專(zhuān)題08相似圖形（3個(gè)知識(shí)點(diǎn)3種題型1個(gè)中考考點(diǎn)）

專(zhuān)題08相似圖形（3個(gè)知識(shí)點(diǎn)3種題型1個(gè)中考考點(diǎn)）【目錄】倍速學(xué)習(xí)三種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.相似圖形知識(shí)點(diǎn)2.相似三角形（難點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)3.相似多邊形（重點(diǎn)）【方法二】實(shí)例探索法題型1.相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用題型2.相似多邊形性質(zhì)的應(yīng)用題型3.相似多邊形的判定【方法三】成果評(píng)定法【學(xué)習(xí)目標(biāo)】了解形狀相同的圖形是相似圖形，能在諸多圖形中找出相似的圖形。了解相似三角形，相似多邊形，相似比的概念。會(huì)根據(jù)相似多邊形的定義判斷兩個(gè)多邊形是否相似，并會(huì)運(yùn)用相似多邊形的性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算?！局R(shí)導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)四種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.相似圖形相似形：我們把形狀相同的兩個(gè)圖形稱(chēng)為相似的圖形，簡(jiǎn)稱(chēng)相似形．重點(diǎn)剖析：相似圖形不僅有平面圖形，還有立體圖形，在初中階段主要研究平面圖形的相似。在兩個(gè)大小不相等的相似圖形中，我們可以認(rèn)為大的圖形是由小的圖形經(jīng)過(guò)放大而成的，也可以認(rèn)為小的圖形是由大的圖形經(jīng)過(guò)縮小而成的。學(xué)法指導(dǎo)：兩個(gè)圖形相似是指它們的形狀相同，與它們的位置、大小無(wú)關(guān)?！纠?】下列給出的圖形中，不是相似形的是（ ）（A）由同一張底片印出來(lái)大小不同的照片（B）一張巨幅畫(huà)像和用照相機(jī)把它拍出來(lái)的照片（C）小明在平面鏡和在哈哈鏡里看到的他自己的像（D）五星紅旗上的大五角星和小五角星【答案】C【解析】哈哈鏡反映人像及物件的扭曲面貌，呈現(xiàn)出與原物不同的像，即不是相似形．【總結(jié)】考查相似圖形的特征，形狀完全相同．知識(shí)點(diǎn)2.相似三角形（難點(diǎn)）定義三角分別相等，三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形。如圖：在ABC和DEF中，相似三角形的“三性”：對(duì)應(yīng)性、順序性、傳遞性【例2】下列能夠相似的一組三角形為().

A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形

C.所有的等腰直角三角形D.所有的一邊和這邊上的高相等的三角形【答案】C【解析】A中只有一組直角相等，其他的角是否對(duì)應(yīng)相等不可知；B中什么條件都不滿(mǎn)足；D中只有一條對(duì)應(yīng)邊的比相等；C中所有三角形都是由90°、45°、45°角組成的三角形，且對(duì)應(yīng)邊的比也相等.答案選C.知識(shí)點(diǎn)3.相似多邊形（重點(diǎn)）1.相似多邊形的定義：各角分別對(duì)應(yīng)相等；各邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)多邊形是相似多邊形。如果五邊形ABCDEG與五邊形相似，記住五邊形ABCDEG五邊形數(shù)學(xué)表達(dá)式：如圖：“”讀作“相似于”2相似比：相似多邊形對(duì)應(yīng)邊之比叫做相似比注意?。?！判斷兩個(gè)多邊形是否相似時(shí)，既要考慮對(duì)應(yīng)角是否相等，又要考慮對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)度的比是否相等，二者缺一不可。學(xué)法指導(dǎo)：在判斷兩個(gè)多邊形是否為相似多邊形時(shí)，邊數(shù)相同、角分別相等容易判斷，而邊是否成比例則需要通過(guò)計(jì)算來(lái)確定，即分別計(jì)算長(zhǎng)邊與長(zhǎng)邊的比，短邊與短邊的比，在判斷時(shí)應(yīng)注意對(duì)應(yīng)關(guān)系?！纠?】下列各組四邊形中是相似多邊形的是（ ）（A）一組鄰邊為厘米和厘米與一組鄰邊為厘米和厘米的矩形（B）有一個(gè)內(nèi)角為的兩個(gè)菱形（C）邊長(zhǎng)分別為厘米和厘米的兩個(gè)菱形（D）兩個(gè)高相等的等腰梯形【答案】B【解析】菱形一個(gè)內(nèi)角確定，則每個(gè)內(nèi)角都可以確定下來(lái)，同時(shí)，菱形四邊相等，對(duì)應(yīng)成比例，可知B選項(xiàng)正確；A選項(xiàng)邊不對(duì)應(yīng)成比例，C選項(xiàng)菱形有不穩(wěn)定性，形狀不固定，D選項(xiàng)等腰梯形形狀不固定．【總結(jié)】考查相似圖形的特征．【變式】如圖，有甲、乙、丙三個(gè)矩形，其中相似的是（

）

A．甲與丙 B．乙與丙 C．甲與乙 D．三個(gè)矩形都不相似【答案】A【分析】如果兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形，據(jù)此作答．解：三個(gè)矩形的角都是直角，甲、乙、丙相鄰兩邊的比分別為，，，∴甲與丙相似，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查相似多邊形的概念，解題的關(guān)鍵是要考慮對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例．【方法二】實(shí)例探索法題型1.相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用1．（2022秋?大城縣期末）的三邊長(zhǎng)分別為5，12，13，與它相似的的最小邊長(zhǎng)為15，則的邊的長(zhǎng)為A．15 B．36 C．39 D．以上都有可能【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到相似比，求出的三邊長(zhǎng)，即可得到答案．【解答】解：的三邊長(zhǎng)分別為5，12，13，與它相似的的最小邊長(zhǎng)為15，與的相似比為，的三邊長(zhǎng)分別為15，36，39，的邊的長(zhǎng)為15或36或39，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例是解題關(guān)鍵．2．（2022秋?西湖區(qū)校級(jí)期末）已知在中，，，，分別是，邊上的點(diǎn)，且．若和相似，則A．5 B．3 C． D．3或【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)邊成比例，由此即可求解．【解答】解：①如圖所示，，，，，，；②如圖所示，，，，綜上所述，的長(zhǎng)為3或，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形中對(duì)應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵．題型2.相似多邊形性質(zhì)的應(yīng)用3.如圖，四邊形ABCD∽四邊形EFGH，求角α、β的大小和EF的長(zhǎng)度x．【答案】，，【分析】利用相似多邊形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊的成相等，對(duì)應(yīng)角相等，即可求解．解：∵四邊形ABCD∽四邊形EFGH，∴α＝∠C＝83°，∠F＝∠B＝78°，EH：AD＝EF：AB，∴x：21＝24：18，解得x＝28．在四邊形EFGH中，β＝360°﹣83°﹣78°﹣118°＝81°．∴∠G＝∠C＝67°．故x＝28．【點(diǎn)撥】本題主要考查相似多邊形的性質(zhì)，掌握相似多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4.如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，交AD于點(diǎn)F，連結(jié)BF．（1）求證：BF平分∠ABC；（2）若AB＝6，且四邊形ABCD與CEFD相似，求BC長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)分析；（2）【分析】（1）證明四邊形ABEF是菱形即可；（2）根據(jù)相似列出比例式求解即可．(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB＝CD.∴∠FAE＝∠AEB.∵EF∥AB，∴四邊形ABEF是平行四邊形．∵AE平分∠BAD，∴∠FAE＝∠BAE.∴∠BAE＝∠AEB.∴AB＝EB.∴四邊形ABEF是菱形．∴BF平分∠ABC；(2)∵四邊形ABEF為菱形，∴BE＝EF＝AB＝6.∵四邊形ABCD與CEFD相似，∴＝，即＝.解得,BC＝3±3．∵BC＞0，∴BC＝【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，相似多邊形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相關(guān)定理和性質(zhì)進(jìn)行推理證明與計(jì)算題型3.相似多邊形的判定5.在菱形與菱形中，，這兩個(gè)菱形相似嗎？為什么？【答案】菱形與菱形相似．理由見(jiàn)分析．【分析】根據(jù)如果兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，則這兩個(gè)多邊形是相似多邊形解答．解：在菱形與菱形中，設(shè)，，，，即菱形與菱形的對(duì)應(yīng)角相等；又菱形的四條邊都相等，兩菱形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即菱形與菱形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，菱形與菱形相似．【點(diǎn)撥】本題考查了相似多邊形的判定，菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的性質(zhì)和相似多邊形的判定定理．6.如圖，左邊是一個(gè)橫放的長(zhǎng)方形，右邊的圖形是把左邊的長(zhǎng)方形各邊放大兩倍，并豎立起來(lái)以后得到的，這兩個(gè)圖形是相似的嗎？【答案】相似【分析】根據(jù)相似圖形的概念進(jìn)行判斷，即可得到答案．解：根據(jù)題意，這兩個(gè)圖形是相似的，這兩個(gè)圖形形狀是一樣，對(duì)應(yīng)線(xiàn)段的比都是1∶2，四個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等，符合相似圖形的定義，雖然它們的擺放方法、位置不一樣，但這并不會(huì)影響到它們相似性．【點(diǎn)撥】本題考查了相似圖形的定義，解題的關(guān)鍵是掌握相似圖形的定義進(jìn)行判斷．7.將三角形各邊向外平移1個(gè)單位并適當(dāng)延長(zhǎng)，得到如圖(1)所示的圖形，變化前后的兩個(gè)三角形相似嗎？如果把三角形改為正方形、長(zhǎng)方形呢？【分析】利用相似圖形的判定方法：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的圖形相似，進(jìn)而判斷即可．解：∵三角形、矩形對(duì)應(yīng)邊向外平移1個(gè)單位后，對(duì)應(yīng)邊的比值不一定相等，∴變化前后的兩個(gè)三角形、矩形都不相似，∵正方形邊長(zhǎng)改變后對(duì)應(yīng)比值仍相等，且對(duì)應(yīng)角相等，∴變化前后的兩個(gè)正方形相似．【點(diǎn)撥】此題主要考查了相似圖形的判定，正確掌握相似圖形的判定方法是解題關(guān)鍵．8．圖中的兩個(gè)多邊形相似嗎？說(shuō)說(shuō)你判斷的理由．【答案】不相似，理由見(jiàn)分析【分析】根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°以及相似多邊形的定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊·成比例的兩個(gè)多邊形，叫做相似多邊形進(jìn)行判斷即可．解：這兩個(gè)多邊形不相似．理由：∵∠D＝360°－135°－95°－72°＝58°，∠G＝360°－135°－72°－59°＝94°，∴這兩個(gè)多邊形不相似．【點(diǎn)撥】本題考查四邊形的內(nèi)角和為360°、相似多邊形的定義，熟知相似多邊形的定義是解答的關(guān)鍵．【方法三】成果評(píng)定法一、單選題1．（2023上·廣西桂林·九年級(jí)?？计谥校┫铝袌D形是相似多邊形的是（

