數學導學案：向量數乘運算及其幾何意義

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2。2。3向量數乘運算及其幾何意義1．理解并掌握向量數乘的定義及幾何意義，會作向量ma＋nb。2．熟練掌握和運用向量數乘的運算律，會化簡向量關系式,并能用已知向量表示未知向量．3．掌握向量共線定理，會判定或證明兩向量共線．1．向量的數乘定義一般地，實數λ與向量a的積是一個______,這種運算叫做向量的數乘，記作λa長度|λa｜＝｜λ|｜a｜方向λ＞0λa的方向與a的方向______λ＝0λa＝____λ＜0λa的方向與a的方向____①實數與向量可以進行數乘運算，其結果是一個向量，不是實數;但實數與向量不能進行加減運算，如λ＋a，λ－a是錯誤的．②對任意非零向量a，則向量eq\f(a,|a｜)是與向量a同向的單位向量．③λa的幾何意義就是把向量a沿著a的方向或反方向擴大或縮小|λ｜倍．【做一做1】已知非零向量a，b滿足a＝4b，則()A．｜a｜＝｜b| B．4｜a|＝｜b｜C．a與b的方向相同 D．a與b的方向相反2．向量數乘的運算律向量的數乘運算滿足下列運算律:設λ，μ為實數，則（1)λ(μa)＝________;(2)(λ＋μ)a＝________；（3)λ（a＋b）＝________(分配律）．特別地，我們有(－λ)a＝______＝______,λ(a－b）＝______.在△ABC中,D是BC的中點，則有eq\o（AD,\s\up6(→）)＝eq\f（1,2)（eq\o（AB,\s\up6（→）)＋eq\o(AC，\s\up6(→))）．【做一做2】3（2a－4b)等于(A．5a＋7b B．5a－7b C．6a＋12b D．63．共線向量定理向量a（a≠0）與b共線，當且僅當有唯一一個實數λ，使______．（1)向量共線的條件：當向量a＝0時,a與任一向量b共線；當向量a≠0時，對于向量b，如果有一個實數λ,使b＝λa，那么由實數與向量的積的定義知b與a共線．反之，已知向量b與a（a≠0）共線且向量b的長度是向量a長度的λ倍,即|b|＝λ|a｜，那么當b與a同方向時b＝λa，當b與a反方向時b＝－λa.(2)如果向量a與b不共線，且λa＝μb，那么λ＝μ＝0。已知三點A，B,C共線，O是平面內任意一點，則有eq\o（OC，\s\up6（→）)＝λeq\o(OA,\s\up6（→)）＋meq\o（OB，\s\up6(→）)，其中λ＋m＝1.【做一做3】已知P是線段MN的中點，則有（）A。eq\o(MN，\s\up6（→))＝2eq\o(NP，\s\up6（→)) B.eq\o（MP,\s\up6（→)）＝eq\f(1,2）eq\o（MN，\s\up6(→））C.eq\o(PN,\s\up6（→)）＝eq\f(1，2)eq\o（NM，\s\up6（→）） D.eq\o(MP，\s\up6(→））＝eq\o（NP,\s\up6（→））4．向量的線性運算向量的____、____、______運算統(tǒng)稱為向量的線性運算，對于任意向量a,b以及任意實數λ，μ1,μ2，恒有λ(μ1a±μ2b）＝向量λ（μ1a＋μ2b）可以用平行四邊形法則作出，如圖所示，eq\o（OE,\s\up6（→)）＝λ（μ1a＋μ2b)．【做一做4】在ABCD中，eq\o(AB,\s\up6（→))＝2a，eq\o(AD,\s\up6(→)）＝3b，則eq\o（AC,\s\up6（→)）等于(）A．a＋b B．a－b C．2a＋3b D．2a－答案：1．向量相同0相反【做一做1】C∵a＝4b，4＞0，∴|a|＝4|b|?！?b與b的方向相同,∴a與b的方向相同．2．(1）（λμ）a（2）λa＋μa(3)λa＋λb－(λa）λ（－a）λa－λb【做一做2】D原式＝3×2a－3×4b＝6a－123．b＝λa【做一做3】B如圖所示,eq\o(MN,\s\up6（→）)＝－2eq\o（NP，\s\up6(→）），eq\o(PN，\s\up6（→)）＝eq\f(1，2)eq\o（MN，\s\up6(→）），eq\o（MP，\s\up6（→））＝eq\o(PN，\s\up6(→）),則選項A，C,D不正確,很明顯eq\o（MP，\s\up6（→）)＝eq\f(1,2）eq\o（MN，\s\up6（→))，則選項B正確．4．加減數乘λμ1a±λμ2【做一做4】Ceq\o(AC,\s\up6（→)）＝eq\o(AB,\s\up6（→)）＋eq\o（AD,\s\up6(→)）＝2a＋3b。