數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案：向量減法運(yùn)算及其幾何意義

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2．2.2向量減法運(yùn)算及其幾何意義1．知道向量減法的定義,理解相反向量的意義．2．掌握向量減法的運(yùn)算及幾何意義，能作出兩個(gè)向量的差向量．3．能夠化簡(jiǎn)含有向量的式子．1．相反向量定義如果兩個(gè)向量長(zhǎng)度______,而方向______，那么稱這兩個(gè)向量是相反向量性質(zhì)①對(duì)于相反向量有：a＋(－a）＝____②若a，b互為相反向量，則a＝____，a＋b＝____③零向量的相反向量仍是零向量相反向量類似于實(shí)數(shù)中的相反數(shù)，它們的性質(zhì)有相似之處．【做一做1】非零向量m與n是相反向量，下列不正確的是（)A．m＝n B．m＝－n C．｜m|＝｜n| D．方向相反2．向量的減法定義a－b＝a＋(－b)，即減去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向量的________作法在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作eq\o（OA,\s\up6(→)）＝a,eq\o（OB,\s\up6（→)）＝b，則向量a－b＝____.如圖所示幾何意義如果把兩個(gè)向量a,b的起點(diǎn)放在一起，則a－b可以表示為從向量b的______指向向量a的______的向量①向量減法的實(shí)質(zhì)是向量加法的逆運(yùn)算．利用相反向量的定義，就可以把減法化為加法．在用三角形法則作向量減法時(shí)，只要記住“連接兩向量的終點(diǎn)，箭頭指向被減向量”即可．②以向量eq\o(AB，\s\up6（→））＝a，eq\o(AD，\s\up6(→）)＝b為鄰邊作平行四邊形ABCD,則兩條對(duì)角線的向量為eq\o（AC,\s\up6(→)）＝a＋b，eq\o（BD,\s\up6(→））＝b－a,eq\o(DB，\s\up6(→))＝a－b，這一結(jié)論在以后應(yīng)用非常廣泛，應(yīng)該加強(qiáng)理解并記住．【做一做2－1】在△ABC中，eq\o(BC，\s\up6（→））＝a,eq\o(AC,\s\up6（→））＝b，則eq\o(AB，\s\up6(→））等于（)A．a(chǎn)＋b B．a(chǎn)－b C．－a－(－b) D．－a＋（－b)【做一做2－2】四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，則｜eq\o（AB,\s\up6(→））－eq\o（AD,\s\up6（→))|＝________.答案：1．相等相反0－b0【做一做1】A2．相反向量eq\o（BA,\s\up6(→）)終點(diǎn)終點(diǎn)【做一做2－1】Ceq\o(AB,\s\up6（→）)＝eq\o（CB，\s\up6(→）)－eq\o（CA,\s\up6（→）)＝－eq\o(BC,\s\up6(→)）＋eq\o（AC,\s\up6（→)）＝－a＋b＝－a－(－b)．【做一做2－2】eq\r(2）｜eq\o（AB，\s\up6（→))－eq\o(AD,\s\up6（→)）|＝|eq\o（DB,\s\up6(→)）|＝eq\r(12＋12)＝eq\r（2）。1．化簡(jiǎn)eq\o（OA，\s\up6(→）)－eq\o(OB,\s\up6(→)）剖析:根據(jù)解題經(jīng)驗(yàn)，eq\o（OA,\s\up6（→）)－eq\o（OB，\s\up6(→））的結(jié)果是eq\o（AB，\s\up6（→))和eq\o(BA,\s\up6（→)）中的一個(gè)向量，到底是哪一個(gè)向量呢？把自己寫出來(lái)的結(jié)果通過向量加法的三角形法則驗(yàn)證．假設(shè)eq\o(OA,\s\up6（→））－eq\o(OB,\s\up6（→）)＝eq\o(AB,\s\up6（→）），由向量加法的三角形法則，知eq\o(OB，\s\up6（→））＋eq\o(BA,\s\up6（→））＝eq\o（OA,\s\up6(→）），所以eq\o(OA，\s\up6（→））－eq\o（OB,\s\up6（→))＝eq\o（AB，\s\up6（→）)是錯(cuò)誤的，應(yīng)該是eq\o（OA，\s\up6(→））－eq\o(OB，\s\up6（→）)＝eq\o(BA,\s\up6(→）)。為了防止出現(xiàn)類似錯(cuò)誤，通常畫圖,利用數(shù)形結(jié)合解決此類問題，也可以化歸為向量的加法進(jìn)行驗(yàn)證．設(shè)eq\o（OA，\s\up6(→）)－eq\o（OB，\s\up6（→））＝m,則eq\o(OA,\s\up6(→)）＝eq\o(OB，\s\up6(→）)＋m，由于m等于eq\o（AB,\s\up6（→））和eq\o（BA,\s\up6（→)）中的一個(gè)向量，eq\o(OB,\s\up6（→）)＋eq\o(AB,\s\up6（→））≠eq\o(OA,\s\up6（→）),僅有eq\o(OB，\s\up6(→））＋eq\o(BA，\s\up6(→））＝eq\o(OA，\s\up6(→)），所以eq\o（OA，\s\up6（→）)－eq\o（OB，\s\up6（→））＝eq\o（BA，\s\up6(→））。2．｜a－b|，｜a｜－|b｜，｜a|＋|b｜三者的大小關(guān)系剖析：當(dāng)向量a與b共線時(shí)，（1）當(dāng)兩非零向量a與b同向時(shí),｜a－b｜＝|｜a|－｜b｜｜＜｜a|＋｜b|；（2)當(dāng)兩非零向量a與b反向時(shí)，|a－b｜＝｜a｜＋|b|＞||a｜－｜b｜｜;(3)當(dāng)a與b中至少有一個(gè)為零向量時(shí)，｜a－b｜＝|｜a｜－｜b||＝｜a｜＋|b｜.當(dāng)兩非零向量a與b不共線時(shí),如在△ABC中，eq\o（AC,\s\up6（→）)＝a,eq\o(AB，\s\up6（→)）＝b，則eq\o(BC，\s\up6（→))＝eq\o(AC，\s\up6(→）)－eq\o（AB,\s\up6(→））＝a－b，根據(jù)三角形中任意兩邊之差總小于第三邊,任意兩邊之和總大于第三邊,可得|｜a|－|b｜|＜|a－b｜＜|a|＋｜b|.綜合可知,對(duì)任意的向量a與b都有||a|－|b||≤｜a－b|≤｜a｜＋|b｜.只有當(dāng)a與b同向或a與b中至少有一個(gè)為零向量時(shí)，｜｜a|－｜b||≤｜a－b|中的等號(hào)成立；當(dāng)a與b反向或a與b中至少有一個(gè)為零向量時(shí)，｜a－b|≤｜a｜＋｜b|中的等號(hào)成立．題型一向量加(減)法的作圖【例1】如圖所示的向量a，b，c是不共線的向量，求作向量a＋b－c。分析:向量（加)減法作圖的依據(jù)是三角形法則，先觀察各向量的位置，再尋找或構(gòu)造相應(yīng)的平行四邊形或三角形,最后依據(jù)幾何意義確定其圖形表示．反思:向量的加法與減法運(yùn)算有“三角形法則"和“平行四邊形法則”．運(yùn)用“三角形法則”求和向量時(shí)應(yīng)“始、終相接，始指向終”；求差向量時(shí)應(yīng)“同始連終,指向被減”．運(yùn)用“平行四邊形法則”時(shí),和向量對(duì)應(yīng)公共起點(diǎn)的對(duì)角線，求差向量時(shí)應(yīng)“終點(diǎn)相連,指向被減”．（如圖)若題設(shè)或結(jié)論中出現(xiàn)兩個(gè)向量的和差問題的相關(guān)計(jì)算，要善于運(yùn)用向量加法、減法的兩個(gè)法則求解．題型二化簡(jiǎn)【例2】化簡(jiǎn)下列各式：（1）eq\o（AB，\s\up6(→））－eq\o（AC，\s\up6（→))＋eq\o(BD，\s\up6（→）)－eq\o（CD,\s\up6（→））；(2）eq\o（NQ,\s\up6(→））＋eq\o(QP，\s\up6(→))＋eq\o(MN，\s\up6（→)）－eq\o(MP,\s\up6（→））。