電腦基礎知識計算機圖形學chap6 二維變換及二維觀察

ECUST

計算機■移孽基磁

華東理工人學必算機祭?謝屹玲

第力*二箱曖換及二瓶機塞

□如何對二維圖形進行方向、尺寸和形狀方面的

變換。

□如何進行二維觀察。

2

二瓶變換及二橫機察

□基本幾何變換與基本概念

口二維圖形幾何變換的計算

口復合變換

口變換的性質(zhì)

3

6.2基4幾何麥換

□圖形的幾何變換

■平移、旋轉、縮放、反射和錯切

■變換的組合

□圖形幾何變換的目的

改變圖形的位置、方向、大小

□基本幾何變換

都是相對于坐標原點和坐標軸進行的幾何變換。

4

6-2齊次全標

口齊次坐標

將一個原本是〃維的向量用一個〃+i維向量來表示。

■例如：向量（再，巧，…，司）的齊次坐標表示為（〃片,

例，…，Hxn,由，其中跟一個不為。的實數(shù)。

■省1的齊次坐標稱為規(guī)范化齊次坐標；

■反之：由點或向量的齊次坐標（〃入1，〃巧，…，Hxn,

⑼，求它的規(guī)范化齊次坐標，可根據(jù)如下公式求得

〔=例Hx[H

x/H,???xn=

□齊次坐標表示法的優(yōu)點

■修平移、旋轉、縮放等變換同統(tǒng)一的方式表示

基洋幾何曖族----規(guī)范化齊次坐標

口齊次坐標表示就是用n+1維向量表示一個n維向量。

口規(guī)范化齊次坐標表示就是h=l的齊次坐標表示。

（X,V）U（X,V,1）

6

7.2二瓶幾何變換的齊決坐標表東

口恒等變換

平面圖形的恒等變換保持原圖形的大小、形狀

、位置不變，其變換矩陣為：

1oo

心。=|010

001

基洋幾何變換——平移變換

□平移是指將P點沿直線路徑從一個坐標位置移

到另一個坐標位置的重定位過程。

x'=x+7

x

圖6-1平移變換

8

基洋幾何變換——平移變換

-100

設：P'=[/y，l]=[xy1]010

TxTy1

令：T(&7p=[1001

010

工Ty1

記：P'=P*T(&Q

&4稱為平移矢量。

基洋幾何變換----比例變換

□比例變換是指對p點相對于坐標原點沿X方向放

縮5x倍，沿y方向放縮5y倍o其中5乂和Sy稱為

比例系數(shù)。%'=S,-X

V=s-

圖6-2比例變換(Sx=2,Sy=3)

10

基洋幾何變換----比例變換

矩陣形式：「S.00

設：P'=[/y，1]=[xy1]0Sy0

_001.

令：s（鼠與）=]&oo-

0多0

-001-

記：P，=P*S（%5P

S『，歷稱為比例系數(shù)。

11

基洋幾何變換----比例變換

(a)Sx=Sy比例(b)Sx<>Sy比例

圖6-3比例變換

基洋幾何變換一叱例變換

整體比例變換：

100

x!y!1]=[xy1]?010

005

當S>1,圖形整體縮小;當S<1,圖形整體放大。

基洋幾何變換——族籍變換

□二維旋轉是指圈P點繞坐標原點轉動某個角度（逆時

針為正，順時針為負)得到新的點p'的重定位過程。

x'=r*cos(a+0)

=r,cose,cosa-r,sin&sina

=x*cos0-y*sin0

y'=resin(a+0)

=r?cos??sina+r?sine?cosoc

=x*sin6+yecos6

圖6-4旋轉變換

基洋幾何變換——族籍變換

口矩陣形式：逆時針旋轉e角

cosOsinO1

設：P、=[x'y'l]=[xy1]-sinOcosO0

[001

令：R(。)=cosOsinG1

-sinOcosO0

001

記：P'=P*R(8)

15

基井幾何曖換----二推變換擇陣OF

X

T1=Fab］比例、旋轉、對稱、錯切等;

cd；_ax+cy+1

T2=［jm］平移X

T3=p］投影px+qy+s

q_bx+dy+m

T4=\S］整體匕匕傷］

基井幾何曖換----對稱變換

□對稱變換后的圖形是原圖形關于某一軸線或

原點的鏡像。?

A

(a)關于x軸對稱(c)關于原點對稱

17

基洋幾何曖族----對稱變換

(d)關于x=y對稱

18

基4幾何變換—對繇變換

(1)關于X軸對稱▲

?P(x,y)

「％Q?9飛-----------?

X

||0)/

?|VC~dxg??P'(x,-y)

[p/曲1j

圖6-6關于x軸對稱

19

基洋幾何曖族----對稱變換

(2)關于y軸對稱f

--1oo]P'(-^y)p(*y)

010-----------------------

001

圖6-6關于y軸對稱

基井幾何曖換----對稱變換OF

(3)關于原點對稱A

A?P(x,y)

--10ol-----------------x

0-10

001

圖6-6關于原點對稱

21

基井幾何曖換----對稱變換

(4)關于y=x軸對稱

「。10]

100

001

圖6-6關于x=y對稱

基井幾何曖換----對稱變換

(5)關于丫=-x軸對稱

A

-0-10P(x,y)

-100

P'(%x)\X

001

圖6-6關于x=-y對稱

23

基井幾何曖換----耐切變換

口錯切變換,也稱為剪切、錯位變換，用于產(chǎn)

生彈性物體的變形處理。

圖6-7錯切變換

24

基井幾何曖換----耐切變換

①沿X方向關于Y軸的錯切

矩形P1P2P3P4沿X方向錯切變換,得到矩形P1P2P3‘pJ錯

切角e,點ix,y)變換為：

x'=x+y*tan(0),y'=y

令：shA.=tan(0)■y*tan(0)；

記：_x'y'1_=_xy。100y一1「3的「巴

shY10

-001-

?

?

/

?

----1-z-----------?

Plp2

圖6.7沿X方向錯切

基井幾何曖換----耐切變換

②沿Y方向關于X軸的錯切

矩形P1P2P3P4沿丫方向錯切變換,得到矩形「逮2,394,錯切

角0,點(x,y)變換為：

x'=x,y'=y+x*tan(0)

P\

令：shy=tan(0)

x*tan(O)

記：x，y，L=_xy。1shy0■

77"

010P\

001,4

------V—

,dp2

圖6.7沿Y方向錯切

基井幾何曖換----耐切變換

③沿兩個方向的錯切

x'=x+y*tan(a)

y'=y+x*tan(0)

令：shY=taxn(a)、ysh=tan(0)

記：x'y'1=xy11sh0y*tan(a)

_i\—_iyv

----p-

shY10

，p4:巧

-001-a/lP\

圖6.7沿X、Y方向錯切

基井幾何曖換----耐切變換

其變換矩陣為：「1b0-

c10

001

(1)沿X方向錯切：b=0

(2)沿y方向錯切：c=0

(3)兩個方向錯切：bwO,cwO

28

二箍圖形幾何變換的計算

幾何變換均可表示成P'=P*T的形式。

1.點的變換

abp

x!y!1J=[xy1]?cdq

Imr

29

二箍圖形幾何變換"算

2.直線的變換

abp

/A11「/Pl11|7

=-caq

xiy2L_x2y2L

Imr

30

二箍圖形幾何變換"算

3.多邊形的變換

X11X11

X2%1X2%1abP

X31X3兀1dq

mr

3幾131

31

復合麥換

□圖形作一次以上的幾何變換，變換結果是每

次變換矩陣的乘積。

□任何一復雜的幾何變換都可以看作基本幾何

變換的組合形式。

□復合變換具有形式：

P，=p.T=P(T/2T3?…T)

=PTfT2T3...Tn(n>l)

32

復合曖換----二推復合不移

100100

010010

，工2

Ty2

TX1,1Tx2,1

100

010

T,十+T1

X1x2V2

33

復合曖換----二推復合比例

1

Sx1I0o]「Sx200

、?、=*、

Ts=Ts1Ts20s,00sy20

001001

I

sx1?sx2,00

0S-S.0

y1y2

001

34

復合曖換----二推復合族挎

Icose[sin910]「cos3?sin320~|

0!?!-sin9cos90!

—sin/cose[

II

001001

rCOS（0x+。2）sin（圻+2）0]

?-sin（2+%）cos（2+2）0?

001

R=R（a）?R?）=R0十%)

35

復合變換

cos0sin00-)「cos0oonritgeon

R=-sincos00=0cos00--tg010

001J|_001J|_001

itgeoqrcoso0o-

-tg3100cos00

001001

旋轉變換等價于先比例后錯切，或者先錯切后比例。

36

復合變換

□矩陣相乘是符合結合律，但不符合交換律。

A-B-C=(A-B)-C=A"(B-C)

□在連續(xù)的同種變換的特殊情況下，矩陣相乘可以符合

交換律。

1.二次連續(xù)旋轉，可以用任意順序進行；

2.連續(xù)的平移或連續(xù)的比例變換可以交換；

3.兩向相同(Sx=Sy)的比例變換與旋轉變換

Ay

可以交換。

相對低一參考點的二推幾何變換OF

□相對某個參考點(XF，F(xiàn))作二維幾何變換，其變

換過程為：

(1)平移；

(2)針對原點進行二維幾何變換；

(3)反平移。

38

相對低一參考點的二推幾何變換

則:P'=P?(T(-xA,-yA)?S(sx,sy)*T(xA,yA)}

記:

010000

y0010Sy0

)1-XAVA1-yA(『Sy)1_

2.圍繞任一基準點的旋轉變換

,(11b

A限、R(。)?\I(XA，yQ

A(XA，?)O'\?A—A”

0

AA

則：P'=P-{T(-x,-y)?R(6)-T(X

AAA，yA))

記：R(0)=T(-X,-y)?R(6)?T(x

AAAA，yA)

「?=100cos6sin001oo-

010-singcos00C10

-%YA1

-xAyA1」L001-1L；」

=cos0sin30

-sin3cos00

.JX(1-COS0)+ysin0y(l-cosQ)-xsin0I.

AAAA

相對值一參考點的二箍率

例工錯切變換

矩形片44〃沿X軸、Y軸雙向錯切儀

*

設:tan（0）=2,tan（（I））二l

100110100111010

010210010二21Q

Q鳥x

111001-1-11211①

--

則P'=-1-1r110一-1-1r

3-11210331

-141211941

34113Y1

相對低一參考點的二推幾何變換

例2組合變換平面圖形變換舉例

設△尸3的三個頂點分別為:

尸1(10,20),

鳥(20,20),

乙(15,30),

它繞點0(5,25)逆時針方向旋轉30。。它的復合變換

由如下三種變換組成：

(1)平移，使Q移到簿點。，平移常量/=-5,片一

25,平移變換矩陣為：100

4=010

-5-251

相對低一參考點的二推幾何變換

(1)平移，使Q移到原點。，平移常量/=-5,片-25,平

移變換矩陣為。，平移變換后的2〃3。

100

4=01o

-5-251

相對低一參考點的二推幾何變換

(2)繞原點逆時針旋轉30

變換后的1/2產(chǎn)3。

cos30°sin3O°

4=-sin3O°cos30°

00

相對低一參考點的二推幾何變換

(3)最后修。點移回原來位置。(5,25),平移變換矩陣為

T3,旋轉變換后的△尸*1卜2#*3。

100

010

5251

相對值意方向的二罐幾何要換

□相對任意方向作二維幾何變換，其變換的過

程是：

(1)旋轉變換，使任意方向與某個軸重合；

(2)針對坐標軸進行二維幾何變換；

(3)反向旋轉，回到原來的方向。

46

①I：平移（0,-Ty）,使L過坐標原點，圖形A變換為A1

②Ri：旋轉-6,使L與X軸重合，圖形A1變換為A?