共線向量定理的應用剖析：共線向量定理可以分為兩個定理：判定定理：如果存在一個實數λ滿足b＝λa(λ∈R)，那么a∥b。性質定理：如果a∥b，a≠0，那么存在唯一一個實數λ，使得b＝λa。(1）判定定理的結論是a∥b，那么用共線向量定理可以證明兩向量共線．即證明向量a∥b，只需找到滿足a＝λb或b＝λa的實數λ的值即可．（2）判定定理的結論是a∥b,則有當eq\o(OA，\s\up6（→)）＝a，eq\o(OB，\s\up6（→）)＝b時，有O,A,B三點共線，即用共線向量定理可以證明三點共線．即三點共線問題通常轉化為向量共線問題．(3)判定定理的結論是a∥b，當a和b所在的直線分別是直線m和n時，則有直線m，n平行或重合．即用共線向量定理可以證明兩直線平行．例如:如圖，已知△ABC中,D，E分別是邊AB，AC上的點,并且AD=xAB,AE=xAC，0＜x＜1.求證:DE∥BC，且DE=xBC.證明：∵AD=xAB,AE=xAC，∴eq\o(AD，\s\up6（→））=xeq\o(AB,\s\up6（→)），eq\o（AE,\s\up6（→）)=xeq\o（AC，\s\up6（→)）。∴eq\o（DE，\s\up6(→）)=eq\o(AE,\s\up6(→）)－eq\o(AD,\s\up6(→))=x(eq\o（AC，\s\up6（→）)－eq\o(AB，\s\up6（→））)=xeq\o(BC,\s\up6(→））.∴DE∥BC且DE=xBC。(4）性質定理的結論是b=λa,則有｜b｜=｜λ|·|a｜，當eq\o(OA，\s\up6（→)）=a，eq\o（OB，\s\up6（→))=b時，｜eq\o(OB,\s\up6（→))｜=|λ|·｜eq\o(OA，\s\up6（→）)|，從而OB=｜λ｜OA。即用共線向量定理可以證明兩平行線段間的長度關系．例如:平行四邊形OACB中，BD=eq\f（1,3)BC，OD與BA相交于E。求證：BE=eq\f(1，4)BA。證明：如圖，設E′是線段BA上的一點，且BE′=eq\f（1,4）BA.設eq\o（OA，\s\up6(→)）=a，eq\o（OB，\s\up6（→））=b，則eq\o（BD，\s\up6（→))=eq\f（1，3)a，eq\o（OD，\s\up6(→））=b+eq\f（1，3）a?！遝q\o(BE,\s\up6(→)）=eq\o（OE′，\s\up6（→）)－b，=a－eq\o(OE′，\s\up6（→)）,3eq\o（BE′,\s\up6(→)）=，∴3（eq\o（OE′，\s\up6（→))－b)=a－eq\o（OE′，\s\up6(→）)?！鄀q\o（OE′，\s\up6(→))=eq\f(1,4)(a+3b）=eq\f(3，4)(b+eq\f(1,3)a），∴eq\o（OE′，\s\up6(→))=eq\f(3,4)eq\o(OD,\s\up6（→））.∴O,E′，D三點共線,即E，E′重合．∴BE=eq\f(1，4)BA.由此可見，證明兩平行線段的長度關系可轉化為證明這兩條線段構成的向量共線．題型一化簡向量關系式【例1】計算:(1）3（6a＋b）－9eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（a＋\f(1,3）b)）;（2）eq\f(1，2)eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1((3a＋2b)－\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（a＋\f(1，2）b)）））－2eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1，2)a＋\f（3，8）b))；（3)2（5a－4b＋c）－3(a－3b＋c)－7分析：綜合運用實數與向量的運算律解題．反思：向量的數乘運算類似于代數多項式的運算，主要是“合并同類項"“提取公因式"，但這里的“同類項”“公因式”指向量,實數看作是向量的系數．題型二用已知向量表示未知向量【例2】已知ABCD中,M，N分別是DC,BC的中點．若eq\o(AM，\s\up6(→））＝e1，eq\o(AN，\s\up6（→）)＝e2,試用e1，e2表示eq\o（DB，\s\up6(→))，eq\o(AO，\s\up6（→))。分析：由于eq\o（DB，\s\up6(→))∥eq\o（MN,\s\up6（→)）,則用e1與e2表示eq\o（MN,\s\up6(→）)可得eq\o（DB，\s\up6（→)）;在△AMN中，AO是MN邊上的中線,則可用eq\o(AM,\s\up6（→)），eq\o(AN，\s\up6（→)）表示eq\o（AO,\s\up6（→)).