分析：靈活應(yīng)用結(jié)論eq\o（AB，\s\up6（→))＋eq\o（BC，\s\up6（→））＝eq\o(AC,\s\up6（→）)和eq\o(AC，\s\up6(→）)－eq\o（AB,\s\up6(→)）＝eq\o(BC,\s\up6(→）)來(lái)化簡(jiǎn)．反思：滿足下列兩種形式可以化簡(jiǎn)：（1)首尾相接且為和;（2)起點(diǎn)相同且為差．做題時(shí)要注意觀察是否有這兩種形式．同時(shí)要注意逆向應(yīng)用及統(tǒng)一向量起點(diǎn)方法的應(yīng)用．【例3】已知如圖，在正六邊形ABCDEF中,與eq\o(OA，\s\up6（→）)－eq\o（OC,\s\up6(→）)＋eq\o（CD，\s\up6(→))相等的向量有__________．①eq\o(CF,\s\up6（→))；②eq\o(AD，\s\up6（→））；③eq\o(DA，\s\up6(→））;④eq\o（BE,\s\up6（→））；⑤eq\o（CE，\s\up6（→))＋eq\o（BC,\s\up6(→）);⑥eq\o(CA，\s\up6（→））－eq\o(CD，\s\up6(→)）;⑦eq\o(AB,\s\up6（→)）＋eq\o(AE，\s\up6(→）).反思：在向量的減法中，無(wú)論是作圖還是化簡(jiǎn)都必須考慮起點(diǎn)是否相同，差向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)順序不能顛倒．答案：【例1】作法一：在平面上任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA，\s\up6（→）)＝a，eq\o（AB,\s\up6（→））＝b，則eq\o（OB，\s\up6(→))＝a＋b，如圖①所示,再作eq\o（OC，\s\up6（→)）＝c，則a＋b－c為eq\o（CB，\s\up6(→））。圖①圖②作法二:在作出eq\o(OB，\s\up6（→）)＝a＋b的基礎(chǔ)上，可以在點(diǎn)B作eq\o（CB，\s\up6(→))＝c，則eq\o（OC，\s\up6(→））＝a＋b－c，如圖②所示．【例2】解:(1)eq\o(AB，\s\up6（→))－eq\o(AC,\s\up6(→））＋eq\o(BD，\s\up6(→)）－eq\o（CD,\s\up6(→））＝eq\o(CB,\s\up6（→))＋eq\o(BC,\s\up6（→））＝0。（2）eq\o(NQ，\s\up6（→)）＋eq\o(QP,\s\up6（→））＋eq\o（MN，\s\up6(→））－eq\o（MP,\s\up6(→））＝eq\o（NP，\s\up6（→）)＋eq\o（PN,\s\up6(→））＝0?！纠?】①eq\o（OA,\s\up6(→）)－eq\o（OC，\s\up6(→))＋eq\o（CD，\s\up6（→))＝eq\o(CA,\s\up6（→))＋eq\o（CD，\s\up6(→））＝eq\o（CF,\s\up6(→)）；eq\o(CE,\s\up6（→))＋eq\o(BC，\s\up6(→））＝eq\o(BC，\s\up6（→））＋eq\o（CE,\s\up6(→）)＝eq\o(BE,\s\up6(→））≠eq\o（CF,\s\up6(→）)；eq\o（CA，\s\up6(→))－eq\o(CD，\s\up6（→))＝eq\o（DA，\s\up6(→)）≠eq\o（CF,\s\up6(→));eq\o（AB,\s\up6（→))＋eq\o（AE,\s\up6（→)）＝eq\o（AD，\s\up6(→))≠eq\o（CF,\s\up6（→））.1．下列四式不能化簡(jiǎn)為的是（）A.＋（＋) B．（＋)＋(－)C.＋－ D。＋－2．化簡(jiǎn)以下各式：①＋＋；②－＋－；③－＋.結(jié)果為零向量的個(gè)數(shù)是（)A．1 B．2 C．3 D．3．如圖所示，在四邊形ABCD中,＝a，＝b，＝c，則＝__________.(用a,b，c表示)4．已知A，