③RFx：圖形A2關于X軸的對稱圖形A3

@R2：旋轉e,圖形A3變換為A4

⑤丁2：平移（O,Ty）,使L回到原來的位置，圖形A4變換為A5,

此時，是A關于L的對稱圖形。

總的變換：L?RFX?R2?T2(7.37)

對任意直線的對稱變換

設：直線的方程為：ax+by+c=0

則：在X、Y兩軸上的截距分別為-c/a和-c/b;

直線的斜率為tga=-a/b。

⑴讓直線沿X軸方向平移c/a,使其通過坐標系原點。

變換矩陣為：

100

Tl=010

c/a01

⑵讓直線繞坐標系原點旋轉-a角,

使與X軸重合。變換矩陣為：

cosa-since0

T2=sinacosa0

001

(3)由于原直線已與X軸重合，于是對于直線的對稱

變換即為對于X軸的對稱變換。變換矩陣為：

100

T3=0-10

001

(4)繞原點旋轉a角，使直線恢復到原傾斜位置。

變換矩陣為：八

cosasma。

T4=-sinacosa°

001

⑸讓直線沿X軸方向平移/a,使其回到原來位置。

變換矩陣為：

100

T5=010

-c/a01

綜合以上的五步，對任意直線的對稱

變換過程為：

[x*y*1]=[xy1]?T1?T2?T3?T4?T5

=[xy1]*T

組合變換矩陣T為：

'cos2asin2a0

T=sin2a-cos2a0

(c/a)(cos2a-1)(c/a)sin2a1

y

相對值意方向的二罐幾何要換

□例相對直線y=x的反射變換

T=cos(-45)sin(-45)0100cos(45)sin(45)0

-sin(-45)cos(-45)00-10-sin(45)c0s(45)0

-00iJLo01

-001

55

復合變換

例將正方形ABCO各點沿下圖所示的

（0,0）-（1,1）方向進行拉伸（比例變換），結

果為如圖所示的，寫出其變換矩陣和變換過程。

56

可能發(fā)生的變換：沿（0,0）

到（L1）的比例變換

圖6Tl沿固定方向拉伸

oO

rcos(-45)sin(-45)0〕「s00"|rcos45°sin45°ol

IooII-S0!-I-sin45°cos45°0!

T=?-sin(-45)cos(-45)0

°r|y|II

001001001

P'=P?T

坐標系之間的變換

問題：已知XOY坐標系上的P(Xp,yp),求P轉換到

坐標系上的P，(x1,y')。

圖6-9坐標系間的變換

58

坐標系之間的變換

分析:

在xoy坐標系中有點p*,其y▲

坐標與p點在x，o，y，坐標系下P.也即p'

y

的坐標相等：X

5

op/=opx;*

Opg*Px

OPy*=O'Py；y□e

則P*點的坐標是P點變換到P9O'(xo,yo)

點的坐標。

o*X

嘰

圖6To坐標系間的變換的原理

59

圖6T4坐標系間的變換的步驟

于是:

p'-xfyf1-xy1-T

LppPP

-p-T-p-T-T

tR

-100cos0-sin0

T=Tt-Tr=010?sin3cos00

1001

光柵變換

□直接對幀緩存中象素點進行操作的變換稱為光

柵變換。

□光柵平移變換：

tsi

，★

（a）讀出象素塊的內(nèi)容（b）復制象素塊的內(nèi)容（c）擦除原象素塊的內(nèi)容

圖6-12光柵平移變換62

光柵變換

□90°、180°和270。的光柵旋轉變換:

(vollen-y,x)

yvo

(r(wlen-x,vollen-y)

^vollen

row1en

(a)逆時針旋轉90°(b)逆時針旋轉180°

①每行像素值顛倒——擦掉;①每行像素次序顛倒;

②交換其行列。②行的次序顛倒。

圖6-13光柵旋轉變換63

64

光柵變換

圖6-15光柵比例變換

根據(jù)Sx和Sy的大小,取出對應于變換后圖像中的一個像素點的原圖

中的相應像素區(qū)域，對其區(qū)域的像素點的亮度加權平均，得變換后

像素的亮度。

變換的轆質(zhì)

二維仿射變換是具有如下形式的二維坐標變換:

x'=ax+by+m

<

y'-ex+dy+n

□平移、比例、旋轉、錯切和反射等變換均是二

維仿射變換的特例，反過來，任何常用的二維

仿射變換總可以表示為這五種變換的復合。

66

變換的轆質(zhì)

口僅包含旋轉、平移和反射的仿射變換維持角度

和長度的不變性；

□比例變換可改變圖形的大小和形狀；

口錯切變換引起圖形角度關系的改變，甚至導致

圖形發(fā)生畸變。

67

二箍理察

□基本概念

□二維觀察變換

□二維裁剪

□OpenGL中的二維觀察

68

二箍理察

□坐標系

鼻模坐標系(MC,ModelingCoordinateSystem)

用戶坐標系(WC,WorldCoordinateSystem)

I直角坐標系(又稱笛卡爾坐標系)

坐標系［"極坐標系

觀察坐標系(VC,ViewingCoordinateSystem)

規(guī)范化坐標系(NDC,NormalizedCoordinate

System)

設備坐標系(DC,DeviceCoordinateSystem)

二箍理察

□坐標系

1.建模坐標系(MC,ModelingCoordinates)

依據(jù)物體而建的局部坐標系，是直角右手坐

標系，長度單位用戶自定，取值范圍整個實數(shù)

域。

2.世界坐標系(WC,WorldCoordinates)

又稱用戶坐標系，場景采用的坐標系，是直

角右手坐標系，長度單位用戶自定，取值范圍

整個實數(shù)域。

二箍理察

□坐標系

3.設備坐標系(DC,DeviceCoordinates)

依設備而定的坐標系，是二維直角坐標系，原點和軸

的定義依設備不同而不同，長度單位是設備的步距，取

值范圍有限的整數(shù)。

4.規(guī)格化設備坐標系(NDC,NormalizedDeviceCoordinates)

_一種虛擬的坐標系，與具體設備無關，其取值范圍在

0一1之間，起到嚼WC與DC聯(lián)系起來的作用。

用戶的繪圖數(shù)據(jù)經(jīng)過轉換成NDC中的值，使得圖形有

了統(tǒng)一的設備空間。這對圖形的統(tǒng)一處理，帶來很大的

方便，從而提高圖形程序的可移植性。

二箍理察

□坐標系gDC

MC、WC、NDC、DC之間的轉換

X

MC

圖二維場景從模型坐標系到設備坐標系的變換序列

(Xmc.Ymc)->(Xwc.Ywc)->(Xndc，丫ndc)->(Xdc.Ydc)

二箱理察----基存概念

口窗口

在世界坐標系(WC)中，指定或選取一個矩形區(qū)域(Window)

□視區(qū)

在規(guī)格化設備坐標系(NDC)或設備坐標系(DC)上，指定一

個矩形區(qū)域(ViewPort),用于顯示窗口內(nèi)的圖形。

口開窗口

先將圖形關于窗口進行裁剪，然后將裁剪后的保留在窗口

內(nèi)的圖形，變換成顯示器屏幕上指定視區(qū)內(nèi)的圖形。

開窗變換也叫取景變換，它包括裁剪運算和窗口到視區(qū)的

變換。

二箱理察----基存概念

(b)屏幕坐標系中的視區(qū)

□要將窗口內(nèi)的圖形在視區(qū)中顯示出來，必須經(jīng)過將窗口到

視區(qū)的變換(Window-ViewportTransformation)處

理，這種變換就是觀察變換(Viewing

Transformation)。

74

圖6-17用戶坐標系中旋轉的窗口

八

3

Q

N

1

視區(qū)

1xNDC

(a)觀察坐標系(b)規(guī)格化設備坐標系

二箱理察----基存概念

□觀察坐標系(ViewCoordinate)是依據(jù)窗口的方

向和形狀在用戶坐標平面中定義的直角坐標系O

□規(guī)格化設備坐標系(NormalizedDevice

Coordinate)也是直角坐標系，它是將二維的設

備坐標系規(guī)格化到(0.0,0.0)到(1.0,

1.0)的坐標范圍內(nèi)形成的。

76

二箍機察----基存概念

□引入了觀察坐標系和規(guī)格化設備坐標系后，觀

察變換分為如下圖所示的幾個步驟，通常稱為

二維觀察流程。

應

用

察

坐

觀窗口到視

程

序用戶坐視圖區(qū)從

系

下

標區(qū)（規(guī)范

到

圖標系到規(guī)范化坐在圖形

窗

口

VC對VC化設備坐NDC

形

的觀察坐標系到設斗設備上

行

裁

進標系中定

用

戶標系間備坐標系輸出

剪義）的變

坐

標的變換的變換

圖6-19二維觀察流程

77

二旗機察----基4就念

□變焦距效果

(b)與窗口對應

的視區(qū)1

(a)原圖及變化的窗口

圖6-20變焦距效果(窗口變、視區(qū)不變)

視區(qū)大小不變，當窗口變小，放大顯示；當窗口變大,

縮小顯示，則產(chǎn)生焦距(又稱變焦)縮放的效果；

78

二旗機察----基4就念

□整體放縮效果

(b)視區(qū)1

(a)原圖及窗口圖6-21整體放縮效果(窗口不變、視區(qū)變)

口漫游效果

視區(qū)大小不變，窗口大小不變，只改變窗口位置，則產(chǎn)

生搖鏡頭(又稱漫游)的效果。

79

用戶生標東?!也零坐標東的變換

□用戶坐標系到觀察坐標系的變換分由兩個變

換步驟合成：

?平移：將觀察坐標系原點移動到用戶坐標

80

用戶生標東?!也零坐標東的變換

?旋轉：繞原點旋轉使兩坐標系重合

/k

旺

Xk

(b)旋轉變換

81

用戶生標系割視察坐標東的麥族

假設觀察坐標系的原點在用戶坐標系中的坐

標為（Xo，yo）,觀察坐標系與用戶坐標系之間的

夾角為6,則變換矩陣為：

100］「cos0一sin。0

T=T""01o|.|sinQcos60

——歹01001

82

CS

窗口利視成的變換

X

DCS

圖6.23窗口-視區(qū)變換示意圖

觀察窗口左下角（xW[,yWb）,右上角（xw〃ywt）。

視區(qū)左下角（Xv[,yvb），右上角（Xvr'vt）。

窗口制祝成的變換

要求畫面相對比例保持不變。

窗口內(nèi)點&亞,yw)映射到視區(qū)(xv,yv),應滿足:

('川一'wmi，/('wmax~^wmin^——XymiP/(Xymax~^vmin^

(YJ~/(ywmax一ywfl4n)-(Vy—yvmiP

窗口割視成的變換

[('vmax—Xymin)^wmax一'wmiP1*-^wmin^X-

Xvvmin

yv—I-vmaxvmin^^wmax一丫亞暄11)】*ywmiPDvinin

簡化：Xv=A-xw+B

Yv=C-yw+D

其中.卜一('vmax—Xynii，^wmax~^wmin^

B-Xvmin一xwnun"A

ywiniJ

C=(Yvmax-yvmin)/^wmax

DorninYwmin式

窗口割視成的變換

□將窗口內(nèi)的點(Xw，。)映射到相對應的視區(qū)內(nèi)的點

(xv/yv)需進行以下步驟：

(1)4號窗口左下角點移至用戶系統(tǒng)系的坐標原點，平移矢量

為(-Xwl，-Ywb),

(2)針對原點進行比例變換，使窗口大小與視區(qū)相等，比例

因子為：Sx二(又丫L乂丫“色加-乂喇)

s

y=(yvt-yvb)/(ywt-ywb)