反思：用已知向量表示未知向量時，通常要結合圖形的特點，把未知向量放到三角形或平行四邊形中，適當選擇向量的加法、減法和數乘運算來求解．有時，可借助于共線向量來解決(如本題求eq\o(DB,\s\up6(→)))．題型三已知向量a，b,求作向量ma＋nb【例3】已知向量a，b，如圖所示，求作向量2a－3b分析：分別作出有相同起點的向量2a與3b，利用三角形法則作出向量2a－3反思：已知a,b,求作向量ma＋nb時，先作出向量ma與nb,借助三角形法則或平行四邊形法則作出ma＋nb.題型四共線問題【例4】已知向量a，b不共線，eq\o（OA,\s\up6（→）)＝a＋b，eq\o(OB，\s\up6(→）)＝a＋2b,eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋3b。(1）求證:A，B，C三點共線；(2）試確定實數k的值，使ka＋b與a＋kb共線．分析:(1)由于eq\o（AC,\s\up6(→））與eq\o(AB,\s\up6（→））有公共點,則轉化為證明eq\o(AC，\s\up6（→））∥eq\o（AB，\s\up6（→）)，根據共線向量定理，只需找到滿足eq\o(AC,\s\up6（→））＝λeq\o（AB,\s\up6(→)）的實數λ即可；(2）由于ka＋b與a＋kb共線，根據共線向量定理，存在實數λ使ka＋b＝λ(a＋kb)，借助于等式兩邊a與b的系數,列方程組解得k的值．反思：（1）證明三點共線，往往要轉化為證明過同一點的兩條有向線段所表示的向量共線,如本題(1)．(2）已知向量ma＋nb與ka＋pb（a與b不共線）共線求參數的值的步驟：①設ma＋nb＝λ(ka＋pb）；②整理得ma＋nb＝λka＋λpb,故eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（m＝λk，，n＝λp；）)③解方程組得參數的值．如本題（2)．答案：【例1】解：（1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝(2)原式＝eq\f（1，2）eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（2a＋\f（3，2）b））－a－eq\f(3，4）b＝a＋eq\f(3,4)b－a－eq\f(3，4)b＝0.（3）原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a【例2】解：∵M，N分別是DC和BC的中點，∴MNeq\f(1,2）BD。∵eq\o（MN,\s\up6(→）)＝e2－e1，∴eq\o(DB，\s\up6(→））＝2eq\o（MN，\s\up6（→))＝2e2－2e1。又AO是△AMN的中線，∴eq\o(AO,\s\up6(→）)＝eq\f(1，2)（eq\o（AN,\s\up6（→)）＋eq\o(AM,\s\up6（→)））＝eq\f（1，2）e2＋eq\f（1,2)e1?！纠?】解:步驟如下；(1)作向量eq\o（OA，\s\up6（→)）＝2a,eq\o(OB，\s\up6(→))＝3b.如圖所示．(2)連接BA，則eq\o(BA,\s\up6(→)）就是所求作的向量．【例4】解：（1）證明:∵eq\o（OA，\s\up6(→)）＝a＋b，eq\o(OB,\s\up6（→））＝a＋2b，eq\o(OC，\s\up6（→））＝a＋3b，∴eq\o（AC,\s\up6(→)）＝eq\o（OC,\s\up6（→)）－eq\o(OA,\s\up6（→）)＝（a＋3b)－(a＋b)＝2b，eq\o(AB，\s\up6（→)）＝eq\o（OB，\s\up6(→）)－eq\o(OA，\s\up6（→））＝(a＋2b)－(a＋b）＝b，∴eq\o(AC，\s\up6(→）)＝2eq\o(AB,\s\up6（→））,∴eq\o（AC，\s\up6(→））∥eq\o（AB,\s\up6(→))。又AC與AB有公共點A，∴A，B，C三點共線．(2）∵(ka＋b）∥（a＋kb)，∴存在實數λ使ka＋b＝λ（a＋kb），即ka＋b＝λa＋kλb,∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝λ,,1＝kλ,））解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs