸Q)=0.353553

2%

人k八［組，”\V2+^-V2^A1.4491-1.3784n_?.n

令h=0.1得/(2)=-----------------------?------------------------?0.35350

2h0.2

人」AAAA,田V2+A-V2^h1.4142-1.4142八

令h=0.0001得f(2)*-----------------------a------------------------=0

2h0.0002

計算"c°s*,x=l,分子出現(xiàn)相近數(shù)相減，可轉換為

sinx

1—cosxsinxh、、a

—；----=--------,再計算

sinx1-cosx

2.避免絕對值太小的數(shù)做除數(shù)

分母接近零的數(shù)會產生溢出錯誤,因而產生大的誤差,此時可以用數(shù)學公式化簡后再做.

V=,___],_==ViooT+Viooo

Viooi-Viooo

3.要防止大數(shù)“吃掉”小數(shù)

計算機在進行算術計算時，首先要把參加運算的數(shù)對階，即把兩數(shù)都寫成絕對值小于1,而

階碼相同的數(shù)。如：%=1。9+1必須改寫成：x=0.1x1()1°+0.0000000001x1010如果

計算機只能表示8位小數(shù)，則算出xnO.lxlOio,大數(shù)吃掉了小數(shù)。這種情形是要盡量避

免的。

4.簡化計算步驟，提高計算效率

簡化計算步躲是提高程序執(zhí)行速度的關鍵，它不僅可以節(jié)省時間，還能減少舍入誤差。

例4：設A、B、C、D分別是10x20、20x50、50x1、1x100的矩陣，試按不同的算法求

矩陣乘積E=ABCD.