(3)進行反平移，使窗口與視區(qū)重合，平移矢量為(-Xvi.-

Yvb)0

86

窗口割視成的變換

窗口到視區(qū)的變換:

N=T

wc->DCi(-xwh-ywb)?S(Sx.Sy)?T2(-xvh-yvb)

=A0O-

0C0

/這里：A、C稱為比例因子，

_BD1.B、D稱為平移因子

其中:A二(x-x|)/(x-x|)

vrvwrw/當A=C,窗口到視區(qū)的映射,

可以保持在X、Y兩方向有相

c=(yvt-yvb)/(ywt-Ywb)同的比例；

/當則保持圖形變換

D二yvb-ywbcA=C=1,

前后大小保持不變。

口在二維觀察中，需要在觀察坐標系下對窗口進行

裁剪，即只保留窗口內(nèi)的那部分圖形，去掉窗口

外的圖形。

口假設窗口是標準矩形，即邊與坐標軸平行的矩形,

由上（yMWyt）、下（y=Wyb）、左（x=Wxi）、

右（X=Wxr）四條邊描述。

□點（X,y）在窗口內(nèi)，則滿足：Wx）<X<Wxr、

wyb<y<wyto

88

二旗直核段的栽噌

已知條件:

(1)窗口邊界wxl,wxr,wyb,wyt的坐標值;

(2)直線段端點pip2的坐標值、1,1，々，丫2。

圖6.24直線段與窗口的3種關系89

Pz

X

圖6.25直線段與窗口邊界的2種交點

□實交點：直線段與窗口矩形邊界的交點；

口虛交點：處于直線段延長線或窗口邊界延長線上

的交點。

□直線裁剪的基本原理

1.首先確定哪些直線全部保留或全部裁剪；

2.對于部分裁剪的直線，應求出直線與窗口邊界的

交占-

八、、）

3.把從交點開始到邊界外的部分裁剪掉。

□常用裁剪算法

1.Cohen-Sutherland裁剪算法（又稱編碼裁剪算法）

2.中點分割算法

3匚參數(shù)化算法（Liang-Barsky算法）

91

Cohen-Sutherland算收

□基本思想

對于每條線段P1P2分為三種情況處理分為三種情況

處理：

1.若PR2完全在窗口內(nèi)，則顯示該線段P』2簡稱“取

”之。

2.若PR2明顯在窗口外，則丟棄該線段，簡稱“棄

力之。

3,若線段不滿足“取”或“棄”的條件，則在交點

處把線段分為兩段。其中一段完全在窗口外，可棄

之。然后對另一段重復上述處理。

Cohen-Sutherland算收

□編碼

對于任一端點(x,y),根據(jù)其坐標所在的區(qū)域,

賦予一個4位的二進制碼D3D2DQ0。

3210

編碼規(guī)則如下:

(1)D0=l,否則Do=O;

(2)若x>wxr,D]=l,否則D]=0;

若y〈wyb,D2=l,否則口2=0；

(4)若y>wyt,D3=l,否則口3=0。

wxlwxr

320

1010

0010

0110

Cohen-Sutherland算收

（1）判斷

裁剪一條線段時，先求出直線段端點火和Pz的編

碼codel和code2，然后：

①若codel|code2=0,表明pi和p2區(qū)域碼都為0000,

Pi和P2完全在窗口內(nèi)，則對直線段簡取之；

②若codel&code2wO,表明p1和p2區(qū)域碼至少在某

一位上同為1,Pi和P2完全在窗口外，則對直線段簡

棄之；

95

Cohen-Sutherland算收

(2)求交

若上述判斷條件不成立，則需求出直線段與窗口

邊界的交點。

通常檢測PL如果P1在窗口外，則從低到高的順

序檢測P1的編碼CODEL根據(jù)值為1的編碼位確定

與P1P2求交的窗口邊界，按左右上下邊界情況求出

交點代替pL用新的P1P2重新計算；如果P1在窗口

內(nèi)(即編碼為全0),貝I將P1和P2交換，繼續(xù)求交。

96

Cohen-Sutherland算收

(2)求交

設：已知一條端點為(xl,yl)和(x2,y2)的直線：

①左邊界(X=XW|)＞右邊界(x=xwr)交點的計算:

y=yl+k(x-xl);