）A．所有的等邊三角形 B．所有的矩形C．所有的菱形 D．所有的平行四邊形【答案】A【分析】本題考查了相似多邊形的判定，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的多邊形是相似多邊形，據(jù)此即可作答．【詳解】解：A、所有的等邊三角形滿(mǎn)足對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，故該選項(xiàng)是正確的；B、所有的矩形對(duì)應(yīng)角相等，邊不一定成比例，故該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；C、所有的菱形的對(duì)應(yīng)角不一定相等，邊不一定成比例，故該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；D、所有的平行四邊形的對(duì)應(yīng)角不一定相等，邊不一定成比例，故該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；故選：A2．（2023上·福建寧德·九年級(jí)統(tǒng)考期中）下列各組圖形中一定是相似圖形的是（

）A．兩個(gè)等邊三角形 B．兩個(gè)矩形C．兩個(gè)直角三角形 D．兩個(gè)等腰三角形【答案】A【分析】本題考查相似形的定義，熟悉各種圖形的性質(zhì)和相似圖形的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)相似圖形的定義和圖形的性質(zhì)對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行分析，即可得出一定相似的圖形．【詳解】解：A、兩個(gè)等邊三角形，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊一定成比例，符合相似的定義，故符合題意；B、兩個(gè)矩形，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊不一定成比例，故不符合題意；C、兩個(gè)直角三角形，只有一個(gè)直角相同，銳角不一定相等，故不符合題意；D、兩個(gè)等腰三角形，對(duì)應(yīng)角不一定相等，不符合相似的定義，故不符合題意．故選：A．3．（2023上·山西大同·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，已知五邊形五邊形，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了相似多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于熟知相似多邊形的面積之比等于相似比的平方．【詳解】解：∵五邊形五邊形，，∴，故選D．4．（2023上·福建漳州·九年級(jí)福建省漳州第一中學(xué)校考期中）如圖，有甲、乙、丙三個(gè)矩形，其中相似的是（

）

A．三個(gè)矩形都不相似 B．乙與丙 C．甲與乙 D．甲與丙【答案】D【分析】本題主要考查相似多邊形的判定，根據(jù)圖形得到對(duì)應(yīng)邊的比值，進(jìn)而問(wèn)題可求解．【詳解】解：甲圖矩形的長(zhǎng)寬之比為，乙圖矩形的長(zhǎng)寬之比為，丙圖矩形的長(zhǎng)寬之比為，∴甲與丙是相似矩形；故選D．5．（2023上·河南周口·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，兩個(gè)菱形，兩個(gè)等邊三角形，兩個(gè)矩形，兩個(gè)等腰直角三角形各成一組．每組中的一個(gè)圖形在另一個(gè)圖形的內(nèi)部，對(duì)應(yīng)邊平行，且對(duì)應(yīng)邊之間的距離都相等，則兩個(gè)圖形對(duì)應(yīng)邊不成比例的一組是（）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】本題主要考查了相似多邊形的性質(zhì)及判定，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)及判定：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，即可判斷．【詳解】解：由題意得，B、C中三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，兩三角形相似；A中菱形四條邊均相等，所以對(duì)應(yīng)邊成比例，又角也相等，所以正方形，菱形相似；而D中矩形四個(gè)角相等，但對(duì)應(yīng)邊不一定成比例，所以D中矩形不是相似多邊形故選：D．6．（2023上·四川達(dá)州·九年級(jí)四川省渠縣中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形中，，點(diǎn)分別在、邊上，且，若矩形矩形，且面積比為，則長(zhǎng)為（

）A．20 B．18 C．12 D．9【答案】A【分析】本題主要考查相似圖形的性質(zhì)，相似圖形的對(duì)應(yīng)邊成比例，面積比等于相似比的平方．證明，從而可得答案．【詳解】解：矩形矩形，且面積比為，∴，∵，∴，，∴，故選A7．一個(gè)多邊形的邊長(zhǎng)為2，3，4，5，6，另一個(gè)和它相似的多邊形的最長(zhǎng)邊為24，則這個(gè)多邊形的最短邊長(zhǎng)為（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】本題主要考查了相似多邊形的性質(zhì)，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．解題的關(guān)鍵是熟練掌握兩個(gè)相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例．【詳解】解：設(shè)另一個(gè)多邊形的最短邊長(zhǎng)為x，根據(jù)題意得：，解得：，故選：B．8．（2023上·山東濰坊·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，把矩形對(duì)折，折痕為，如果矩形和矩形相似，則它們的相似比為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】此題主要考查了相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，設(shè)矩形的長(zhǎng)，寬，根據(jù)相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比相等，即可求得．【詳解】解：設(shè)矩形的長(zhǎng)，寬，則，矩形與矩形相似，，即，即．．故選：A．二、填空題9．（2023上·江蘇徐州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形四邊形．則y（即）的長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題主要考查了相似多邊形的性質(zhì)，根據(jù)相似多邊形對(duì)應(yīng)邊成比例得到，據(jù)此代值計(jì)算即可．【詳解】解：∵四邊形四邊形，∴，即，解得，故答案為：．10．（2023上·江蘇連云港·九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知兩個(gè)相似的菱形的相似比為，面積之差為，則這兩個(gè)菱形的面積和是．【答案】【分析】本題主要考查了相似圖形的性質(zhì)；分別設(shè)兩個(gè)菱形的面積為、，然后根據(jù)相似圖形的面積的比等于相似比的平方列式求解即可．【詳解】解：設(shè)兩個(gè)菱形的面積為、，∵兩個(gè)相似的菱形的相似比為，∴，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是方程的解且符合題意，則，∴這兩個(gè)菱形的面積和是，故答案為：．11．（2022上·陜西榆林·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，五邊形五邊形，則五邊形與五邊形的相似比是．

【答案】【分析】相似圖形的相似比等于對(duì)應(yīng)邊之比；再由五邊形五邊形可得相似比為，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：設(shè)橫向相鄰的兩點(diǎn)距離為1，則，，∴五邊形五邊形可得相似比為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似圖形的相似比，掌握相似比的定義是解題的關(guān)鍵．12．（2021上·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）指出下列各組圖中，哪組肯定是相似形：（1）兩個(gè)腰長(zhǎng)不等的等腰三角形（2）兩個(gè)半徑不等的圓（3）兩個(gè)面積不等的矩形（4）兩個(gè)邊長(zhǎng)不等的正方形【答案】（2）（4）【分析】（1）相似圖形就是指形狀相同，但大小不一定相同的圖形；（2）如果兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，我們就說(shuō)它們是相似多邊形．【詳解】（1）等腰三角形的形狀不一定相同，因此兩個(gè)腰長(zhǎng)不等的等腰三角形不一定相似；（3）中面積不等的兩個(gè)矩形，雖然它們的邊數(shù)相同，對(duì)應(yīng)角相等，但對(duì)應(yīng)邊的比不一定相等，所以無(wú)法確定它們一定相似；（2）（4）中兩個(gè)半徑不等的圓與兩個(gè)邊長(zhǎng)不等的正方形都是形狀完全相同的圖形，是相似形．【點(diǎn)睛】識(shí)別兩個(gè)圖形是否是相似形，可以從形狀來(lái)識(shí)別，對(duì)于多邊形，也可以用“對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等”來(lái)識(shí)別．13．（2022上·江西宜春·九年級(jí)江西省宜豐中學(xué)?？计谥校┰谝粡堄蓮?fù)印機(jī)通過(guò)放大復(fù)印出來(lái)的紙上，一個(gè)面積為圖案的一條邊由原來(lái)的1cm變成4cm，則這次復(fù)印出來(lái)的圖案的面積是【答案】32【分析】復(fù)印前后的圖案按照比例放大或縮小，因此它們是相似圖形，按照相似圖形的面積比等于相似比的平方求解即可．【詳解】解：∵在一張由復(fù)印機(jī)通過(guò)放大復(fù)印出來(lái)的紙上，一個(gè)面積為圖案的一條邊由原來(lái)的1cm變成4cm，∴相似比，∴面積比，∴這次復(fù)印出來(lái)的圖案的面積．故答案是：32．【點(diǎn)睛】考查了相似圖形，掌握相似圖形面積之比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．14．（2023上·浙江寧波·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，矩形相框的外框矩形的長(zhǎng)為12dm，寬為8dm，上下邊框的寬度都為xdm，左右邊框的寬度都為ydm；若內(nèi)邊框矩形和外邊框矩形相似，則x，y應(yīng)符合的條件是．【答案】【分析】此題主要考查了相似多邊形的性質(zhì)．直接根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)列式求解即可．【詳解】解：如圖，∵矩形中，，∴，又∵矩形中，，，∴，又∵矩形矩形，∴，∴，∴，∴，故答案為：．15．（2021上·陜西咸陽(yáng)·九年級(jí)咸陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）一個(gè)六邊形的六邊長(zhǎng)分別為3，4，5，6，7，8，另一個(gè)與其相似的六邊形的周長(zhǎng)為66，則與其相似的六邊形的最短邊為．【答案】6【分析】設(shè)另一個(gè)與它相似的六邊形的最短邊為，再根據(jù)其周長(zhǎng)的比等于相似比進(jìn)行解答即可．【詳解】設(shè)另一個(gè)與它相似的六邊形的最短邊為，由題意，得：，整理得：，解得：，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)，即相似多邊形周長(zhǎng)的比等于相似比．16．（2022上·廣東梅州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，是矩形內(nèi)的任意一點(diǎn)，鏈接，，，，得到，，，，設(shè)它們的面積分別是，，，，給出如下結(jié)論：①；②；③若，則；④若，則點(diǎn)在矩形的對(duì)角線(xiàn)上．其中正確的結(jié)論的序號(hào)是．（把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填在橫線(xiàn)上）【答案】②④【分析】根據(jù)三角形面積求法以及矩形性質(zhì)得出，以及，，即可得出P點(diǎn)一定在上．【詳解】如圖，作，作，∵以AD為底邊，以BC為底邊，∴此時(shí)兩三角形的高的和為AB，即可得到，同理可得，∴，故②正確，則①錯(cuò)誤，③若，只能得出與高度之比，不一定等于，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；④若，，∴與高度之比為：，∵，∴四邊形是矩形，∴此時(shí)矩形與矩形相似，∴，∴P點(diǎn)在矩形的對(duì)角線(xiàn)上，故答案為：②和④．【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)以及三角形面積求法，根據(jù)已知得出是解題關(guān)鍵．17．（2022下·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，相似的正方形共有個(gè)，相似的三角形共有個(gè)．【答案】516【分析】由正方形的四個(gè)角都是直角，各邊相等，不難判斷兩個(gè)正方形的對(duì)應(yīng)邊是否成比例，對(duì)應(yīng)角是否相等，從而確定相似正方形的個(gè)數(shù)，根據(jù)圖形及正方形的性質(zhì)易得所有三角形均為等腰直角三角形，結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)判斷對(duì)應(yīng)邊是否成比例，對(duì)應(yīng)角是否相等，問(wèn)題便可解答．【詳解】解：圖中共有5個(gè)正方形，它們都相似，圖中的三角形都是等腰直角三角形，一共有16個(gè)，它們都相似，故答案為：5，16．【點(diǎn)睛】本題考查了相似圖形的判斷，掌握相似圖形的定義是解題的關(guān)鍵．三、解答題18．（2023上·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)統(tǒng)考期末）四邊形∽四邊形，，，若四邊形的面積為12，求四邊形的面積．【答案】【分析】由題意可求出四邊形與四邊形的相似比為，再根據(jù)相似圖形面積比等于相似比的平方求解即可．【詳解】解：∵四邊形∽四邊形，，，∴四邊形與四邊形的相似比為，∴，即，∴．【點(diǎn)睛】本題考查相似圖形的性質(zhì)．掌握相似圖形面積比等于相似比的平方是解題關(guān)鍵．19．（2023上·安徽安慶·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖所示，一般書(shū)本的紙張是原紙張多次對(duì)開(kāi)（對(duì)折）得到，矩形沿對(duì)開(kāi)后，再把矩形沿對(duì)開(kāi)，依次類(lèi)推，若各種開(kāi)本的矩形都相似，求的值．

【答案】【分析】此題考查了相似多邊形的性質(zhì)，設(shè)，，則，，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)得到，然后代入求解即可．解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似多邊形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等．【詳解】設(shè)，，則，，由相似圖形的性質(zhì)得：，即，解得或（不符題意，舍去），則．20．（2023上·陜西西安·九年級(jí)西安市東方中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，四邊形四邊形．

(1)______．(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查相似多邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟知相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例．（1）先利用相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等得到，，再利用四邊形的內(nèi)角和為求解即可；（2）根據(jù)相似多邊形對(duì)應(yīng)邊成比例求解即可．【詳解】（1）解：∵四邊形四邊形，∴，，∵，∴，故答案為：；（2）解：∵四邊形四邊形，∴，即，解得．21．如圖在矩形中，，，、分別是、上的點(diǎn)，且，兩動(dòng)點(diǎn)、都以2cm/s的速度分別從、兩點(diǎn)沿、向、兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，判斷當(dāng)、運(yùn)動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間能使矩形與矩形相似，并證明你的結(jié)論．

【答案】運(yùn)動(dòng)或能使矩形與矩形相似，證明見(jiàn)解析【分析】設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間能使矩形與矩形相似，分是矩形的長(zhǎng)和是矩形的寬兩種情況列出比例式，分別求解即可．【詳解】解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間能使矩形與矩形相似，由題意或，解得：或．當(dāng)時(shí)，，∵，又∵與都是矩形，∴矩形與矩形相似．同理可證當(dāng)時(shí)矩形與矩形相似．【點(diǎn)睛】本題考查了相似多邊形的判定，進(jìn)行分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．22．（2023上·河南洛陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）將下列圖形分別分成四小塊，使它們得的形狀大小完全相同，并且與原圖形相似，應(yīng)怎樣分？（畫(huà)出大致圖形即可）(1)(2)【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】(1)分別取各邊的中點(diǎn)，根據(jù)要求及原圖的形狀作圖即可；(2)分別取各邊的中點(diǎn)，根據(jù)要求及原圖的形狀作圖即可．【詳解】（1）解：作圖如下：（2）解：作圖如下：【點(diǎn)睛】本題考查了作全等形和相似形，根據(jù)原圖形，作出全等形是解決本題的關(guān)鍵．23．（2023上·江蘇南京·九年級(jí)南師附中樹(shù)人學(xué)校?？茧A段練習(xí)）形狀相同（即長(zhǎng)與寬之比相等）的矩形是相似矩形，已知一個(gè)矩形長(zhǎng)為，寬為1．

一分為二（1）如圖1，將矩形分割為一個(gè)正方形（陰影部分）和小矩形，小矩形恰與原矩形相似，則的值為_(kāi)_____．（2）如圖2，將矩形分割為兩個(gè)矩形，使每個(gè)小矩形均與原矩形相似，則的值為_(kāi)_____．一分為多（3）有同學(xué)說(shuō)“無(wú)論為何值，該矩形總可以分割為幾個(gè)小矩形，這幾個(gè)小矩形都與原矩形相似