解：由矩陣乘法的結合律，可有如下算法

1.E=((AB)C)D.計算量N=11500flop

2.E=A(B(CD)).計算量N=125000flop

3.E=(A(BC))D.計算量N=2200flop

5.要使用數(shù)值穩(wěn)定的算法

我們已經(jīng)知道，所謂算法的穩(wěn)定性，是指誤差的傳播可以得到控制，在用計算機解決實際

問題時，運算次數(shù)成千上萬。如果誤差的傳播得不到控制，那么誤差的累積會使問題的解

答成為荒謬的，尤其是某些病態(tài)問題(如病態(tài)方程組)，舍入誤差對其計算結果往往有非常

嚴重的影響。因此，在選擇計算方案時，要特別謹慎。

考察方程組

11

11

3~6

13

x解為X]=1,電=1,X=1

242n3

JX347

34560

四舍五入系數(shù)后，解為M=1.09,%=0-484，%3=149

盡管系數(shù)變動不大，但求出得解卻變動很大，這類問題稱為病態(tài)的。

例：蝴蝶效應（氣象學家洛倫茲，1963）

——南美洲亞馬孫河流域熱帶雨林中的一只蝴蝶翅膀一拍，偶爾扇動幾下翅膀，可能在兩

周后引起美國德克薩斯引起一場龍卷風？！

12

13

第二章插值法

一、教學目標及基本要求

通過對本章的學習，使學生掌握插值法計算常見的數(shù)學問題。

二、教學內容及學時分配

本章主要介紹數(shù)值分析的插值法。具體內容如下：

第3-4學時講授內容：問題的提法、拉格朗日插值公式。第5-6學時講授內容：插值

余項、牛頓插值公式。第7-8學時講授內容：曲線擬合。

三、教學重點難點

1.教學重點：插值方法的由來、拉格朗日插值公式、牛頓插值公式、曲線擬合。

2.教學難點：拉格朗口插值公式、牛頓插值公式。

四、教學中應注意的問題

多媒體課堂教學為主。適當提問，加深學生對概念的理解。

第2講拉格朗日插值公式

眾所周知，反映自然規(guī)律的數(shù)量關系的函數(shù)有三種表示方法：

A.解析表達式

f(x)=x3-2x-5

(開普勒(Kepler)方程)％=>一esiny.。

懸鏈線方程：y=4cos(x")。

B.圖象法

C.表格法

14

Xy

0.924-0.008513725

0.928-0.003822324

09320.000343434

0.9360.005532443

0.9400.012976643

1、插值法對于一組離散點（％J（X））,（，=0,1,2,...,〃），選定一個便于計算的簡單

函數(shù)P（M，如多項式函數(shù)，要求尸㈤滿足「區(qū)）=/（茗），由此確定函數(shù)P（幻作

為*幻的近似函數(shù)，然后通過處理P（幻獲得關于《幻的結果。這就是插值方法。

2、曲線擬合選定近似函數(shù)P㈤時，不要求近似函數(shù)P（刈必須滿足

尸（七）=/（匕），而只要求在某種意義下（最小二乘法原理），使近似函數(shù)尸⑶在

這些點上的總偏差量最小，這類方法成為曲線擬合。

§1.1多項式插值問題的一般提法

1插值法的概念：

假設函數(shù)尸f（x）是［46］上的實值函數(shù)，的用,…,為是5］上加1個互異的

點，f（x）在這些點上的取值分別為必，兒…,以

求一個確定的函數(shù)尸（才），使之滿足：

產（%）二%（/=0,1,2,-,n）（1）

稱沏為,“.,心為插值節(jié)點，關系式⑴稱為插值原則，函數(shù)PG）稱為函數(shù)y￥（x）

的插值函數(shù)，區(qū)間［為3稱為插值區(qū)間。

2泰勒插值：

人們熟悉的泰勒展開方法其實就是一種插值方法，泰勒多項式：

23=/*0）+/'（元0）*-/）+-。0）2+.?.+―/）"（1）

'2I!T%）r,v.，％

與刈在點與鄰近會很好的逼近f（x）o

泰勒余項定理：

定理1假設《刈在含有點%的區(qū)間［a,b］內有直到n+1階導數(shù)，則當

例時，對于式（1）給出的匕⑴，成立

/（幻一X。嚴

（〃+1）!

