數(shù)學(xué)第五章§數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精教材習(xí)題點(diǎn)撥練習(xí)(P101）1.解:(1）1＋i實(shí)部為1,虛部為,它是虛數(shù);(2)+i實(shí)部為，虛部為，它是虛數(shù)；(3)（—1）i實(shí)部為0,虛部為-1，它是純虛數(shù)；(4）0實(shí)部為0，虛部為0,它是實(shí)數(shù)。思路分析:依據(jù)有關(guān)復(fù)數(shù)的基本概念去判斷.2.解：（1）（-2x+3)+(y—4)i=0（2)（3x—2y）+(x+2y）i=3—6i思路分析：（1）復(fù)數(shù)為零的充要條件是它的實(shí)部和虛部都為0。(2）兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件是它們的實(shí)部和虛部都相等.3.解：A點(diǎn)表示的復(fù)數(shù)是4+3i，B點(diǎn)表示的復(fù)數(shù)是-3+2i，C點(diǎn)表示的復(fù)數(shù)是—4-3i，D點(diǎn)表示的復(fù)數(shù)是—3i,E點(diǎn)表示的復(fù)數(shù)是3—2i。思路分析:復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)和復(fù)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的，復(fù)平面的橫軸表示實(shí)部,縱軸表示虛部.4.答案:（1)b=0；(2)a=0；（3)b〉0；（4）a〈0.思路分析:(1)點(diǎn)Z位于實(shí)軸上，必然是復(fù)數(shù)的虛部為零；(2)點(diǎn)Z位于虛軸上,必然是復(fù)數(shù)的實(shí)部為零；（3)點(diǎn)Z位于實(shí)軸上方，必然是復(fù)數(shù)的虛部大于零；(4)點(diǎn)Z位于虛軸左方,必然是復(fù)數(shù)的實(shí)部小于零.5.解:（1)｜z1｜==13；(2)｜z2｜=;(3）｜z3|==2.思路分析:利用公式|z｜=計(jì)算即可。習(xí)題51（P102）A組1.解：(1）復(fù)數(shù)(m2-2m-3)+（m2-3m-4)i為實(shí)數(shù)的充要條件是:m2—3m-4=0,可以得出m=4或m=-1;（2）復(fù)數(shù)(m2—2m-3）+(m2-3m—4）i為純虛數(shù)的充要條件是：m2—2m—3=0且m2—3m-4≠0,可以得出m=3;(3）復(fù)數(shù)(m2-2m-3）+（m2-3m-4)i為零的充要條件是:m2-2m—3=0且m2—3m-4=0，可以得出m=—1.2.解：（1)(2)思路分析：利用復(fù)數(shù)為零或復(fù)數(shù)相等的條件列出方程組,解出相應(yīng)的未知數(shù)即可。3.解:如下圖：—1+2i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為A,+i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為B,3i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為C，5對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為D。思路分析:復(fù)平面的橫軸表示實(shí)部,縱軸表示虛部,依據(jù)相應(yīng)的數(shù)據(jù)分別畫(huà)出各點(diǎn)即可.4。解:(1)｜3—4i｜==5;（2）｜-i|==1;（3）｜-6｜=6;（4）|—5i｜=5.思路分析:利用求復(fù)數(shù)模的公式即可.B組解：(1)點(diǎn)Z不在實(shí)軸上實(shí)際上就是要求m2-4m-5≠0,由此可以得出m≠5和m≠—1.（2)點(diǎn)Z位于虛軸上，實(shí)際上就是要求m-1=0，由此可以得出m=1.（3)點(diǎn)Z在實(shí)軸下方，實(shí)際上就是要求m2—4m-5〈0,由此可以得出—1<m〈5.(4)點(diǎn)Z在虛軸右方,實(shí)際上就是要求m-1〉0,由此可以得出m>1。STS數(shù)的概念的五次擴(kuò)充數(shù)的概念是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本概念之一，它是人類(lèi)由于生產(chǎn)和生活的實(shí)際需要而逐步形成并加以擴(kuò)展的。人類(lèi)最初為了實(shí)際需要,要對(duì)某種物體的集合作出量的估計(jì)。隨著經(jīng)驗(yàn)的積累,人們逐漸形成了“多少”的概念。但在這個(gè)歷史時(shí)期里,數(shù)還沒(méi)有被人們從具體的事物中分離出來(lái).隨著歷史的發(fā)展,人們千百萬(wàn)次地重復(fù)進(jìn)行比較和計(jì)算，最后才把數(shù)與具體事物相分離，引進(jìn)了數(shù)字符號(hào).希臘人已經(jīng)知道了自然數(shù)1，2,……的集N。公元6世紀(jì)，印度數(shù)學(xué)家運(yùn)用了“0"。我國(guó)古代也在籌算中利用空位來(lái)表示“0”.引進(jìn)數(shù)0，把自然數(shù)集擴(kuò)充成為擴(kuò)大的自然數(shù)集，即非負(fù)整數(shù)集。生產(chǎn)、生活的發(fā)展，對(duì)于像長(zhǎng)度、時(shí)間、重量等量,僅用自然數(shù)就不能把它們完全表示出來(lái)，這便促使人們引進(jìn)正分?jǐn)?shù),形成非負(fù)有理數(shù)集,即算術(shù)數(shù)集.這是數(shù)的概念的第二次擴(kuò)充.希臘人知道了正有理數(shù)（p,q為正整數(shù)).由于表示具有相反意義的量的需要，在算術(shù)數(shù)的基礎(chǔ)上，引進(jìn)負(fù)數(shù)形成有理數(shù)集,這是數(shù)的概念的第三次擴(kuò)充.阿拉伯人受印度的影響而發(fā)明了代數(shù)之后,提出了求解像3x+2=0一類(lèi)的方程,“負(fù)數(shù)”也就應(yīng)運(yùn)而生了。我國(guó)古代數(shù)學(xué)巨著《九章算術(shù)》第八章“方程”章里,提出了“正負(fù)術(shù)”，完整地?cái)⑹隽苏?fù)數(shù)的不同表示法和正負(fù)數(shù)的加減法則.公元6世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯在研究用一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)作為單位長(zhǎng),去度量這個(gè)正方形的對(duì)角線時(shí),發(fā)現(xiàn)兩者是不能用分?jǐn)?shù)表示.為了解決這個(gè)矛盾，導(dǎo)致了無(wú)理數(shù)概念的產(chǎn)生。這是數(shù)的概念的第四次擴(kuò)充.15世紀(jì)中葉，歐洲工商業(yè)的繁榮與發(fā)展提出了大量的、新的數(shù)學(xué)問(wèn)題.1545年,意大利數(shù)學(xué)家卡丹在解三次方程中引用了負(fù)數(shù)開(kāi)平方的運(yùn)算，并引進(jìn)了新的數(shù)-—虛數(shù)i