②上邊界(y=ywb)＞下邊界(丫=丫比)交點的計算:

x=xl+(y-yl)/k;

其中，k=(y2-yl)/(x2-xl)o

97

Cohen-Sutherland算收

□計算線段Pl(xl,yl)P2(x2,口)與窗口邊界的交點,其區(qū)域

碼分別為codel和code2。

if(codel!=0)code=codel;elsecode=code2;

if(LEFT&code!=0)

{x=XL;y=yl+(y2-yl)*(XL-xl)/(x2-xl);}

elseif(RIGHT&code!=0)

{x=XR;y=yl+(y2-yl)*(XR-xl)/(x2-xl);}

elseif(BOTTOM&code!=0)

{y=YB;x=xl+(x2-xl)*(YB-yl)/(y2-yl);}

elseif(TOP&code!=0)

{y=YT;x=xl+(x2-xl)*(YT-yl)/(y2-yl);)

這里：LEFT=000KRIGHT=0010.BOTTOM=0100.TOP=1000

Cohen-Sutherland算收

Cohen-Sutherland算收

□用編碼方法實現(xiàn)了對完全可見和不可見直線

段的快速接受和拒絕；

□求交過程復雜，有冗余計算，并且包含浮點

運算，不利于硬件實現(xiàn)。

100

中點臺制算位

□中點分割算法的

核心思想是通過

二分逼近來確定

直線段與窗口的

交占八、、。

101

中豆今制算該

口基本思想

是Cohen-Sutherland算法的改進，為了避免使用乘除法求

直線段與窗口邊界的交點，用不斷對分線段的方法排斥線段

在窗口外的部分，最后求出離線段端點最遠的可見點（所謂可

見點就是線段落在窗口內(nèi)的點），若這兩點存在，則這兩點就

是線段PiP2的可見線段端點。出口圖：A、B分另U為笈巨pi、p2最

近的可見點,Pg為P〃2中點。

中點臺制算位

首先對線段端點進行編碼，并把線

段與窗口的關系分為三種情況：

①線段PR2全在窗口內(nèi)，保留；

②線段PR2完全在窗口外，不保留；

③線段和窗口有交，用中點分割的

方法求出線段與窗口的交點。

■用中點分割的方法

將線段等分為二段，作①、②、

③處理。直至每條線段要么完全在

窗口內(nèi)，要么完全在窗口外為止。

求從々出發(fā)尋找最遠的可見點的步驟：

設：線段的端點在窗口內(nèi)稱為可見點，其區(qū)域碼為

0000。

(1)測試2是否在窗口內(nèi)。若是，則22就是離々最遠的

可見點，結束；否則，進行下一步。

(2)對夕1、片的區(qū)域碼作邏輯與，若結果不為0,表明

P、、片是在窗外同側，線段乙4全部不可見，棄之，結

束；否則，進行下一步。

（3）取尸14的中點4（（XI+X2）/2,（yi+yP/2）,若《可見，

則以代替尸1，重復步驟（3）;若乙不可見，則需要判斷乙和

尸2的關系：

?如果乙和鳥在窗口的同側外面（即月〃、尸2的區(qū)域碼邏

輯與不為0）,則4代替尸2，重復步驟（3）;

?如果乙和鳥不在窗口的同側外面（即以、鳥的區(qū)域碼

邏輯與為0）,則4代替尸］,重復步驟（3）;

（4）一直