15

其中J介于與與X之間，因而J￡[〃,/?]。

所謂泰勒插值指下述問題：

問題1求作n次多項式月⑴,使?jié)M足？，?)=帶),％=0,1,2,…刀，端為

一組已給數(shù)據(jù)。

易看出，上述插值問題的解就是泰勒多項式(l)o

例1例題分析：

求作力幻=正在/=100的一次和二次泰勒多項式，利用它們計算斤的近似

值并估算誤差。

解：

l/23/2-5/2

fix)=4x,f'(x)=^x~ff"(x)=^-X~,/"W=|x

248

/xJ=10,/'(xo)=l/2O,/"(/)=-1/4000,/優(yōu))=3/8000000

yw=正在/=IOO的一次泰勒多項式是

6(X)=/(%)+,尸(/Xx-X(J=5+0.05X

7=115時Vil?=/(115)?^(x)=10.75

根據(jù)定理1可估計誤差

22

|/(x)-Pi(x)|="(x-A0)<，；(x-x0)<0.028125<0.05

誤差小于十分位的一半，故十分位及前面的數(shù)字為有效數(shù)字，所以結果有三

位有效數(shù)字。

修正R(x)可進一步得到二次泰勒公式

鳥(幻=《。)+^^。一%)2

VH5=/(115)?^(x)=10.75-0.028125=10.721875

,-,|/"'(X0)|--Q

3

,(x)—P2(x)|=l2。_/)<]-(X-x0)<0.0006328125<0.005

誤差小于百分位的一半，故百分位及前面的數(shù)字為有效數(shù)字，所以結果有四

位有效數(shù)字。

泰勒插值是一種有效的插值方法，對函數(shù)要求嚴格(要足夠光滑，存在高階

導數(shù))，要計算函數(shù)的高階導數(shù)，而高階導數(shù)的計算對計算機來說就很困難；

另外，計算過程不能形成機械重復的過程，不利于計算機程序實現(xiàn)。

§1.2拉格朗日(Lagrange)插值

1多項式插值的存在惟一性：

多項式導數(shù)易于計算，函數(shù)表達式簡單，計算機易于計算，故考慮用多項式

函數(shù)彳型插值函數(shù)來模擬實色函數(shù)。

從如下數(shù)據(jù)表著手,并假定七。。《二/4

X：XoX\X2...尤〃

y-yoyiy?...y〃

16

求〃次多項式々（］）=〃0+&11+...+々〃］：使得：

P（x）=yi（2=0,1,2,???,n）。

根據(jù)插值條件，有：

P（M）=%+。用+…+4石=%

P（$）=%+4%+…+ax；=%

<n

P區(qū)）二旬+4升+…+=yn（i）

顯然，這是一個關于。。，弓-一〃〃的〃丹元線性方程組，其系數(shù)矩陣的行

列式為

1玉）…玉）

匕（/，2，…，5）=：）7

1士…<

/?1rxV（x,x,???,%?）=n（x；-x；）0

注意到插值節(jié)點必"=1，2,…，〃）兩兩相異，而"ft0MX"'

故方程組（1）有惟一解，4，???"〃，于是滿足插值條件的多項式存在且惟一。

定理由加1個不同插值節(jié)點％，*1，???，工〃可以惟一確定一個n次多項式

匕（元）=%+4工+???+滿足插值條件Pn（N）=yo

從理論上說，由方程組（1）可以求出〃。，4,…〃〃的惟一解，從而確定?（回。但

從數(shù)值計算上看，當〃較大時求解線性方程組的工作量較大且不便應用。

解方程組（1）需計算n+1個n階行列式，每個n階行列式為n!項之和，每

項乂是n個元素的乘積，需n-1次乘法，所以求解需要（〃+1）〃!（〃-1）次乘法，

當n較大時，計算量非常大。

為解決此問題，現(xiàn)已提出了不少構造2（幻的巧妙辦法。

2Lagrange插值的基函數(shù)構造法

首先討論爐1時的情形。

已知*0,%，為，y,求乙（%）=%+“I］使得4（/）=%；4%）=X

顯然4（X）是過（％），%）和（％，M）兩點的一條直線。

由點斜式容易求得

17

L1(x)=y0+-—―(x-x0)

1x0-xJyx,-XJ/=o

V-------Y-------)V-------Y-------)

4G)AG)

其中，4(x),(，=0,l)具有如下特點：

7o(xo)=l;/o(x)=O

4(/)=。；4a)=i

稱其為線性插值基函數(shù)。。(“)可以通過函數(shù)4(%)，("二°」)組合得出，且組

合系數(shù)恰為所給數(shù)據(jù)y0,y.o

再討論聲2時的情形。

顯然4(%)是過(/，％)、(用，％)、(%，j2)三點的一條拋物線。

y

°Xo.V1.X2X

仿照線性插值基函數(shù)的構造方法，令

/(幻二(xfXxr)

0(x0-x,)(x0-x2)

/(x)^U-xQ)(x-x2)

a-5)a-x2)

/式?=(…。)*7

(工2-%)(%一%)

其中，4G),(i二°,L2)具有如下特點：

小/)=l;/o(x,)=O;/o(x2)=0

</1(xo)=O;/l(x1)=l;/](x2)=0

/2(x0)=0"2(%)=0;/2(x2)=1

稱其為拋物重插值基函數(shù)(如下面所示)0

18

于是,

。一%）（了一馬）,

L(X)=

2（x0-x,）（x0-x2）0

*一%）（尢一9）

（石一工0）。-x2）

+（二?「）斗⑴%

（X,一演）（無，一%）r=0

最后討論一版情形。

求乙（而使得L（M）=%（7=0,1,2,-,/?）o

令〃詼多項式插值基函數(shù)為：

〃（）

43=—X-X4.

4.（x）,（i=0,19???,〃）具有如下特點:

l,i=j

4（勺）=%.=<【。"打

于是，滿足插值條件的〃次多項式可以直接寫為：

i=0j^i（X,—XJ?=0

j=01J

我們稱￡〃（x）為Lagrange多項式，4（“）其Lagrange插值基函數(shù)。

19

■給定%=>+1,/=0,1,2,3,4,5.下面哪個是&(x)的圖像?

