人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重難點(diǎn)專題提升精講精練專題18直線與圓的位置關(guān)系重難點(diǎn)題型專訓(xùn)(十二大題型)(原卷版+解析)

第二十四章圓專題18直線與圓的位置關(guān)系重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（十二大題型）【題型目錄】題型一判斷直線與圓的位置關(guān)系題型二已知直線與圓的位置關(guān)系求半徑的取值題型三已知直線與圓的位置關(guān)系求圓心角到直線的距離題型四求直線平移到與圓相切時(shí)運(yùn)動(dòng)的距離題型五切線的判定定理題型六切線的性質(zhì)定理題型七切線的性質(zhì)與判定定理題型八切線長(zhǎng)定理的應(yīng)用題型九三角形內(nèi)心的有關(guān)應(yīng)用題型十直角三角形周長(zhǎng)、面積與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系題型十一一般三角形周長(zhǎng)、面積與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系題型十二圓的綜合問(wèn)題【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、直線和圓的位置關(guān)系1.設(shè)的半徑為，圓心到直線的距離為，則直線和圓的位置關(guān)系如下表：位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定相離直線與圓沒(méi)有公共點(diǎn)直線與相離相切直線與圓有唯一公共點(diǎn)，直線叫做圓的切線，公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)直線與相切相交直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，直線叫做圓的割線直線與相交從另一個(gè)角度，直線和圓的位置關(guān)系還可以如下表示：直線和圓的位置關(guān)系相交相切相離公共點(diǎn)個(gè)數(shù)圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系公共點(diǎn)名稱交點(diǎn)切點(diǎn)—直線名稱割線切線—2.切線的判定與性質(zhì)（1）判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。點(diǎn)撥：切線必須滿足兩個(gè)條件：（1）經(jīng)過(guò)半徑的外端；（2）垂直于這條半徑，兩個(gè)條件缺一不可。（2）性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過(guò)點(diǎn)的半徑。拓展推論：①經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)；②經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直到切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心。圓的切線性質(zhì)定理與它的兩個(gè)推論涉及一條直線滿足的三個(gè)條件：（1）垂直于切線；（2）過(guò)切點(diǎn)；（3）過(guò)圓心，如果一條直線滿足于以上三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，那么它一定滿足另外一個(gè)條件，也可理解為“二推一”。3.三角形的內(nèi)切圓（1）有關(guān)概念：與三角形各邊都相切的圓叫作三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，叫作三角形的內(nèi)心。（2）三角形內(nèi)心的性質(zhì)：三角形的內(nèi)心到三條邊的距離相等。點(diǎn)撥：（1）設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為斜邊長(zhǎng)為c，則它的內(nèi)切圓半徑；（2）三角形的頂點(diǎn)到其所在兩邊上的內(nèi)切圓切點(diǎn)的距離相等；（3）三角形的周長(zhǎng)與內(nèi)切圓半徑乘積的一半等于這個(gè)三角形的面積，即其中為的內(nèi)切圓半徑，分別為的三邊長(zhǎng)。（3）切線長(zhǎng)（1）定義：經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)，叫作這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)。（2）切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。點(diǎn)撥：切線長(zhǎng)定理包括線段相等和角相等的兩個(gè)結(jié)論及垂直關(guān)系等。多邊形內(nèi)切圓：和多邊形的各邊都相切的圓叫做多邊形的內(nèi)切圓，該多邊形叫做圓的外切多邊形．總結(jié)：4．圓和圓的位置關(guān)系的定義、性質(zhì)及判定設(shè)的半徑分別為（其中），兩圓圓心距為，則兩圓位置關(guān)系如下表：位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定外離兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，并且每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部．兩圓外離外切兩個(gè)圓有唯一公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)之外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部．兩圓外切相交兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)．兩圓相交內(nèi)切兩個(gè)圓有唯一公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)之外，一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部．兩圓內(nèi)切內(nèi)含兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，并且一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部，兩圓同心是兩圓內(nèi)含的一種特例．兩圓內(nèi)含說(shuō)明：圓和圓的位置關(guān)系，又可分為三大類：相離、相切、相交，其中相離兩圓沒(méi)有公共點(diǎn)，它包括外離與內(nèi)含兩種情況；相切兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，它包括內(nèi)切與外切兩種情況．【經(jīng)典例題一判斷直線與圓的位置關(guān)系】1．（2023春·廣東梅州·九年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）中，，，，以為圓心，以長(zhǎng)為半徑作，則與的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相切 C．相交 D．無(wú)法確定2．（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在平行四邊形ABCD中，，，以頂點(diǎn)C為圓心，BC為半徑作圓，則AD邊所在直線與的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．以上三種都有可能3．（2023春·河北秦皇島·九年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以為半徑的圓的圓心P的坐標(biāo)為，將沿y軸負(fù)方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度，則x軸與的位置關(guān)系是．

4．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形中，，，以為直徑作，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)．（1）直線與的位置關(guān)系為；（2）的最小值為．5．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，正方形的邊長(zhǎng)為2，和相交于點(diǎn)，過(guò)作，交于，交于，則以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與直線，的位置關(guān)系分別是什么？

6．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，，為邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合）．若的半徑為，當(dāng)在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，直線與相離、相切、相交？【經(jīng)典例題二已知直線與圓的位置關(guān)系求半徑的取值】1．（2023春·山東東營(yíng)·九年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，若以點(diǎn)C為圓心r為半徑的圓與AB所在直線相交，則r可能為（）A．3 B．4 C．4.8 D．52．（2023·山東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形紙片ABCD中，，，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將沿EF所在直線翻折，得到，則的長(zhǎng)的最小值是A． B．3 C． D．3．（2023·廣東東莞·?？家荒＃┰谥校?，，．那么以為圓心，為半徑的與相切．4．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，，以為圓心，為半徑作圓．若該圓與線段只有一個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍為．5．（2023春·廣東河源·九年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）圓心O到直線l的距離為d，半徑為r，若d、r是方程的兩個(gè)根，且直線l與相切，求m的值．6．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，為正比例函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，的半徑為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為．

(1)求與直線相切時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)請(qǐng)直接寫(xiě)出與直線相交、相離時(shí)的取值范圍．【經(jīng)典例題三已知直線與圓的位置關(guān)系求圓心到直線的距離】1．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知是以數(shù)軸原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓，，點(diǎn)在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，若過(guò)點(diǎn)且與平行的直線與有公共點(diǎn)，設(shè)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，半徑的⊙M在軸上平移，且圓心M在x軸上，當(dāng)⊙M與直線相切時(shí)，圓心M的坐標(biāo)為（

）A．(0，0) B．(2，0) C．（-6，0） D．(2，0)或（-6，0）3．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）以點(diǎn)為圓心，為半徑畫(huà)圓，與坐標(biāo)軸恰好有三個(gè)公共點(diǎn)，則的值為．4．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，半圓的圓心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，半圓的半徑為2，直線l的解析式為y＝x+t．若直線l與半圓只有一個(gè)交點(diǎn)，則t的取值范圍是．5．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）已知的半徑為，點(diǎn)到直線的距離為，且直線與相切，若，分別是方程的兩個(gè)根，求的值．6．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知直線y＝x﹣6與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是以C（0，3）為圓心，3為半徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PA、PB．（1）求圓心C到直線AB的距離；（2）求△PAB面積的最大值．【經(jīng)典例題四求直線平移到與圓相切時(shí)運(yùn)動(dòng)的距離】1．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，直線，與和分別相切于點(diǎn)和點(diǎn)．點(diǎn)和點(diǎn)分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，沿和平移．的半徑為，．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）．A． B．若與相切，則C．若，則與相切 D．和的距離為2．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙O的半徑是1，直線AB與x軸交于點(diǎn)P(x，0)，且與x軸的正半軸夾角為45°，若直線AB與⊙O有公共點(diǎn)，則x值的范圍是()A． B． C． D．3．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知正方形ABCD中，兩動(dòng)點(diǎn)M和N分別從頂點(diǎn)B、C同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿BC、CD向終點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)，連接AM、BN，交于點(diǎn)P，再連接PC，若，則PC長(zhǎng)的最小值為．4．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，直線、相交于點(diǎn)，，半徑為的圓的圓心P在直線上，且與點(diǎn)的距離為，若點(diǎn)以的速度由A向B的方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為時(shí)，與直線相切．5．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為2的⊙P的圓心P的坐標(biāo)為（-3，0），將⊙P沿x軸正方向平移，使⊙P與y軸相切，求平移的距離．6．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，直線y=x+b（b>0）與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B，在直線AB上取一點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足為E，若點(diǎn)E（4，0）．（1）若EC=BC，求b的值；（2）在（1）的條件下，有一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，延著射線BC方向以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)P為圓心，作半徑為的圓，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，在線段OE上以每秒1個(gè)單位的速度作來(lái)回運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)Q作直線l垂直x軸，點(diǎn)P與點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)B、點(diǎn)O開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，問(wèn)經(jīng)過(guò)多少秒后，直線l和⊙P相切．【經(jīng)典例題五切線的判定定理】1．（2023·河南濮陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖1和圖2，已知點(diǎn)P是上一點(diǎn)，用直尺和圓規(guī)過(guò)點(diǎn)P作一條直線，使它與相切于點(diǎn)P．以下是甲、乙兩人的作法：甲：如圖1，連接，以點(diǎn)P為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交于點(diǎn)A，連接并延長(zhǎng)，再在上截取，直線即為所求；乙：如圖2，作直徑，在上取一點(diǎn)B（異于點(diǎn)P，A），連接和，過(guò)點(diǎn)P作，則直線即為所求．對(duì)于甲、乙兩人的作法，下列判斷正確的是（）

A．甲、乙兩人的作法都正確 B．甲、乙兩人的作法都錯(cuò)誤C．甲的作法正確，乙的作法錯(cuò)誤 D．甲的作法錯(cuò)誤，乙的作法正確2．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，O為的外心，四邊形為正方形．以下結(jié)論：①O是的外心；②O是的外心；③直線與的外接圓相切．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③3．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，以的邊為直徑的恰好過(guò)的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，，有下列結(jié)論：①；②；③；④是的切線；⑤．其中正確結(jié)論的序號(hào)是．

4．（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）已知，如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，A（1，0），AB＝2．（1）點(diǎn)C坐標(biāo)為．（2）若y軸上存在點(diǎn)M，使得∠AMB＝∠BCA，則這樣的點(diǎn)有個(gè)．5．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是⊙的直徑，、都是⊙上的點(diǎn)，平分，過(guò)點(diǎn)作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．

(1)求證：是⊙的切線；(2)若，，求的值．6．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，是的弦，交于，，．

(1)求的長(zhǎng)；(2)若是的中點(diǎn)，求證：是的切線．【經(jīng)典例題六切線的性質(zhì)定理】1．（2023春·重慶南岸·九年級(jí)重慶市珊瑚初級(jí)中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，是的直徑，，是的弦，是的切線，為切點(diǎn)，與交于點(diǎn)．若點(diǎn)為的中點(diǎn)，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．2．（2022·安徽·合肥38中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，是的直徑，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且.點(diǎn)是上的一點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)，則下列是真命題的是（

）A．當(dāng)是的切線時(shí)，四邊形是正方形B．當(dāng)時(shí)，可能為等邊三角形C．當(dāng)線段與只有一個(gè)公共點(diǎn)點(diǎn)時(shí)，的范圍是D．當(dāng)線段與有兩個(gè)交點(diǎn)、時(shí)，若于點(diǎn)，則3．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖是的弦，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．若的半徑為，則的長(zhǎng)為．4．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，是的直徑，點(diǎn)在上，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．若，則的度數(shù)為．5．（2021秋·甘肅定西·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，為的直徑，切于點(diǎn)E，于點(diǎn)C．

(1)求證：平分(2)若，，求的半徑．6．（2023·陜西咸陽(yáng)·校考二模）如圖，為的直徑，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接、，過(guò)點(diǎn)作的切線，連接交于點(diǎn)，．

(1)求證：；(2)若，求的直徑的長(zhǎng)．【經(jīng)典例題七切線的性質(zhì)與判定定理結(jié)合】1．（2023·廣東深圳·?？既＃┚匦蜛BCD的對(duì)角線BD=4，DE⊥AC于點(diǎn)E，則當(dāng)∠DBE最大時(shí)，BE的長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．22．（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在矩形中，，是邊上一點(diǎn)，且．已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與邊所在直線相切于點(diǎn)（為銳角），與邊所在直線交于另一點(diǎn)，且，當(dāng)邊或所在的直線與相切時(shí)，的長(zhǎng)是（

）A．9 B．4 C．12或4 D．12或93．（2023秋·江西新余·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、，半徑為的的圓心從點(diǎn)（點(diǎn)在直線上）出發(fā)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，則當(dāng)時(shí)，與坐標(biāo)軸相切．4．（2023春·江蘇鹽城·八年級(jí)景山中學(xué)?？计谀居^察思考】某種在同一平面進(jìn)行傳動(dòng)的機(jī)械裝置如圖1，圖2是它的示意圖．其工作原理是：滑塊在平直滑道上可以左右滑動(dòng)，在滑動(dòng)的過(guò)程中，連桿也隨之運(yùn)動(dòng)，并且?guī)?dòng)連桿繞固定點(diǎn)擺動(dòng)．在擺動(dòng)過(guò)程中，兩連桿的接點(diǎn)在以為半徑的上運(yùn)動(dòng)．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組為進(jìn)一步研究其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，并測(cè)得分米，分米，分米．【解決問(wèn)題】(1)點(diǎn)在上滑到最左端的位置與滑到最右端位置間的距離是_________分米．(2)如圖3，小明同學(xué)說(shuō)：“當(dāng)點(diǎn)滑動(dòng)到點(diǎn)的位置時(shí)，與是相切的．”你認(rèn)為他的判斷對(duì)嗎？為什么？(3)①小麗同學(xué)發(fā)現(xiàn)：“當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到上時(shí)，點(diǎn)到的距離最?。笔聦?shí)上，還存在著點(diǎn)到距離最大的位置，此時(shí)，點(diǎn)到的距離是_________分米；②當(dāng)繞點(diǎn)左右擺動(dòng)時(shí)，所掃過(guò)的區(qū)域?yàn)樯刃危筮@個(gè)扇形面積的最大值．【經(jīng)典例題八切線長(zhǎng)定理的應(yīng)用】1．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，為的直徑，，分別與⊙O相切于點(diǎn)B，C，過(guò)點(diǎn)C作的垂線，垂足為E，交于點(diǎn)D．若，則長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C．3 D．42．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，是的內(nèi)切圓，、、為切點(diǎn)，，，，切交于，交于，則的周長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．3．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖所示，點(diǎn)為外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線，，點(diǎn)，為切點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)已知，，則的長(zhǎng)為．

4．（2023·江蘇·統(tǒng)考二模）【感知】（1）如圖1，是的兩條切線，切點(diǎn)分別為點(diǎn)B、C，連接交于點(diǎn)D，點(diǎn)E在優(yōu)弧上，且，則線段的長(zhǎng)為_(kāi)____，的度數(shù)為_(kāi)____，的度數(shù)為_(kāi)____．【應(yīng)用】請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺與圓規(guī)完成下列作圖（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）．（2）如圖2，點(diǎn)A是外一點(diǎn)，請(qǐng)作出一條經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的的切線，切點(diǎn)為點(diǎn)B；（3）圖3，點(diǎn)P、Q分別在直線的兩側(cè)，請(qǐng)?jiān)谥本€上確定一個(gè)點(diǎn)T，使得與的角平分線在同一條直線上．請(qǐng)作出符合條件的的角平分線．

【經(jīng)典例題九三角形內(nèi)心的有關(guān)應(yīng)用】1．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考一模）如圖所示，內(nèi)接于，點(diǎn)M為的內(nèi)心，若，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．2．（2023·福建寧德·校考二模）如圖，點(diǎn)是的內(nèi)心，的延長(zhǎng)線交于，點(diǎn)、關(guān)于所在的直線對(duì)稱，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．3．（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，的內(nèi)切圓與分別相切于點(diǎn)，，連接的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，則．

4．（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知內(nèi)接于，且是的直徑，

(1)實(shí)踐與操作：請(qǐng)用尺規(guī)作圖法作出的內(nèi)心I；（要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法，標(biāo)明字母）(2)推理與計(jì)算：連接并延長(zhǎng)，與交于另一點(diǎn)D．若，，求的長(zhǎng)．【經(jīng)典例題十直角三角形周長(zhǎng)、面積與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系】1．（2023·甘肅隴南·?？家荒＃┤鐖D，與的的三邊分別相切于點(diǎn)D、E、F，若，則的半徑為（）A．5 B．4 C．3 D．22．（2023秋·四川綿陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，為的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為M，N，Q，已知，，，則的半徑為（

）A． B． C．1 D．23．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）如圖，正方形的邊長(zhǎng)是，是邊的中點(diǎn)．將該正方形沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處．分別與，，相切，切點(diǎn)分別為，，，則的半徑為．

4．（2023秋·河北滄州·九年級(jí)校考期末）閱讀材料：如圖，的周長(zhǎng)為，面積為，內(nèi)切圓☉的半徑為，探究與，之間的關(guān)系．解：連接、、．∵，，，∴，∴解決問(wèn)題：(1)利用探究的結(jié)論，計(jì)算邊長(zhǎng)分別為5，12，13的三角形內(nèi)切圓半徑．(2)如圖，若四邊形ABCD存在內(nèi)切圓(與各邊都相切的圓)，且面積為，各邊長(zhǎng)分別為，，，，試推導(dǎo)四邊形的內(nèi)切圓半徑公式．(3)若一個(gè)邊形(為不小于3的整數(shù))存在內(nèi)切圓，且面積為，各邊長(zhǎng)分別為，，，，…，，合理猜想其內(nèi)切圓半徑公式(不需說(shuō)明理由)．【經(jīng)典例題十一一般三角形周長(zhǎng)、面積與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系】1．（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市湘郡培粹實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考三模）如圖，是的內(nèi)切圓，若的周長(zhǎng)為18，面積為9，則的半徑是（）

A．1 B． C．1.5 D．22．（2023秋·北京海淀·九年級(jí)期末）如圖，在一張紙片中，，，，是它的內(nèi)切圓．小明用剪刀沿著的切線剪下一塊三角形，則的周長(zhǎng)為（

）A．4 B．5 C．6 D．83．（2021秋·貴州黔西·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，的內(nèi)切圓與兩直角邊、分別相切于點(diǎn)D、E，過(guò)劣?。ú话ǘ它c(diǎn)D、E）上任一點(diǎn)P作的切線，與、分別交于點(diǎn)M、N，，，則的周長(zhǎng)為．4．（2021秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在中，，，圓內(nèi)切于，切點(diǎn)分別為、、．（1）求的周長(zhǎng)；（2）求內(nèi)切圓的面積．【經(jīng)典例題十二圓的綜合問(wèn)題】1．（2023春·湖北鄂州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，點(diǎn)D為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)．以CD為⊙O直徑，作AD交⊙O于點(diǎn)E，則BE的最小值為（）A．6 B．8 C．10 D．122．（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，由5個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的“L”形，圓O經(jīng)過(guò)其頂點(diǎn)A、B、C，則圓O的半徑為（

）A．5 B． C． D．3．（2023·浙江杭州·杭州市公益中學(xué)校考二模）如圖，已知是的直徑，弦于點(diǎn)，．點(diǎn)是劣弧上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），交于點(diǎn)，與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，設(shè)．

①則（用含的代數(shù)式表示）；②當(dāng)時(shí)，則．4．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）【感知】如圖①，點(diǎn)A、B、P均在上，，則銳角的大小為_(kāi)_________度．

【探究】小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖②，是等邊三角形的外接圓，點(diǎn)P在上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合），連結(jié)、、．求證：．小明發(fā)現(xiàn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連結(jié)，通過(guò)證明，可推得是等邊三角形，進(jìn)而得證．下面是小明的部分證明過(guò)程：證明：延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連結(jié)，四邊形是的內(nèi)接四邊形，．，．是等邊三角形．，請(qǐng)你補(bǔ)全余下的證明過(guò)程．【應(yīng)用】如圖③，是的外接圓，，點(diǎn)P在上，且點(diǎn)P與點(diǎn)B在的兩側(cè)，連結(jié)、、．若，則的值為_(kāi)_________．

第二十四章圓專題18直線與圓的位置關(guān)系重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（十二大題型）【題型目錄】題型一判斷直線與圓的位置關(guān)系題型二已知直線與圓的位置關(guān)系求半徑的取值題型三已知直線與圓的位置關(guān)系求圓心角到直線的距離題型四求直線平移到與圓相切時(shí)運(yùn)動(dòng)的距離題型五切線的判定定理題型六切線的性質(zhì)定理題型七切線的性質(zhì)與判定定理題型八切線長(zhǎng)定理的應(yīng)用題型九三角形內(nèi)心的有關(guān)應(yīng)用題型十直角三角形周長(zhǎng)、面積與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系題型十一一般三角形周長(zhǎng)、面積與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系題型十二圓的綜合問(wèn)題【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、直線和圓的位置關(guān)系1.設(shè)的半徑為，圓心到直線的距離為，則直線和圓的位置關(guān)系如下表：位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定相離直線與圓沒(méi)有公共點(diǎn)直線與相離相切直線與圓有唯一公共點(diǎn)，直線叫做圓的切線，公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)直線與相切相交直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，直線叫做圓的割線直線與相交從另一個(gè)角度，直線和圓的位置關(guān)系還可以如下表示：直線和圓的位置關(guān)系相交相切相離公共點(diǎn)個(gè)數(shù)圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系公共點(diǎn)名稱交點(diǎn)切點(diǎn)—直線名稱割線切線—2.切線的判定與性質(zhì)（1）判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。點(diǎn)撥：切線必須滿足兩個(gè)條件：（1）經(jīng)過(guò)半徑的外端；（2）垂直于這條半徑，兩個(gè)條件缺一不可。（2）性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過(guò)點(diǎn)的半徑。拓展推論：①經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)；②經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直到切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心。圓的切線性質(zhì)定理與它的兩個(gè)推論涉及一條直線滿足的三個(gè)條件：（1）垂直于切線；（2）過(guò)切點(diǎn)；（3）過(guò)圓心，如果一條直線滿足于以上三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，那么它一定滿足另外一個(gè)條件，也可理解為“二推一”。3.三角形的內(nèi)切圓（1）有關(guān)概念：與三角形各邊都相切的圓叫作三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，叫作三角形的內(nèi)心。（2）三角形內(nèi)心的性質(zhì)：三角形的內(nèi)心到三條邊的距離相等。點(diǎn)撥：（1）設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為斜邊長(zhǎng)為c，則它的內(nèi)切圓半徑；（2）三角形的頂點(diǎn)到其所在兩邊上的內(nèi)切圓切點(diǎn)的距離相等；（3）三角形的周長(zhǎng)與內(nèi)切圓半徑乘積的一半等于這個(gè)三角形的面積，即其中為的內(nèi)切圓半徑，分別為的三邊長(zhǎng)。（3）切線長(zhǎng)（1）定義：經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)，叫作這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)。（2）切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。點(diǎn)撥：切線長(zhǎng)定理包括線段相等和角相等的兩個(gè)結(jié)論及垂直關(guān)系等。多邊形內(nèi)切圓：和多邊形的各邊都相切的圓叫做多邊形的內(nèi)切圓，該多邊形叫做圓的外切多邊形．總結(jié)：4．圓和圓的位置關(guān)系的定義、性質(zhì)及判定設(shè)的半徑分別為（其中），兩圓圓心距為，則兩圓位置關(guān)系如下表：位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定外離兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，并且每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部．兩圓外離外切兩個(gè)圓有唯一公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)之外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部．兩圓外切相交兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)．兩圓相交內(nèi)切兩個(gè)圓有唯一公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)之外，一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部．兩圓內(nèi)切內(nèi)含兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，并且一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部，兩圓同心是兩圓內(nèi)含的一種特例．兩圓內(nèi)含說(shuō)明：圓和圓的位置關(guān)系，又可分為三大類：相離、相切、相交，其中相離兩圓沒(méi)有公共點(diǎn)，它包括外離與內(nèi)含兩種情況；相切兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，它包括內(nèi)切與外切兩種情況．【經(jīng)典例題一判斷直線與圓的位置關(guān)系】1．（2023春·廣東梅州·九年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）中，，，，以為圓心，以長(zhǎng)為半徑作，則與的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相切 C．相交 D．無(wú)法確定【答案】C【分析】此題首先應(yīng)求得圓心到直線的距離，根據(jù)直角三角形的面積公式即可求得；再進(jìn)一步根據(jù)這些和圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的聯(lián)系進(jìn)行判斷．【詳解】解：根據(jù)勾股定理求得．，，，，上的高為：，即圓心到直線的距離是2.4．，直線和圓相交．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的面積求出斜邊上的高的長(zhǎng)度．注意：直角三角形斜邊上的高等于兩條直角邊的乘積除以斜邊．2．（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在平行四邊形ABCD中，，，以頂點(diǎn)C為圓心，BC為半徑作圓，則AD邊所在直線與的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．以上三種都有可能【答案】A【分析】根據(jù)面積公式計(jì)算點(diǎn)C到AD的距離d，比較d與半徑BC的大小判斷即可．【詳解】∵在平行四邊形ABCD中，，，∴點(diǎn)C到AD的距離d=，∴直線與圓C相交，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的面積，直線與圓的位置關(guān)系d、r法則，熟練掌握法則是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·河北秦皇島·九年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以為半徑的圓的圓心P的坐標(biāo)為，將沿y軸負(fù)方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度，則x軸與的位置關(guān)系是．

【答案】相交【分析】根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)得出，進(jìn)而得出平移后，再將點(diǎn)O到圓心的距離與半徑比較，即可x軸和圓的位置關(guān)系．【詳解】解：∵，∴，將沿y軸負(fù)方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，，∵，∴平移后x軸與的位置關(guān)系是相交，故答案為：相交．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線和圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握直線與圓的位置關(guān)系有相交，相切，相離；若圓到直線的距離為d，時(shí)，圓與直線相交；時(shí)，圓與直線相切；時(shí)，圓與直線相離．4．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形中，，，以為直徑作，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)．（1）直線與的位置關(guān)系為；（2）的最小值為．【答案】相離17【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出點(diǎn)到距離為，根據(jù)圓心到直線大于半徑即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)題意得出在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)連接，交于點(diǎn)，則此時(shí)取得最小值，勾股定理即可求解．【詳解】解：（1）∵在矩形中，，，∴,點(diǎn)到距離為，∵，∴直線與的位置關(guān)系為相離，故答案為：相離．（2）如圖所示，連接，∵，，∴為的中點(diǎn)，∵線段的中點(diǎn)為，∴，即在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱軸點(diǎn)，則連接，交于點(diǎn)，則此時(shí)取得最小值，∵，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，中位線的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，正方形的邊長(zhǎng)為2，和相交于點(diǎn)，過(guò)作，交于，交于，則以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與直線，的位置關(guān)系分別是什么？

【答案】見(jiàn)解析【分析】求點(diǎn)B到的距離，即，可知與的半徑相等，故圓與直線相切；點(diǎn)B到的距離，小于的半徑，故圓與直線相交.【詳解】由題中已知條件，得，，即點(diǎn)到的距離為，與的半徑相等，∴直線與相切．∵，，∴，垂足為，且，∴直線與相交．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系判定，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離與半徑的大小關(guān)系判定直線與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．6．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，，為邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合）．若的半徑為，當(dāng)在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，直線與相離、相切、相交？【答案】當(dāng)時(shí)，直線與相離；當(dāng)時(shí)，直線與相切；當(dāng)時(shí)，直線與相交【分析】作于點(diǎn)D，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系進(jìn)行解答即可．【詳解】解：作于點(diǎn)D，如圖所示：

∵，，∴，.∵，∴，若與直線相離，則有，即，解得，∴；若與直線相切，則有，即，解得；若與直線相交，則有，即，解得，∴；綜上可知：當(dāng)時(shí)，直線與相離；當(dāng)時(shí)，直線與相切；當(dāng)時(shí)，直線與相交．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線和圓的位置關(guān)系，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形的性質(zhì)得出．【經(jīng)典例題二已知直線與圓的位置關(guān)系求半徑的取值】1．（2023春·山東東營(yíng)·九年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，若以點(diǎn)C為圓心r為半徑的圓與AB所在直線相交，則r可能為（）A．3 B．4 C．4.8 D．5【答案】D【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，利用勾股定理求出BC=8，再利用面積法求出CD的長(zhǎng)，即可得到答案．【詳解】如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，∴BC=8，∵，∴CD=，∴當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)C為圓心r為半徑的圓與AB所在直線相交，故選：D．．【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理，三角形的面積法求斜邊上的高線，直線與圓相交的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，理解以點(diǎn)C為圓心r為半徑的圓與AB所在直線相交先求出最短距離進(jìn)行判斷是解題的關(guān)鍵．2．（2023·山東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形紙片ABCD中，，，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將沿EF所在直線翻折，得到，則的長(zhǎng)的最小值是A． B．3 C． D．【答案】D【分析】以點(diǎn)E為圓心，AE長(zhǎng)度為半徑作圓，連接CE，當(dāng)點(diǎn)在線段CE上時(shí)，的長(zhǎng)取最小值，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，在中利用勾股定理可求出CE的長(zhǎng)度，用即可求出結(jié)論．【詳解】以點(diǎn)E為圓心，AE長(zhǎng)度為半徑作圓，連接CE，當(dāng)點(diǎn)在線段CE上時(shí)，的長(zhǎng)取最小值，如圖所示，根據(jù)折疊可知：．在中，，，，，的最小值．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換、矩形的性質(zhì)以及勾股定理，利用作圓，找出取最小值時(shí)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．3．（2023·廣東東莞·?？家荒＃┰谥校?，，．那么以為圓心，為半徑的與相切．【答案】/2.4/【分析】設(shè)點(diǎn)到的距離為，由，，，根據(jù)勾股定理求得，則，所以，則當(dāng)?shù)陌霃綖闀r(shí)，與相切，于是得到問(wèn)題的答案．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)到的距離為，，，，，，，解得，當(dāng)?shù)陌霃綖闀r(shí)，與相切，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查勾股定理、切線的判定、根據(jù)面積等式求線段的長(zhǎng)度等知識(shí)與方法，求出斜邊上的高是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，，以為圓心，為半徑作圓．若該圓與線段只有一個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍為．【答案】或【分析】先根據(jù)題意畫(huà)出符合的兩種情況，根據(jù)勾股定理求出BC，即可得出答案．【詳解】解：過(guò)C作CD⊥AB于D，在Rt△BCA中，∵∠ACB=90°，AC=2，∠B=30°，∴AB=4，∴，根據(jù)三角形的面積公式得：AB?CD=AC?BC，∴，當(dāng)圓與時(shí)AB相切時(shí)，r=，當(dāng)點(diǎn)A在圓內(nèi)，點(diǎn)B在圓外或圓上時(shí)，r的范圍是2＜r≤2，綜上所述：r的取值范圍是r=或2＜r≤2，故答案為：r=或2＜r≤2．【點(diǎn)睛】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，切線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，能求出符合題意的所有情況是解此題的關(guān)鍵，用了分類討論思想．5．（2023春·廣東河源·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）圓心O到直線l的距離為d，半徑為r，若d、r是方程的兩個(gè)根，且直線l與相切，求m的值．【答案】9【分析】先根據(jù)切線的性質(zhì)得出方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，再根據(jù)即可求出m的值．【詳解】∵d、r是方程的兩個(gè)根，且直線L與相切，∴，∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，∴，解得，．【點(diǎn)睛】此題考查了直線和圓的位置關(guān)系，一元二次方程的判別式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得到方程有兩個(gè)相等的實(shí)根．6．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，為正比例函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，的半徑為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為．

(1)求與直線相切時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)請(qǐng)直接寫(xiě)出與直線相交、相離時(shí)的取值范圍．【答案】(1)或(2)或【分析】（1）根據(jù)直線和圓相切應(yīng)滿足圓心到直線的距離等于半徑，首先求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再根據(jù)直線的解析式求得點(diǎn)的縱坐標(biāo)．（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，即可分析出相離和相交時(shí)的取值范圍．【詳解】（1）解：過(guò)作直線的垂線，垂足為；當(dāng)點(diǎn)在直線右側(cè)時(shí)，，解得；∴；當(dāng)點(diǎn)在直線左側(cè)時(shí)，，得，∴，

∴當(dāng)與直線相切時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．（2）解：由（1）可知當(dāng)時(shí)，與直線相交當(dāng)或時(shí)，與直線相離．【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，掌握直線和圓的不同位置關(guān)系應(yīng)滿足的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)數(shù)量關(guān)系正確求解是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題三已知直線與圓的位置關(guān)系求圓心到直線的距離】1．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知是以數(shù)軸原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓，，點(diǎn)在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，若過(guò)點(diǎn)且與平行的直線與有公共點(diǎn)，設(shè)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，知直線和圓有公共點(diǎn)，則相切或相交，相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為C，連接，根據(jù)等腰直角三角形的直角邊是圓的半徑1，求得斜邊是，所以x的取值范圍是．【詳解】解：設(shè)切點(diǎn)為，連接，則圓的半徑，，∵，，∴，∴，∴，同理，原點(diǎn)左側(cè)的距離也是，且線段是正數(shù)所以x的取值范圍是故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，以及直徑所對(duì)的圓周角是直角等知識(shí)，解題關(guān)鍵是求出相切的時(shí)候的x值，即可分析出x的取值范圍．2．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，半徑的⊙M在軸上平移，且圓心M在x軸上，當(dāng)⊙M與直線相切時(shí)，圓心M的坐標(biāo)為（

）A．(0，0) B．(2，0) C．（-6，0） D．(2，0)或（-6，0）【答案】D【分析】根據(jù)題意，進(jìn)行分情況討論，分別為圓位于直線右側(cè)并與直線相切和位于直線左側(cè)并于直線相切兩種情況，進(jìn)而根據(jù)相切的性質(zhì)及等腰直角三角形的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解即可得解．【詳解】①當(dāng)圓位于直線右側(cè)并與直線相切時(shí)，連接MA，如下圖所示：∵∴，，是等腰直角三角形，∴∵∴是等腰直角三角形，∴⊙M與直線AB相切于點(diǎn)A∵∴∴圓心M的坐標(biāo)為；②當(dāng)圓位于直線左側(cè)并與直線相切時(shí)，過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)C，如下圖所示：∵⊙M與直線AB相切，∴根據(jù)直線AB的解析式：可知∴是等腰直角三角形∴∵∴圓心M的坐標(biāo)為，綜上所述：圓心M的坐標(biāo)為或，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)及動(dòng)圓問(wèn)題，熟練掌握相關(guān)幾何求解方法并進(jìn)行分類討論是解決本題的關(guān)鍵．3．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）以點(diǎn)為圓心，為半徑畫(huà)圓，與坐標(biāo)軸恰好有三個(gè)公共點(diǎn)，則的值為．【答案】或【分析】作軸，連結(jié)，根據(jù)勾股定理計(jì)算出，然后根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系即可得到滿足條件的的取值為且．【詳解】作軸，連結(jié)，如圖，∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，，∴，∵以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與坐標(biāo)軸恰好有三個(gè)公共點(diǎn)，∴過(guò)點(diǎn)或者與軸相切，∴或．故答案為或．【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系：設(shè)的半徑為，圓心到直線的距離為：①直線和相交?；②直線和相切?；③直線和相離?．也考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．4．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，半圓的圓心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，半圓的半徑為2，直線l的解析式為y＝x+t．若直線l與半圓只有一個(gè)交點(diǎn)，則t的取值范圍是．【答案】或【分析】若直線l與半圓只有一個(gè)交點(diǎn)，則有兩種情況：直線l和半圓相切于點(diǎn)或從直線l過(guò)點(diǎn)開(kāi)始到直線過(guò)點(diǎn)結(jié)束（不包括直線l過(guò)點(diǎn)．當(dāng)直線l和半圓相切于點(diǎn)時(shí)，根據(jù)直線l的解析式知直線l與軸所形成的銳角是，從而求得，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得的值；當(dāng)直線l過(guò)點(diǎn)A或點(diǎn)時(shí)，直接根據(jù)待定系數(shù)法求得的值即可．【詳解】解：根據(jù)題意可得：若直線l與半圓只有一個(gè)交點(diǎn)，則有兩種情況：直線l和半圓相切于點(diǎn)或從直線l過(guò)點(diǎn)開(kāi)始到直線l過(guò)點(diǎn)結(jié)束（不包括直線l過(guò)點(diǎn)，∵直線l的解析式為y＝x+t，∴直線l與軸所形成的銳角是，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，則．當(dāng)直線l和半圓相切于點(diǎn)時(shí)，則垂直于直線l，，∴為等腰直角三角形．又∵，∴，∴，解得：（舍負(fù)），∴，即點(diǎn)，，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線解析式，得，當(dāng)直線l過(guò)點(diǎn)時(shí)，把點(diǎn)代入直線解析式，得；當(dāng)直線l過(guò)點(diǎn)時(shí)，把點(diǎn)代入直線解析式，得．即當(dāng)或時(shí)，直線l和半圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，故答案為：或．【點(diǎn)睛】此題綜合考查了直線和圓的位置關(guān)系以及用待定系數(shù)法求解直線的解析式等知識(shí)，根據(jù)題意得到直線l與半圓只有一個(gè)交點(diǎn)的兩種不同情況是解決本題的關(guān)鍵．5．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）已知的半徑為，點(diǎn)到直線的距離為，且直線與相切，若，分別是方程的兩個(gè)根，求的值．【答案】【分析】根據(jù)直線與圓相切的條件得，再根據(jù)一元二次方程根的判別式列出方程即得．【詳解】∵由題意可知．∴方程的兩根相等∴解得：．【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓相切的條件及一元二次方程根的判別式，解題關(guān)鍵是熟知直線與圓相切的條件是圓心到直線的距離等于圓的半徑，判別式時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根．6．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知直線y＝x﹣6與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是以C（0，3）為圓心，3為半徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PA、PB．（1）求圓心C到直線AB的距離；（2）求△PAB面積的最大值．【答案】（1）；（2）51．【分析】（1）求出A、B的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理求出AB．過(guò)C作CM⊥AB于M，連接AC，MC的延長(zhǎng)線交⊙C于N，則由三角形面積面積法求高，可知圓心C到直線AB的距離；（2）由（1）中的數(shù)據(jù)即可求出圓C上點(diǎn)到AB的最大距離，根據(jù)面積公式求出即可．【詳解】解：解：（1）如圖1，過(guò)C作于M，連接AC，MC的延長(zhǎng)線交于N，由題意：，，，，．，則由三角形面積公式得，，，，圓心C到直線AB的距離是；（2）由（1）知，圓心C到直線AB的距離是．則圓C上點(diǎn)到直線的最大距離是，故面積的最大值是：．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，勾股定理，三角形的面積，直線與圓的位置關(guān)系，解此題的關(guān)鍵是由三角形面積法求高得出圓心C到直線AB的距離，難度不是很大．【經(jīng)典例題四求直線平移到與圓相切時(shí)運(yùn)動(dòng)的距離】1．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，直線，與和分別相切于點(diǎn)和點(diǎn)．點(diǎn)和點(diǎn)分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，沿和平移．的半徑為，．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）．A． B．若與相切，則C．若，則與相切 D．和的距離為【答案】B【分析】根據(jù)直線與圓的相關(guān)知識(shí)，逐一判斷．【詳解】解：A、平移使點(diǎn)與重合，，，解直角三角形得，正確；B、當(dāng)與圓相切時(shí)，，在左側(cè)以及，在，右側(cè)時(shí)，或，錯(cuò)誤；C、若，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則，故，，故上的高為，即到的距離等于半徑．正確；D、，兩平行線之間的距離為線段的長(zhǎng)，即直徑，正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓相切的判斷方法和性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，平行線間的距離，熟練掌握直線與圓相切的判斷方法和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙O的半徑是1，直線AB與x軸交于點(diǎn)P(x，0)，且與x軸的正半軸夾角為45°，若直線AB與⊙O有公共點(diǎn)，則x值的范圍是()A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)直線AB的解析式為y=x+b，當(dāng)直線與圓相切時(shí)切點(diǎn)為C，連接OC，則OC=1，由于直線AB與x軸正方向夾角為45°，所以△AOC是等腰直角三角形，故OC=PC=1再根據(jù)勾股定理求出OA的長(zhǎng)即可．【詳解】∵直線AB與x軸正方向夾角為45°，∴設(shè)直線AB的解析式為y=x+b，切點(diǎn)為C，連接OC，∴，∵⊙O的半徑為1，∴△AOC是等腰直角三角形，∴OC=PC=1，∴OA==，∴P（，0），同理可得，當(dāng)直線與x軸負(fù)半軸相交時(shí)，P（，0），∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，熟知直線和圓的三種位置關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．3．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知正方形ABCD中，兩動(dòng)點(diǎn)M和N分別從頂點(diǎn)B、C同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿BC、CD向終點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)，連接AM、BN，交于點(diǎn)P，再連接PC，若，則PC長(zhǎng)的最小值為．【答案】【分析】先證明，得出，證出，得出點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)路徑一條弧，連接OC交圓O于P，此時(shí)PC最小，，由勾股定理求出，得出即可．【詳解】解：由題意得：，∵四邊形ABCD是正方形，，在和中，，，，，，，∴點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)圓心為O，運(yùn)動(dòng)路徑一條弧，是這個(gè)圓的，如圖所示：連接OC交圓O于P，此時(shí)PC最小，，，由勾股定理得：，；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證出點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)是解題關(guān)鍵．4．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，直線、相交于點(diǎn)，，半徑為的圓的圓心P在直線上，且與點(diǎn)的距離為，若點(diǎn)以的速度由A向B的方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為時(shí)，與直線相切．【答案】或【分析】在射線上或在射線上，設(shè)對(duì)應(yīng)的圓的圓心分別在M，根據(jù)切線的性質(zhì)，在中，根據(jù)30度的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，即可求得的長(zhǎng)，進(jìn)而求得的長(zhǎng)，從而求得由P到M移動(dòng)的時(shí)間；根據(jù)，即可求得，也可以求得由P到M移動(dòng)的時(shí)間．【詳解】解：當(dāng)在射線上，設(shè)與相切于點(diǎn)E，P移動(dòng)到M時(shí)，連接．∵與直線相切，∴，∵在中，，，∴，則，∵以的速度沿由A向B的方向移動(dòng)，∴移動(dòng)時(shí)與直線相切．當(dāng)在射線上時(shí)，同理可求移動(dòng)時(shí)與直線相切．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，注意已知圓的切線時(shí)，常用的輔助線是連接圓心與切點(diǎn)，本題中注意到分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為2的⊙P的圓心P的坐標(biāo)為（-3，0），將⊙P沿x軸正方向平移，使⊙P與y軸相切，求平移的距離．【答案】1或5．【分析】平移分在y軸的左側(cè)和y軸的右側(cè)兩種情況寫(xiě)出答案即可．【詳解】當(dāng)⊙P位于y軸的左側(cè)且與y軸相切時(shí)，平移的距離為1；當(dāng)⊙P位于y軸的右側(cè)且與y軸相切時(shí)，平移的距離為5．故答案為：1或5．【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是了解當(dāng)圓與直線相切時(shí)，點(diǎn)到圓心的距離等于圓的半徑．6．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，直線y=x+b（b>0）與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B，在直線AB上取一點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足為E，若點(diǎn)E（4，0）．（1）若EC=BC，求b的值；（2）在（1）的條件下，有一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，延著射線BC方向以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)P為圓心，作半徑為的圓，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，在線段OE上以每秒1個(gè)單位的速度作來(lái)回運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)Q作直線l垂直x軸，點(diǎn)P與點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)B、點(diǎn)O開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，問(wèn)經(jīng)過(guò)多少秒后，直線l和⊙P相切．【答案】（1）b=2；（2）t=或或.【分析】（1）作出輔助線,求出點(diǎn)B、C坐標(biāo)代入解析式即可求解,（2）分類討論,利用圓心到切線的距離等于半徑即可解題.【詳解】作BH⊥CE.∵E（4,0）,∴OE=BH=4,把x=4代入y=x+b=3+b,∴CE=3+b.∵B(0,b),∴EH=OB=b,CH=3.在Rt△BCH中,BC=5=CE,∴C（4,5）代入y=x+b,得b=2（2）設(shè)點(diǎn)P到直線l的距離為d.作PH⊥y軸于點(diǎn)H,則PH=t.①當(dāng)0<t≤4時(shí),OQ=t,d=t－t=t,由t=,得t=；②當(dāng)4<t≤8時(shí),OQ=8－t,d=8－t－t=或t－（8－t）=,解得t=或；③當(dāng)8<t<12時(shí),OQ=t－8,d=t－（t－8）=,解得t=,由于t－4>,舍去.（第3種情況酌情給分,舍去的理由合情描述即可）綜上所述,t=或或.【點(diǎn)睛】本題考查求解一次函數(shù)參數(shù),直線與圓的位置關(guān)系,分類討論是解題關(guān)鍵.【經(jīng)典例題五切線的判定定理】1．（2023·河南濮陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖1和圖2，已知點(diǎn)P是上一點(diǎn)，用直尺和圓規(guī)過(guò)點(diǎn)P作一條直線，使它與相切于點(diǎn)P．以下是甲、乙兩人的作法：甲：如圖1，連接，以點(diǎn)P為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交于點(diǎn)A，連接并延長(zhǎng)，再在上截取，直線即為所求；乙：如圖2，作直徑，在上取一點(diǎn)B（異于點(diǎn)P，A），連接和，過(guò)點(diǎn)P作，則直線即為所求．對(duì)于甲、乙兩人的作法，下列判斷正確的是（）

A．甲、乙兩人的作法都正確 B．甲、乙兩人的作法都錯(cuò)誤C．甲的作法正確，乙的作法錯(cuò)誤 D．甲的作法錯(cuò)誤，乙的作法正確【答案】A【分析】對(duì)于甲先證明是等邊三角形，得到，再由，得到，即可利用三角形外角的性質(zhì)得到，則，即可證明是的切線；對(duì)于乙由直徑所對(duì)的圓周角是直角得到，則，進(jìn)而得到，則，即可證明是的切線．【詳解】解：甲正確．理由：如圖1中，連接．∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴是的切線，乙正確．理由：∵是直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴是的切線，故選：A．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，圓周角定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，三角形外角的性質(zhì)等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，O為的外心，四邊形為正方形．以下結(jié)論：①O是的外心；②O是的外心；③直線與的外接圓相切．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】B【分析】根據(jù)三角形外形的性質(zhì)可得，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，即可判斷①；求出正方形對(duì)角線，即可判斷②；根據(jù)切線的判定，即可判斷③．【詳解】解：連接，∵O為的外心，∴，①∵四邊形為正方形．∴，∴，∴O是的外心；故①正確；②連接，∵四邊形為正方形，∴，∴，∴O不是的外心；故②不正確；③由①可得：，∴點(diǎn)E在上，∵四邊形為正方形，∴，∴直線與的外接圓相切．故③正確；綜上：正確的有①③．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了外心的定義，正方形的性質(zhì)，切線的判定，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的外心到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等，正方形四條邊都相等，四個(gè)角都是直角．3．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，以的邊為直徑的恰好過(guò)的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，，有下列結(jié)論：①；②；③；④是的切線；⑤．其中正確結(jié)論的序號(hào)是．

【答案】①②③④⑤【分析】三角形的中位線定理，判斷①；圓周角定理和中點(diǎn)，得到是的中垂線，得到，判斷②③；根據(jù)，得到，判斷④；等角的余角相等，判斷⑤．【詳解】解：∵為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，∴為的中位線，∴，故①正確；∵為的直徑，∴，∵為的中點(diǎn)，∴為線段的中垂線，∴∴，故②③正確；∵，∴，又為的半徑，∴是的切線；故④正確；∵，∴，∵，，∴，∴，故⑤正確；綜上：正確的是①②③④⑤；故答案為：①②③④⑤．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的中位線定理，中垂線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，切線的判定和性質(zhì)．熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，并靈活運(yùn)用，是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）已知，如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，A（1，0），AB＝2．（1）點(diǎn)C坐標(biāo)為．（2）若y軸上存在點(diǎn)M，使得∠AMB＝∠BCA，則這樣的點(diǎn)有個(gè)．【答案】（3，）2【分析】（1）先根據(jù)含30度直角三角形的性質(zhì)得到AC的長(zhǎng)，進(jìn)而求出BC的長(zhǎng)即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）如圖所示，取AC中點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于F，EG⊥y軸于G，則四邊形EFOG是矩形，證明圓E與y軸相切，即圓E與y軸只有一個(gè)交點(diǎn)，再由圓周角定理得到∠AGB=∠ACB，即當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)G重合時(shí)滿足題意，據(jù)此即可得到答案．【詳解】解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，∴∠C=30°，∴，∴，又∵OA=1，∴OB=OA+AB=3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，），故答案為：（3，）（2）如圖所示，取AC中點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于F，EG⊥y軸于G，則四邊形EFOG是矩形，∴EG=OF，∵E是AC的中點(diǎn)，∴，同理可得∠AEF=30°，∴，∴GE=OF=OA+AF=2，又∵EG⊥y軸，∴圓E與y軸相切，即圓E與y軸只有一個(gè)交點(diǎn)，∵當(dāng)以E為圓心，2為半徑畫(huà)圓時(shí)，點(diǎn)A、B、C、G都在圓E上，∴∠AGB=∠ACB，即當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)G重合時(shí)滿足題意，∴此情形下只有一個(gè)點(diǎn)滿足題意，由對(duì)稱性可知當(dāng)M在y軸下方時(shí)也有一個(gè)點(diǎn)滿足題意，∴一共有2個(gè)點(diǎn)滿足題意，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，圓切線的判定，圓周角定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是⊙的直徑，、都是⊙上的點(diǎn)，平分，過(guò)點(diǎn)作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．

(1)求證：是⊙的切線；(2)若，，求的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)平分，則，根據(jù)，等量代換，得，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)，得，推出，即可；（2）連接，交于點(diǎn)；根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，則，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)等腰三角形三線合一，則，；根據(jù)矩形的判定，得四邊形是矩形，則，即可．【詳解】（1）證明如下：連接，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴是⊙的切線．

（2）連接，交于點(diǎn)，∵是⊙的直徑，∴，∴，∵，，

∴，∵，∴是等腰三角形，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴．

【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線，等腰三角形，矩形的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)，切線判定，等腰三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)．6．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，是的弦，交于，，．

(1)求的長(zhǎng)；(2)若是的中點(diǎn)，求證：是的切線．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半，可求出的度數(shù)，進(jìn)而根據(jù)含度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理求得的長(zhǎng)，最后由垂徑定理可得的長(zhǎng)．（2）由于點(diǎn)在圓上，可根據(jù)“連半徑，證垂直”可證得是的切線．【詳解】（1）連接，，如圖，

∵，，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，∴；（2）由（1），而，∴為等邊三角形，∴，，∴是的中點(diǎn)，∴，∴，而，∴，∴，∴，∴是的切線．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的性質(zhì)，其中熟知圓的垂徑定理以及圓的切線常用證明方法是解決本題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題六切線的性質(zhì)定理】1．（2023春·重慶南岸·九年級(jí)重慶市珊瑚初級(jí)中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，是的直徑，，是的弦，是的切線，為切點(diǎn)，與交于點(diǎn)．若點(diǎn)為的中點(diǎn)，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖：連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，由點(diǎn)為的中點(diǎn)可得,最后等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理即可解答．【詳解】解：如圖：連接，

∵是的切線，∴，∴，∵，∴，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∵，∴,故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)成為解答本題的關(guān)鍵．2．（2022·安徽·合肥38中校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，是的直徑，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且.點(diǎn)是上的一點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)，則下列是真命題的是（

）A．當(dāng)是的切線時(shí)，四邊形是正方形B．當(dāng)時(shí)，可能為等邊三角形C．當(dāng)線段與只有一個(gè)公共點(diǎn)點(diǎn)時(shí)，的范圍是D．當(dāng)線段與有兩個(gè)交點(diǎn)、時(shí)，若于點(diǎn)，則【答案】D【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定及三角形中位線可進(jìn)行求解．【詳解】解：由題意可知，點(diǎn)是四邊形的對(duì)角線的中點(diǎn)，故當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則四邊形不可能是特殊四邊形，不可能為等邊三角形；如圖1，在點(diǎn)與只有一個(gè)公共點(diǎn)的情況下，當(dāng)是的切線時(shí)，的度數(shù)取最大值，且，故，∴的范圍是；如圖2，連接，∵是的直徑，∴，又∵，∴，則是的中位線，是的中位線；∴，∴；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查切線的性質(zhì)、正方形的判定及三角形中位線，熟練掌握切線的性質(zhì)、正方形的判定及三角形中位線是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖是的弦，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．若的半徑為，則的長(zhǎng)為．【答案】2【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)垂直定義可得，從而可得，然后利用等腰三角形的性質(zhì)，以及等角的余角相等，對(duì)頂角相等可得，從而可得，最后在中，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：與相切于點(diǎn)，，，，，，，，，，，，設(shè)，在中，，，，．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，勾股定理，熟練掌握切線的性質(zhì)，以及等腰三角形的判定是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，是的直徑，點(diǎn)在上，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．若，則的度數(shù)為．【答案】/度【分析】先根據(jù)垂徑定理得到，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，則，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，然后根據(jù)圓周角定理得到，則利用互余可計(jì)算出的度數(shù)．【詳解】解：是的直徑，是的中點(diǎn)，，為的切線，，，，是的直徑，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了垂徑定理和圓周角定理．5．（2021秋·甘肅定西·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，為的直徑，切于點(diǎn)E，于點(diǎn)C．

(1)求證：平分(2)若，，求的半徑．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)2【分析】（1）連接，根據(jù)等邊對(duì)等角，得到，根據(jù)切線的性質(zhì)，以及，推出，進(jìn)而推出，即可得證；（2）連接，利用圓周角定理和含30度角的直角三角形的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：連接，則：，∴，∵切于點(diǎn)E，∴，∵，∴，∴，∴，∴平分；

（2）解：如圖，連接，

則：，∵，平分，∴，在中，，，∴，在中，，∴，∴，∴，∴，∴，即：的半徑為2．【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)．熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，并靈活運(yùn)用，是解題的關(guān)鍵．6．（2023·陜西咸陽(yáng)·?？级＃┤鐖D，為的直徑，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接、，過(guò)點(diǎn)作的切線，連接交于點(diǎn)，．

(1)求證：；(2)若，求的直徑的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由為的切線，為切點(diǎn)，可得，即，，由，可得，由，可得，即，進(jìn)而可得．（2）設(shè)，則，在中，，在中，，即，解得，則，即的半徑為，進(jìn)而可求直徑的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：∵為的切線，為切點(diǎn)，∴，即，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．（2）解：設(shè)，則．在中，，在中，，即，解得，∴，即的半徑為，∴的直徑的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．【經(jīng)典例題七切線的性質(zhì)與判定定理結(jié)合】1．（2023·廣東深圳·校考三模）矩形ABCD的對(duì)角線BD=4，DE⊥AC于點(diǎn)E，則當(dāng)∠DBE最大時(shí)，BE的長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．2【答案】D【分析】設(shè)與的交點(diǎn)為點(diǎn)F，由矩形的性質(zhì)可得，若固定不動(dòng)，則E隨的位置變動(dòng)而變化，因，所以點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的軌跡是以為直徑的圓，設(shè)該圓圓心為O，不難知道，當(dāng)時(shí)，即為⊙O的切線時(shí)，最大，利用勾股定理即可求出答案．【詳解】設(shè)與的交點(diǎn)為點(diǎn)F，由矩形的性質(zhì)可得，，點(diǎn)在以為直徑的上，如下圖，∵當(dāng)是⊙O的切線時(shí)，最大，∴當(dāng)最大時(shí)，，∵，∴，∴．故答案為D．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)，關(guān)鍵在于確定E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡，有一定難度．2．（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在矩形中，，是邊上一點(diǎn)，且．已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與邊所在直線相切于點(diǎn)（為銳角），與邊所在直線交于另一點(diǎn)，且，當(dāng)邊或所在的直線與相切時(shí)，的長(zhǎng)是（

）A．9 B．4 C．12或4 D．12或9【答案】C【分析】邊BC所在的直線與⊙O相切時(shí)，過(guò)點(diǎn)G作GN⊥AB，垂足為N，可得EN＝NF，由，得EG：EN＝，依據(jù)勾股定理即可求得x的值，然后再次利用勾股定理求出半徑r，根據(jù)計(jì)算即可；當(dāng)邊AD所在的直線與⊙O相切時(shí)，同理可求AB＝4．【詳解】解：邊BC所在的直線與⊙O相切時(shí)，如圖，切點(diǎn)為K，連接OK，過(guò)點(diǎn)G作GN⊥AB，垂足為N，∴EN＝NF，又∵，∴EG：EN＝，又∵GN＝AD＝8，∴設(shè)EN＝x，則GE＝，根據(jù)勾股定理得：，解得：x＝4，∴GE＝，設(shè)⊙O的半徑為r，由OE2＝EN2＋ON2，得：r2＝16＋（8?r）2，∴r＝5，∴OK＝NB＝5，∴EB＝9，又，即，∴AB＝12；當(dāng)邊AD所在的直線與⊙O相切時(shí)，切點(diǎn)為H，連接OH，過(guò)點(diǎn)G作GN⊥AB，垂足為N，同理，可得OH＝AN＝5，∴AE＝1，又，∴AB＝4，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、勾股定理和垂徑定理的綜合應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵在于做好輔助線，利用勾股定理求出對(duì)應(yīng)圓的半徑．3．（2023秋·江西新余·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、，半徑為的的圓心從點(diǎn)（點(diǎn)在直線上）出發(fā)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，則當(dāng)時(shí)，與坐標(biāo)軸相切．【答案】或或【分析】設(shè)與坐標(biāo)軸的切點(diǎn)為，根據(jù)已知條件得到，，，求得，，，證明出是等腰直角三角形，，然后分三種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)與軸相切時(shí)，②如圖，與軸和軸都相切時(shí)，③當(dāng)只與軸相切時(shí)．【詳解】解：設(shè)與坐標(biāo)軸的切點(diǎn)為，∵直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、，點(diǎn)，∴時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，∴，，，根據(jù)勾股定理：，，，∴是等腰直角三角形，，①如圖，當(dāng)與軸相切時(shí)，∵點(diǎn)是切點(diǎn)，的半徑是，∴軸，，∴是等腰直角三角形，∴，，∴，∵點(diǎn)的速度為每秒個(gè)單位長(zhǎng)度，∴；②如圖，當(dāng)與軸和軸都相切時(shí)，∵，∴，∵點(diǎn)的速度為每秒個(gè)單位長(zhǎng)度，∴；③當(dāng)只與軸相切時(shí)，∵，∴，∵點(diǎn)的速度為每秒個(gè)單位長(zhǎng)度，∴．綜上所述，則當(dāng)或或秒時(shí)，與坐標(biāo)軸相切．故答案為：或或【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定、一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理，解本題的關(guān)鍵在掌握切線的判定及性質(zhì)，利用分類討論的思想求解．4．（2023春·江蘇鹽城·八年級(jí)景山中學(xué)?？计谀居^察思考】某種在同一平面進(jìn)行傳動(dòng)的機(jī)械裝置如圖1，圖2是它的示意圖．其工作原理是：滑塊在平直滑道上可以左右滑動(dòng)，在滑動(dòng)的過(guò)程中，連桿也隨之運(yùn)動(dòng)，并且?guī)?dòng)連桿繞固定點(diǎn)擺動(dòng)．在擺動(dòng)過(guò)程中，兩連桿的接點(diǎn)在以為半徑的上運(yùn)動(dòng)．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組為進(jìn)一步研究其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，并測(cè)得分米，分米，分米．【解決問(wèn)題】(1)點(diǎn)在上滑到最左端的位置與滑到最右端位置間的距離是_________分米．(2)如圖3，小明同學(xué)說(shuō)：“當(dāng)點(diǎn)滑動(dòng)到點(diǎn)的位置時(shí)，與是相切的．”你認(rèn)為他的判斷對(duì)嗎？為什么？(3)①小麗同學(xué)發(fā)現(xiàn)：“當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到上時(shí)，點(diǎn)到的距離最小．”事實(shí)上，還存在著點(diǎn)到距離最大的位置，此時(shí)，點(diǎn)到的距離是_________分米；②當(dāng)繞點(diǎn)左右擺動(dòng)時(shí)，所掃過(guò)的區(qū)域?yàn)樯刃危筮@個(gè)扇形面積的最大值．【答案】(1)12(2)不對(duì)，詳見(jiàn)解析(3)①6，②【分析】（1）當(dāng)O、P、Q三點(diǎn)共線時(shí)，在中，由勾股定理可求得的長(zhǎng)度即可解答；（2）顯然不對(duì)，當(dāng)Q、H重合時(shí)，，顯然構(gòu)不成直角三角形，故與不相切；（3）①當(dāng)P到直線l的距離最長(zhǎng)時(shí)，這個(gè)最大距離為，此時(shí)直線l；②當(dāng)P到直線l的距離最大時(shí)，無(wú)法再向下擺動(dòng)，若設(shè)點(diǎn)P擺動(dòng)的兩個(gè)極限位置為P、，連接，則四邊形是矩形，設(shè)與交于點(diǎn)D，那么，則，在中，，則，，最后根據(jù)扇形的面積公式即可求解．【詳解】（1）解：當(dāng)O、P、Q三點(diǎn)共線時(shí)，分米在中，由勾股定理可求得，∴點(diǎn)在上滑到最左端的位置與滑到最右端位置間的距離是分米．故答案為：12；（2）解：不對(duì)．理由如下：∵，∵當(dāng)Q、H重合時(shí)，，∵，即，∴與不垂直．∴與不相切．（3）解：①因?yàn)榈闹涤肋h(yuǎn)是6，只有時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離最大，此時(shí)最大的距離是6分米；②由①知，在上存在點(diǎn)P，到l的距離為6，此時(shí)，將不能再向下轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖．在繞點(diǎn)O左右擺動(dòng)過(guò)程中所掃過(guò)的最大扇形就是．連接，交于點(diǎn)D，∵均與l垂直，且，∴四邊形是矩形，∴,．∴，得．∴．∴所求最大圓心角的度數(shù)為．∴這個(gè)扇形面積的最大值．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理、切線的判定、矩形的判定和性質(zhì)、垂徑定理等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題八切線長(zhǎng)定理的應(yīng)用】1．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，為的直徑，，分別與⊙O相切于點(diǎn)B，C，過(guò)點(diǎn)C作的垂線，垂足為E，交于點(diǎn)D．若，則長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】作于H，由垂徑定理得到的長(zhǎng)，從而求出的長(zhǎng)，由勾股定理求出的長(zhǎng)，即可求出的長(zhǎng)．【詳解】解：作于H，∵直徑于H，∴，∵，分別切于C，B，∴，直徑，∴四邊形是矩形，∴，，∴，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是通過(guò)輔助線構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用勾股定理求出的長(zhǎng)．2．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，是的內(nèi)切圓，、、為切點(diǎn)，，，，切交于，交于，則的周長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】利用切線長(zhǎng)定理得到等邊，再利用給出的三條邊長(zhǎng)，設(shè)未知數(shù)列方程組，計(jì)算出邊長(zhǎng)，再利用等邊換邊得到的周長(zhǎng)．【詳解】是的內(nèi)切圓,、、是的切線，又切于點(diǎn)K，

、、、、，的周長(zhǎng)為：設(shè)，，，則、、，解得，的周長(zhǎng)為：．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查切線長(zhǎng)定理及邊長(zhǎng)的計(jì)算，需要理清目標(biāo)和條件，正確且有條理的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖所示，點(diǎn)為外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線，，點(diǎn)，為切點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)已知，，則的長(zhǎng)為．

【答案】5【分析】連接，根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)度，進(jìn)而得出的長(zhǎng)度，設(shè)的半徑為，則，，運(yùn)用勾股定理列出方程，得出半徑，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：如圖所示，連接．

，為的切線，，，．．在中，，．設(shè)的半徑為，則，．在中，，即，解得，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)點(diǎn)解題是關(guān)鍵．4．（2023·江蘇·統(tǒng)考二模）【感知】（1）如圖1，是的兩條切線，切點(diǎn)分別為點(diǎn)B、C，連接交于點(diǎn)D，點(diǎn)E在優(yōu)弧上，且，則線段的長(zhǎng)為_(kāi)____，的度數(shù)為_(kāi)____，的度數(shù)為_(kāi)____．【應(yīng)用】請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺與圓規(guī)完成下列作圖（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）．（2）如圖2，點(diǎn)A是外一點(diǎn)，請(qǐng)作出一條經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的的切線，切點(diǎn)為點(diǎn)B；（3）圖3，點(diǎn)P、Q分別在直線的兩側(cè)，請(qǐng)?jiān)谥本€上確定一個(gè)點(diǎn)T，使得與的角平分線在同一條直線上．請(qǐng)作出符合條件的的角平分線．

【答案】（1）2，，；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析【分析】（1）連接，利用圓周角定理求得，再利用切線長(zhǎng)定理即可求解；（2）連接，作線段的垂直平分線確定其中點(diǎn)，再作以為直徑的圓，兩圓的交點(diǎn)為B，作直線即可得出答案；（3）以P為圓心，為半徑作弧，交于點(diǎn)R，連接，過(guò)點(diǎn)P作的垂線交于點(diǎn)T，連接，則是的角平分線．【詳解】解：（1）連接，

∵，∴，∵是的兩條切線，∴，，∵，∴垂直平分，∴，，，∴，∴，故答案為：2，，；（2）解：如圖所示，直線即為所求．

；（3）解：如圖所示，射線即為所求．

.【點(diǎn)睛】本題主要考查作圖—復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是掌握線段中垂線的尺規(guī)作圖和圓周角定理、垂徑定理、切線長(zhǎng)定理．【經(jīng)典例題九三角形內(nèi)心的有關(guān)應(yīng)用】1．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考一模）如圖所示，內(nèi)接于，點(diǎn)M為的內(nèi)心，若，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由三角形內(nèi)角和定理求出根據(jù)點(diǎn)M為的內(nèi)心可得由三角形外角的性質(zhì)得出根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等可得最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得出．【詳解】解：∵且，∴∵點(diǎn)M為的內(nèi)心，∴∴∴∵且∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理以及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023·福建寧德·校考二模）如圖，點(diǎn)是的內(nèi)心，的延長(zhǎng)線交于，點(diǎn)、關(guān)于所在的直線對(duì)稱，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)心和三角形內(nèi)角和，可以求得的度數(shù)，再根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)可以得到，然后根據(jù)，即可求得的度數(shù)．【詳解】解：，，，，，點(diǎn)、關(guān)于所在的直線對(duì)稱，，，在和中，，，，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心、角平分線的定義、全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．3．（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，的內(nèi)切圓與分別相切于點(diǎn)，，連接的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，則．

【答案】/度【分析】如圖所示，連接，設(shè)交于H，由內(nèi)切圓的定義結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求出，再由切線長(zhǎng)定理得到，進(jìn)而推出是的垂直平分線，即，則．【詳解】解：如圖所示，連接，設(shè)交于H，∵是的內(nèi)切圓，∴分別是的角平分線，∴，∵，∴，∴，∴，∵與分別相切于點(diǎn)，，∴，又∵，∴是的垂直平分線，∴，即，∴，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)切圓，切線長(zhǎng)定理，三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線的判定，三角形外角的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．4．（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知內(nèi)接于，且是的直徑，

(1)實(shí)踐與操作：請(qǐng)用尺規(guī)作圖法作出的內(nèi)心I；（要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法，標(biāo)明字母）(2)推理與計(jì)算：連接并延長(zhǎng)，與交于另一點(diǎn)D．若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）因?yàn)榈膬?nèi)心I是角平分線的交點(diǎn)，所以作出任意兩個(gè)角的平分線即可；（2）根據(jù)是的直徑，，，得，然后根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)角的等量代換得，即可求的長(zhǎng)．【詳解】（1）解：如圖1，點(diǎn)I為所求，

（2）解：如圖2，連接，，，

∵是的直徑，∴，∵，，∴，∵平分，∴，∴，在中，，，∴，∵，，，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是的內(nèi)心I以及圓的基本性質(zhì)、勾股定理、角平分線的定義、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)內(nèi)容，正確掌握的內(nèi)心I是角平分線的交點(diǎn)以及圓的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題十直角三角形周長(zhǎng)、面積與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系】1．（2023·甘肅隴南·校考一模）如圖，與的的三邊分別相切于點(diǎn)D、E、F，若，則的半徑為（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【分析】連接，首先根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到，，然后證明出四邊形是正方形，然后設(shè)，根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】如圖，連接，∵與相切，∴，，，，，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴矩形是正方形，∴，設(shè)，中，，，，由勾股定理得，，∴，∴（舍去），∴，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形的內(nèi)切圓，切線長(zhǎng)定理，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．2．（2023秋·四川綿陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，為的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為M，N，Q，已知，，，則的半徑為（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】連接、、，根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得，、，，可得四邊形為正方形，即，在中，利用勾股定理即可求解．【詳解】連接、、，根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得，、，，又∵，∴四邊形為正方形，即，在中，，∵，，∴，，，∴解得，（舍去）∴的半徑為1，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了切線長(zhǎng)定理及內(nèi)切圓、勾股定理知識(shí)，熟練運(yùn)用切線長(zhǎng)定理是解題的關(guān)鍵．3．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）如圖，正方形的邊長(zhǎng)是，是邊的中點(diǎn)．將該正方形沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處．分別與，，相切，切點(diǎn)分別為，，，則的半徑為．

【答案】1【分析】如圖所示，延長(zhǎng)交于M，連接，先證明得到，設(shè)設(shè)，則，，利用勾股定理建立方程，解方程求出，如圖所示