專題07 函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性

專題07函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性【方法點(diǎn)撥】1.函數(shù)奇偶性、對稱性間關(guān)系：(1)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，即f(a－x)＝f(a＋x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱；一般的，若對于R上的任意x都有f(a－x)＝f(a＋x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x=(2)若函數(shù)y＝f(x＋a)是奇函數(shù)，即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝0，則函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(diǎn)(a，0)中心對稱；一般的，若對于R上的任意x都有f(－x＋a)＋f(x＋a)＝2b，則y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)中心對稱．2.函數(shù)對稱性、周期性間關(guān)系：若函數(shù)有多重對稱性，則該函數(shù)具有周期性且最小正周期為相鄰對稱軸距離的2倍，為相鄰對稱中心距離的2倍，為對稱軸與其相鄰對稱中心距離的4倍．(注：如果遇到抽象函數(shù)給出類似性質(zhì)，可以聯(lián)想y＝sinx，y＝cosx的對稱軸、對稱中心和周期之間的關(guān)系)3.善于發(fā)現(xiàn)函數(shù)的對稱性（中心對稱、軸對稱），有時需將對稱性與函數(shù)的奇偶性相互轉(zhuǎn)化.【典型題示例】例1(2019·江蘇啟東聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)對任意的x∈R，都有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋x))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－x))，函數(shù)f(x＋1)是奇函數(shù)，當(dāng)－eq\f(1,2)≤x≤eq\f(1,2)時，f(x)＝2x，則方程f(x)＝－eq\f(1,2)在區(qū)間[－3,5]內(nèi)的所有根之和為________.【答案】4【分析】由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋x))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－x))對任意的x∈R恒成立，得f(x)關(guān)于直線x＝eq\f(1,2)對稱，由函數(shù)f(x＋1)是奇函數(shù)，f(x)關(guān)于點(diǎn)（1,0）中心對稱，根據(jù)函數(shù)對稱性、周期性間關(guān)系，知函數(shù)f(x)的周期為2，作出函數(shù)f(x)的圖象即可.【解析】因為函數(shù)f(x＋1)是奇函數(shù)，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)，又因為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋x))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－x))，所以f(1－x)＝f(x)，所以f(x＋1)＝－f(x)，即f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)的周期為2，且圖象關(guān)于直線x＝eq\f(1,2)對稱．作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，由圖象可得f(x)＝－eq\f(1,2)在區(qū)間[－3,5]內(nèi)有8個零點(diǎn)，且所有根之和為eq\f(1,2)×2×4＝4.例2已知是定義域為的奇函數(shù)，滿足．若，則A． B．0 C．2 D．50【答案】C【分析】同例1得f(x)的周期為4，故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(5)＋f(6)＋f(7)＋f(8)＝···＝f(45)＋f(46)＋f(47)＋f(48)，而f(1)＝2，f(2)＝f(0)＝0（f(1－x)＝f(1＋x)中，取x＝1）、f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2、f(4)＝f(0)＝0，故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(5)＋f(6)＋f(7)＋f(8)＝···＝f(45)＋f(46)＋f(47)＋f(48)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋···＋f(50)＝f(47)＋f(48)＝f(1)＋f(2)＝2.例3已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，對任意，都有（2）成立，當(dāng)，，，且時，都有，則下列結(jié)論正確的有A．（1）（2）（3） B．直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸 C．函數(shù)在，上有5個零點(diǎn) D．函數(shù)在，上為減函數(shù)【分析】根據(jù)題意，利用特殊值法求出（2）的值，進(jìn)而分析可得是函數(shù)的一條對稱軸，函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)和在區(qū)間，上為增函數(shù)，據(jù)此分析選項即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)是上的奇函數(shù)，則；對任意，都有（2）成立，當(dāng)時，有（2），則有（2），則有，即是函數(shù)的一條對稱軸；又由為奇函數(shù)，則，變形可得，則有，故函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，當(dāng)，，，且時，都有，則函數(shù)在區(qū)間，上為增函數(shù)，又由是上的奇函數(shù)，則在區(qū)間，上為增函數(shù)；據(jù)此分析選項：對于，，則（1）（2）（3）（4）（1）（3）（2）（4），（1）（2）（3）（1）（2）（3）（4）（1）（2）（3）（2），正確；對于，是函數(shù)的一條對稱軸，且函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，則是函數(shù)的一條對稱軸，又由函數(shù)為奇函數(shù)，則直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸，正確；對于，函數(shù)在，上有7個零點(diǎn)：分別為，，，0，2，4，6；錯誤；對于，在區(qū)間，上為增函數(shù)且其周期為4，函數(shù)在，上為增函數(shù)，又由為函數(shù)圖象的一條對稱軸，則函數(shù)在，上為減函數(shù)，正確；故選：．【鞏固訓(xùn)練】1．已知函數(shù)關(guān)于對稱,則的解集為_____.2．已知定義在上的函數(shù)滿足，且的圖象與的圖象有四個交點(diǎn)，則這四個交點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)之和等于___________.3.已知函數(shù)滿足，且時，，則（）A．0 B．1 C． D．4.已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足，且在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，若方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間上有四個不同的根，則85.（多選題）已知是定義域為的奇函數(shù)，且函數(shù)為偶函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱 B．（4） C． D．若，則6．（多選題）函數(shù)的定義域為，且與都為偶函數(shù)，則A．為偶函數(shù) B．為偶函數(shù) C．為奇函數(shù) D．為同期函數(shù)7.若定義在R上的函數(shù)滿足，是奇函數(shù)，現(xiàn)給出下列4個論斷：①是周期為4的周期函數(shù)；②的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱；③是偶函數(shù)；④的圖象經(jīng)過點(diǎn)；其中正確論斷的個數(shù)是______________.

【答案或提示】1．【答案】【解析】∵函數(shù)關(guān)于對稱,∴,則由,結(jié)合圖象可得,求得.2．【答案】8【解析】，故，即的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，又函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以四個交點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)之和為8.3.【答案】D【解析】因為，所以.4.【答案】－85.【答案】6．【