3插值余項

如圖所示，其截斷誤差尺5)=f(x)-￡，(x),稱為Lagrange插值多項式的余

項。

20

定理假設F5)在［a,b］上有連續(xù)的直到小1階導數(shù)，且在不同插值節(jié)點

%,玉，???，%〃取值為/(%)=%,Ln(x)是經(jīng)過插值樣點(%,%),"=0,1,…㈤

的Lagrange插值多項式，若引進記號：

q+1(X)=(X)(X_%…(X_當)=—蒼)

1=0

則當勿時，有如下的誤差估計：

4。)-fM-W-9~~n。一七)

(〃+1)!1-0

=—儒多“⑴”)

證明：因為此(若)=/(七)一4(%)=°?=0,1，….)

于是可假定凡(X)具有如下形式：

n

RnM=-x0)(x-X,)?--U-x?)=k(x)U(x-xr.)

1=0

將X看作(a,b)上的一個固定點，作輔助函數(shù)

9(f)=/(/)—Ln(t)—k(x)(Z-x0)(Z—X))???(/—xn)

=/(0-4(f)-Mx)加一七)

i=O

容易看出，。⑺有乂％不…，毛共加2個相異零點，且在［a,b］上存在加1階導數(shù)。

根據(jù)羅爾，“⑺在。⑺的兩個零點之間至少有一個零點，故。'⑺在［a,b］上至少

有加1個零點。如此類推,“川)⑺在(&b)上至少有1個零點1使得

小〃+1)

產⑹=f向皤)_￡片?_攵⑶%而口n("%)|y

ati=o

=0

n

注意到4是〃次多項式，4"%)三°;口”刈的首項為f叫

)=5+i)!

故力(〃+~=。o由上述方程解得

（”+l）（g）

&（幻=

5+1）!

產）⑸〃

凡㈤=

于是

21

4例題

例1己知函數(shù)尸f(x)的觀察數(shù)據(jù)為

Xk-2045

yk51-31

試構造F(x)的拉格朗日多項式〃(力，并計算人一1)。

解先構造基函數(shù)

x(x-4)(x-5)__x(x-4)(x-5)

(-2-0)(-2-4)(-2-5)-84

(x+2)(x-4)(x-5)_(x+2)(x-4)(x-5)

(0-(-2))(0-4)(0-5)~40-

.、(x+2)x(”5)x(x+2)(x-5)

iwz=--------=-------

2(4+2)(4-0)(4-5)24

。+2?(升—2)。-4)_(x+2)x(x—4)

J(5+2)(5-0)(5-4)35-

所求三次多項式為

3

Z3(%)-JO

-5J("4X"5)(x+2)a-4)Q-5)

84+40

(_3X，(x+2)(x-9(x+2)x(x-4)

~24+35-

上1

-15421

-155,24

〃———+1——

4214217

第3講牛頓公式

§1.4差商與差分及其性質

1差商的概念：

稱％一不為函數(shù)f(x)的一階差商；

/[XpXj-Zlx^xJ

」一--

/[x0,Xpx2]=--

稱馬一%為函數(shù)f(x)的二階差商;

22

rrrrri_/[X]，…,―/[%,.??,七?/

JL人0,人]，…，人〃J—一

一般地，稱為函數(shù)F（x）的〃階

差商；

特別地，定義力%］二/（與）為函數(shù)/U）關于先的零階差商。

由此可知，高階差商總是由比它低一階的的兩個差商組合而成。

2差商性質

（a）性質1"階差商可以表示成加1個函數(shù)值為'''.?"的線性組合，

即

/K，???代］二互——V——、-------「——;

,=。（X,.-%。）（西一百）…（％"—％_|'）（七一苦+1）…（％—X,）

該性質說明：4階差商/［%，%，…，%］計算是由函數(shù)值代為），/'（幻，…人天）線

性組合而。

如：f[xQ,x[9x2]=/[xpx0,x2]=/[x2,xpx0].

九外,無|］二/（“）一/。°）=f（'°）I/（"）

%一元0%一%%7。

/知豆,引=&1見二色聞

%7。

ZU；）-/Ui）_/U,）2/（小）

超一玉X,-A-_/（x）,/（x,）

-------------------0-------0------

七一?%七一%X一%

fgf（M）［

與一小

/（見）??/（W）

（$一x,）（x0-x2）（%一及）（％一與）（x2-%）（左-%）

（b）性質2（對稱性）:差商與節(jié)點的順序無關。即

/區(qū),3］=小"（）］,

這一點可以從性質1看出。

3利用差商表計算差商

利用差商的遞推定義,可以用遞推來計算差商。

差商表：

23

一階差商二階差商三階差商

,八陽）

八%）

為/（巧）小”X」

/[XpX2]/[”0,“1，/]

工2f（x2）

/[x2,x3]/[x19x2,x3]

/（/）/[x0,xnx2,x3]

如要計算四階差商,應再增加一個節(jié)點,表中還要增加一行。

4差分的概念

定義設函數(shù)尸/U）在等距節(jié)點為=%+^a=°』，…，"）上的函數(shù)值『（為）=￡,

其中，力為常數(shù)稱作步長。稱

▽工可/1

九一九

/力汨也2尸2，-2

分別為F（x）在％處以力為步長的一階向前差分，一階向后差分和一階中心差分。

稱符號/、▽、6分別為向前差分算子，向后差分算子和中心差分算子。

f+-C--

在節(jié)點等距情況I,差商%用差分表示，設步長力=匕+1-匕，有

Jyxi，演+i）--------------7

“川一天八

//、/（苞+1，巧+2）一/（如演+1）1/AA、1A2

f5,x/+1，z+2）=-------------------------------=T7T（一△”?）=R△M

xj+2-Xj2h2h

一般形式（數(shù)學歸納法可證）

f5,xM,?.，,+?）=M

§1.5牛頓插值公式

1.牛頓插值公式的構造

24

Lagrange插值雖然易算，但若要增加一個節(jié)點時，全部基函數(shù)1人6都

需重新算過。本節(jié)介紹另外一種方法-牛頓插值法，并用它解決上面所述問題。

由線性插值

N|（x）=y（）+^―^-（x-x0）,令。0==~—=+a1（x-x0）

二次插值能否寫成

N2(x)=al)+ai(x-x^+a^x-x^x-x^

由條件N2ao)=%，(再)=y,N2(X2)=y2得

為一）‘。y-y。

推廣得

N“(x)=4+4(x-x0)+4(x—MX%-%)

+…+Q〃(X—拓)…(X-X〃T),

其中，〃。.…，〃〃為待定系數(shù)。如何求"o，4尸?.，4??

/卬引/⑴一小。）

所以/（工）=/（/）+/〔九，/］（%_%）（0）

〃X,Xo，xJ=

/[X,XO]=/[XO,X1]+/[X,XO,X1](X-X1)⑴

又

/n1=

x-x2

/(x,x0,x1]=/[x0,x1,x,]+/[x,x0,x1,x2](x-x2)⑵

一般地，,%]=/阮知不…''/一/[%，再，…，品

f[x,XQ,X]xn_J=f[xQ,玉xn]+f[x,xQ,X[，…，xn](x-xn)(n)

將式(n)代入式(n-1),...，式⑵代入式(1),式(1)代入式(0),

25

如此可得:

/(x)=/(x0)+/rx0,x1](x-x0)

+/[x(pX],](x—*0)(2-X[)+???

+/[x0,xI,-,xn](x-x0)(x-x1)-(x-xzi_1)

+/[^x0,x1,-,rj(x-x0)(x-x1)-(x-x?)

尤為注意的是：最后一項中，差商部分含有X,乃是余項部分，記作此(X)；而

前面小1項中,差商部分都不含有X,因而前面加1項是關于X的〃次多項式,

記作N”(x),這就是牛頓插值公式。

2算例

例1:當n=l嘲，

f(x)=/(x0)+f[xQ,xJ(x-工0)+/[x,x0,x1](x-x0)(x-芭)

其中，’

^i(^)=/(x0)+/[x0,x1](x-x0)

=典+生*1。)

/一再

O

這就是牛頓一次插值多項式，也就是點斜式直線方程。

當n=2時，

/(x)=/(x0)+/[x0,Xj](x-x0)+/[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)

+/[x,x0,x1,x2](x-x0)(x-x1